05章 材料力学弯曲应力

1、第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 2/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 回顾与比较回顾与比较 内力内力 A F 应力应力 P I T FAyFS M ? ? 思考：思考：弯曲梁截面上内力的分布规律是怎样的？弯曲梁截面上内力的分布规律是怎样的？ 3/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲

2、切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 5.1 纯弯曲纯弯曲 梁段梁段CDCD上，只有弯矩，没有剪力上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲纯弯曲 梁段梁段ACAC和和BDBD上，既有弯矩，又有剪力上，既有弯矩，又有剪力 横力弯曲横力弯曲( (剪切弯曲剪切弯曲) ) 4/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 5.1 纯弯曲纯弯曲 一、平面假设一、平面假设

3、l梁表面变形具有如下特征梁表面变形具有如下特征 (1) 横线（横线（m-m,n-n）仍是直线，只是发生）仍是直线，只是发生 相对转动，但仍与纵线（相对转动，但仍与纵线（a-a，b-b）正交。）正交。 (2) 纵线（纵线（a-a,b-b）弯曲成曲线，且梁的一）弯曲成曲线，且梁的一 侧伸长，另一侧缩短。侧伸长，另一侧缩短。 5/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 梁变形后，其横截面仍保持平面，并垂

4、直梁变形后，其横截面仍保持平面，并垂直 于变形后梁的轴线，只是绕着梁上某一轴于变形后梁的轴线，只是绕着梁上某一轴 转过一个角度。这一假设称转过一个角度。这一假设称平面假设平面假设。 另外还假设：另外还假设：梁的各纵向层互不挤压，即梁的各纵向层互不挤压，即 梁的纵截面上无正应力作用。梁的纵截面上无正应力作用。 5.1 纯弯曲纯弯曲 6/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 根据上述假设，梁弯曲后，

5、其纵向层一部分产根据上述假设，梁弯曲后，其纵向层一部分产 生伸长变形，另一部分则产生缩短变形，二者生伸长变形，另一部分则产生缩短变形，二者 交界处存在既不伸长也不缩短的一层，这一层交界处存在既不伸长也不缩短的一层，这一层 称为称为中性层中性层。中性层与横截面的交线为截面的。中性层与横截面的交线为截面的 中性轴中性轴。 思考：思考：横截面上位横截面上位 于中性轴两侧的各于中性轴两侧的各 点受力情况？中性点受力情况？中性 层呢？层呢？ 5.1 纯弯曲纯弯曲 7/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲

6、切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 1. 变形几何关系变形几何关系 la-a弯曲后长度：弯曲后长度： l则则a-a的应变（纵的应变（纵 向正应变）：向正应变）： 5.2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 dy 表明：表明：纯弯曲时梁横截面上各点的纵向线应变沿截纯弯曲时梁横截面上各点的纵向线应变沿截 面高度线性分布。面高度线性分布。 y d ddy )( 8/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面

7、梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 2. 物理关系物理关系 l对于线弹性材料，对于线弹性材料， 当应力小于比例极当应力小于比例极 限时，根据胡克定限时，根据胡克定 律有：律有： E y E 表明：表明：正应力沿着截正应力沿着截 面高度按线性分布面高度按线性分布 。 请问：请问：能否直接用来计算应力？能否直接用来计算应力？ 5.2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 9/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面

8、梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 3. 静力关系静力关系 0 A iy dAzM MdAyM A iz 5.2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 10/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 0 A z ydAS y E将将 A z A y ydAS zdAS 定义：定义： 分别称为图形对于分别称为图形对于y轴和轴和z轴轴 的的截面一次矩截面一次矩或或静矩静矩，单位，单位 m3或或mm3。

9、注：注：通过截面通过截面形心（图形几何形状的中心）形心（图形几何形状的中心）的坐标轴，的坐标轴， 图形对其静矩等于零。图形对其静矩等于零。 说明：说明：z轴通过截面形心，即轴通过截面形心，即z轴和轴和x轴的位置确定了。轴的位置确定了。 5.2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 11/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 0 A iy dAzM y E将将 0 AA yzdA E dAz A yz

10、 yzdAI其中其中 是横截面对是横截面对y和和z轴的轴的惯性积惯性积。 由于由于y轴是横截面的对称轴，必然有轴是横截面的对称轴，必然有Iyz=0。 5.2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 12/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 MdAyM A iz y E将将 AA dAy E dAyM 2 其中其中 为横截面对为横截面对z轴（中性轴）的轴（中性轴）的 惯性矩（截面二次轴矩）惯性矩（截面

11、二次轴矩）。 A z dAyI 2 11 z EI M 是梁轴线变形后的曲率。是梁轴线变形后的曲率。 EIz称为梁的称为梁的抗弯刚度。抗弯刚度。 5.2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 13/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 y E将将 z EI M 1 纯弯曲正应力的计算公式纯弯曲正应力的计算公式 z I My 得到：得到： 问：问：正应力正负如何确定？正应力正负如何确定？ 说明：说明：

12、只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于这只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于这 个平面内，该公式就适用。个平面内，该公式就适用。 5.2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 14/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 5.3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 梁在横弯曲作用下，其横截面上梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正不仅有正 应力，还有剪应力应力，还有剪应力。 进一步的分析表明，对于细长梁（例

13、如矩进一步的分析表明，对于细长梁（例如矩 形截面梁，形截面梁，l/h=5），剪应力对正应力和），剪应力对正应力和 弯曲变形的影响很小，可以忽略不计，公弯曲变形的影响很小，可以忽略不计，公 式式 仍然适用。仍然适用。 对于缓慢变化的变截面梁，以及曲率很小对于缓慢变化的变截面梁，以及曲率很小 的曲梁也可近似适用。的曲梁也可近似适用。 z I My 15/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 Z ma

14、xmax max I yM Z max max W M max Z Z y I W 横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。 一般情况下，一般情况下， l正应力不仅与正应力不仅与M有关，还与有关，还与 有关，即有关，即 与截面的形状和尺寸有关。与截面的形状和尺寸有关。 用用 表示，则表示，则 lWz称为称为抗弯截面系数，抗弯截面系数，单位单位m3。 z I y 5.3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 16/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形

15、截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 常见截面的常见截面的 Iz 和和 Wz A dAyI 2 Z max Z Z y I W 圆截面圆截面 64 4 Z d I 32 3 Z d W 空心圆截面空心圆截面 )1 ( 64 4 4 Z D I)1 ( 32 4 3 Z D W Dd / 5.3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 17/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提

16、高强度措施 小结小结 常见截面的常见截面的 Iz 和和 Wz 矩形截面矩形截面 12 3 Z bh I 6 2 Z bh W 空心矩形截面空心矩形截面 1212 3 3 00 Z bhhb I )2/() 1212 ( 0 3 3 00 Z h bhhb W z 5.3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 18/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 强度条件强度条件 l对抗拉和抗压强度相等的材

17、料（如碳对抗拉和抗压强度相等的材料（如碳 钢），只要绝对值最大的正应力不超过钢），只要绝对值最大的正应力不超过 许用应力即可；许用应力即可； l对抗拉和抗压强度不等的材料（如铸对抗拉和抗压强度不等的材料（如铸 铁），则拉和压的最大应力都应不超过铁），则拉和压的最大应力都应不超过 各自的许用应力。各自的许用应力。 W M max max 5.3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 19/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强

18、度措施提高强度措施 小结小结 例题例题5-1： 5.3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 BA l = 3m q=60kN/m x C 1m 1.1.C 截面上截面上K点正应力点正应力 2.2.C 截面上截面上最大最大正应力正应力 3.3.全梁全梁上上最大最大正应力正应力 4.4.已知已知E=200GPa，C 截面的曲率半径截面的曲率半径 30 z y 180 120 K C 截面，单位截面，单位mm 20/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型

19、截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 mkN605 . 0160190 C M 计算支反力和计算支反力和C截面上的弯矩截面上的弯矩 kN90 Ay F kN90 By F 解：解： BA l = 3m q=60kN/m x C 1m 30 z y 180 120 K FAYFBY 1. C 截面上截面上K点正应力点正应力 45 33 Z m10832. 5 12 18. 012. 0 12 bh I MPa7 .61 10832. 5 10)30 2 180 (1060 5 33 Z KC K I yM 5.3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 21/58 第五章第五章

20、弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 2. C 截面最大正应力截面最大正应力 BA l = 3m q=60kN/m x C 1m 30 z y 180 120 K C 截面弯矩mkN60 C M C 截面惯性矩 45 Z m10832. 5 I MPa55.92 10832. 5 10 2 180 1060 5 33 Z max max I yMC C 5.3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 22/58 第五

21、章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 BA l = 3m q=60kN/m x C 1m 30 z y 180 120 K 3. 全梁最大正应力全梁最大正应力 M x m67.5kN8/ 2 ql FS x 90kN 90kN 最大弯矩最大弯矩 mkN5 .67 max M 截面惯性矩截面惯性矩 45 m10832. 5 z I MPa17.104 10832. 5 10 2 180 105 .67 5

22、33 Z maxmax max I yM 5.3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 23/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 4. C 截面曲率半径截面曲率半径 C 截面弯矩截面弯矩 mkN60 C M C 截面惯性矩截面惯性矩 45 Z m10832. 5 I m4 .194 1060 10832. 510200 3 59 C Z C M EI EI M 1 BA l = 3m q=60

23、kN/m x C 1m 30 z y 180 120 K 5.3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 24/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 例题例题5-2：图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴 的强度。已知的强度。已知 ,kN5 .62,m16. 0,m267. 0,130 2 Fbammd 材料的许用应力材料的许用应力 .MPa60 mm160 1 d 分析

24、分析 弯矩弯矩 最大的截面最大的截面? ?M 抗弯截面系数抗弯截面系数 最小最小 的截面？的截面？ z W z W M max max 5.3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 25/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 （1 1）计算简图）计算简图 （2 2）绘弯矩图）绘弯矩图 解：解： F Fa a F Fb b （3 3）B B截面，截面，C C 截面需校核截面需校核 （4 4）强度校

25、核）强度校核 B B截面：截面： MPa5 .41Pa105 .41 16. 0 322675 .62 32 6 33 1 max d Fa W M zB B MPa4 .46 13. 0 321605 .62 32 3 3 2 max d Fb W M zC C C C截面：截面： （5 5）结论：）结论：机车轮轴满足强度条件机车轮轴满足强度条件 5.3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 26/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型

26、截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 练习：练习：P165 题题5.2 作业：作业：P166 题题5.4，题，题5.5 参看：例参看：例5.3，P146 5.3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 27/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 5.4 弯曲切应力弯曲切应力 梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力 ， 又有切应力又有切应力 。 切应力对梁的强

27、度和变形的影响属于次要切应力对梁的强度和变形的影响属于次要 因素，因此对由剪力引起的切应力，不再因素，因此对由剪力引起的切应力，不再 用变形、物理和静力关系进行推导，而是用变形、物理和静力关系进行推导，而是 在承认正应力公式仍然适用的基础上，假在承认正应力公式仍然适用的基础上，假 定切应力在横截面上的分布规律，然后根定切应力在横截面上的分布规律，然后根 据平衡条件导出切应力的计算公式。据平衡条件导出切应力的计算公式。 28/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截

28、面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 一、矩形截面梁一、矩形截面梁 如图所示的矩形截面梁，如图所示的矩形截面梁， 横截面上作用剪力横截面上作用剪力Q。现。现 分析距中性轴分析距中性轴z为为y的横线的横线 上的剪应力分布情况。上的剪应力分布情况。 经分析可以假设：经分析可以假设： 1）横截面上任一点处的）横截面上任一点处的 剪应力方向均平行于剪剪应力方向均平行于剪 力力 。 2）剪应力沿截面宽度均）剪应力沿截面宽度均 匀分布。匀分布。 5.4 弯曲切应力弯曲切应力 29/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的

29、正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 5.4 弯曲切应力弯曲切应力 30/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 式中，式中， 为微块的侧面面积，为微块的侧面面积， 为面积为面积 中距中距 中性轴为中性轴为 处的正应力，处的正应力， 。 31/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回

30、顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 由微块沿由微块沿x方向的平衡条件方向的平衡条件 ，得，得 故求得横截面上距中性轴为故求得横截面上距中性轴为y 处横线上各点的剪应力为处横线上各点的剪应力为 , s F dx dM bI SF z zs * 32/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截

31、面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 该切应力的计算公式也适用于其它截面形式的梁。该切应力的计算公式也适用于其它截面形式的梁。 式中，式中，Fs为截面上的剪力；为截面上的剪力； Iz为整个截面对中性轴为整个截面对中性轴 z的惯性矩；的惯性矩；b为横截面在所求应力点处的宽度；为横截面在所求应力点处的宽度； 为面积为面积 对中性轴的静矩。对中性轴的静矩。 * z S A bI SF z zs * 33/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字

32、型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 对于矩形截面梁，可取对于矩形截面梁，可取 dA=bdy1 ，于是，于是 2 2 2 111 * 42 * y hb dybydAyS h yA z bI SF z zs * 2 2 42 y h I F z s 5.4 弯曲切应力弯曲切应力 34/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 2 2 42 y h I F z s 在截面上、下边缘处，在截面上

33、、下边缘处， y=h/2 , =0；在中；在中 性轴上，性轴上，y=0，剪应力，剪应力 值最大，其值为值最大，其值为 上式表明，沿截面高上式表明，沿截面高 度度, 剪应力剪应力按抛物线按抛物线 规律变化。规律变化。 bh Fbh I I hF s z z s 2 3 , 12 , 8 max 32 max 5.4 弯曲切应力弯曲切应力 35/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 二、工字形截面梁

34、二、工字形截面梁 l工字形截面梁由工字形截面梁由腹腹 板板和和翼缘翼缘组成。组成。 l矩形切应力计算结矩形切应力计算结 果表明，在翼缘上果表明，在翼缘上 切应力很小，在腹切应力很小，在腹 板上切应力沿腹板板上切应力沿腹板 高度按抛物线规律高度按抛物线规律 变化。变化。 最大剪应力在中性轴最大剪应力在中性轴 上，其值为上，其值为 dI SF z zsmax * max 5.4 弯曲切应力弯曲切应力 36/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字

35、型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 dI SF z zsmax * max 为中性轴一侧截面面为中性轴一侧截面面 积对中性轴的静矩。对于积对中性轴的静矩。对于 轧制的工字钢，式中的轧制的工字钢，式中的 可以从型钢表中查得。可以从型钢表中查得。 max * z S max * z z S I 计算结果表明，腹板承担的剪力约为计算结果表明，腹板承担的剪力约为 （0.950.97）Fs ，因此也可用下式，因此也可用下式 计算计算 的近似值。的近似值。max dh Fs 1 max 式中式中h1为腹板的高度，为腹板的高度，d为腹为腹 板的宽度。板的宽度。 5.4 弯曲切应力弯曲切应力 37/

36、58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 补充：静矩和形心的计算补充：静矩和形心的计算 A z A y ydAS zdAS 定义：定义： 分别称为图形对于分别称为图形对于y轴和轴和z轴轴 的的截面一次矩截面一次矩或或静矩静矩，单位，单位 m3或或mm3。 dA . .C y z y y z z 重心（形心）坐标：重心（形心）坐标： A S z A S y y z _ , 5.4 弯曲切应力弯曲切应力

37、 38/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 组合截面的静矩组合截面的静矩 l由静矩的定义知：整个截面对某轴的静由静矩的定义知：整个截面对某轴的静 矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静 矩的代数和矩的代数和: n i ii x n i ii y yA S xA S 11 及其形心坐标） 个简单图形的面积分别为第和iyx A i i i ,( 5.4 弯曲切应力弯曲

38、切应力 39/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 yA S xA S xy n i ii x n i ii y yA S xA S 11 将将 代入代入 解得组合截面的形心坐标公式为：解得组合截面的形心坐标公式为： n i i n i i i n i i n i i i A y A y A x A x 1 1 1 1 （注：被（注：被“减去减去”部分图形的面积应代入负值）部分图形的面积应代入负

39、值） 组合截面的形心坐标公式组合截面的形心坐标公式 参考：参考：P151 静矩的计算静矩的计算 40/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 强度条件：强度条件： l正应力强度条件正应力强度条件 l切应力强度条件切应力强度条件 l解决三类问题：解决三类问题： 强度校核、截面设计、许可载荷计算强度校核、截面设计、许可载荷计算 某些特殊情形，如梁的跨度较小或载荷靠近某些特殊情形，如梁的跨度较小或载荷靠

40、近 支座时，焊接或铆接的壁薄截面梁，或梁沿支座时，焊接或铆接的壁薄截面梁，或梁沿 某一方向的抗剪能力较差（木梁的顺纹方向，某一方向的抗剪能力较差（木梁的顺纹方向， 胶合梁的胶合层）等，还需进行弯曲剪应力胶合梁的胶合层）等，还需进行弯曲剪应力 强度校核。强度校核。 W M max max dI SF z zsmax * max max 5.4 弯曲切应力弯曲切应力 41/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施

41、 小结小结 例题例题5-3：吊车梁如图所示，若起吊重量吊车梁如图所示，若起吊重量P=30kN, 吊车梁跨度吊车梁跨度l=8m，梁材料的，梁材料的=120MPa， =60MPa。若梁由工字钢制成，试选择工字钢的型。若梁由工字钢制成，试选择工字钢的型 号。号。 解解: 吊车梁可简化成一吊车梁可简化成一 简支梁，如图所示。简支梁，如图所示。 （1）首先按正应力强度）首先按正应力强度 条件确定梁的截面：条件确定梁的截面： 当载荷作用于梁中点时，当载荷作用于梁中点时， 梁的弯矩为最大，其值梁的弯矩为最大，其值 为：为： 5.4 弯曲切应力弯曲切应力 42/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较

42、回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 根据强度条件根据强度条件 有有 从型钢表中查得从型钢表中查得28a工字钢的工字钢的 。 （2）校核最大剪应力）校核最大剪应力 作用点的强度作用点的强度: 当小车移至支座处时梁当小车移至支座处时梁 内剪力最大，即内剪力最大，即 Fsmax=P=30kN 5.4 弯曲切应力弯曲切应力 43/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横

43、力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 根据剪应力的强度条件根据剪应力的强度条件 dI SF z zsmax * max max 由型钢表查得由型钢表查得28a工字钢的工字钢的 显然最大剪应力作用点是安全的。因而根据正显然最大剪应力作用点是安全的。因而根据正 应力强度条件所选择的截面是合用的。应力强度条件所选择的截面是合用的。 本例结果表明，梁中最大剪应力是较小的，本例结果表明，梁中最大剪应力是较小的， 这是因为在设计型钢时，已令腹板有足够的厚这是因为在设计型钢时，已令腹板有足够的厚 度，以保证剪应力的强度。度，以

44、保证剪应力的强度。 5.4 弯曲切应力弯曲切应力 44/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 例题例题5-4：悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为 1m。胶合面的许可切应力为。胶合面的许可切应力为0.34MPa，木材的，木材的 = 10 MPa，=1MPa，求许可载荷。，求许可载荷。 F l 100 50 50 50 z 1.1.画梁的剪力图和弯矩图画梁的剪力图和弯矩

45、图 解：解： S F F M Fl 5.4 弯曲切应力弯曲切应力 45/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 2 1max max 6 bh lF W M z 2.2.按正应力强度条件计算许可载荷按正应力强度条件计算许可载荷 3.75kNN3750 6 1015010010 6 9272 1 l bh F S F F M Fl F l 100 50 50 50 z 5.4 弯曲切应力弯曲切应力

46、46/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 3.3.按胶合面强度条件计算许可载荷按胶合面强度条件计算许可载荷 S F F M Fl F l 100 50 50 50 z g Z ZS bh F b bh h bF bI SF 3 4 12 3 3 3 2 3* g 3.825kNN3825 4 1034. 0101501003 4 3 66 3 g bh F 4.4.梁的许可载荷为梁的许可载荷为

47、 3.75kNkN825. 3kN75. 3 minmin i FF 5.4 弯曲切应力弯曲切应力 47/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 作业：作业：P171 题题5.21 5.4 弯曲切应力弯曲切应力 48/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字

48、型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 5.6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施 Z max max W M 1. 1. 降低降低 M Mmax max 合理安排支座合理安排支座 合理布置载荷合理布置载荷 49/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 合理布置支座合理布置支座 F F F 5.6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施 50/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结小结 合理布置支座合理布置支座 5.6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施 51/58 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 回顾与比较回顾与比较 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲的正应力纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力横力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁 工字型截面梁工字型截面梁 提高强度措施提高强度措施 小结