基于学生经验理解“关系”、感悟“模型”——我的教学札记之七

1、基于学生经验理解“关系”、感悟“模型”我的教学札记之七案例：常见的数量关系路程、时间与速度教学思考： “常见的数量关系”是课标（2011版）中新增的教学内容。课标中的要求为“在具体情境中，了解常见的数量关系：总价=单价数量、路程=速度时间，并能解决简单的实际问题”。怎样理解这一要求呢？ “在具体情境中”这一前提条件说明教学不能离开具体的情境空谈数量关系，学习材料的选择要贴近生活，贴近儿童，密切联系学生经验。“能解决简单的实际问题”这一要求说明教学的重点在“关系”的理解与掌握。比如，路程、时间、速度是三个数量，而“路程=速度时间、速度=路程时间、时间=路程速度”则是它们之间的关系，这些关系彼此关

2、联，并可以相互转化。 更进一步思考，对“关系”具有统摄作用的是“模型”。速度是描述物体运动快慢的物理量，定义为路程和时间的比值，它离不开路程、时间。从数学模型的角度，它属于“乘法模型”，是“总数=每份数数量”关系的具体化（更高层面上看，就是“几个几相加”的乘法意义的具体化）。数学教学要体现模型思想，就是要落实“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”的教学理念。为此，一方面要将数量关系的学习建立在学生熟悉的经验基础之上，通过呈现富有启发性的现实情境，让学生用数学的眼光去寻找、发现数量之间的关系；另一方面，要基于数量关系来构建模型，感悟模型思想。片断一：联系“比快慢”的经验

3、，引出“速度”，感受“关系”。师：在我们生活中经常比快慢，以跑步为例，两个同学跑步要比快慢，怎么比才能知道谁快谁慢？生：都跑100米，看谁用的时间少。师：你的意思是跑同样长的路，比时间，我们把跑多远叫做路程。（板书：路程）课件演示：小红和小丽跑100米的情景（出示：路程相同，可以直接比时间）。师：生活中哪里经常用这种方法？生：体育比赛时，跑200米、400米、1000米等等。师：除了用这样的方法比快慢，还有其他的比法吗？生：时间一样，看谁跑得多。师：举个例子。生：都跑2分钟，一个跑300米，一个跑400米。师：也就是说，比快慢时，时间相同的话，只要比谁跑的路程远，谁就跑得快。课件演示：小红与小

4、丽跑的时间相同，跑的路程不同。（出示：时间相同，可以直接比路程）出示：喜羊羊和懒羊羊分别从家到学校去喜羊羊上学走了6分钟 懒羊羊上学走了4分钟师：你觉得他俩谁走得快一些？生1：懒羊羊走得快一些，因为他用的时间少。生2：不一定！有可能是懒羊羊家离学校近，喜羊羊家离学校远一些。师：生2说得有没有道理？生（异口同声）：有道理。师：也就是说，只知道时间还不能比出快慢来，还需要知道它们两家到学校的路程。（出示补充信息：喜羊羊从家到学校要走480米，懒羊羊从家到学校要走280米。）师：刚才我们比快慢，要先规定相同的路程或者相同的时间。现在路程不相同，时间也不相同，还能比吗？试试看。学生尝试计算。师：谁走得

5、快一些？你是怎么想的？生：喜羊羊走得快一些。因为4806=80（米）2804=70（米） 7080师：7080，他在比什么？你们看懂了吗？生：70是懒羊羊1分钟走的路程，80是喜羊羊1分钟走的路程。师：1分钟走70米是什么意思呢？我们可以在线段图上表示出来。（出示：用线段图来说明，突出平均分成6份或4份）师：我们通过计算、画图知道了喜羊羊1分钟走80米，懒羊羊1分钟走70米。他们谁走得快？生：喜羊羊走得快。因为都是1分钟，喜羊羊走得多。师：喜羊羊和懒羊羊上学走的路程不相同，走的时间也不相同，我们通过计算它们1分钟走的路程比出了快慢。像这样表示1分钟走的路程叫做“速度”，速度跟什么有关？生：跟路

6、程、时间有关。师：我们是怎么求速度的？生：路程时间=速度（板书） 思考：路程、时间、速度这三个数量中，速度是最难理解的，但却是最核心的。教学中，一方面把抽象的“速度”概念与熟悉的“比快慢”生活经验紧密联接，将学生对速度粗浅的、模糊的认识上升到数学高度；另一方面精心设置“认知冲突”，让学生从速度的计算中感受路程、时间与速度的关系。片断二：认识“速度单位”，理解“速度”，强化“关系”。出示：（1）“神十”飞船在太空中5秒飞行了约40千米，“神十”的速度约是（ ）。（2）张老师骑自行车，2小时行了16千米，张老师骑自行车的速度是（ ）。学生列式：405=8（千米），162=8（千米）师：大家是怎样计

7、算速度的呀？生：路程时间=速度师（故作惊讶地）：哎呀！我发现张老师骑车的速度真快呀！竟然和“神十”飞船的速度一样，都是8千米。生（笑）：不是这样的！“神十”飞船的速度是每秒8千米，骑自行车的速度是每小时8千米。师：但是黑板上写的都是8千米，怎么能区分清楚呢？生：写上时间。（板书：8千米/秒、8千米/时，并引导学生读一读。）师：仔细观察，你发现速度的单位与以前我们学过的单位有什么不同？生：速度单位是由两个单位组成的。师：哪两个单位？生：路程单位和时间单位。师：没错！速度单位是由长度单位和时间单位复合而成的，复合单位里的“/”也可以看成是“”。喜羊羊和懒羊羊上学走路速度的单位应该怎么写？（板书：8

8、0米/分、70米/分） 思考：速度单位和速度的意义紧密相连，因为速度是单位时间内运动的路程，所以速度的单位一般写作“长度单位/时间单位”的形式，这样的复合单位学生是第一次接触，需要结合具体情境理解。教学时，通过引导学生思考“两个答案都是8千米，是不是张叔叔骑车的速度与神十飞船的速度一样呢？”，由此引发学生产生新的疑问，产生强烈的区别这两个得数的需求。进而想到速度单位不能只用路程的单位来表示，它还与时间单位有关，因此要用复合单位才能准确地表达意思。这样的教学巧妙地突破了复合单位的难点，也进一步促进了学生对速度概念的理解。片断三：类比抽象，感悟模型，“升华”关系。师（指黑板上书写的“路程、时间与速

9、度”的三组关系）：它们之间有联系吗？为什么用速度和时间计算路程要用乘法？生：因为1分钟行多少米行的时间 = 行的路程。师：速度是每分、每秒、每小时行驶的路程，相当于每份有多少，时间相当于有几份，路程就是求几个几是多少，所以求路程要用速度去乘时间。出示：学数学长智慧的单价是12元，全班买30本，总价是多少元？师：如果把这道题看成是走路问题，谁相当于速度？谁相当于时间？谁相当于路程？你是怎样想的？生：单价相当于速度，因为它是每份的钱；数量相当于时间，因为它表示几份；总价相当于路程。师：应该怎样列式呢？生：1230=360（元）师：好多数学知识之间都有着密切的联系，带着联系的眼光学数学，会让我们把复

10、杂的问题变得越来越简单。 思考：教师引导学生“回顾与反思”，寻找知识之间的联系，并将学生熟悉的价钱问题“转换”成走路问题，这就使得“路程、时间、速度之间的关系”具有了数学模型的价值，能够用来解决一类具有相同结构的数学问题。教什么？怎么教？ 听课随想之五案例： 下面记述的是一节四年级科学课“声音是如何传播的”的教学流程：一、引入。 1、呈现上节科学课上一个小组的研究报告“你可以用什么方法产生声音？”，全班交流。时长大约2分钟。 2、教师演示：尺子放在讲桌面上，露出桌面外的长短不同，用手下按尺子再放手，让学生观察产生声音的不同。时长大约2分钟。 3、情境引入：学校食堂、走道上安装的“噪音测量仪”，

11、为什么一走近发出声音，测量仪上面的数字就发生变化了呢？师生交流：声音震动引起测量仪上的数字发生变化 质疑：如果测量仪安装在月球上，有人在旁边大声喊，测量仪上的数字会有变化吗？ 引出：声音需要空气帮着传播。二、展开： （一）探究活动一 1、（呈现）猜想：空气如何帮助我们传播声音？ 活动小组通过实验探究敲击音叉后放入水中，发现产生了波纹，证明声音是以“波纹”的形式传播。 师举例：小青蛙跳到水中，波纹向四周扩散。 2、全班交流 师：你发现了什么？（生：有波纹）（二）探究活动二 1、（呈现）声音可以在气体中传播 猜想：声音也可以在液体和固体中传播 师让生举例说明，学生有困难。 生：手拍水的声音（注：此

12、例不能说明问题。能听到手拍水的声音，只能说明声音是在空气中传播的，不能说明声音在液体中传播。说明学生并没有想明白“验证猜想的方法”。） 师演示：把一个开着的收音机装入塑料袋中，再将塑料袋放入水中，仍然能听到收音机发出的声音。（三）探究活动三 1、师：声音在气体、液体和固体中传播，哪个最清晰？有依据吗？ 随学生说出不同的想法，师板书：假设1、假设2、假设3（学生的想法三种情况都有） 2、师生交流试验的设计方法后，学生小组探究，并填写试验报告单：（1）你的假设是什么；（2）试验结果是什么？（3）你有什么新发现？ 3、全班交流，由于实验条件和试验方式的粗放，试验结果千差万别，学生意见不一。 4、师让

13、一名学生到讲台前和教师一起做试验的示范，讲试验的注意事项。（滞后，应放在小组探究试验前进行） 5、引导反思：结论是固体传播声音效果最清晰。可是我们的试验结果却五花八门，这是为什么呢？ 生的回答照例五花八门，师说明“有干扰因素”。三、应用拓展： 1、引申：借助工具听一个人的心跳声，有什么好办法？（生：用听诊器） 2、质疑：能否做一个听诊器？ （呈现）拓展试验：固体物质传声试验测试，包括：你的假设、试验设计、你的结论 （下课）思考：1、探究活动是指向“结论的得出”？抑或其它？（为什么而教？） 小学科学课程标准（2011版）以培养学生科学素质为宗旨，实施探究式的科学教育，通过引导学生体验科学探究过程

14、，初步形成对科学的认识，学生要在探究过程中理解科学概念，掌握科学方法，培养科学态度。具体到本节课的核心目标应该是：经历科学探究过程，知道“声音通过固体传播更清晰”。科学结论的得出一定是在非常精细的试验环境下，排除了各种干扰变量，经过多次精密试验才获得的。仅靠课上粗陋的试验材料和环境是无法得出科学结论的，探究学习的目的更在于让学生亲身经历探究性学习活动，使他们像科学家那样进行科学探究，体验学习科学的乐趣，增长科学探究能力。 2、教学中设计了三个“探究活动”，哪个是目标达成必须的？（教什么？） 教什么一旦确定，怎么教的问题就迎刃而解了。教学内容切忌“广而浅”，宜“精而深”。应该围绕这节课的核心目标

15、“声音通过固体传播比通过气体或液体传播更清晰”，设计有意义的探究活动。从上述案例可见，“探究活动三”与核心目标的关联性更大。 3、以怎样的路径展开教学？如何知道学生的探究性学习？（怎么教？） 探究性学习不仅要模拟科学探究之“形”，更要渗透科学探究之“神”。组织学生探究学习的基本步骤为：一、提出或生成问题；二、围绕问题，提出和形成假设；三、收集证据，形成解释；四、交流和评价。这几个环节也可以看作是几个要素。这其中既有学生对现象、事件和观点的质疑，对问题的自由行探索和观察实验的自主性设计，也有教师对学生探索的智慧性启发和引导。包括教师的示范和与学生的互动，以及组织学生和学生之间的讨论和辩论，将学习

16、引向深入。重建： 一、情境引入。 呈现学校楼道或食堂的“噪音测试仪”图片，引出问题：从测试仪旁经过的人发出的声音能引起“测试仪”上的数字发生变化，为什么？ 引出：声音通过空气传播到了“测试仪”，才能测出声音。 引申：在太空中的“神舟十号”飞船里，航天员是如何交流的？别人说话能听到吗？（增长见识） 二、探究活动 1、基于问题提出假设 （1）质疑：声音可以在液体或固体中传播吗？ （2）引出猜想：通过哪种介质传播最清晰呢？ 2、自主设计试验方案 讨论：试验步骤、试验方法、注意事项等。 在相关环节，可适当安排“师生示范”。 3、收集证据形成解释 学生分组试验，教师巡视指导。 4、交流和评价 介绍科学家

17、们是在什么环境和条件下研究“声音的传播”的，开阔视野，增长见识，使学生体验到科学结论得出所经历的严谨试验论证的过程。 三、应用拓展 介绍试验得出的科学结论在工作生活中是如何应用的（如医生用的听诊器等），让学生体会科学的价值。“学得有效”离不开教师的价值引领以“认识分数”教学片断为例 好的课堂要让儿童的学习看得见。也就是说，要让人看到学生在学习过程中遇到什么困难或提出什么问题，看到老师是如何把不会的学生教会，看到学生如何经过自己的思考和探究解决问题，经过自己的努力学会知识、学会思考的，要让人感受到学生在变化、在提高、在进步。可见，有效的教学是围绕着学生的学习展开的，课堂应该由“教得精彩”向“学得

18、有效”转变。但是，学生的数学学习是“有指导的再创造”，有效的教学活动一定是学生学与教师教的统一，“学得有效”离不开教师的价值引领。案例：“分数的初步认识”教学片段 师：刚才我们一起认识了1/2，你还想认识几分之一？ 学生汇报，教师板书。 师：同学们桌上有一些图形纸片，你能利用这些图形纸片表示出自己想认识的几分之一的分数吗？ 学生自主动手折纸、涂色，表示出图形的几分之一。 师：你表示出了几分之一？你是怎样认识这个分数的？ 学生汇报交流。 师：有没有谁认识了1/100这个分数？ 生：没有。 师：那如果我想认识1/100，还需要折纸吗？可以怎么办？ 生：不需要折纸，我们只要想把图形平均分成100份，

19、每一份就是它的1/100。 师：那如果我想认识1/101呢? 生：只要把图形平均分成101份，每一份就是它的1/101。 师：回顾刚才认识的过程，想一想怎样就能得到几分之一的分数？ 思考：折纸活动以一种直观的方式，既可以帮助学生得到一些分数，又可以使学生感悟分数的产生。但折纸也有其“局限性”，诸如分母是奇数或者分母比较大的分数时，“折”的受困就成为学生认知的羁绊。其实，折纸活动不是最终目的，重要的是通过折纸活动给学生搭建认知突破的台阶。直观只是一个手段，不管分数能不能通过折纸直观地表示出来，更本质的应该是分数的意义和内涵。 “教师的工作是通过向学生问他们应当自己问自己的问题来对学习和问题解决进

20、行指导。”教学中，教师巧妙借助于1/100和1/101两个分数，使学生深入认识到：折纸的方便与否并不影响分数的得出，只要“把一个物体或一个图形，平均分成几份，每一份就是它的几分之一”。正是有了教师在关键的学习点处追问和质疑，增强了学生的概念性的理解。学生对分数的认识逐步从直观中“剥离”，进而走向抽象，有效实现对分数意义的深度建构。想学生所想 研教学之法 “平行四边形的面积”教学片断与思考（已发表） 建构主义认为，知识不是通过教师传授得到的，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得的。那么，面对新的知识，学生到底

21、是怎样进行意义建构的？达成意义建构的内因和外因是什么？在学生意义建构过程中会碰到哪些困难？教师和同伴应该提供怎样的帮助显然，加强对学生数学学习心理和思维过程的研究有助于我们正确回答这些问题。就“平行四边形的面积”的教学而言，本课要解答的无非是这样的问题：平行四边形的面积公式是什么，不是什么？平行四边形的面积为什么是“底高”，为什么不是“底邻边”？而学生在学习的过程中，一直在想的或许也是这些问题（当然也可能只是其中的某个问题）。教学就要基于学生的这种真实思维而展开，想学生所想，研教学之法，才能促进有效建构。教学片断一： 首先，在无提示的状态下让学生自主尝试计算平行四边形纸片的面积，学生的想法大致

22、分为两种情况：一种是用“底高”计算，另一种用“底邻边”计算。接着，引导学生借助“数方格”的方法验证这两种算法，发现 “底高”的计算结果是正确的，而“底邻边”的结果是错误的。然后，教师组织全班同学交流想法： 师：平行四边形面积用“底高”来计算，到底有什么道理呢？ 生1：因为把平行四边形沿着高剪下一个三角形来，拼到另一边，就可以变成一个长方形。长方形的长就是平行四边形的底，长方形的宽就是平行四边形的高，它们的面积是一样的 （教师利用黑板上的图，请学生上前剪拼，告知这叫“转化”，并引导学生理解这些联系，最后得出“底高”实际上就是“长宽”，算的是剪拼后的长方形的面积，也就是原来平行四边形的面积。） 师

23、：用转化的方法，我们可以把没学过的知识变成已学过的知识，从而解决问题，这是学习数学的一种重要方法。 生2：老师，我也是把平行四边形转化成长方形的呀！（迫不及待地跑上前，拿起平行四边形框架，把它推拉成了一个长方形。）这个底边就是长方形的长，邻边就是长方形的宽，“底邻边”不就是“长宽”吗？怎么不对呢？ （看到这一幕，不少同学也都面露困惑之色。） 师（故作疑惑）：是啊，像他这样，把平行四边形拉成长方形，也是转化成长方形，怎么就不对呢？问题到底出在哪儿呢？ （教师把长方形框架贴在黑板的平行四边形图片上） 教室里短暂的静寂之后 生3：啊，我发现了！像他这样拉成长方形后，面积比平行四边形变大了。 生2（还

24、是一脸困惑）：怎么会变大呢？一样大呀！ 师：把平行四边形推拉成长方形以后，变大的部分在哪里，你能不能上来指出来？ （生3上前指出变大的部分，教师协助生3用剪刀把平行四边形纸片剪拼成了一个长方形，并与长方形框架比较。使学生直观地看出这样转化之后，“底邻边”算得的面积比平行四边形大了，面积发生了变化。同学们都恍然大悟，认可了“推拉成长方形后面积发生变化”的结论。）师：想一想，“底邻边”计算出的是谁的面积？ 生：是转化后的长方形的面积，不是平行四边形的面积。 师：说得真好！与前面的“剪拼转化后面积不变”不同，这样的“推拉”转化之后，平行四边形的面积发生了变化。但是，这个转化中，有一样东西也是不变的，

25、你看出来了吗？ 生：平行四边形四条边的长度没有变。 师：也就是周长没有变，但是面积却变了。看来，在运用转化的方法时，我们要想清楚，转化之后，变的是什么，不变的是什么。思考： “知其然，更要知其所以然”，我们往往理解为“帮助学生知道这样是对的，并通过教学展开明白为什么这样是对的”。由于数学答案非此即彼，具有答案的唯一性。所以我们通常用对的去否定错的。而对于为什么错？错在什么地方？错误是否可以被利用或转化？关于这方面的思考经常被我们所忽略，导致学习体验流于肤浅，不利于意义建构的达成。 其实，澄清错误比建立正确认识更重要。在上述教学中，教师不急于引导学生对正确情况的接受，而更多地让学生自己在尝试解决

26、问题的过程中发现问题，产生矛盾冲突，并引导学生参与对问题和错误的剖析。平行四边形面积为何是“底高”，为何不是“底乘邻边”？同样是转化为长方形来思考，为何前者是对的，后者却又不对了？疑问的解答，需要的是观察、比较、分析等充满挑战性的过程，在这样的过程中，学生一步步澄清平行四边形的面积“是什么，不是什么”，明白“这样才是正确的，那样为什么是错误的”，就会获得真正的数学理解，推理能力也能得到有益的发展。教学片断二： 师：平行四边形拉动可以变成长方形，反过来，长方形拉动也可以变成平行四边形。现在有一个长10厘米、宽6厘米的长方形框架，拉动它，它会变成怎样的平行四边形？ （课件演示框架的拉动，让学生通过

27、直观比较，发现高肯定小于6厘米。继续演示高不断变小依次得到的几个平行四边形，如下图，每步都组织学生说出高是多少并口算出面积，教师在表格中记录数据。）底高平行四边形的面积10550103.838102.525101.111 师：观察这些图形和数据，你有什么发现？ 生1：我发现高不断变小，面积也在不断变小。 生2：我发现平行四边形的周长没有变。 师：想一想，到底是什么造成了平行四边形面积的变化？ 生：是“高”的变化造成的。 师：如果继续往下拉，平行四边形的面积将会怎么变化？ 生：面积将会变得更小。 师：拉到什么时候，平行四边形面积最大？ 生：把它再拉成长方形，面积最大。 师：这时候，平行四边形的高

28、就是长方形的 生：宽 师：在底边长度不变的情况下，平行四边形的面积随着高的变化而变化。在这个过程中，还有一样东西也一直在变？你发现了吗？ 生：两条邻边的夹角也一直在变。 师：其实，正是因为两条边之间夹角的变化，才引起了高的变化和面积的变化。现在我们知道了计算平行四边形的面积应该用“底高”，而不是“底邻边”计算。等将来我们上了中学学习了三角函数的知识之后，用两条邻边的长度和这两条边夹角的正弦值相乘，也可以计算平行四边形的面积。也就是说，用邻边相乘不是不可以，只是还缺少一个条件。思考：通过把平行四边形不断“拉扁”，引导学生逐步了解高与面积之间的内在联系，理解高对平行四边形面积的影响，在让学生获取知

29、识的同时，悄然无声地渗透了函数思想。引入“利用两条邻边的长度和夹角计算平行四边形的面积”的介绍，一方面可以使学生清楚地知道“用邻边相乘不是不可以，只是还缺少一个条件”，为学生的后续知识的学习铺好了一条路子，另一方面也再次明晰了“底高”的正确算法，巩固了新知，。教学片断三： （出示）有一个长10厘米、宽6厘米的长方形框架。 师：如果将它拉成高是5厘米的平行四边形（如下图所示），面积减少了多少平方厘米？ 学生独立思考、解答后，全班交流： 生1:用长方形面积减去平行四边形的面积，106105=10（平方厘米） 生2：我是这样想的，（跑上前指出图中减少的部分面积）从图上可以看出来，减少的面积就是上面那

30、个小长方形的面积，所以还可以用10（65）=10（平方厘米） 师：减少的面积其实就是图上面那个小长方形的面积，它的长是10厘米，宽就是长方形的宽减去平行四边形的高，65=1（厘米），101=10（平方厘米）。 思考： 学生学习过程中数学思维的发展与教学设计提供的情境和材料密切相关。通过解决“推拉成的长方形比平行四边形面积大多少？”的数学问题，再次对比长方形与平行四边形面积的计算方法，使“推拉转化后，面积发生变化”的表象得到强化，进一步澄清学生潜意识中“平行四边形的面积 = 底边邻边”的错误认识。在不断地对比、交流过程中，错误经验得以纠正，模糊认识得以澄清，数学思维得以发展，创新意识和学习能力得

31、以提升。巧设情境 化难为易 “除数是两位数的除法”教学片断与反思 （已发表）“除数是两位数的除法用四舍五入法试商”是人教版四年级的一节内容，这是学生第一次接触“用四舍五入法”试商，承上启下，地位很重要。通过学前调研，我们发现学生学习新知的主要障碍集中在“把除数用四舍五入法取近似值”后，“商要乘除数的准确值还是近似值”。怎样唤起学生对计算学习的兴趣，帮助学生突破这一学习难点呢？我们做了如下尝试。教学片断：师：顾老师到商场买魔方，发现有三种，价格分别是20元、31元、38元（显示：魔方图片）。顾老师带了170元钱，大概能买几个31元的魔方呢？学生独立计算，全班交流。师：谁能结合买魔方的事情说一说是

32、怎么算的？生1：我先把31元看成30元，如果商6的话就要180元了，钱就不够了，所以商5，5乘31得155，170减去155剩下15。师：谁听明白了？她为什么要把31元看成30元？生（齐）：这样好算。师：确实是这样，用“四舍五入”法把31看成30，算起来简便多了。生2：我是先看170的前两位，发现不够除31，就把31估成30，170里面最多有5个30，所以商5，再算31乘5得155，最后余15。师：听明白她的意思了吗？生1和生2这两位同学的算法有什么相同之处？生3：他们都是先把31看成30，再商5，然后用5乘31得155，170减155余15。师：这两位同学的算法都是正确的。我刚才发现有同学这

33、样计算（投影显示错误做法），商5，5乘30得150，余数是20，他错在哪里呢？生4：他是用商5去乘估计的数30了。生5：后来应该是精确算而不是估算，应该用5去乘31等于155。生6：如果5去乘30的话题目就变成170除以30了。师：想一想，顾老师买5个魔方，付钱的时候，是去付5个31元呢，还是付5个30元？生（齐）：肯定是5个31元喽。师：如果我付5个30元，如果你是收银员，你会同意吗？生（齐）：不会。生7：除非商场搞促销。（众笑）师：是的，我去付钱的时候要付5个31元。所以，商5要去乘31，而不能去乘30。生8：老师，我想补充一下，我们把31元估成30元是为了好算商，接下来的商还是要去乘原来

34、的准确数的。师：说得真好！计算出结果后，我们还可以通过验算来检查得数是否正确，请你验算一下。学生独立验算，一生板演，全班交流。师：315表示什么？生（齐）：5个魔方的价格。师：也就是买这些魔方要付出去的钱。那15呢？生1：170元买了5个31元的魔方余下来的钱。生2：表示找回了15元。师：找回的钱加上花去的钱得170元，就是老师带的钱数。170元能买5个31元的魔方还剩下15元。假如老师要买38元一个的魔方，又能买几个呢？你会算吗？试试看。学生独立计算，个别板演，全班交流。（师巡视时发现已经没有学生用40去乘商4的了。）生1：我先把38元看成40元，170除以40商4，再4乘38得152，余1

35、8元。师：很好，剩下18元。那这152表示的是什么呢？生2：表示的是买4个38元魔方的钱。（在算式的152旁边板书438）师：哎，有没有谁付钱的时候是按照40元一个付给营业员的呀？生（齐）：没有。生3：那不是给营业员小费了嘛。（众笑）反思： 算理是计算的原理和根据，算法是计算的基本程序和方法，算理不清，算法难以牢固；算法不明，计算技能难以形成。但是，在实际教学中，或者不少教师不重视学生探索如何计算的过程，或者当学生刚刚探索出方法后，教师就立即引导学生总结计算法则，在对算法还未真正内化的情况下，教师又开始引导学生大量练习。这样仓促地同时完成几个内容的教学，就可能造成学生因为没有真正理解每一步计算

36、的道理就只好死记住算法了。再加上教师又没有在后面的练习中，注意促进学生在记忆基础上再次理解，学生产生“老师让我们这么做就这么做”的想法就不足为奇了。为避免出现这种“未理解，先熟练”的状况，教师不仅要让学生知道该怎么计算，而且还应该让学生明白为什么要这样计算，在理解算理的基础上掌握运算法则。 作为沟通学生的经验世界与数学世界的桥梁情境，尤其是现实情境，无疑对学生理解算理、掌握算法极有裨益。在上述教学中，教师在深入研究知识的发生、发展过程的基础上，注重凸现现实情境背后所隐含的与计算内容相关的数学线索，借助实际生活中的“买魔方”付款问题，使抽象的知识成为学生熟悉的事物，使学生看得见、摸得着。通过“1

37、70元钱能买几个31元的魔方？”“找回多少钱？”“能买几个38元的魔方？”等问题的讨论，引发学生的认知冲突从而引起内在的数学思考，学生结合现实情境更深刻地理解了“应该去乘准确值而不应乘近似值”的道理，很好地突破了教学难点。同时也增强了对数学的亲切感，在学生眼里，数学与他们的生活息息相关，而不再是一大堆毫无实际意义的枯燥符号，这也大大激发了他们的学习兴趣。教学就是涤荡学生的思维特级教师牛献礼探究计算中的规律赏析杭州市安吉路实验学校 牛献礼南京东方数学教育科学研究所 陈今晨 （已发表）片断一：口算导引。 1/2+1/4 2/5+1/5 1/4+1/8 4/7+2/71、逐一出示，学生口算。2、提问

38、：你发现这些算式有什么特点了吗？生1：都是加法。生2：两个分母之间有倍数关系，4是2的2倍，8是4的2倍。生3：第一个分数是第二个分数的2倍。小结：都是两个分数相加，前一个分数是后一个分数的2倍。（板书：分数相加，前一个分数是后一个分数的2倍）【赏析】教者极富教学思想，自觉开发课程资源，编创教材，引导学生在有关分数计算中积极探索规律。备课设计从分数口算题开始，明确地把经历猜想和验证的过程，运用转化和数形结合的思想方法，引导感悟和探究计算中的数学规律作为教学目标，表现了教者坚持课改理念高度的自觉性、课堂设计强烈的意识性和教材组合极大的灵活性。片断二：猜测验证。1、引导扩展算式。师:符合这个特点的

39、算式我们可以写得更长一些。师生对话引出： （1）1/2+1/4+1/8（2）1/3+1/6+1/12+1/24 （3）1/4+1/8+1/16+1/32让学生计算上述算式（1）,然后汇报。1/2+1/4+1/8=7/82、组织探究发现。师：这种方法是将异分母分数经过通分转化成同分母分数计算。（板书：转化）请大家再仔细观察这个算式和得数，你又有什么发现？生1：和的分母是最后一个分数的分母，分子比分母小1。生2：最后一个分数+得数=1师：最后一个分数+得数=1。想一想：要求得数，有没有更简便的算法呢？ 生3：可以用1减去1/8来算。3、借助图形理解。师：到底可不可以这样算呢？我们可以借助于直观的图

40、形来帮助我们理解。动态出示上图，引导学生明白：换个角度想，可以把计算几个部分的和转化成求一个正方形减去空白部分所得的差。（板书：求和 求差）板书：1/2+1/4+1/8=11/8=7/84、深入观察猜想。师：我们可以大胆地猜想一下：计算这类前一个分数是后一个分数的2倍加法算式的和,有没有什么规律？结合学生回答，投影呈现：“有人说：几个分数相加，如果前一个分数是后一个分数的2倍，求它们的和，只要用1减去最后一个分数就行了。”你认为这种说说法对不对？你将用什么方法证明你的结论？生1：可以举例子，来算一算。师：用什么方法算呢？生1：用通分的方法算，再用猜想的方法算。师：然后呢？生1：再比较这两个得数

41、是不是一样。如果一样，说明猜想是正确的；如果不一样，说明是错误的。师：谁听懂他的意思了？生2：他的意思是说，分别用通分的方法和猜想中的方法算出结果，比较两个结果是否相同。师：生1介绍了一个好方法，生2听得很认真，也很会表达。好，我们就用“举例子”的方法来验证一下这个猜想是否正确。学生独立思考，举例验证，全班交流。建议学生用上述算式（2）、（3）为例或举其它例来验证,发现这一猜想错误。显示：在数学上，我们要证明一个说法是不对的，只要举一个反例就可以了。师：看来这个猜想并不具有普遍性，有些题目符合猜想，有些题目不符合猜想。要想找到普遍性的规律，还需要我们进一步观察和探究。【赏析】对学生的诱导层次性

42、很强先是对已有几道算式特点的归纳概括；再有类推迁移扩展算式强化特点；接着强调通分体现转化思想，诱导对算式与得数间联系的发现；继之运用数形结合的手段动态地表征算式；验证中举出反例否定猜想。这些拾级而上的数学学习活动引领，都是围绕着创设猜想的氛围，为促成学生深入观察，大胆猜想，小心验证做足铺垫。片段三：再猜测再验证。师：我们还是借助于直观的图形来帮助我们找找猜想错误的原因。逐步出示上面两个例子的正方形图。 图一 图二师：既然刚才的猜想不是规律，那么规律到底是什么呢？哪位同学能借助图形来说说自己的发现？生1：（边指着图一边讲想法）我发现可以先把最右边空白部分1/24当成涂色部分，1/6 +1/12

43、+1/24 +1/24=1/3，这样涂色部分就是2个1/3，但是因为多加了一个1/24，所以需要再减去一个1/24。1/3+1/6+1/12+1/24=1/3+(1/31/24)=1/321/24=5/8生2：（边指着图二边讲想法）我的想法跟生1差不多。可以先把最右边空白部分1/32当成涂色部分，1/8 +1/16 +1/32 +1/32=1/4，这样涂色部分就是2个1/4，但是因为多加了一个1/32，所以需要再减去一个1/32。1/4+1/8+1/16+1/32=1/4+(1/41/32)=1/421/32=15/32师：大家明白他们的想法吗？有没有道理？我们在图形的帮助下不但找到了错误的原

44、因，而且还发现了正确的算法。那么，受到刚才计算方法的启发，现在你能不能再次大胆猜想一下：计算“几个分数相加，前一个分数是后一个分数的两倍，求它们的和”，怎样算比较简便？生3：几个分数相加，如果前一个分数是后一个分数的2倍，求它们的和， 只要用第一个分数的2倍减去最后一个分数。投影显示：“有人说：如果前一个分数是后一个分数的2倍，求这样一组分数的和，只要用第一个分数的2倍减去最后一个分数。 ”你认为这个人说得对不对？你有什么方法证明你的想法？师：如果要证明一个说法是错误的，只需要举出一个“反例”就可以了，如果要证明一个说法是正确的，需要举出几个例子呢？生1：多举几个例子，越多越好。师：但是例子是

45、举不完的呀？生2：我觉得可以举一些特殊的例子。 师：有道理，尽量多举一些例子，举一些典型型的例子，比如举一些开头的分数不是几分之一的分数。学生举例验证，发现猜想二都是正确的。（投影）显示“猜想一”和“猜想二”师：比较这两个猜想，它们之间有联系吗？结合学生回答，小结：猜想一仅仅是猜想二的一种特殊情况，猜想一并不具有普遍性，猜想二才具有普遍性。因此，猜想二才是规律。【赏析】光有验证中的否定猜想还是不够的，还得有通过验证获得证实的情形，这样学生对猜想的正反面验证经历才能完整。教者点拨学生的思路先行探究猜想遭受否定的原因，修正自身的主观猜想，发现更为一般的规律表述，进入再验证过程。如此的循环往复，突出

46、了猜想与验证之间认识发展的辩证过程，使得学生对探索规律经历的过程体验涵盖了更强的普适性。片断四： 反思建构。1、运用。计算：1/4+1/8+1/16+1/32+1/1024学生口答，集体反馈。2、反思：师：在学习过程中善于反思和总结的人进步最快。通过这节课的学习同学们静静地想一想：（1）这节课我们得出了什么结论？（2）我们是怎么得出这个结论的？归纳：猜想验证再猜想再验证，用到了“数形结合”和“转化”的方法（板书）。（3）你还能提出新的猜想吗？生1：这是几个分数相加，如果是整数呢？有没有这个规律？生2：如果是小数呢？生3：如果是几个分数相减呢？有没有类似的规律？生4：如果几个分数相加，前一个分数

47、是后一个分数的3倍，是不是得用第一个分数乘3再减最后一个分数呢？师：同学们提出了许多很好的猜想，是否正确呢？还需要生（齐）：仔细验证。师：对。大科学家牛顿有句名言:“没有大胆的猜想，就没有伟大的发明和发现。”历史上，很多著名的数学结论都是从猜想开始的，都是经过了“大胆猜想,小心求证”的过程,我们可以用这节课中学到的思想方法去探究更多的数学规律。【赏析】将经过验证而获得证实的规律性认识，让学生再通过一定的计算运用以求进一步确证，并体验掌握规律后的便利，同时也作为了引发学习反思和总结的中介。设计的三个提问，恰到好处地引导了学生的思维方向，成就了课堂认知明确而扼要的成果检阅，既发挥了学生课堂总结中的

48、主体性，也提升了他们认知的概括性。引用世界著名大科学家牛顿的名言作结，能够激发学生对数学规律后续的进一步探究兴趣，预留了可持续发展的巨大空间。【总评】 牛献礼同志作为全国著名特级教师，应邀在成都所做的这一节成功的公开课，展示了多方面的课堂精彩： 1、积极践行开发课程资源的自主精神。探索规律是数学课程标准新增的内容，培养学生探究发现的创新学习品格是素质教育中的课改最强音。教者选取这一要点，参照诸多版本教材，不拘一格地从远道借班观摩教学的实际出发，自我开发创编教学内容，使得切入容易，最终实现了课堂的务实求真，灵活执教，顺利软着陆，很好地达成了课堂目标。 2、数学课堂紧抓对学生思维的生动导引。从四道

49、简单分数口算题，安排让学生扩展，经过计算、探究、发现，引导学生的大胆猜想，明白地表达交流对算式蕴含规律认识的“毛坯”，继之再经历“小心求证”验证过程的精雕细刻，既证伪，修正猜想；又证实，应用规律，引领学生在探究的途程中登堂入室，渐入佳境，成就思考的精致上品。其间学生思考的快乐、发现的乐趣、成功的体验全凭教者恰当的思维领导。 3、统筹兼顾数学课堂教学的多方面要求。从这一课的教学，我们可以窥测到教者教学中的教育思考，不但让学生获得对所授算式的规律认识，还着意养成学生思考探究的科学精神和科学态度，以及形成良好的学习习惯“善于反思和总结的人进步最快”；提升学生的一般探究思路“猜想验证再猜想再验证”；不

50、但着眼于学生当前的认知建构，还蓄意于学生的长远发展“我们可以用这节课中学到的思想方法去探究更多的数学规律”。其间，转化的思想方法、数形结合的思想方法、修正猜想逼近客观、获得确证的思想方法等都使得本课教学定位丰满、饱满，全方位收益。 4、充分显露了教者高妙的教学素养和优势。教学用语，要言不烦，简朴明确；备课教案，转述环节，简洁扼要；教学手段运用板书、图示、投影，通俗从众；教学信息，少而精致，不满不溢，留有余地。当然，从练习效率角度着眼，反思建构阶段的运用环节仅安排了一道题似乎数量少了点，可以视课堂进程而定，预留三五道同类题渐次而出，让学生举一反三，强化运用规律的心理愉快体验，熟化运用规律的解题技

51、能技巧。更有甚者，还可留置另一规律探索的算式题，让学生自我探索，猜想验证，重新自我走实探究规律的一般道路。 教者反思： 缘起：本节课是自己开发的一节“数学活动课”，缘起于与学生交流探讨“1/2 +1/4 +1/8 +1/16 +1/32 +1/64”这道数学题目的解法。在与学生交流互动的过程中受到启发：能否以此题为依托，充分展现知识的发生、发展过程，进而将其开发成一节数学课呢？于是，几经思考、几经打磨，就有了上面这节课的设计。 思考：学生学习数学，获得必需的数学知识和技能当然是重要的，但不应是惟一的目的。学习数学要学会用数学的视角看世界，用数学的方法去认识客观世界中各式各样的事物，学会通过数学

52、思考去把握千变万化的现象。因此，教师应在比较宽的视野下看待小学数学教学，不仅考虑显性的知识，更要充分挖掘教学内容蕴涵的数学“大思想”，以及教学内容对于人的发展所具有的教育价值：应用价值，思维价值（数学思想方法、研究问题的方法等等），情感态度价值，并将其作为教学目标落实在课堂上。 基于上述想法，制定了本节课的教学目标如下： 1、以“前一个分数是后一个分数的2倍的分数加法算式求和”这一知识为载体，运用“转化”和“数形结合”的思想方法，使学生经历“猜想、验证、再猜想、再验证”的科学探究过程，体验数学规律形成的过程，感悟探究数学规律的一般方法。 2、在探索计算规律的过程中，培养学生主动探索与思考的习惯和大胆猜想、仔细验证、实事求是的科学态度。 由上述目标可见，本节课的重心不在于多练习几道题目，追求“计算规律”的熟练应用，而重在引导学生充分经历一次涤荡思维之旅。在这四十分钟时间里，让学生在与老师、与同伴充分互动交流的过程中，体验发现的乐趣、探索的艰辛、错误的困惑，体验“柳暗花明”时的喜悦和“恍然大悟”后的快乐。也期望在这节课中，学生收获的不只是教学的知识和结论，更重要的是让学生初步掌握数学探究的一般方法，体悟老师苦心传递的“数学观”。我想，这种数学思想方法的渗透和数学观念的传递可能会比知识和