04 第四讲 直线的投影

1、 两点确定一条直线，将两点的同两点确定一条直线，将两点的同 名投影用直线连接，就得到直线的同名投影用直线连接，就得到直线的同 名投影。名投影。 直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性 一、直线的投影特性一、直线的投影特性 直线垂直于投影面：直线垂直于投影面： 投影重合为一点投影重合为一点 积聚性积聚性 直线平行于投影面：直线平行于投影面： 投影反映线段实长投影反映线段实长 真实性，显实性，全等性真实性，显实性，全等性 直线倾斜于投影面：直线倾斜于投影面： 投影比空间线段短投影比空间线段短 类似性，相仿性类似性，相仿性 A M B abm a a a b b b A B a b a

2、b=AB A B a b ab=ABcos 直线投影的基本特性直线投影的基本特性 一般情况下，一般情况下， 直线的投影仍然直线的投影仍然 为直线，特殊情况为一个点。为直线，特殊情况为一个点。 二、二、 直线在三个投影面中的投影特性直线在三个投影面中的投影特性 投影面投影面 平行线平行线 平行于某一投影面而平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜 投影面投影面 垂直线垂直线 正平线（平行于面）正平线（平行于面） 侧平线（平行于面）侧平线（平行于面） 水平线（平行于面）水平线（平行于面） 正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面） 侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面） 铅垂线（垂直于面）

3、铅垂线（垂直于面） 一般位置直线一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线 统称特殊位置直线统称特殊位置直线 垂直于某一投影面垂直于某一投影面 b a ab a b b a a b b a 在其平行的那个投影面上的投影在其平行的那个投影面上的投影反映实长反映实长，并，并反反 映映直线与另两投影面直线与另两投影面倾角的实际大小倾角的实际大小。 在另两个投影面上的投影在另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴平行于相应的投影轴。 水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线 投影特性：投影特性： 与与H面的夹角面的夹角: 与与V面的角面的角:与与W面的夹角面的夹角: 实长实长 实长实长

4、实长实长 b a a a b b 铅垂线铅垂线 正垂线正垂线 侧垂线侧垂线 反映线段实长，且垂直于相反映线段实长，且垂直于相 应的投影轴。应的投影轴。 铅垂线铅垂线 正垂线正垂线 侧垂线侧垂线 另外两个投影另外两个投影， 在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有积聚性 投影有积聚性。 投影特性投影特性: : c (d ) c d d c a b a(b) a b e f e f e (f ) 投影特性：投影特性： 三个投影都缩短。 即: 都不反映空间线段 的实长及与三个投影面 夹角的实际大小，且与 三根投影轴都倾斜。 a b b a b a 根据一般位置直线的投影求解其实长及 倾角是画法

5、几何综合习题中的常遇见的基本 问题之一，也是工程实际中经常需要解决的 问题。而用直角三角形法直角三角形法求解实长及倾角最 为简便、快捷。 |zA-zB | AB A B b b a a C X O 例例1 1：求直线的实长及对水平投影面的夹角：求直线的实长及对水平投影面的夹角 。 |zA-zB| X a a b b AB ab |zA-zB| AB |zA-zB| ab 例例2 2：求直线的实长及对正面投影面的夹角：求直线的实长及对正面投影面的夹角 。 a X a b b ab AB AB ab |YA-YB| |YA-YB| AB |YA-YB| A B b b a a C X O |YA-

6、YB| 例例3 3：求直线的实长及对侧面投影面的夹角：求直线的实长及对侧面投影面的夹角 。 Z X ab a O YH YW a b b X Z Y O A B b b a b a a |XA-XB| |XA-XB| 例题例题4：已知：已知 线段的实长线段的实长AB，求它的水平投影，求它的水平投影。 a |zA-zB| ab a b |yA-yB| AB AB ab |zA-zB| b X a b AB 直角三角形法的四要素：投影长、坐投影长、坐 标差、实长、倾角标差、实长、倾角。已知四要素中的任意 两个，便可确定另外两个。 解题时，直角三角形画在任何位置都不 影响解题结果，但用哪个长度来作直

7、角边不 能搞错。 若点在直线上若点在直线上, 则点的则点的 投影必在直线的同名投投影必在直线的同名投 影上。并将线段的同名影上。并将线段的同名 投影分割成与空间相同投影分割成与空间相同 的比例。即：的比例。即： 若点的投影有一个不在直线若点的投影有一个不在直线 的同名投影上，的同名投影上， 则该点必则该点必 不在此直线上。不在此直线上。 AC/CB=ac/cb= a c / c b A B C V H b c c b a a 定比定理定比定理 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影 上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是上。利

8、用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是 否在直线上。否在直线上。 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即 A C: C B = a c : c b= a c : c b = a c : c b A B b b a a XO c c C c 点点C不不在在 直线直线AB上上 例例1 1：判断点：判断点C C是否在线段是否在线段ABAB上。上。 a b c a b c c a b c a b 点点C在直在直 线线AB上上 根据从属性判断点与直线的相对位置根据从属性判断点与直线的相对位置 例例2 2：判断点：判断点K K是否在线段是否在线段ABA

9、B上。上。 a b k 因因k 不在不在a b 上，上， 故点故点K不在不在AB上。上。 应用定比定理应用定比定理 a b k a b k 另一判断法另一判断法? 注意：对于侧平线还需考 察侧面投影。 例例3 3：已知点：已知点C C 在线段在线段ABAB上，求点上，求点C C 的的 正面投影。正面投影。 b X a b a c c ac cb X O A B b b a a c C c H V 根据定比性求特殊点根据定比性求特殊点 b b X a a BC 例例4 4：已知线段：已知线段AB AB 的投影，试定出属于线段的投影，试定出属于线段ABAB 的点的点C C 的投影，的投影， 使使B

10、CBC 的实长等于已知的实长等于已知 长度长度L L。 c L AB zA-zB c ab 平行平行 相交相交 交叉交叉 垂直相交垂直相交 平行平行、相交相交、交叉交叉。 两直线平行两直线平行投影特性：投影特性： 一般位置的空间两直线一般位置的空间两直线 平行，则其各平行，则其各同名投影同名投影必必 相互平行。相互平行。反之，若两直若两直 线的各个线的各个同面投影同面投影均相互均相互 平行，则该两直线在空间平行，则该两直线在空间 也一定相互平行。也一定相互平行。 a V H c b c d A B C D b d a 共面直线共面直线 异面直线异面直线 a b c d c a b d 例例1：

11、判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。 对于除对于除侧平线侧平线以外的以外的 一般位置直线一般位置直线，只要只要 有两个同名投影（有两个同名投影（H H、 V V面）互相平行，空面）互相平行，空 间两直线就平行。间两直线就平行。 AB/CD b d c a c b a d d b a c 对于对于特殊位置直线特殊位置直线 （如（如:侧平线）侧平线），只有只有 两个两个同名投影互相平同名投影互相平 行，空间直线行，空间直线不一定不一定 平行，需画出它们的平行，需画出它们的 侧平面投影。侧平面投影。 AB与与CD不平行不平行 例例2：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否

12、平行。 求出侧面投影求出侧面投影 如何判断？如何判断？ 注意 注意：对于一般位置 的两直线，仅根据它们的 水平投影及正面投影是否 平行，就可判定它们在空 间是否平行。但是对于侧 平线，则必须考察它们的 侧面投影，才可以断定它 们在空间的真实位置。 a d c b a d c b a c d b X Z O YH YW AB、CD不平行 当互相平行的两直线垂直 于某一投影面时，则在该投影 面上的投影（积聚为两点）， 反映它们在空间的真实距离。 A D C B a(b) c(d) 当两直线在同一投影面上 的投影都积聚为点时，则它们 必空间平行，投影两点间的距 离就是两直线在空间上的真实 距离。 H

13、 V A B C DK a b c d k a b c k d a bc d b a c d k k 两直线相交两直线相交 判别方法：判别方法： 若空间两直线相交，则其若空间两直线相交，则其同名投影同名投影必相交，且必相交，且 交点的投影必符合交点的投影必符合空间一点的投影规律空间一点的投影规律。反之亦然。反之亦然。 交点是两直交点是两直 线的共有点线的共有点 c a b b a c d k k d 例例3：过：过C点点作水平线作水平线CD与与AB相交。相交。 先作正面投影先作正面投影 同平行的两直线一样， 对于一般位置的两直线，只 要根据水平投影及正面投影 的相对位置，就可判别它们 在空间是

14、否相交。但是对于 其中有一条是侧平线的两直 线，则必须考察它们的侧面 投影是否相交。 X Z O YH YW a a c d b d c b ad b c 当两相交直线同时平行于某一投影面时，其 夹角在投影面上的投影反应夹角的真实大小。 A C B a a c b cb XO XO acb a c b 空间两直线即不平行也不相交时，称为空间两直线即不平行也不相交时，称为交错交错（交叉，异面交叉，异面） V H XO A B C D a a c d b c d b XO a c d b a c d b 两直线交叉两直线交叉 d b a a b c d c 1 (2 ) 3(4 ) 投影特性投影特

15、性： 同名投影可能相交，同名投影可能相交， 但但 “交点交点”不符合空不符合空 间一个点的投影规律间一个点的投影规律。 “交点交点”是两直线上是两直线上 的一的一 对对重影点的投重影点的投 影影，用其可帮助判断，用其可帮助判断 两直线的空间位置。两直线的空间位置。 、是面的重影点，是面的重影点， 、是是H面的重影点。面的重影点。 为什么不能？为什么不能？ 1 2 3 4 能否判定两直线是空间相交的吗？能否判定两直线是空间相交的吗？ 例题例题: : 判断两直线的相对位置。判断两直线的相对位置。 b a a c d d c b X 1 1d 1c 1 V H X O A B C D a a c d

16、 b c d b X O a c d b a c d be f m(n) m n f (e) N M E F m(n) f (e) 重影点：分属不同不同直线，但 位于同一条同一条投影线上的点。 X O B D A C b b a a c c d d (3 )4 1(2) 4 3 3 4 1 2 1 2 判断重影点的可判断重影点的可 见性时，需要看重影见性时，需要看重影 点在另一投影面上的点在另一投影面上的 投影，坐标值大的点投影，坐标值大的点 投影可见，反之不可投影可见，反之不可 见，不可见点的投影见，不可见点的投影 加括号表示。加括号表示。 例题例题: : 判断两直线重影点的可见性。判断两直

17、线重影点的可见性。 b b c d d c X a a 3(4) 3 4 1 2 1(2) 一般情况下，要使一个 角不变形的投射到某一投影 面上，必须使此角的两边都 平行于该投影面。 但是对于直角，只要有一边 平行于某一投影面，则此直 角在该投影面上的投影仍旧 是直角。 A C B a c b 两直线垂直相交（或垂直交叉）两直线垂直相交（或垂直交叉） 直角的投影特性直角的投影特性 若直角有一边平行于投影面，则它在该若直角有一边平行于投影面，则它在该 投影面上的投影仍为直角。投影面上的投影仍为直角。 设设 直角边直角边BC/H面面 因因 BCAB, 同时同时BCBb 所以所以 BCABba平面平

18、面 即即 abc为直角为直角 因此因此 bcab 故故 bc ABba平面平面 又因又因 BCbc A B C a b c H a c b a b c . 证明：证明： d a b c a b c d 例：过例：过C点作直线与点作直线与AB垂直相交。垂直相交。 AB为正平线为正平线, 正正 面投影反映直角。面投影反映直角。 . 例：确定A点到正平线CD的距离。 b XO cd a a d c b m m 所求距离 e e e e c c 例：已知直线例：已知直线AB的两面投影和的两面投影和C点的水平投影点的水平投影,试过试过C点点 作一条直线作一条直线CE垂直于垂直于AB,求直线求直线CE的两

19、面投影。的两面投影。 c b a b a OX 两直线交叉两直线交叉 小小 结结 点与直线的投影特性（尤其是点与直线的投影特性（尤其是与与特殊位置直线）特殊位置直线） 的投影特性。的投影特性。 点与直线以及两直线间的相对位置关系的判断点与直线以及两直线间的相对位置关系的判断 方法及投影特性。方法及投影特性。 定比定理。定比定理。 直角定理，即两直线垂直时的投影特性。直角定理，即两直线垂直时的投影特性。 一、各种位置直线的投影特性一、各种位置直线的投影特性 一般位置直线一般位置直线 三个投影与各投影轴都倾斜。三个投影与各投影轴都倾斜。 投影面平行线投影面平行线 在其平行的投影面上的投影反映线段实长在其平行的投影面上的投影反映线段实长 及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相 应的投影轴。应的投影轴。 投影面垂直线投影面垂直线 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。 另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。另两个投影反