常微分方程总结

1、（1）概念微分方程：一般，凡表示 未知函数、未知函数的导数 与自变量的之间关系的方程。 微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。如：一阶:Xdx二阶:d2s0 420.4dt2三阶:x3yx2y -4xy =3x2四阶:y 4 -4y10y -12y 5y =sin 2x一般n阶微分方程的形式：F （x, y, y ：川，y（n ）= 0。这里的y（n）是必须出现。（2）微分方程的解F |X,(x)(x 川輕(xf)l设函数y二x在区间I上有n阶连续导数，如果在区间 I上,三0则y =（x）称为微分方程 F（x,y, y：川，y（n） = 0的解。注：一个函数有n阶连续导数

2、t该函数的 n阶导函数也是连续的。函数连续t函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。导数t导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。导函数连续t原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。函数连续定义：设函数 y = f x在点沧的某一邻域内有定义，如果 lim f x = f x0则 xxo称函数f x在点x连续。左极限存在且等于该点的函数值。右极限存在且等于该点的函数值。左连续：lim f x 二 f x二 f x0x洪0一右连续：lim f x = f x0= f x0x曲在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。如果是闭区间，包括端点，是指函数在右

3、端点左连续，在左端点右连续。函数在 x0 点连续二 lim f x = lim f x = lim f = f x0xf 、 flx广 r f1、f x在点X。有定义2、lim f x极限存在x:x03、limX_JXof X=f Xo（3）微分方程的通解这样的解叫微分如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,方程的通解。注：任意常数是相互独立的：它们不能合并使得任意常数的个数减少。 补充： 设yi x ,y x，川yn x是定义在区间I上的n个函数，若存在n个不全为零的常数 （强 调存在性，找到一组常数即可）ki,k2,|l（,kn ,使得当对- x I时有恒等式：

4、ki%（x）+k2y2（x）+|卄+人丫3以）三0成立。则称这n个函数在区间I上|线性相关|。若当且 仅当k1.k2JH.kn全等于零该等式才恒成立。则这 n个函数在区间I上就线性无关。例：函数1,sin2x,cos2x在整个数轴上线性相关。Y 1-sin2x-cos2xw0恒成立。函数1 ,x x2在任何区间a.b t线性无关：要使ki k2x ksx2三0恒成立，则 2= k2 =k3否则：若k1.k2.k3不同时等于零，则k1k?xk3X=0最多只有两个x的值能是该式恒成立。对 x不具有普遍性。对两个函数y1 x . y2 x而言：x二c（常数）t线性相关y2（x）M丄二x （函数）T线

5、性无关y2 x定解条件I （初始条件）:微分方程的通解中含有任意常数，实际情况t提出确定这些常数的条件。通解T特解一阶微分方程定解条件一般为：y x=x = y0二阶微分方程定解条件一般为：y xn = y. y xn = y0其中怡，y. y0都是给定的值。微分方程的解t y = （x）的图形是一条曲线t称作|微分方程的积分曲线求微分方程y：f（x. y）满足初始条件 yx=x)二y。的特解这一问题称作一阶微分方程的初i，=f（x,y）值问题。记作彳 y= y。几何意义I：求微分方程的通过（X。， ）的那条积分曲线。Iy=f（x,y,yj二阶微分方程的初值问题 ：$,ry X 空。=y0,

6、/ Xg = y0几何意义|：求微分方程的通过点（x0,y0 ）且在该点斜率为y。的那条积分曲线。（4）几种常见的微分方程1可分离变量的微分方程一般形式形式：y：Vf（x,y）需）或齐q x, y2 对称形式：p x, y dx q x,y dy - 0 （ x, y都可以看做函数，另一个为自变量）可分离变量：如果一阶微分方程能写成 g y dy二f x dx的形式。特点：一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函数和dx。这样微分方程称为可分离变量的微分方程。例：求解dy = 2xy的通解。dx解：一dy=2xdxfdy=j2xdx宀 ln y =x2+c宀通解： y = ex 1 =cex

7、yy2、齐次微分方程一阶微分方程可以化成 dy - f 的形式。dx lx 丿求解：2&FyFx，3=X7u1 du =1 dx （可分离变量） r 通解dx dxdxf u -u x例：解方程y2 x2史=xydx dxz 2dudux u = u x u dxdx巴x(u1)=uT(1-1 dx I u丿du1二一dx x111 “ u丿1du =一 dx t u-1n u = In x + g xIuIn ux = u g t ux = c2e tyy 二ux,y 二C2ex -yIn y cx3、一阶线性微分方程X2今=xy巴，1型切,dx dx x dx x dxp x 0，称为一阶

8、齐次线性微分方程。dx若3 + p(x )y =q(x )( q(x)0)，称为一阶非齐次线性微分方程。 dx一阶非齐次微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和解p x y=0的通解如下：可分离变量的一阶微分方程 dxdxp x y=0dy 二-p x dxIn y = _ p x dx g ； y = C2e y-p x dxr y 二 ce(齐次方程通解)采用积分因子法求史 p x y = q x的一个特解如下: dx指数因子：fp(x Jx乎 p x y =q x 厂 e 卩%血乎.p x y =q x e dx_dxpxdx ,epxdxy -qxeepxdxy

9、qxepxdxdx c “乂宀qxepxddx c-史 + p(x )y =q(x)( q(x)O)的通解为:dx-p x dx - p X dx .|P x dxy = ceeq x e dx例：求解的通解dx x 1齐次通解：业-百=(x+1；t 业一丑=ot 或=更一dx x 1dx x 12y x 12 2In 2y = 2In x 12& In 2y = In x 1 In 2c2 In 2y = In 2c x 1非齐次特解:虬空i2 dx x 1|eGdxJ =edx(x+1$T e唱 = e2Inx1y =e51e，ln x 1 x 1 2dx.，：x -1 y = j;.x

10、- 1 2dxf_ldxe x1 x 1 dxt (x+1 f y = J(x+1 pdxT y =(x +1) f(x + 1 卩 +c_3通解：y = x | x 1 2 c4、伯努利方程形如：dy p x q x yn dx当n =0时，史 p x y =q x 阶线性微分方程（公式法）dx当n =1时，矽 p x y = q x y ；矽=q x 7- p x y可分离变量微分方程 dxdx -求通解过程：字 p x y =q x yn y字 p x y1=q xdxdx广1 _n j _ydz1jn1-n p x y =1- nqx (积分因子公式法)dx亠1 - n p x y1-

11、 n q x作变量代换例：求解dy -dx x1 _nz 二 ya 2 =1)2y_a In x y 的通解。(答案：yx c ： In x5二阶线性微分方程注：表示导数写法 y =理，=d_r， y， y（4、川yU）。dxdx形如:d2ydx2q x y = f若f x三0时，弓 pxdy qx0称为：二阶线性齐次微分方程。dxdx若f x =0时,d2ydx2p x q x y = f x称为：二阶非齐次微分方程。推广：n 阶线性微分方程 yC)+a (x)yC，)+|j|+an(x)y+an (x)y = f (x)线性微分方程解的结构：对 d_y.px-dy qx0dxdx定理1:如

12、果函数 (x )和y2 (x )都是2十p(x 十q (x )y = 0的两个解，则 dxdxyqy, x cy2 x也是该方程的解。其中 & , c都是任意常数。证明：y 二 ciyi x C2y2 x 二 ciyi x +C2y2 xx 是原方程的解，则： T yx p x y/ x q x y, xj=0| Ci y, x p x 纶c,% x q x 班cy xi；0同理 |莎 x p X 炖2 x q X 辰丫2 Xi；,0Ciyi xc?y2 x ： p x 讣c,yi x sy xq x 班汕 x曲2 x = 0、2得证：y = g% x c2y2 x 是pxdy qx0 的解。

13、dxdx定理2 :如果函数y,(x )和y2 (x)都是) + q (x )y = 0的两个线性无关的特解则y =4% (x )+gy2(x)(其中g，c?都是任意常数)就是原方程的通解。y y =0 = 2 i = 0,、= 2 二 j ； y = c, cosx q sin x可验证：v sin x- cosx和y2 - sin x是y丫 _ 0的两个解tan x，线性无关V,cos x解:定理3| :设y气x )是二阶非齐次线性微分方程4 + x)dy+x)f ( X)的一个特 dxdx+ q (x ) y = 0的通解。则解,且Y(x )是二阶齐次线性微分方程暝+卩4 dx2y =丫(x )+ y气x堤二阶非齐次微分方程 今 + p (x申+ q (x )y = f (x)的通解。 dxdx定理4:设二阶非齐次微分方程d ydy2 p x qxy = fx的右端f x是两个函数 dxdx2之和，即f X二f1(x)f2(x)。形