常微分方程试题库考试库

1、常微分方程试题库考试库作者:日期:11常微分方程期终考试试卷（1）一、填空题（30%1、方程M（x,y）dx N（x,y）dy 有只含x的积分因子的充要条件是（）。有只含y的积分因子的充要条件是 。2、为黎卡提方程，它有积分因子。3、 为伯努利方程，它有积分因子 。4、若Xi（t）,X2（t）丄，X n（t）为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是。5、形如勺方程称为欧拉方程。6、若（t）和（t）都是x A（t）x的基解矩阵，则 和 具有的关系是7、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为 时，零解是稳定的，对应的奇点称为。二、计算题（6 0%）31、ydx (x y )dy

2、02、x x si nt cos2t12并求expAt2 1A 1 4 （）3、若 14试求方程组x Ax的解津）3 4xydy 8y2 04、dxdx鱼x y25、求方程dx经过（, 0）的第三次近似解dx6.求 dtx y 5的奇点,并判断奇点的类型及稳定性三、证明题（10%）1、n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解。试卷答案填空题(x)(y)2、dyp(x)y2Q(x)y R(x)dydxP(x)y Q(x)ynu(x, y) yne(n 1)p(x)dx4、WXi(t),X2(t)丄，Xn (t)dn 1an 1 anydx(t)(t)C7丿一 I 二、零稳定中心二计算题1、解：因为,

3、所以此方程不是恰当方程,方程有积分因子(y) edyyIn y12 y ,两边同乘所以解为-dxyy3y2即2xy(y2C）另外y=0也是解2、线性方程x x 0的特征方程2 1 0故特征根ft) sinti是特征单根，原方程有特解x t(Acost Bsint)代入原方程1A=- 2 B=0f2(t) cos2t2i不是特征根，原方程有特解x Acos2tBsin2t代入原方程A13B=0x所以原方程的解为qcostc2s int1 1t cost cos2t 23、解:P(t)由公式expAt二e3tn 1 Ai etiexpAt e3t E t(A4、解：方程可化为0解得1,23 此时

4、k=1 n12,(A-(A 0i!3E)(*)两边对y求导:即(p33E)iE)i得e3tdydx x4y dx2y(p3P)e3tt(t(e3t8y2dy 令dxp则有4y2 )乎 dyp(8y23p )c2x42pc2即方程的含参数形式的通解为:2)2)P3 8y24yp(*)/ 24y p1cy2即y (c)2将 y 代入(*)c2 2px 4 c2y (卫)2c p为参数又由P34y212 p （4y）3代入（*）得:27x3也是方程的解yoyoxxdx0yox0(x5、解:yox0(x2x22 2xx)dx44 x4210x400207x w)dx20x5x112044008x160

5、dx6、解:解得奇点（3, -2 ）dt dy 令 X=x-3,Y二y+2 贝S dt因为=1+10故有唯一零解（0, 0）为稳定焦2 1 1 2 2 2 0得 1 i 故(3，-2)点。三、证明题由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n 解:X1(t)1,X2(t0)0丄L,xn(t)0X；(t)0,X2(t)1,LL,Xn (t)0LLLLLLLLLLLLLLLX1n 1(t0)0,x(t0) 0, L,xT(t0)1対/0）公2（鮎）丄，Xn（t。）考虑01 0 L1从而Xi（t）（i1,2，L n）是线性无关的常微分方程期终试卷（2）、填空题30%1、形如勺方程，

6、称为变量分离方程，这里.f（Q （y）分别为x.y的连续函数。2、形如勺方程，称为伯努利方程，这里P（x）.Q（x）为x的连续函数.n 0.1是常数。引入变量变换，可化为线性方程。3、如果存在常数L 0,使得不等式 对于所有（X, yj（x, 丫2）R都成立，L称为利普希兹常数。函数f （x, y）称为在 R上关于y满 足利普希兹条件。4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里ai，a2,是常数。5、设（t）是x Ax的基解矩阵，（t）是x A（t）x f （t）的某一解，则它的任一解（t）可表为_。、 计算题40%1、dy求方程dx6 y xy2的通解。x2、dy求方程dxy exyx的通解。3、

7、求方程x6x 5x e的隐式解。4、dy求方程dxx y2通过点（0、0）的第三次近似解。三、证明题30%t21.试验证t = 2t 1是方程组x=0 122 x1t2t x,x= x2，在任何不包含原点的区间a t b上的基解矩阵2.设t为方程x =Ax （A为n n常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0） =E），证明:1(t 0)=(t- t 0)其中旣0为某一值.常微分方程期终试卷答卷填空题(每空5分)213dy1 dxf(x) (y)2乎 P(x)y、dxQ(x)ynz=f(x,yj f(x,y2)4、dnydxnaxLyi1yn 1dxy2an 1xdydxany 05、(t)(t)(t

8、)计算题(每题10分)dz1、这是n=2时的伯努利不等式，令1z=y ,算得dx2 dy y玉代入原方程得到dzdx，这是线性方程，求得它的通解为c-6z= x带回原来的变量1 c 得到y = x62 6x2x8或者yx8c8，这就是原方程的解。此外方程还有解y=0.2、dyexyxe解:dxexyxdy(xexyy)dxxdyydxxy -xe dxdxyxy -xe dxdxy.xyxdxexyyx积分:e xy3、解:三、12xy小x e c 0故通解为：2齐线性方程x 6x 5x 0的特征方程为26511- 25，故通解为 X(t)c1e t2不是特征根，所以方程有形如把x(t)代回原

9、方程于是原方程通解为4、解 0(x) 0X1(x) X02(X)3(X)4Ae2t 12Ae2tx(t)c1e tc?e 5t5tc?ex(t)A 2tAe5Ae2te2t1212X (X)dx y1 2te21xX0XX021 (x)dx22 (x)dx证明题(每题15分)1、证明：令t的第一列为是一个解。同样如果以2(t)这样2(t)也是一个解阵。2、证明:(1)t1(t) =表示5X205X20t22t8X16011X4400,这时1 (t)=t第二列，我们有2t21(t)故 i(t)2(t)=0_212t 2(t)因此 t是解矩阵。又因为det t(t- t 0)是基解矩阵。=-t2

10、故 t是基解矩19(2)由于t为方程x=Ax的解矩阵，所以t 1 (t )也是x=Ax的解矩阵，而当 t= t 0时，(t )1(t 0)=E,(t- t 0)=(0) =E.故由解的存在唯一性定理，得t 1(t 0)= (t- t 0)常微分方程期终试卷(3).解下列方程(10%*8=80%)22 y1.1.2xylnydx+ x2 + y 1 y dy=0dy y22. dx =6x -x y3.y=2(xy x2 y24. x y =+y5. 5.tgydx-ctydy=02 26. 6.y-x( x +y )dx-xdy=07. 质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间

11、成正比(比 例系数为k1)的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速 度成正比(比例系数为k2)。试求此质点的速度与时间的关系。x8. 已知f(x) 0 f(t)dt=1,x 0,试求函数f(x)的一般表达式。二. 证明题(10%*2=20%)9. 试证：在微分方程 Mdx+Ndy二冲，如果M N试同齐次函数，且xM+yN 0,则(xM yN)是该方程的一个积分因子。10. 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解试题答案:1. 解:My =2x In y+2x ,Ny =2x,则Nx 2xln y程有积分因子 y1dye y2 2x y dx+ y2xyln

12、 yM_yM = 2xy I ny 二原方程,故方同乘以-y得y J y2dy=0是恰当方程.d(2X Iny)+ydy=0,两边积分得32 22方程的解为X lny+1 y=q12. 解：1) y=0是方程的特解。2)当y 0时，令z=y得c-6Z=xdz 6dx= ；Z+X.这是线性方程，解得它的通解为丄 c代回原来的变量y得方程解为y=x62X8 ； y=0.3.解：令 x=u+3, y=v2,可将原方程变为2亠du= U VdvZ1 Z2u-1 Z 2u =dz分离变量并两端积分得duu +l nC即 ln z +2arctgz= ln u+l nC,vdz 2u - 再令Z= u，得

13、至U z+ u =2arctg-uln zu= 2arctgz+lnC代回原变量得 v=Ce2 arctg所以，原方程的解为/y+2二Cer 2_y令u=x ,得到x y =xu + u,则(*)变arcsinu=ln u +lnC,故方程的解为,i1 三-4.解：将方程改写为y= x + x( *) du 为X dx = 1 u ,变量分离并两边积分得_yarcs in x =l nCx。5.解：变量分离ctgxdy=tgydx, 两边积分得ln(siny)二ln cosx +C或sinycosx=C (*)另外，由 tgy=0 或 ctgx=0 得 y=k (k=0、1 ),x=t + 2

14、 (t=0、1)也是方程的解。tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的 特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C。31ydxxdy2-xxdx=0,即 d(arctg y)2dx =0,故原方程的解为arctg y丄22 x =Codv7. 解：因为 F=ma=mt，又 F=F 1 F 2 2 26. 解：ydx-xdy-x( X +y )dx=0,两边同除以 X +y 得二k* k2V ,dv即 mdt =k1t k2v(v(0)=0)dv,即 dt =k1t k2v(v(0)=0),竺k2t k1m解得 v= k2 em + k2(t k2).解：令 f(x)=y ,1f (x

15、)=x0f(t)dt，两边求导得=y,1即vy：=y，即 y二dx.12两边求积得y =2x+C11从而y=、2x C，故 f(x)=J2x C .9. 证明：如M N都是n次齐次函数，则因为x M x+y M y = nM xNx+yNy二nN,故有MNy xM yN x xM yN =My(xM yN) M(xM y NNy)“側 yN) N(xM x M y)2 2(xM yN)2= (xM yN) =0.故命题成立。10. 解：1)先找到一个特解y=%。 令 y= %+z，化为n=2的伯努利方程。 证明：因为y二%为方程的解，所以 dx =P(x) %+Q(x) %+R(x) (1)令

16、y= %+z，则有d % dz2dx + dx = P(x) (% z) +Q(x)(% Z)+r(x) (2)dz2(2) (1)得 dx= P(x)(xM yN)2M(xNx yN) N(xMx yNJ=(xM yN)2M (nN) N(nM)即 dX=2P(x) %+Q(x)z+P(x) z2此为n=2的伯努利方程。常微分方程期终试卷（4）一、填空题1、（）称为变量分离方程，它有积分因子（）。2、当（）时，方程M（x,y）dx N（x,y）dy 0称为恰当方程，或称全微分方程。3、函数f（x，y）称为在矩形域r上关于y满足利普希兹条件，如果 （ ）。4、对毕卡逼近序列，k（x） k 1

17、（x）（）。5、解线性方程的常用方法有(）。6、若Xi（t）（i 1,2，, n）为齐线性方程的n个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为（）。7、方程组xA(t)x (）。8、若（t）和（t）都是x A（t）x的基解矩阵，则（t）和（t）具有关系：(）。9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部（）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（）。10、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（）时，零解是渐近稳定的，对应的奇点称为（）。当（）时，零解是不稳定的，对应的奇点称为（）。1 1、若（t）是x A（t）x的基解矩阵，则x A（t）x f（t）满足x（t。）的解（ ）。二、计算题求

18、下列方程的通解。dy . y . 彳4e sin x 11、dx。2 dy 2y 1 （ ）12、dx 。dyX y3、求方程dx y通过（0,0）的第三次近似解求解下列常系数线性方程。4、x x x 0。t5、 x x e 。试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：dx6、 dtx y 5。三、证明题。1、设（t）为方程xAx （A为n n常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0） E）,1证明（t）（to）（t to）其中to为某一值答案:1g(y)填空题dy f (x)g(x)1、形如dx的方程M N、 y x3、存在常数L 0 ,对于所有（x1,y1）

19、,（x2,y2）R都有使得不等式f(X1,yJ f(X2y) Ly1 y?成立k 1MLh4、k!5、常数变异法、待定系数法、幕级数解法、拉普拉斯变换法nx(t)CiXi(t)6、i1 ，其中C1,C2，Cn是任意常数7、n个线性无关的解Xi(t),X2(t), Xn(t)称之为x A(t)x的一个基本解组8、(t) = (t)c (a t b)c为非奇异常数矩阵9、等于零稳定中心1 0、两根同号且均为负实数稳定结点两根异号或两根同号且均为正实数不稳定鞍点或不稳定结点1 1、(t)1(to)t 1(t) t (s)f(s)dsL0计算题dey解：方程可化为dxey 4siney，得 dxdzz

20、 4sin x由一阶线性方程的求解公式，得(1)dx(1)dxxxz e ( 4sin xe)dx c e2(sinx cosx) ec 2(sinx cosx) ce x所以原方程为：ey = 2(sinx cosx) cex2、dy解：设dxp sin t，则有y sect , 从而1 2 tgt sectdt c sec tdt t sin ttgt c2 2,故方程的解为(X c) 1 y ,另外y 1也是方程的解解:o(x)02(x)mgx204215x203（X）x (丄 x22-1x5)220dxx !x4 丄 x10 丄 x7 dx4400204、1,15x20解：1 11x4

21、4001x160方程为：23i2所以方程的通解为:1 t2e (C1 cos三tC2Sid)2 2解：齐线性方程 x x 0的特征方程为解得2,31、3i2,故齐线性方程的基本解组为:1et,e.3cos i, e2.3sin i2因为1是特征根，所以原方程有形如所对应的零解为渐近稳1 i，故奇点为稳定焦点，3Aet AtetAtetet所以A 3 ,所以原方程的通解为1J3. . V 3.1,tt2 COSiC3e2 sini 一texc1eqe223x y ! 0x 36、解：xy 5 0解得y 2所以奇点为（3,2)经变X x3换，丫 y3dxX丫dtJdyX丫11 0,1 1(1)2

22、1 0方程组化为dt因为11又1 1x（t） tAet，代入原方程得,所以11 i, 2定的。三、证明题11、证明：为方程x Ax的基解矩阵(t。)为一非奇异常数矩阵，所以1(t)(to)也是方程x Ax的基解矩阵，且(t to)也是方程x Ax 的基解矩阵,1且都满足初始条件(t)(to) E， (to to)(0) E1所以(t)(to)(t to)常微分方程期终考试试卷(5)一.填空题 (30分)dy1 . dx P(x)y Q(x)称为一阶线性方程，它有积分因子卩2 ,其通解为2.函数f(x,y)称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果 。3.若(X)为毕卡逼近序列n(x)的极限，

23、则有(X) n(x) 。、x2 y2、4. 方程dx定义在矩形域R： 2 x 2, 2 y 2上，则经过点(O, O)的解的存在区间是 。t t 2t5. 函数组e，e ,e的伏朗斯基行列式为 。6. 若Xi(t)(i1,2，,n)为齐线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 。7. 若(t)是xA(t)x的基解矩阵，贝卩向量函数(t) =是x A(t)x f(t)的满足初始条件(to) 0的解；向量函数(t)=是x A(t)x f(t)的满足初始条件(to)的解。8若矩阵A具有n个线性无关的特征向量MM, M，它们对应的特征值分别为仆2, n，那

24、么矩阵（t）二是常系数线性方程组x Ax的一个基解矩阵。9.满足的点（x*，y*），称为驻定方程组。计算题（60分）2 2io.求方程4x ydx32(x y 1)dy 0 的通解。11 .求方程dxx 0的通解。dy 2x dx12.求初值问题y( R：x 11, y 1的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。13.求方程x 9x tsin3t的通解。14.试求方程组xAxf（t）的解.1(0) 1，A23，f(t)15.试求线性方程组dx dt2x 7y19 型 x 2v 5dt y的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。三.证明题(10 分)16 .如果（t）是x Ax

25、满足初始条件(to)的解，那么（t）旳A（t to）常微分方程期终考试试卷答案.填空题 （30分）P(x)dxP(x)dx1 ye ( Q(x)e dx c)2. f(x，y)在 R 上连续，存在 L 0，使I f(x，yi)f(x,y2)| L|yi，对于任意(x, yi),(x, y2) R心h1)!(nt et et etete2te2e2t4e2tx(t)CiXi(t) x(t)t0(t)1(s) f (s)ds(t)1(t0)t(t)t01(s) f (s)dst2tV1,e vX(x,y) 0,Y(x,y)0计算题(60 分)M10 .解：y8x2 Ny,6x2y两边同乘以12y积

26、分因子(y)1 dy 2y(y)后方程变为恰当方程:4x2y23dx12y ?(x3y 1)dy 0uxM4x2y2两边积分得：4x3貞3(y)11 1u2x3y2(y) N 2x3y2 2y 2y1得:(y)4y21因此方程的通解为：，(x3y 3) cdy11.解:令dxepx 012.解:13.解:得:ep那么ypdxp(1eP)dppep因此方程的通解为:MmyaxJ(x，y)4x X。1 a, yyo解的存在区间为1(x)02(x)0Xoo(x)yo2dx1x2误差估计为:1)22y2(x)(x)3i, 23ip ep22dx(p 1)ep cmin(7x634 x18X 119 4

27、2MLnh (n 1)!1243314det( E A).解：1)(5)3i是方程的特征值，丘设x(t)t(At3 itB)e得：x(2A 9Bt12Ait6Bi 9 At23 it)e则2A12 Ait6Bi t11e Ai,B得：12 36x(t)c1 cos3tc2 sin 3t1 2 1t cos3ttsin3t因此方程的通解为:12365351 1, 2(1E A)v10ViV1取V2取(2E A)v20则基解矩阵(t)tet e5te2e5t5te2e5tt(t)t10因此方程的通解为:35t1 t2ee204535t 1 t1ee1025(t)11(0)(t)35t1 tteee

28、20435t1 tteee102t(t)to1 (s) f (s)ds2511(s) f (s)dsX.1y 32x 7y 19015.解：x 2y 5 043(1,3）是奇点19令X x 7,y ydX 2X dt7y,dYdtx 2Y27272c321 20200，那么由可得:13i, 2. 3i三.证明题16 .证明:三.填空题1、 当全因此（1, 3）是稳定中心(10 分)1t 1(t)(t) 1(t0)(t)1(s)f(s)ds由定理8可知0t0又因为 (t) exp At, 1(t0) (exp At。)1e)p( At。)f(s) 0所以(t) exp At ex)( At。)又

29、因为矩阵(At) ( At) ( At) (At)所以(t)epA(t t。)常微分方程期终考试试卷(6)（共30分，9小题，10个空格，每格3分）。_时，方程M（x,y）dx+N（x,y）dy=0称为恰当方程，或称微分方程。2、 为齐次方程。dydx3、 求 =f(x,y)满足(X。)yo的解等价于求积分方程的连续解。f(x, y)dy4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，贝卩方程dX的解y= (x,X0,y0)作为x,X0,yo的函数在它的存在范围内是 。5、试求方程组x/Ax的一个基解矩阵，并计算1eAt,其中A为4dx6、试讨论方程组dtax by,dt(1)

30、的奇点类型，其中a,b,c为常数,5、若人风,X3(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是且 ac 0。三、证明题(共一题，满分10分)。试证：如果(t)是x/ Ax满足初始条件(to) 的解，那么(t) eA(t 常微分方程期末考试答案卷一、一、填空题。(30分)M (x, yN(x,y)1、y xdy )2、dx xxc y f (x, y)dx3、y= yo + x。4、连续的5、 wXl(t),X2(t,),Xn(t)06、n个线性无关解7、(t)1 (0)8 X(x,y)=0,Y(x,y)=09、为零稳定中心 二、计算题。(60分)1、解：(x-y+1)dx-(x+

31、2y +3)dy=0xdx-(ydx+xdy)+dx-2y dy-3dy=01 2x所以2xy x1 33y3y Cdy 2(x y) 12、解：dx (x y) 2，令 z=x+y显然，y0是通过点(0, 0)的一个解;dy 又由dx312 y3解得,3|y|= (x c)2所以，通过点(0,0)的一切解为y 0及|y|= (x3c)2(X(x c)c), c 0是常数4、解:(1)0,1,21、2idz 1 dy则dxXdxdz , 2z 1z 1z 2 ,1,dz dxdxz 2z 2 z 13所以 z+3In|z+1|=x+ C1, In |z 11 =x+z+C1 即(x y 1)3

32、 Ce2xy3、解:31f 13 ,3y (y 0)设 f(x,y)=2 y ,则 y 2f故在y 0的任何区域上y存在且连续，因而方程在这样的区域中满足解的存在唯 性定理的条件，齐次方程的通解为x=et (c1 co. 2t c2 sin ,2t)1 i不是特征根，故取x(Acost Bsint)et代入方程比较系数得A=41，4B=- 4154tx (一cost sin t)e 于是 4141)1通解为 x=et(cico2tc2srn.2t)+41(5cost 4sint)e1 2245 05、解：det( e A)=43所以，i 1,2 5设i 1对应的特征向量为vi2 2h 0可得1

33、0由441111同理取V2取12t5te e所以，(t) =te V15e 5te 2eAt1(0)e te5t11 1e(t)5te 2e1 21t e5t e213t e5t2e115tt5tt1e2eee3r 5t2e2e tc 5t2et e6、解：因为方程组（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件ac 0，故奇点为原点（0, 0）ab又由 det(A- E)= 0 c2 (a c)ac 0得所以，方程组的奇点（0, 0）可分为以下类型:ac c0奇点为结点a 0,ca 0,c0,稳疋结点0,不稳定结点ac 0奇点为鞍点（不稳定）aa, c为实数b 0,奇点为退化结点b 0,奇点为奇结点

34、a 0, c 0,稳定结点a 0,c 0,不稳定结点三、证明题。（10分）证明：设的形式为（t）=eAtC（1）（C为待定的常向量）则由初始条件得（t0）=eAt0C又（eAt0） 1=e At0所以，C=（eAt0）1 二eAt0代入（1）得（t） = eAteAt0eA（t t0）即命题得证。常微分方程期终试卷（7）一、选择题）个.（A） n条件.1 . n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（B）n-1（C） n+1（D） n+22. 李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分dy3.方程dx1y2( , 1) _过点2 共

35、有()个解.(A) 一（B）无数（C）两(D)三业.4.方程dxy XX ()奇解.（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个28dy -I5 .方程dx y的奇解是（)(A) y x ( B)y 1(C)(D) y 0二、计算题x2 y21.x y =+y2.tgydx-ctydy=03.(X2y)dx xdy 04.dydx5.=dxx3(y In x)dy 0三、求下列方程的通解或通积分1.x(1y2)2.dydx3.dydx3ye2x四.证明1.设 yi（x）,y2（x）是方程p(x)yq(x)y 0的解，且满足力化）=y2（xo）=0,yi(x)0，这里 P(x), q(x)在(

36、X。(）.试证明：存在常数c使得 y2(x)=cyi(x).2.在方程 y P(x)y q(x)y 0中,已知 P(x) , q(x)在(）上连续）上连续，求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.试卷答案、选择题1.A 2.B 3.B 4.C 5.D55、计算题1.解：将方程改写为y+ x(*)_y令 u=x,得到 y =xu+u,则(*)du 变为xdx=1 u ,变量分离并两边积分得 arcsinu=lnu +lnC,故方程y的解为 arcsin x =|nCx。2.解：变量分离ctgxdy二tgydx,两边积分得In (si ny )=-lncosx +C或sinycosx

37、=C (*) 另外，由 tgy=0 或 ctgx=0 得 y=k (k=0、1 ),x=t + 2 (t=0、1)也是方程的解。tgy=0 或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为 sinycosx=C。3. 方程化为翌1 2 dxx仃単uxu，则 dxdux dx，代入上式，得dux 1 u dx分量变量，积分，通解为u Cx 1原方程通解为y Cx2 x4. 解齐次方程的通解为y Cx令非齐次方程的特解为y C(x)x代入原方程，确定出C（x）lnx C原方程的通解为y Cx+xl nxM 1N5. 解 因为y xx，所以原方程是全微分方程取（xo, y。）（10），

38、原方程的通积分为X Vy 3141xdx 0ydy C即ylnx 4v c三、求下列方程的通解或通积分1. 解当y 1时，分离变量得xdx等式两端积分得xdxCiIn 121 y2方程的通积分为Ce1 2x22xCie2C1y2 1Ce2 .解令y xu，则xdudx，代入原方程，得du 2 xudx当u 0时，分离变量，再积分，得IZdu2 u即通积分为:丄 ln|x| C u ,In x C3.解齐次方程的通解为3xy Ce令非齐次方程的特解为y C(x)e3x代入原方程，确定出原方程的通解为3xy CeC(x)i 2xe+ 5In x Ci 5x-e C5四.证明1.证明设yi（x）,

39、y2（x）是方程的两个解,则它们在（）上有定义，其朗斯基行列式为W(x)由已知条件，得W（x。）yi(x)yi(x)y2（x）y2（x）yi(x。)yi(x。)y2（X。）y2（X。）0yi(x。)0y2(X。)故这两个解是线性相关的.由线性相关定义,0存在不全为零的常数i，2，使得iyi(X)2y2(x)0 ,由于yi（x） 0，可知20 .否则，若0，则有 iyi(x)0,而 yi(x) 0，则 i 0,这与yi（x）, y2（x）线性相关矛盾.故y2(x)1 yi(x)2Cyi(x)2. 证明由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是（，）.显然，该

40、方程有零解y（x）0 .假设该方程的任一非零解yi（x）在X轴上某点X。处与x轴相切，即有yi（x。）yi（xo）=o,那么由解的惟一性及该方程有零 解y（x）0可知yi（x）0,x（,），这是因为零解也满足初值条件 yi（xo） yi（xo） = o,于是由解的惟一性，有yi（x） y（x） o,x （,）.这与yi（x）是非零解矛盾.常微分方程期终试卷（8）一、 填空（每空3分）1、 称为一阶线性方程，它有积分因子, 其通解为。2、函数f（x，y）称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果 。3、若Xi （t）, x2 （t）, & （t）为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条

41、件4、形如 的方程称为欧拉方程。5、若（t）和（t）都是x A（t）x的基解矩阵，贝y （t）和（t）具有的关 系：。詈 g（t；y）,（to；to，yo）yo的解存在且惟，则方程组6、若向量函数g（t；y）在域r上7、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部 ，零解是稳定的，对应的奇点称为 。求下列方程的解1、2(y 3x )dx (4y x)dy 0(6 分)2、ydx xdy (x2 y2 )dx(8 分)3、y2(y 1) (2y)2(8 分)4、dy y xy edx x(8 分)5、2t6x 5x e(6 分)6、(8 分)7、12x(8 分)三、求方程组的奇点，并判断奇点的类型和稳定性（8 分）dxdt2x 7yx 2y 5答案、 填空（每空4 分)dy1、形如dxP(x)yQ（x）的方程，eP(x) dx yP (x)dxP(x) dxe ( Q(x)e dx c)2、存在常数L 0 ,使得（xi, yj,区皿）R，有 f(x, yi) f(x,y2)L