10.4直线与平面垂直

1、10.5 直线与平面垂直知识网络】1、直线与平面垂直的性质与判定；2、点到平面的距离，直线到平面的距离； 3、直线与平面的所成角及直线在平面内的射影。【典型例题】例 1：（ 1）平面 过 ABC 的重心， B、C 在 的同侧， A 在 的另一侧，若 A、B、C 到平面 的距离分别为 a、 b、 c，则 a、 b、c 间的关系为（ ）（ A）2a=b+c；（B）a=b+c；（C）2a=3（b+c） ；（D）3a=2（b+c）b c a b c答案： B 解析： B、C 中点到平面 的距离为 ， 即 a b c2 2 2（2） 已知正 ABC 的边长为 4 3 ，则到三个顶点的距离都为 1 的平面

2、有（ ）3（A）1个；（B）3 个；（C）5个；（D）7个答案： C解析：三点在同一侧的有 2个，过两边的中点且垂直第三边上的中线的平面有3 个，共 5 个。（ 3）设 a， b， c 表示三条直线， , 表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（）A、c ，若 c ，则 / B、b ，c ，若 c/ ，则 b/cC、b，若 b ，则D、b，c是 在 内的射影， 若b c ，则 b答案： C解析： C的逆命题是 b,若，则b a显然不成立。（4）已知 PA垂直平行四边形 ABCD 所在平面，若PC BD ，平行则四边形 ABCD 定是 .答案： 菱形 解析：显然 AC BD ，即平行四边形

3、ABCD 一定是菱形（5）P是ABC 所在平面外一点， O是P点在平面 上的射影若 P到ABC 三边的 距离相等，则 O 是 ABC 的 心；若 P 到 ABC 三个顶点的距离相等，则 O 是 ABC 的 心；若 PA、PB、PC 两两互相垂直，则 O 是ABC 的心答案：内心、外心、垂心；解析：由内心、外心、垂心的性质可知。例 2：已知 ABC中 ACB 90 ，SA 面 ABC ，AD SC ，求证： AD 面SBC答案：证明： ACB 90 BC AC又 SA 面 ABCSA BCBC AD ， 又 SC AD,SC BC C， AD 面 SBCBBC 面 SAC例 3如图，已知 CD是

4、异面直线 CA、 DB的公垂线， CA 于 A，DB 于B， =EF 求证： CD EF答案：证明：设CD、CA 确定平面 ，E =AA1 CA 于 A， CA AA1又 CA CD， =BB1同理有 CDBB1，CCCA、 CD、 AA1都在平面 内， CD AA1设 CD、 DB确定平面BB1 CD AA1 AA1 ， BB1 ， BB1 BB1， =EF， EF CD例 4：如图， PA、 PB、 PC两两垂直， PA=PB=PC，1G是 PAB的重心， E 是 BC上的一点，且 BE= BC，31F 是 PB 上的一点，且 PF= PB3求证：（ 1）GF 平面 PBC；（2）FE B

5、C；（ 3）GE是异面直线 PG与 BC的公垂线证明：（1）连结 BG和 PG，并延长分别交 PA、 AB 于 M1和 D，在 PBM中， PF= PB，G 是 PAB 的重心，31MG= BM， GFPM又 PA PB,PA PC， PA 平面 PBC，3则 GF 平面 PBC112）在 EC上取一点 Q 使 CQ=1 BC，连结 FQ，又 PF=1 PB，331FQPC PB=PC， FB=FQ BE= BC， E是BQ的中点， FE BQ，即 FE BC3（3）连结 GE GF 平面 PBC，易得 GE BC取 BF中点 N，连结 EN，则 EN FQPC PC 平面 PAB， EN 平

6、面 PAB又 NGDB， NG PD，易 EG PD， GE是异面直线 PG与 BC的公垂线【课内练习】1如果平面 外一条直线 l与 内的两条直线垂直， 那么l与 的位置关系是 （ ）Al Bl Cl 与 相交且不垂直D不能确定答案： D。 解析：因两条直线的位置不能确定。2. 若斜线和平面所成的角为 ，此斜线与此平面内任一直线所成的角为 ，则（ ）A. B. = C. D. 与 的大小关系不确定 答案： A. 解析：直线与平面的所成角为斜线与平面任一直线所成角的最小角 .3 A,B,C 表示不同的点， a,l 表示不同的直线， , 表示不同的平面，下列推理 错误的是 （ ）A A l,A ,

7、B l,B lBAB, ,l ,l AB lC l , A l A D.A,B,C ，A,B,C ，且 A,B,C 不共线 与重合 答案： C 解析：作图分析即可知。4AC 是平面 的斜线，且 AO=a ， AO 与 成 60o角， OC ，AA 于 A，A OC=45o，则 A 到直线 OC 的距离是， AOC 的余弦值是.答案： 14 a 、 2 ；解析：由三余弦定理可得 .445.已知 ABC 中，A ，BC ，BC=6， BAC=90 ，AB 、AC 与平面 分别成 30 、 45 的角则 BC 到平面 的距离为 答案：6 ；解析：设 BC 到平面 的距离为 h，则 (2h)2 ( 2

8、h)2 3b h 6 .6. AB CD ，它们都在平面 内，且相距 28EF ，且相距 15EFAB ，且相距 17则EF 和 CD 间的距离为答案：25或 39；解析： EF在内的射影可以在 AB、CD 之间或在 AB 、CD的外面 .7已知：如图 , PA 矩形ABCD所在的平面 , M、N分别是 AB 、PC的中点 求证： MN AB ；P若 MN 为 AB 、PC的公垂线，求 PD 与面 ABCD 的所成角。答案：连 AC ，取AC中点E，连 ME、NE， 则NEPA，NE 平面ABCD ， NEAB，ME AB ， MN AB 若 MN 为 AB ，PC 的公垂线 则 PM = M

9、C PA=AD=BC即 PD 与面 ABCD 的所成角为 45C1C答案：证明： (1)连结 A1C1，设 A1C1 B1D1 O1 PDA= 45连结 AO1 ， ABCD A1B1C1D1 是正方体A1 ACC1是平行四边形A1C / AC 且 A1C1 AC 又 O1,O 分别是 A1C1, AC 的中点， O1C/ AO 且 O1C1 AOAOC1O1是平行四边形 , C1O / AO1,AO1 面 AB1D1 ， C1O 面 AB1D1 , C1O /面 AB1D1（2）CC1面 A1B1C1D1CC1B1D!又A1C1B1D1，B1 D1面 A1C1C即 A1C B1D1同理可证

10、A1C AB1 ， 又 D1B1 AB1 B1A1C 面 AB1D19如图，已知 ABCD 是矩形， AB=a ， AD= b ，PA 平面 ABCD ，PA=2c，Q 是 PA 的 中点求（ 1）Q 到 BD 的距离；（2） P 到平面 BQD 的距离答案：解：（ 1）在矩形 ABCD 中，作 AE BD 于 E，连结 QE QA 平面 ABCD ，QE BE ， QE 的长是 Q 到 BD 的距离在矩形ABCD 中， AB=a ，ab1AD=b ， AE=在 Rt QAE 中， QA= PA=c，AD=b ， AE= a2 b22 PA=c，QE= QA2 AE2 c2 aa2 bb2 Q

11、到 BD 的距离为 c2 aa2 bbD（2）平面 BQD 经过线段 PA的中点，P到平面 BQD 的距离等于 A 到平面 BQD 的距离在 AQE 中，作 AH QE 于 E BD AE ，BD QE， 面 BQE ，即 AH 为 A 到平面 BQD 的距离 BD 平面 AQE BD AH ， AH 平ab在 RtAQE 中， AQ=c ，AE=，AH=a2 b2abca2b2 b2c2 c2a2P 到平面 BQD 的距离为abc a2b2 b2c2 c2a2作业本】A组1. 直线 a 与平面 斜交，则在平面 内与直线 a 垂直的直线（ ）A. 没有 B. 有一条 C. 有无数条 D. 内所

12、有直线 答案： C. 解析：一组平行线 .2如图， AB AC BD 1，AB 平面M，AC 平面M，BD AB，BD 与平面M 成300角，则 C、 D间的距离为A1答案：C.B2解析：D2.3已知平面 及 外一条直线 l ，下列命题中（1）若 l 垂直于 内的两条平行线，则 l ；（2）若 l 垂直于 内的所有直线，则 l ；（ 3）若 l 垂直于 内的两条相交直线，则 l；（4）若 l 垂直于 内的任意一条直线，则 l；正确的有A0 个B1 个C2 个D 3 个答案： D 。解析：正确。4边长为 a的正六边形 ABCDEF 在平面 内，PA ，PA=a，则P到CD 的距离为 P 到 BC

13、 的距离为.答案： 2a、 7 a ；解析：过 A分别向 CD、BC 作垂线构成直角三角形即可。25AB 垂直于 BCD 所在的平面， AC 10,AD 17,BC :BD 3:4，当 BCD的面积最大时，点 A 到直线 CD 的距离为答案：135。解析：设 BC 3x ，BD 4x ，则 10 9x2 17 16x2到 CD 的距离 d1 (152)2136已知：点 O是 ABC 的垂心，PO 平面ABC ，垂足为 O，求证： PA BC 答案：证明：点 O是 ABC 的垂心， AD BC 又 PO 平面ABC ，垂足为 O ， POBCBC 面 APO BCPA7在棱长为 4 的正方体 A

14、BCD-A 1B1C1D1中，O 是正方形 A 1B1C1D 1的中心，点 P在棱 CC1 上，且 CC1=4CP.（）求直线 AP 与平面 BCC1B1 所成的角的正切；（）设 O点在平面 D1AP上的射影是 H，求证： D1HAP； （）求点 P到平面 ABD 1的距离 .答案：（1）连 BP，在 RtABP 中， AB=4 ， BP17 tan APB4174 1717APB 为直线 AP 与 BCC 1B1的所成角（2） D1B1AC，D1B1CP D1B1面 ACPD1B1AP，又 OH面 AD1P OHAP ， AP面 D1OH D1HAP3（ 3）用体积法2 。28. 在ABC

15、所在平面外有点 S，斜线 SA AC ，SB BC ，且斜线 SA、SB 与平面 ABC 所成角相等 .（ I ）求证： AC=BC ；（ II ）又设点 S到平面 ABC 的距离为 4cm，AC BC且AB=6c m，求 S与AB 的距离.答案：（1）证明：过 S作SO面 ABC 于OS到 AB的距离 d 5 cmB组1. 如图 BC 是 RtABC 的斜边，过 A 作 ABC 所在平面 垂线 AP，连 PB、 PC，过 A 作AD BC于D，连 PD ，那么图 中直角三角形的个数是A4个 B6个 C7 个 D8个答案： D 解析： RtPAB，RtPAC，RtABC ， RtABDA_B_

16、DRtADC ，RtPAD，RtPDC ，RtPDB2 下列说法正确的是( )A直线 a 平行于平面 M，则 a平行于 M 内的任意一条直线B直线 a与平面 M相交，则 a不平行于 M 内的任意一条直线C直线 a 不垂直于平面 M，则 a不垂直于 M 内的任意一条直线D直线 a 不垂直于平面 M，则过 a 的平面不垂直于 M 答案： B. 解析：根据平行和垂直的性质即可得.3直三棱柱 ABCA1B1C1中， ACB=90， AC=AA1=a，则点 A到平面 A1BC 的距离是 ( )A.a B. 2 a C. 2 a D. 3a2答案： C解析：取 A 1C的中点 O，则 AO 就是 A 到面

17、 A1BC 的距离。4已知 PA、PB 、PC 是从点 P 发出的三条射线，每两条射线的夹角都是 60 ，则直线PC与平面 PAB 所成的角的余弦值为3答案： 3 . 解析：特殊化处理，构成正四面体。35平面 外有两点 A,B ，它们与平面 的距离分别为 a,b，线段 AB 上有一点 P，且 AP:PB=m:n ，则点 P 到平面 的距离为 .na mb mb na 答案： 或 | | 解析：分 A、 B 在的同侧和异侧。m n m n6在三棱锥 P-ABC 中，三条侧棱 PA， PB，PC两两垂直， H 是ABC 的垂心 求证： PH 底面 ABC ABC 是锐角三角形 .答案： 证明： P

18、A PB PA PC 且 PB PC=P PA 侧面 PBC又 BC 平面 PBD PA BCH 是 ABC 的垂心 AH BCPAAH=A BC 截面 PAH又 PH 平面 PAH BC PH同理可证： AB PH 又 AB BC=B PH 面 ABC 设 AH 与直线 BC 的交点为 E，连接 PE，PBC由知 PH 底面 ABC PE BC PB PC 即 BPC 是直角三角形， BC 为斜边E在BC边上 由于 AE BC，故 BC都是锐角 同理可证： A 也是锐角 ABC 为锐角三角连结 BM、CM、DM 7如图，已知 AO 是正四面体 ABCD 的高， M 是 AO 的中点， 求证： BM 、CM 、DM 两两垂直答案：证明：设正四面体的棱长为连结OD, 则 OD= 2 3 a32中,AO=3CM= 2 a2 CM DMDBCD 的中心aAO 是高,O 是正三角形3a36 a ,OM= 6 a ；在 Rt MOD 中，6在 Rt AODDDM= 2 a 同理2 CM 2+DM 2=CD2同理 BM CM，DM BM BM、CM、 8已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1，底面边长为 CD1交 DD 1于 M.（1）求证： BD1平面 A1C