修改后第四章弯曲

1、化学化工与材料科学学院 第四章第四章 弯曲弯曲 一、本章的重点、难点：一、本章的重点、难点： 1.1.剪力和弯矩的求法；剪力和弯矩的求法； 2.2.纯弯曲时梁横截面上正应力的计算方法；纯弯曲时梁横截面上正应力的计算方法； 3.3.利用正应力强度条件解决实际问题。利用正应力强度条件解决实际问题。 二、本章授课内容：二、本章授课内容： 4.1 4.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例 4.2 4.2 剪力和弯矩剪力和弯矩 4.3 4.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 4.4 4.4 纯弯曲时梁横截面上正应力纯弯曲时梁横截面上正应力 4.5 4.5 惯性矩的计算惯性矩的计算 4.6 4.6 弯曲正应

2、力的强度条件弯曲正应力的强度条件 4.7 4.7 弯曲变形弯曲变形 4.8 4.8 提高梁弯曲强度和刚度的措施提高梁弯曲强度和刚度的措施 化学化工与材料科学学院 4.1 4.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例 起重机大梁起重机大梁 化学化工与材料科学学院 车削工件车削工件 4.1 4.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例 化学化工与材料科学学院 火车轮轴火车轮轴 4.1 4.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例 化学化工与材料科学学院 弯曲特点弯曲特点: 作用在杆件上的外力垂直于杆件的轴线，使原直线的轴作用在杆件上的外力垂直于杆件的轴线，使原直线的轴 线变形成为曲线。以弯曲变形为主的杆件通常

3、称为梁。线变形成为曲线。以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。 4.1 4.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例 化学化工与材料科学学院 平面弯曲：平面弯曲： 平面弯曲平面弯曲: 弯曲变形后的轴线为平面曲线弯曲变形后的轴线为平面曲线, 且该且该 平面曲线仍与外力共面平面曲线仍与外力共面。 对称弯曲对称弯曲 4.1 4.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例 化学化工与材料科学学院 常见弯曲构件截面：常见弯曲构件截面： 4.1 4.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例 化学化工与材料科学学院 梁的载荷与支座：梁的载荷与支座： 集中载荷集中载荷 分布载荷分布载荷 集中力偶集中力偶 固定铰支座固定铰支座活动

4、铰支座活动铰支座 固定端固定端 4.1 4.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例 化学化工与材料科学学院 4.1 4.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例 化学化工与材料科学学院 火车轮轴简化：火车轮轴简化： 4.1 4.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例 化学化工与材料科学学院 4.1 4.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例 化学化工与材料科学学院 吊车大梁简化：吊车大梁简化： 均匀分布载荷均匀分布载荷 简称均布载荷简称均布载荷 4.1 4.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例 化学化工与材料科学学院 非均匀分布载荷：非均匀分布载荷： 4.1 4.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例 化

5、学化工与材料科学学院 简支梁简支梁 外伸梁外伸梁 悬臂梁悬臂梁 FAx FAy FBy FAx FAyFBy FAx FAy MA 静定梁的基本形式：静定梁的基本形式： 4.1 4.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例 化学化工与材料科学学院 FN FS M 0 x F 0 N F 0 y F 1AS FFF y 0 c M)( 1 axFxFM Ay F FS S剪力，平行于剪力，平行于 横截面的内力合力横截面的内力合力 M M 弯矩，垂直于弯矩，垂直于 横截面的内力系的横截面的内力系的 合力偶矩合力偶矩 FBy FN FS M 4.2 4.2 剪力和弯矩剪力和弯矩 FAy 化学化工与材料科

6、学学院 FAy FN FS M FBy FN FS M 截面上的剪力对所选梁截面上的剪力对所选梁 段上任意一点的矩为顺时针段上任意一点的矩为顺时针 转向时，剪力为正；转向时，剪力为正；反之为反之为 负。负。 + _ 截面上的弯矩截面上的弯矩 使得梁呈凹形为正；使得梁呈凹形为正； 反之为负。反之为负。 左上右下为正；左上右下为正；反之为负反之为负 左顺右逆为正；左顺右逆为正；反之为负反之为负 + _ 4.2 4.2 剪力和弯矩剪力和弯矩 化学化工与材料科学学院 解：解： 1. 确定支反力确定支反力 FAyFBy 0 y F FFF ByAy 2 0 A M aFFaaFBy23 3 F FBy

7、3 5F FAy2. 用截面法研究内力用截面法研究内力: FAy FSE ME 0 y F 3 5 2 F FF SE 0 O M 2 3 3 5 2 2 aF M a F E 3 F FSE 2 3Fa M E 例题例题4-14-1 FAy 4.2 4.2 剪力和弯矩剪力和弯矩 化学化工与材料科学学院 FBy FByFAy FSE ME O 3 F FBy 3 5F FAy 分析右段得到：分析右段得到： FSE ME O 0 y F0 BySE FF 3 F FF BySE 0 o MFa a FM ByE 2 3 2 3Fa M E 4.2 4.2 剪力和弯矩剪力和弯矩 化学化工与材料科学

8、学院 FAyFBy 3 F FBy 3 5F FAy 截面上的剪力等于截截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。面任一侧外力的代数和。 FAy FSE 3 5F FSE 2F FSE F2 3 F 4.2 4.2 剪力和弯矩剪力和弯矩 化学化工与材料科学学院 FAyFBy 3 F FBy 3 5F FAy 截面上的弯矩等于截面任截面上的弯矩等于截面任 一侧外力对截面形心力矩的代一侧外力对截面形心力矩的代 数和。数和。 ME FAy 2 3 3 5aF M E 2 2 a F Fa 2 3 2F ME 4.2 4.2 剪力和弯矩剪力和弯矩 化学化工与材料科学学院 8/ 2 ql q 悬臂梁受均

9、布载荷作用。悬臂梁受均布载荷作用。 试写出剪力和弯矩方程，并试写出剪力和弯矩方程，并 画出剪力画出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。 解：解：任选一截面任选一截面x x ，写出剪力，写出剪力 和弯矩方程和弯矩方程: : x lxqxxFS0 lxqxxM02/ 2 依方程画出剪力依方程画出剪力图图和弯矩和弯矩图图 FS x M x ql 2/ 2 ql l 由剪力由剪力图、弯矩图可见。最图、弯矩图可见。最 大剪力和弯矩分别为大剪力和弯矩分别为: : qlFS max 2/ 2 max qlM 例题例题4-24-2 q x xM xFS 4.3 4.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 化学化工与材料科学

10、学院 BA l FAY FBY 图示简支梁图示简支梁C C点受集中力作用。点受集中力作用。 试写出剪力和弯矩方程，试写出剪力和弯矩方程， 并画出剪力图和弯矩图。并画出剪力图和弯矩图。 解：解：1 1确定约束力确定约束力 00， BA MM F FAy Ay Fb/l F FBy By Fa/l 2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程 FS x M x lFb/ lFa/ lFab/ x1 AC axlFbxFS 11 0/ axlFbxxM 111 0/ CB lxalFaxF S 12 / lxalxlFaxM 112 / 3. 3. 依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。

11、 C F ab 例题例题4-34-3 4.3 4.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 化学化工与材料科学学院 BA l 图示简支梁图示简支梁C C点受集中力偶作用。点受集中力偶作用。 试写出剪力和弯矩方程，试写出剪力和弯矩方程， 并画出剪力图和弯矩图。并画出剪力图和弯矩图。 解：解：1 1确定约束力确定约束力 00， BA MM FAyM / l FBy -M / l 2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程 x2 lMa/ x1 AC axlMxFS 11 0/ axlMxxM 111 0/ CB bxlMxFS 22 0/ bxlMxxM 222 0/ 3. 3. 依方程画出剪力图和弯矩图

12、。依方程画出剪力图和弯矩图。 lM / lMb/ C M ab 例题例题4-44-4 4.3 4.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 化学化工与材料科学学院 32/3 2 ql32/3 2 ql BA l 简支梁受均布载荷作用。简支梁受均布载荷作用。 试写出剪力和弯矩方程，试写出剪力和弯矩方程， 并并画出剪力画出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。 解：解：1 1确定约束力确定约束力 00， BA MM FAy FBy ql/2 2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程 y x C x lxqxqlxF S 02/ lxqxqlxxM02/2/ 2 3.3.依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和

13、弯矩图。 FS x M x 2/ql 2/ql 8/ 2 ql 例题例题4-54-5 4.3 4.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 化学化工与材料科学学院 剪力图和弯矩图有以下五点规律：剪力图和弯矩图有以下五点规律： 4.3 4.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 1.1.若梁上某段无均布载荷，则剪力图为水平线，若梁上某段无均布载荷，则剪力图为水平线，M M为斜为斜 直线；直线； 2.2.若梁上某段有均布载荷，则剪力图为斜直线，若梁上某段有均布载荷，则剪力图为斜直线，M M为二为二 次抛物线；次抛物线； 3.3.若梁上有集中力，则在集中力作用处，剪力图有突变，若梁上有集中力，则在集中力作用处，剪

14、力图有突变， 其值为该处集中力的大小，其值为该处集中力的大小，M M图在此有折角；图在此有折角； 4.4.若梁上有集中力偶，则在集中力偶作用处，剪力图无若梁上有集中力偶，则在集中力偶作用处，剪力图无 变化，而弯矩图有突变，突变值及为该处集中力偶的力偶矩；变化，而弯矩图有突变，突变值及为该处集中力偶的力偶矩； 5.5.某截面剪力某截面剪力0 0的地方，则弯矩为极值。的地方，则弯矩为极值。 化学化工与材料科学学院 BA 1.5m1.5m1.5m FAYFBY 1kN.m 2kN 例题例题4-64-6 简支梁受力的大简支梁受力的大 小和方向如图示。小和方向如图示。 试画出其剪力图和弯矩图。试画出其剪

15、力图和弯矩图。 解：解：1 1确定约束力确定约束力 00， BA MM 求得求得A、B 二处的约束力二处的约束力 FAy0.89 kN , FBy1.11 kN 根据力矩平衡方程根据力矩平衡方程 2 2确定控制面确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力 内侧截面均为控制面。即内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面截面。 4.3 4.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 化学化工与材料科学学院 (+) (-) BA FAYFBY 1kN.m 2kN M (kN.m) x O 3 3建立坐标系建立坐标系 建立建立F FS Sx

16、x 和和M Mx x 坐标系。坐标系。 5 5根据微分关系连图线。根据微分关系连图线。 4 4应用截面法确定控制面应用截面法确定控制面 上的剪力和弯矩值，并将其上的剪力和弯矩值，并将其 标在标在F FS S-x-x和和M-x M-x 坐标系中。坐标系中。 0.89 1.11 1.335 1.67 (-) (-) 0.335 x FS (kN) O 0.89 kN= 1.11 kN 4.3 4.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 化学化工与材料科学学院 （-） （+） 解法解法2 2：1 1确定约束力确定约束力 F FAy Ay 0.89 kN 0.89 kN F FFy Fy 1.11 kN 1

17、.11 kN 2 2确定控制面为确定控制面为A、C、D、 B两侧截面。两侧截面。 FBY BA 1.5m1.5m1.5m FAY 1kN.m 2kN DC 3 3从从A A截面左测开始画剪力截面左测开始画剪力 图。图。 Fs（ kN） 0.89 1.11 4.3 4.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 化学化工与材料科学学院 （-）（-） 4 4从从A A截面左测开始画截面左测开始画 弯矩图。弯矩图。 M（ kN.m） 从从A A左到左到A A右右 从从C C左到左到C C右右 从从D D左到左到D D右右 从从A A右到右到C C左左 1.330 0.330 从从C C右到右到D D左左 1.

18、665 （-） （+） FBY BA 1.5m1.5m1.5m FAY 1kN.m 2kN DC Fs（ kN） 0.89 1.11 从从D D右到右到B B左左 从从B B左到左到B B右右 4.3 4.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 化学化工与材料科学学院 q B A FAy FBy 例题例题4-7 4-7 试画出梁试画出梁 的剪力图和弯矩图。的剪力图和弯矩图。 解：解：1 1确定约束力确定约束力 根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由 00， BA MM 求得求得A A、B B 二处的约束力二处的约束力qaFqaF ByAy 4 3 4 9 , qa 2 2确定控制面确定控制面 由于

19、由于ABAB段上作用有连续分布载荷，故段上作用有连续分布载荷，故A A、B B两个截两个截 面为控制面，约束力面为控制面，约束力F FBy By右侧的截面，以及集中力 右侧的截面，以及集中力qaqa 左侧的截面，也都是控制面。左侧的截面，也都是控制面。 C 4.3 4.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 化学化工与材料科学学院 （+） （-） （+） q B A FAy FBy C 3 3建立坐标系建立坐标系 建立建立F FS Sx x和和M Mx x坐坐 标系。标系。 O FS x O M x 4 4确定控制面上的剪确定控制面上的剪 力值，并将其标在力值，并将其标在F FS Sx x 中。中。

20、 4/9qa 4/7qa qa 32/81 2 qa 4/9a 2 qa 5 5确定控制面上的弯矩确定控制面上的弯矩 值，并将其标在值，并将其标在M Mx x中。中。 qa 4 9 qa 4 3 4.3 4.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 化学化工与材料科学学院 （+） （-） qaFqaF ByAy 4 3 4 9 , q B A FAy FBy 解法解法2 2：1 1确定约束力确定约束力 2 2确定控制面，即确定控制面，即A A、B B、 D D两侧截面。两侧截面。 3 3从从A A截面左测开始画截面左测开始画 剪力图。剪力图。 Fs 9qa/4 7qa/4 qa 4.3 4.3 剪力图

21、和弯矩图剪力图和弯矩图 化学化工与材料科学学院 （+） M （+） （-） q B A a FAy FBy Fs 9qa/4 7qa/4 qa 4 4求出剪力为零的点求出剪力为零的点 到到A A的距离。的距离。 B B点的弯矩为点的弯矩为 -1/2-1/27qa/47qa/47a/47a/4 +81qa +81qa2 2/32=qa/32=qa2 2 AB AB段为上凸抛物线。且有段为上凸抛物线。且有 极大值。该点的弯矩为极大值。该点的弯矩为 1/21/29qa/49qa/49a/49a/4 =81qa =81qa2 2/32/32 5 5从从A A截面左测开始画弯截面左测开始画弯 矩图矩图

22、4/9a 81qa2/32 qa2 4.3 4.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 化学化工与材料科学学院 （-）（-） （+）（+） （-） Fs 例题例题4-8 4-8 试画出图示有中间试画出图示有中间 铰梁的剪力图和弯矩图。铰梁的剪力图和弯矩图。 解：解：1 1确定约束力确定约束力 2/qaFDy 从铰处将梁截开从铰处将梁截开 q FDy FDy qa 2/3qaFBy 2/qaFAy 2/ 2 qaM A qa/2 qa/2 qa M qa2/2qa2/2 B A a qa C aa D q 4.3 4.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 化学化工与材料科学学院 1、回顾与比较：、回顾与比

23、较： 内力内力 N F A 应力应力 P I T FS M ? ? 4.44.4 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力 化学化工与材料科学学院 2 2、纯弯曲：、纯弯曲： 梁段梁段CDCD上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲 梁段梁段ACAC和和BDBD上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲 4.44.4 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力 化学化工与材料科学学院 4.44.4 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力 一、平面假设和变形几何关系一、平面假设和变形几何关系 x aa bb m n n m m

24、 aa b b mn n 平面假设：平面假设： 横截面变形后保持为平面，横截面变形后保持为平面， 且仍然垂直于变形后的梁轴且仍然垂直于变形后的梁轴 线，只是绕截面内某一轴线线，只是绕截面内某一轴线 偏转了一个角度。偏转了一个角度。 化学化工与材料科学学院 凹入一侧纤维缩短凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长突出一侧纤维伸长 中间一层纤维长度不变中间一层纤维长度不变 中性层中性层 中间层与横截面的交线中间层与横截面的交线 中性轴中性轴 设想梁是由无数设想梁是由无数 层纵向纤维组成层纵向纤维组成 4.44.4 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力 化学化工与材料科学学院 胡克定理：胡

25、克定理：E y E 建立坐标建立坐标 二、物理关系和应力分析二、物理关系和应力分析 (a) (b) dx aa bb m n n m oo y 4.44.4 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力 化学化工与材料科学学院 三、静力学关系三、静力学关系 Z 1 EI M (c) FN、My、Mz 4.44.4 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力 化学化工与材料科学学院 正应力公式：正应力公式： 变形几何关系：变形几何关系： 物理关系：物理关系： y E y E 静力学关系：静力学关系： Z 1M EI Z I My 为梁弯曲变形后的曲率为梁弯曲变形后的曲率 1 为

26、曲率半径，为曲率半径， 4.44.4 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力 化学化工与材料科学学院 正应力分布正应力分布 Z I My Z max max I My max Z M W Z max Z I W y M M 与中性轴距离相等的点，与中性轴距离相等的点， 正应力相等；正应力相等； 正应力大小与其到中性轴正应力大小与其到中性轴 距离成正比；距离成正比； 中性轴上中性轴上,正应力等于零。正应力等于零。 min Z M W 4.44.4 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力 化学化工与材料科学学院 一、常见截面的一、常见截面的 IZ 和和 WZ Z 圆截面

27、圆截面矩形截面矩形截面空心圆截面空心圆截面空心矩形截面空心矩形截面 A dAyI 2 Z Z max y z I W 64 4 Z d I 3 32 z d W )1 ( 64 4 4 Z D I 3 4 (1) 32 z D W 12 3 Z bh I 2 6 z bh W 1212 3 3 00 Z bhhb I 33 00 0 ()/(/2) 1212 z b hbh Wh 4.54.5 惯性矩的计算惯性矩的计算 化学化工与材料科学学院 二、组合截面的惯性矩二、组合截面的惯性矩 平行移轴公式平行移轴公式 1.1.组合截面的惯性矩：组合截面的惯性矩： AAA n 1i Z 222 Z 12

28、 i I.dAydAydAy I 2.2.平行移轴公式：平行移轴公式： AaIIAaII , AaaAy2I dAaydAa2dAy dAa)(ydAyI 22 ZZ 2 CZ A 2 AA 2 A 2 A 2 1Z 11 1 yy C 0yZ轴过形心，轴过形心，由于由于 C dA o Z1 y1 a y b Z Z1 y1 Z y 4.54.5 惯性矩的计算惯性矩的计算 化学化工与材料科学学院 弯曲正应力强度条件：弯曲正应力强度条件： Z W max maxmax max z MyM I 1.1.等截面梁弯矩最大的截面上等截面梁弯矩最大的截面上 2.2.离中性轴最远处离中性轴最远处 4.4.

29、脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑 tt max, cc max, 3.3.变截面梁要综合考虑变截面梁要综合考虑 与与 M z I 4.64.6 弯曲正应力的强度条件弯曲正应力的强度条件 化学化工与材料科学学院 BA l = 3m q=60kN/m x C 1m M x m67.5kN8/ 2 ql 30 z y 180 120 K 1.1.C 截面上截面上K点正应力点正应力 2.2.C 截面上截面上最大最大正应力正应力 3.3.全梁全梁上上最大最大正应力正应力 4.4.已知已知E=200GPa， C 截面的曲率半径截面的曲率半径 FS x 9

30、0kN 90kN mkN605 . 0160190 C M 1. 求支反力求支反力kN90 Ay FkN90 By F 45 33 Z m10832. 5 12 18. 012. 0 12 bh I MPa7 .61Pa107 .61 10832. 5 10)30 2 180 (1060 6 5 33 Z KC K I yM （压应力）（压应力） 解：解： 例题例题4-94-9： 4.64.6 弯曲正应力的强度条件弯曲正应力的强度条件 化学化工与材料科学学院 BA l = 3m q=60kN/m x C 1m M x m67.5kN8/ 2 ql 30 z y 180 120 K FS x 9

31、0kN 90kN 2.2.C C 截面最大正应力截面最大正应力 C C 截面弯矩截面弯矩 mkN60 C M C C 截面惯性矩截面惯性矩 45 Z m10832. 5 I MPa55.92Pa1055.92 10832. 5 10 2 180 1060 6 5 33 Z max max I yM C C 4.64.6 弯曲正应力的强度条件弯曲正应力的强度条件 化学化工与材料科学学院 BA l = 3m q=60kN/m x C 1m M x m67.5kN8/ 2 ql 30 z y 180 120 K FS x 90kN 90kN 3. 全梁最大正应力全梁最大正应力 最大弯矩最大弯矩 mk

32、N5 .67 max M 截面惯性矩截面惯性矩 45 m10832. 5 z I MPa17.104Pa1017.104 10832. 5 10 2 180 105 .67 6 5 33 Z maxmax max I yM 4.64.6 弯曲正应力的强度条件弯曲正应力的强度条件 化学化工与材料科学学院 BA l = 3m q=60kN/m x C 1m M x m67.5kN8/ 2 ql 30 z y 180 120 K FS x 90kN 90kN 4. C 截面曲率半径截面曲率半径 C 截面弯矩截面弯矩 mkN60 C M C 截面惯性矩截面惯性矩 45 Z m10832. 5 I m4

33、 .194 1060 10832. 510200 3 59 C Z C M EI EI M 1 4.64.6 弯曲正应力的强度条件弯曲正应力的强度条件 化学化工与材料科学学院 z I yM max max max （1 1）分析）分析 （2 2）弯矩）弯矩 最大的截面最大的截面M （3 3）抗弯截面系数）抗弯截面系数 最最 小的截面小的截面 z W 图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知：图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知： ,kN5 .62,m16. 0,m267. 0,130 2 Fbammd 材料的许用应力：材料的许用应力： .MPa60 mm160 1 d z W M

34、max max 例题例题4-104-10 4.64.6 弯曲正应力的强度条件弯曲正应力的强度条件 化学化工与材料科学学院 （3 3）B B截面，截面，C C截面需校核截面需校核 （4 4）强度校核）强度校核 B B截面：截面： MPa5 .41Pa105 .41 16. 0 322675 .62 32 6 33 1 max d Fa W M zB B MPa4 .46Pa104 .46 13. 0 321605 .62 32 6 33 2 max d Fb W M zC C C C截面：截面： （5 5）结论）结论 轴满足强度要求轴满足强度要求 （1 1）计算简图）计算简图 （2 2）绘弯矩图

35、）绘弯矩图 F Fa a F Fb b 解：解： 4.64.6 弯曲正应力的强度条件弯曲正应力的强度条件 化学化工与材料科学学院 分析：分析： （1 1）确定危险截面）确定危险截面 （3 3）计算）计算 max M （4 4）计算）计算 ，选择工，选择工 字钢型号字钢型号 z W 某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重 材料的许用应力材料的许用应力 MPa,140 kN,7 . 6 1 F ,kN50 2 F 起重量起重量跨度跨度 m,5 . 9l 试选择工字钢的型号。试选择工字钢的型号。 z W M max max （2 2）

36、 例题例题4-114-11 4.64.6 弯曲正应力的强度条件弯曲正应力的强度条件 化学化工与材料科学学院 （4 4）选择工字钢型号）选择工字钢型号 （5 5）讨论）讨论 （3 3）根据）根据 z W M max max 计算计算 336 6 3 max cm962m10962 10140 4 5 . 910)507 . 6( M Wz （1 1）计算简图）计算简图 （2 2）绘弯矩图）绘弯矩图 解：解： 36c36c工字钢工字钢 3 cm962 z W kg/m6 .67q 4.64.6 弯曲正应力的强度条件弯曲正应力的强度条件 化学化工与材料科学学院 作弯矩图，寻找需要校核的截面作弯矩图，

37、寻找需要校核的截面 cctt max,max, , 要同时满足要同时满足 分析：分析：非对称截面，要寻找中性轴位置非对称截面，要寻找中性轴位置 T T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。 试校核梁的强度。试校核梁的强度。 MPa,60,MPa30 ct 例题例题4-124-12 4.64.6 弯曲正应力的强度条件弯曲正应力的强度条件 化学化工与材料科学学院 mm52 201202080 8020120102080 c y （2 2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z z的惯性矩的惯性矩 46 2 3 2 3 m1064. 7 2812020 12 12020 422080

38、 12 2080 z I （1 1）求截面形心）求截面形心 z1 y z 52 解：解： 4.64.6 弯曲正应力的强度条件弯曲正应力的强度条件 化学化工与材料科学学院 （4 4）B B截面校核截面校核 t t MPa2 .27Pa102 .27 1064. 7 1052104 6 6 33 max, c c MPa1 .46Pa101 .46 1064. 7 1088104 6 6 33 max, （3 3）作弯矩图）作弯矩图 kN.m5 .2 kN.m4 4.64.6 弯曲正应力的强度条件弯曲正应力的强度条件 化学化工与材料科学学院 （5 5）C C截面要不要校核？截面要不要校核？ t t

39、 MPa8 .28Pa108 .28 1064. 7 1088105 . 2 6 6 33 max, （4 4）B B截面校核截面校核 （3 3）作弯矩图）作弯矩图 tt MPa2 .27 max, cc MPa1 .46 max, kN.m5 .2 kN.m4 梁满足强度要求梁满足强度要求 4.64.6 弯曲正应力的强度条件弯曲正应力的强度条件 化学化工与材料科学学院 4.7 4.7 弯曲变形弯曲变形 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题 化学化工与材料科学学院 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题 4.7 4.7 弯曲变形弯曲变形 化学化工与材料科学学院 工程中的弯曲变形问题工程中

40、的弯曲变形问题 4.7 4.7 弯曲变形弯曲变形 化学化工与材料科学学院 一、挠曲线一、挠曲线 挠度和转角挠度和转角 挠曲线方程：挠曲线方程： )(xyy 由于小变形，截面形心在由于小变形，截面形心在x x方向的位移忽略不计方向的位移忽略不计 挠度转角关系为：挠度转角关系为： dx dy tan 挠曲线挠曲线 y x x y 挠度挠度 转角转角 挠度挠度y y：截面形心在：截面形心在y y 方向的位移方向的位移 y 向上为正向上为正 转角转角：截面绕中性轴转过的角度。：截面绕中性轴转过的角度。 逆时针为正逆时针为正 4.7 4.7 弯曲变形弯曲变形 化学化工与材料科学学院 二、挠曲线的近似微分

41、方程二、挠曲线的近似微分方程 推导弯曲正应力时，得到：推导弯曲正应力时，得到： z z EIEI M M 1 1 忽略剪力对变形的影响忽略剪力对变形的影响 z EI xM x )( )( 1 4.7 4.7 弯曲变形弯曲变形 化学化工与材料科学学院 由数学知识可知：由数学知识可知： 32 2 2 )(1 1 dx dy dx yd 略去高阶小量，得：略去高阶小量，得： 2 2 1 dx yd 所以：所以： z EI xM dx yd)( 2 2 2 M(x) 0M(x) 0 O d y dx 2 0 x y M(x) 0 O dx d y 0 2 2 y x M(x) b。 解解 1 1）由梁

42、整体平衡分析得：）由梁整体平衡分析得： l Fa F l Fb FF ByAyAx ,0 2 2）弯矩方程）弯矩方程 axx l Fb xFxM Ay 1111 0 , AC AC 段：段： lxaaxFx l Fb axFxFxM Ay 222222 ),()( CB CB 段：段： max y ab 1 x 2 x A CD F x Ay F By F A B y B 4.7 4.7 弯曲变形弯曲变形 化学化工与材料科学学院 3 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分 11 2 1 1 2 )(x l Fb xM dx yd EI 1 2 1 1 1 1 2 )(Cx

43、l Fb xEI dx dy EI 111 3 1 1 6 DxCx l Fb EIy AC AC 段：段： ax 1 0 )()( 222 2 2 2 2 axFx l Fb xM dx yd EI 2 2 2 2 2 2 2 )( 22 )( 2 Cax F x l Fb xEI dx dy EI 222 3 2 3 2 )( 66 2 DxCax F x l Fb EIy CB CB 段：段： lxa 2 max y ab 1 x 2 x A CD F x Ay F By F A B y B 4.7 4.7 弯曲变形弯曲变形 化学化工与材料科学学院 4 4）由边界条件确定积分常数）由边界

44、条件确定积分常数 0)(, 22 lylx 0)0(, 0 11 yx 代入求解，得：代入求解，得： 位移边界条件位移边界条件 光滑连续条件光滑连续条件 )()(, 2121 aaaxx )()(, 2121 ayayaxx l Fb FblCC 66 1 3 21 0 21 DD max y ab 1 x 2 x A CD F x Ay F By F A B y B 4.7 4.7 弯曲变形弯曲变形 化学化工与材料科学学院 5 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程 )( 62 222 1 1 bl l Fb x l Fb EI 1 223 1 )( 66 1 xbl l Fb

45、x l Fb EIy AC AC 段：段： ax 1 0 )( 6 )( 22 222 2 2 22 bl l Fb ax F x l Fb EI 2 223 2 3 22 )( 6 )( 66 xbl l Fb ax F x l Fb EIy CB CB 段：段：lxa 2 max y ab 1 x 2 x A CD F x Ay F By F A B y B 4.7 4.7 弯曲变形弯曲变形 化学化工与材料科学学院 6 6）确定最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度 令令 得得， 0 dx d )( 6 , maxal EIl Fab lx B 令令 得，得， 0 dx dy )( 3

46、9 )( , 3 322 max 22 EIl blFb y bl x max y ab 1 x 2 x A CD F x Ay F By F A B y B 4.7 4.7 弯曲变形弯曲变形 化学化工与材料科学学院 )( 2 2 xMEIy dx yd EI 设梁上有设梁上有n n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩个载荷同时作用，任意截面上的弯矩 为为M(x)M(x)，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为y y，则有：，则有： )(xMEIy ii 若梁上只有第若梁上只有第i i个载荷单独作用，截面上弯矩个载荷单独作用，截面上弯矩 为为 ，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为 ，则有：，则有： i

47、i y )(xM i 由弯矩的叠加原理知：由弯矩的叠加原理知： )()( 1 xMxM n i i 所以，所以， )( )( 11 xMyEIyEI n i i n i i 三、用叠加法求梁的变形三、用叠加法求梁的变形 4.7 4.7 弯曲变形弯曲变形 化学化工与材料科学学院 故故 )( 1 n i i yy 由于梁的边界条件不变，因此由于梁的边界条件不变，因此 , 1 n i i n i i yy 1 重要结论：重要结论： 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角， 等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数 和。这

48、就是计算弯曲变形的叠加原理。和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。 4.7 4.7 弯曲变形弯曲变形 化学化工与材料科学学院 例例4-154-15 已知简支梁受力如图示，已知简支梁受力如图示，q q、l、 EIEI均为已知。求均为已知。求C C 截面的挠度截面的挠度y yC C ；B B截截 面的转角面的转角 B B 1 1）将梁上的载荷分解）将梁上的载荷分解 321CCCC yyyy 321BBBB yC1 yC2 yC3 2 2）查表得）查表得3 3种情形下种情形下C C截面的挠度和截面的挠度和 B B截面的转角截面的转角。 EI ql B 24 3 1 EI ql B 16 3 1 EI q

49、l B 3 3 3 EI ql yC 384 5 4 1 EI ql yC 48 4 2 EI ql yC 16 4 3 解：解： 4.7 4.7 弯曲变形弯曲变形 化学化工与材料科学学院 3 3） 应用叠加法，将简单载荷作用时应用叠加法，将简单载荷作用时 的结果求和的结果求和 )( 384 11 1648384 5 4 444 3 1 EI ql EI ql EI ql EI ql yy i CiC )( 48 11 31624 3 333 3 1 EI ql EI ql EI ql EI ql i BiB yC1 yC2 yC3 4.7 4.7 弯曲变形弯曲变形 化学化工与材料科学学院 例例4-164-16 已知：悬臂梁受力如图示，已知：悬臂梁受力如图示， q q、l、EIEI均为已知。求均为已知。求C C截面的挠度截面的挠度 y yC C和转角和转角 C C 1 1）首先，将梁上的载荷变成有表）首先，将梁上的载荷变成有表 可查的情形可查的情形 为了利用梁全长承受均布载为了利用梁全长承受均布载 荷的已知结果，先将均布载荷延荷的已知结果，先将均布载荷延 长至梁的全长，为了不改变原来长至梁的全长，为了不改变原来 载荷作用的效果，在载荷作用的效果，在AB AB 段还需段还需 再加上集度相同、方向相反的均再加上集度相同、方向相反的均 布载荷。布载荷。 C y 解：