(播放版)第7章一阶电路和二阶电路的时域分析 (2)

1、2021-6-1 1 第七章第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析一阶电路和二阶电路的时域分析 1.换路定则和电路初始值的求法；换路定则和电路初始值的求法； 2.掌握一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响掌握一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响 应的概念和物理意义；应的概念和物理意义； 3.会计算和分析一阶动态电路会计算和分析一阶动态电路(重点是三要素法重点是三要素法)； 4.了解二阶电路零状态响应、零输入响应、全响应了解二阶电路零状态响应、零输入响应、全响应 的概念和物理意义；的概念和物理意义； 5.会分析简单的二阶电路；会分析简单的二阶电路； 6.会计算一阶电路的阶跃响应、冲激响应；会计算

2、一阶电路的阶跃响应、冲激响应； 7.会用系统法列写简单的状态方程。会用系统法列写简单的状态方程。 内容提要与基本要求内容提要与基本要求 2021-6-1 2 重点重点 (1)动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定；动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定； (2)一阶电路时间常数的概念与计算一阶电路时间常数的概念与计算 ； (3)一阶电路的零输入响应和零状态响应；一阶电路的零输入响应和零状态响应； (4)求解一阶电路的三要素法；求解一阶电路的三要素法； (5)暂态分量暂态分量(自由分量自由分量)和和(稳态分量稳态分量)强制分量概念；强制分量概念； (6)二阶电路的零输入、零状态和全响应的概念

3、；二阶电路的零输入、零状态和全响应的概念； (7)二阶电路的方程和特征根、过渡过程的过阻尼、二阶电路的方程和特征根、过渡过程的过阻尼、 欠欠 阻尼及临界阻尼的概念及分析；阻尼及临界阻尼的概念及分析； (8)二阶电路的阶跃响应。二阶电路的阶跃响应。 2021-6-1 3 难点难点 (1)应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建 立动态电路方程；立动态电路方程； (2)电路初始条件的概念和确定方法；电路初始条件的概念和确定方法； (3)二阶电路的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼放电过二阶电路的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼放电过 程分析方法和基本物理概念。程分析方法和基本

4、物理概念。 与其它章节的联系与其它章节的联系 本章讨论的仍是线性电路，因此前面讨论本章讨论的仍是线性电路，因此前面讨论 的线性电路的分析方法和定理全部可以用于本的线性电路的分析方法和定理全部可以用于本 章的分析中。第章的分析中。第9章讨论的线性电路的正弦稳态章讨论的线性电路的正弦稳态 响应就是动态电路在正弦激励下的稳态分量的响应就是动态电路在正弦激励下的稳态分量的 求解。求解。 2021-6-1 4 7-1 7-1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 自然界事物的运动，在一定的条件下有一定自然界事物的运动，在一定的条件下有一定 的稳定状态，当条件发生变化时，就要过渡到新的的稳

5、定状态，当条件发生变化时，就要过渡到新的 稳定状态。从稳定状态。从一种稳定状态一种稳定状态转换到转换到另一种新稳定状另一种新稳定状 态态时，往往不能跃变，而是需要一定的时间，或者时，往往不能跃变，而是需要一定的时间，或者 说需要一个过程，在工程上称为说需要一个过程，在工程上称为过渡过程过渡过程。如：冰。如：冰 融化成水、汽车的加速与减速等。融化成水、汽车的加速与减速等。 引引 言言 电路中也有过渡过程，电路的电路中也有过渡过程，电路的过渡过程有时过渡过程有时 虽然短暂，但在实践中却很重要。虽然短暂，但在实践中却很重要。 2021-6-1 5 例：电阻电路例：电阻电路 S US + + - -

6、(t= =0) i R1 R2 o t i R1+ +R2 US R2 US 过渡期为零过渡期为零 含有动态元件含有动态元件电容和电感电容和电感的电路称动态电路的电路称动态电路。 1. 动态电路动态电路 当动态电路状态发生改变时（称之为换路）当动态电路状态发生改变时（称之为换路） 需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。 这个变化过程称为电路的过渡过程。这个变化过程称为电路的过渡过程。 2021-6-1 6 例：电容电路例：电容电路 uC i US + + - - + + - - R S (t= =0) C uC i US + + - - + + -

7、 - R S C (t) S 接通电源后很长接通电源后很长 时间，电容充电完毕，时间，电容充电完毕， 电路达到新的稳定状态：电路达到新的稳定状态： S未动作前，电路未动作前，电路 处于稳定状态：处于稳定状态： i = = 0 , uC = = US。 i = = 0 , uC = = 0。 ? 有一个有一个 过渡期过渡期 0 t uC R US 前一个稳前一个稳 定状态定状态 US 新的稳新的稳 定状态定状态 t1 i 新稳定新稳定 状态等状态等 效电路效电路 2021-6-1 7 例：电感电路例：电感电路 uL i US + + - - + + - - R S L (t) S 接通电源后很长

8、时接通电源后很长时 间，电路达到新的稳定间，电路达到新的稳定 状态，状态，电感视为短路：电感视为短路： S未动作前，电路处于未动作前，电路处于 稳定状态：稳定状态： uL = = 0 , i = = 0 , uL = = 0。 有一个有一个 过渡期过渡期 0 t i R US 前一个稳前一个稳 定状态定状态 US 新的稳新的稳 定状态定状态 t1 uL uL i US + + - - + + - - R S (t= =0) L US R 新稳定新稳定 状态等状态等 效电路效电路 i = = 2021-6-1 8 换路的概念换路的概念 电路结构、状态发生变化电路结构、状态发生变化 电路内部含有储

9、能元件电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路，电路在换路 时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一 定的时间来完成。定的时间来完成。 支路接入或断开支路接入或断开 电路参数改变电路参数改变 过渡过程产生的原因过渡过程产生的原因 + + - - 1W W1W W1W W 10V C + + - - uC 1A + + - - u S + + - - 10V S1(t= =0) S2(t= =0.2s) 3W W 2W W i L 2021-6-1 9 2. 动态电路的方程动态电路的方程 若以电流为变量：若以电流为变量： + + - - uS (t0)

10、R i C + + - - uC 以电压为变量，应用以电压为变量，应用KVL 和电容元件的和电容元件的VCR得：得： Ri + + uC = = uS i = = C duC dt RC duC dt + + uC = = uS Ri + + uC = = uS uC = = 1 C idt R di dt + + i C = = duS dt 例如例如 RC串联电路。串联电路。 2021-6-1 10 再如再如 RL串联电路。串联电路。 若以电压为变量：若以电压为变量： 以电流为变量，应用以电流为变量，应用KVL 和电感元件的和电感元件的VCR得：得： Ri + + uL = = uS uL

11、 = = Ldi dt L di dt + + Ri = = uS Ri + + uL = = uS i = = 1 L uLdt R + + - - uS (t0)R i L + + - - uL L uL + + duL dt = = duS dt 含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其 电路方程为一阶线性常微分方程，称电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路一阶电路。 有源有源 电阻电阻 电路电路 含一个含一个 动态元件动态元件 小小结结 2021-6-1 11 再看再看 RLC串联电路串联电路 含有二个动态元件的含有二个动态元件的 线性电路，其

12、电路方程为线性电路，其电路方程为 二阶线性常微分方程，称二阶线性常微分方程，称 二阶电路二阶电路。（在（在7 75 5中中 讨论）讨论） + + - - uS (t0)R i L + + - - uL C - -+ + uC 描述动态电路的电路描述动态电路的电路 方程是微分方程；方程是微分方程； 动态电路方程的阶数动态电路方程的阶数 通常等于电路中动态通常等于电路中动态 元件的个数。元件的个数。 电路中有多个动态元电路中有多个动态元 件，描述电路的方程是高件，描述电路的方程是高 阶微分方程。阶微分方程。 LC d2uC dt2 duC dt + + RC+ + uC = = uS 应用应用KV

13、L和元件的和元件的VCR得得 结论结论 2021-6-1 12 动态电路的分析方法动态电路的分析方法 (1) 首先首先是根据是根据KVL、KCL和和VCR建立建立 微分方程，然后是微分方程，然后是求解求解微分方程微分方程。 (2) 分析的方法有：分析的方法有： 时域分析法，时域分析法，包括包括经典法经典法、状态、状态 变量法、变量法、卷积积分、卷积积分、数值法。数值法。 复频域分析法，包括拉普拉斯变复频域分析法，包括拉普拉斯变 换法、状态变量法、付氏变换。换法、状态变量法、付氏变换。 工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。 2021-6-1 13

14、3. 电路的初始条件电路的初始条件 (1) t = = 0+ +与与t = = 0- - 的概念的概念 0+ + ：换路后一瞬间。 ：换路后一瞬间。 认为换路在认为换路在t= =0时刻进行。时刻进行。 0 0- - ：换路前一瞬间。：换路前一瞬间。 f(0- -) = = lim f(t) t0 t0 f(0+ +) = = lim f(t) t0 t0 0- -0 t f(t) 0+ + f(0- -) = = f(0+ +) f(0- -) f(0+ +) 明确：明确： i 及其各阶导数的值。及其各阶导数的值。 在动态电路分析中，在动态电路分析中， 初始条件为初始条件为t = =0+时时，

15、u、 初始条件是得到确定初始条件是得到确定 解答的必需条件。解答的必需条件。 2021-6-1 14 (2)电容的初始条件电容的初始条件 当当 i( )为有限值，为有限值， 此项为此项为0。 结论：结论：换路瞬间，若电容电流保持为有限值，换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则则电容电压（电荷）换路前后保持不变。电容电压（电荷）换路前后保持不变。 q(t) = = t - - i( ) d = = 0- - - - i( ) d + + t 0- - i( ) d = = q(0- -) + + t 0- - i( ) d 当当 t = = 0+ + 时 时q(0+ + ) = = q(0- -

16、) + + 0+ 0- - i( ) d 所以，在换路瞬间有：所以，在换路瞬间有：q(0+ + ) = = q(0- -) q = = C u ，C不变时有：不变时有： uC(0+ + ) = = uC(0- -) 电荷守恒电荷守恒 C i + + - - uC 体现体现 2021-6-1 15 (3)电感的初始条件电感的初始条件 用同样的方法可得：用同样的方法可得： L i + + - - uL 结论：结论：换路瞬间，若电感电压保持为有限值，换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则则电感电流（磁链）换路前后保持不变。电感电流（磁链）换路前后保持不变。 在换路瞬间有：在换路瞬间有：Y Y (0+

17、 + ) = = Y Y (0- -) Y Y = =Li ，L不变时有：不变时有： iL(0+ + ) = = iL(0- -) 磁链守恒磁链守恒 (4)换路定律！换路定律！ q(0+ + ) = = q(0- -) uC(0+ + ) = = uC(0- -) Y Y (0+ + ) = = Y Y (0- -) iL(0+ + ) = = iL(0- -) 注意：注意： 电容电流和电感电压为有限值电容电流和电感电压为有限值 是换路定律成立的条件。是换路定律成立的条件。 体现体现 换路定律反映了能量不能跃变。换路定律反映了能量不能跃变。 2021-6-1 16 (5) 初始值的计算初始值的

18、计算 解解 t= =0- -时刻等效时刻等效的电路的电路 求电路在开关闭合瞬间各求电路在开关闭合瞬间各 支路电流和电感电压。支路电流和电感电压。 由由t= =0- -时刻时刻的电路计的电路计 算算uC(0- -)和和iL(0- -) 。 iC(0- -)= =0，C视为开路。视为开路。 iL(0- -)= =12A，uC(0- -) = = 24V iL(0+ +)= = iL(0- -)= =12A uC(0+ +) = = uC(0- -) = = 24V 由等效电路算出由等效电路算出 R1 + + - - U0 S R2 iL iC C L + + - - uL + + - - uC R

19、3 3W W 2W W 2W W 48V i R1 + + - - U0 S R2 iL iC C L + + - - uL + + - - uC R3 3W W 2W W 2W W 48V i uL(0- -)= =0，L视为短路。视为短路。 由换路定律由换路定律 2021-6-1 17 由由 t= =0+时刻的等效电路求时刻的等效电路求 各电压电流。各电压电流。电感用电流源电感用电流源 替代，电容用电压源替代，替代，电容用电压源替代， 画出画出t=0=0+ +的的等效电路。等效电路。 iC(0+ +) = = 48- -24 3 = 8A= 8A uL(0+ +) = =48-2-212

20、= 24= 24V i(0+ +) = = iL(0+ +) + + iC(0+ +) = = 12 + + 8 = = 20A t=0=0+ +时刻的时刻的等效电路等效电路 R1 + + - - U0 S R2 iL iC C L + + - - uL + + - - uC R3 3W W 2W W 2W W 48V i R1 + + - - U0 S R2 iL iC 24V 12A + + - - uL + + - - uC R3 3W W 2W W 2W W 48V i iL(0+ +)= = iL(0- -)= =12A uC(0+ +) = = uC(0- -) = = 24V 2

21、021-6-1 18 注意注意 t= =0- -时刻时刻的的等效等效电路电路 t=0=0+ +时刻的时刻的等效电路等效电路 R1 + + - - U0 S R2 iL iC 24V 12A + + - - uL + + - - uC R3 3W W 2W W 2W W 48V i iL(0+ +)= = iL(0- -)= =12A uC(0+ +) = = uC(0- -) = = 24V iC(0+ +) = 8A= 8A iC(0- -) uL(0+ +) = 24= 24V uL(0- -) i(0+ +) = = 20A i(0- -) R1 + + - - U0 S R2 iL i

22、C C L + + - - uL + + - - uC R3 3W W 2W W 2W W 48V i 2021-6-1 19 小结：求初始值的步骤小结：求初始值的步骤 由换路前电路（稳定状态）求由换路前电路（稳定状态）求uC(0 )和 和iL(0 )； ； 由换路定律得由换路定律得 uC(0+) 和和 iL(0+) ； 画画0+等效电路；等效电路； 由由0+电路求所需各变量的电路求所需各变量的0+值。值。 b. 电容用电压源替代，电感用电流源替代。电容用电压源替代，电感用电流源替代。 a. 指换路后的电路。指换路后的电路。 c. 取取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、时刻值，方向与原假定的

23、电容电压、 电感电流方向相同。电感电流方向相同。 2021-6-1 20 解题指导解题指导1：求：求 iC(0+) , uL(0+) iS iL S(t= =0) L + +- - uL RC + + - - uC iC iS iL S(t= =0) L + +- - uL RC + + - - uC iC 解：解：由由0 电路和 电路和换路定律换路定律得得 iL(0+) = = iL(0 ) = = iS uC(0+) = = uC(0 ) = = RiS uL(0+) = = - - RiS iC(0+) = = iS - - RiS R iS iS S(t= =0) + +- - uL

24、RC + + - - iC L RiS = 0= 0 由由0+电路得电路得 画画0 0+ +等效电路。等效电路。 2021-6-1 21 L + + - - 10W W 10W W iL C + +- - uC 10W W 20V t =0=0- -时刻时刻 解题指导解题指导2：求：求S闭合瞬间流过它的电流值。闭合瞬间流过它的电流值。解：解： 确定确定0 值 值 给出给出0 等效电路 等效电路 (t= =0) + + - - 10W W 10W W iL L C + +- - uC 10W W 20V S iL(0+ +) = = iL(0- -) = = 20 20 =1A=1A uC(0+

25、 +) = = uC(0- -) + + - - 10W W 10W W iL+ +- - 10W W 20V 1A + +- - uL 10V iS iC t =0=0+ +时刻时刻 iS(0+ +) = = 20 10 + + 10 10 -1-1=2A=2A uL(0+ +) = = iL(0+ +)10 = = 10V iC(0+ +) = -= - 10 uC(0+ +) = -1A= -1A = = 20 - -10 1 = = 10V 2021-6-1 22 一阶电路的分析方法一阶电路的分析方法 经典法经典法 列写电路的微分方程，列写电路的微分方程， 求解电流和电压。是一求解电流

26、和电压。是一 种在种在时时间间域域中进行的分中进行的分 析方析方法法。 典型电路分析法典型电路分析法 记住一些典型电路记住一些典型电路(RC 串联、串联、RL串联、串联、 RC并并 联、联、 RL并联等并联等) 的分析的分析 结果，在分析非典型电结果，在分析非典型电 路时可以设法套用。路时可以设法套用。 7- -2 一阶电路的一阶电路的零输入零输入响应响应 三要素法三要素法 只要知道一阶电路的三个要只要知道一阶电路的三个要 素，代入一个公式就可以直素，代入一个公式就可以直 接得到结果，这是分析一阶接得到结果，这是分析一阶 电路的最有效方法。电路的最有效方法。 任意任意 NS uC C + +

27、- - iS (t= =0) S US + + - - (t= =0) + + - - uC R C i 典型电路典型电路 2021-6-1 23 零输入响应零输入响应 换路后外加激励为零，仅换路后外加激励为零，仅 由动态元件初始储能产生的电由动态元件初始储能产生的电 压和电流。压和电流。 1. RC 电路的零输入响应电路的零输入响应 S R + + - - uC (t= =0) i + + - - uR U0 i = = - -C duC dt 所以所以 duC dt RC+ + uC = = 0 由由VCR得：得：uR = = Ri， S R + + - - uC (t0+) i + +

28、- - uR U0 由由KVL得：得：- -uR + + uC = = 0 uC(0+ +) = = U0p = = - - RC 1 特征根特征根 特征方程：特征方程：RCp+ +1= =0 通解为通解为 2021-6-1 24 uC = = A e 1 RC - -t 得：得：uC = = U0 et0 代入初始值：代入初始值：uC(0+ +)= =uC(0- -)= =U0 S R + + - - uC (t= =0) i + + - - uR U0 1 RC - -t i = = R uC = = R U0 e 1 RC - -t = = I0e 1 RC - -t 或者由：或者由：

29、i = = - - C duC dt 求出。求出。 (1)电压、电流是随时间电压、电流是随时间 按同一指数规律衰减按同一指数规律衰减 的函数；的函数； 表明：表明： t 0 uC , i t t2t2t3t3t4t4t I0 U0 连续函数连续函数 跃变跃变 2021-6-1 25 令令t t = = RC，称，称t t 为一阶电为一阶电 路的时间常数。路的时间常数。 (2)响应与初始状态成线性关系，响应与初始状态成线性关系， 其衰减快慢与其衰减快慢与RC有关；有关； t t=RC= = 欧欧 法法=欧欧 库库 伏伏 =欧欧 安秒安秒 伏伏 =秒秒 反映电路过渡过程时间的长短。反映电路过渡过程

30、时间的长短。 即：即：t t 大大过渡过程时间长，过渡过程时间长， t t 的的物理含义物理含义 t t 大大 t t 小小 电压初值一定：电压初值一定： R大大(C一定一定)i=u/R放电电流小放电电流小 放电时间长。放电时间长。 C大大(R一定一定)W= =Cu2/2 储能大储能大 U0 t0 uC t t 小小过渡过程时间短。过渡过程时间短。 2021-6-1 26 注意：注意： t0 0t t2 2t t3 3t t5 5t t U0U0e- -1U0e- -2U0e- -3U0e- -5 U00.368U00.135U00.05U00.007U0 uC = =U0e t t - -

31、t t t ： 是电容电压衰减是电容电压衰减 到原来电压到原来电压36.8%所所 需的时间。工程上认需的时间。工程上认 为，为，经过经过 3t t 5t t 时间，时间， 过渡过程结束。过渡过程结束。 t t 的几何意义的几何意义 U0 t0 uC 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t t2t t3t t4t t5t t 次切距的长度次切距的长度 等于时间常数等于时间常数 以该点的斜率为固定变化以该点的斜率为固定变化 率衰减，率衰减， 经过经过t t 时间为零值。时间为零值。 2021-6-1 27 次切距的长度等于时间常数：次切距的长度等于时间常数： M a a t1 Q t2 uC(

32、t1) MQ = = PM tan a a = = uC(t1) - - duC dtt= =t1 = = U0 t0 uC(t)=U0 e t t - - t U0 e t t - - t1 U0 e t t - - t1 t t 1 1 = = t t t t = = t2 - - t1 任取一点任取一点P， 通过通过P点点作切线作切线PQ。 P 2021-6-1 28 (3)能量关系能量关系 电容不断释放能量被电阻吸收电容不断释放能量被电阻吸收, ,直到全部消耗完毕。直到全部消耗完毕。 设设 uC(0+) = = U0 则电容放出能量：则电容放出能量： 电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消

33、耗）能量： S R + + - - uC (t0+) i + + - - uR U0 2 1 CU0 2 WR = = 0 Ri2 dt= = 0 R (U0 R e 1 RC - -t )2dt = = U0 R 2 (- - RC 2 e 2t RC - - ) 0 = = 2 1 CU0 2 2021-6-1 29 例例1：电路如图，电容原充有：电路如图，电容原充有24V电压，求电压，求S闭合闭合 后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。 + + - - 2W Wi1 S 5F uC i2i3 3W W6W W + + - - i1 5F uC

34、 4W W 解解 这是一个求一阶这是一个求一阶 RC零输入响应问题。零输入响应问题。 t0 有：有：uC = = U0 et0 1 RC - -t U0 = = 24V， RC = = 45 = 5 = 20s 所以：所以：uC = = 24 e 20 - - t V t0 i1 = = 4 uC = = 6 e 20 - - t A 分流：分流：i2 = = 3 2i1 = = 4 e 20 - - t Ai3 = = 3 i1 = = 2 e 20 - - t A 2021-6-1 30 例例2 求：求：(1)图示电路图示电路 S 闭合后各元件的电压和电流闭合后各元件的电压和电流 随时间变

35、化的规律，随时间变化的规律，(2)电容的初始储能和最终时刻电容的初始储能和最终时刻 的储能及电阻的耗能。的储能及电阻的耗能。 u1(0- -)= =4V，u2(0- -)=2=24V。 i - - + + + + - - 250kW W + + - - u C1= =5m mF C2= =20m mF S u1 u2 解解：(1)仍是仍是一阶一阶 RC零输入响应问题零输入响应问题 C1+ +C2 C1C2 C = = 5+ +20 = = 520 = 4m= 4mF t0 + + - - uC + + - - i 4m mF uC 250kW W 20V + + - - u uC(0+ +)

36、= = uC( (0- -) ) = -= -u1(0- -) + + u2(0- -) = = 20V t t = = RC = = 25010103 34 41010-6 -6 = = 1s 所以：所以： u= = uC = = 20 e- -t V t0 0 i = = 25010103 3 u = = 80 e- -t m mA 2021-6-1 31 例例2 求：求：(1)图示电路图示电路 S 闭合后各元件的电压和电流闭合后各元件的电压和电流 随时间变化的规律，随时间变化的规律，(2)电容的初始储能和最终时刻电容的初始储能和最终时刻 的储能及电阻的耗能。的储能及电阻的耗能。 u1(t

37、) = = u1(0) + + t 0i( ) d C1 1 u1(0- -)= =4V，u2(0- -)=2=24V。 i = = 80 e- -t m mA i - - + + + + - - 250kW W + + - - u C1= =5m mF C2= =20m mF S u1 u2 + + - - uC = = 4 + + t 080 e - -tdt 5 1 = = (20 - -16e- -t ) V u2(t) = = u2(0) - - t 0i( ) d C2 1 = = 24 - - t 080 e - -tdt 20 1 = = (20 + + 4e- -t ) V

38、u= =20 e- -t V t0 0 u1()= =20V，u2()= =20V。uC()= =u2()- -u1()= =0 2021-6-1 32 例例2 求：求：(1)图示电路图示电路 S 闭合后各元件的电压和电流闭合后各元件的电压和电流 随时间变化的规律，随时间变化的规律，(2)电容的初始储能和最终时刻电容的初始储能和最终时刻 的储能及电阻的耗能。的储能及电阻的耗能。 u1(0- -)= =4V，u2(0- -)=2=24V。 i = = 80 e- -t m mA i - - + + + + - - 250kW W + + - - u C1= =5m mF C2= =20m mF

39、S u1 u2 + + - - uC u= =20 e- -t V t0 0 (2)初始储能初始储能 W1= = 2 1 510- -642 = 40 m= 40 mJ Wc= = 2 1 Cu2(t) W2= = 2 1 2010- -6242 = 5760 m= 5760 mJ 最终储能最终储能 共共 5800 m mJ = = 2 1 (5+ +20)10- -6202 = 5000 m= 5000 mJ W1+ +W2 电阻耗能电阻耗能 WR= = 0 Ri2 dt = 800 m= 800 mJ 2021-6-1 33 2. RL电路的零输入响应电路的零输入响应 解之得：解之得：i

40、= = I0 e L - - R S R+ + - - (t= =0) R0 L 12 uL + + - - i U0 i(0+ +) = = i(0- -) = = U0 R0 di dt L+ + Ri = = 0 (t0) = = I0 t (t0) uL = - = - I0 R e L - - R t (1)电压、电流是电压、电流是 随时间按同一随时间按同一 指数规律衰减指数规律衰减 的函数；的函数； S R+ + - - (t= =0) R0 L 12 uL + + - - i U0 表明：表明： t 0 i， uL I0 连续函数连续函数 跃变跃变 - -I0R 2021-6-1

41、 34 令令t t = = L/R，称为一阶，称为一阶RL电路时间常数。电路时间常数。 (2)响应与初始状态成线性关系，其衰减响应与初始状态成线性关系，其衰减 快慢与快慢与L/R有关；有关； t t 的大小反映了电路过渡过程时间的长短：的大小反映了电路过渡过程时间的长短： L大大 放电慢，放电慢，t t 大。大。 t t 大大过渡过程时间长，过渡过程时间长，t t 小小过渡过程时间短。过渡过程时间短。 物理含义物理含义电流初值电流初值iL(0)一定：一定： t t= = 亨亨 欧欧 = = 韦韦 安安 欧欧 = = 伏伏 秒秒 安安 欧欧 = = 秒秒 R小小P= = Ri2 放电过程消耗能量

42、小放电过程消耗能量小 W= = 2 1 LiL 2 起始能量大起始能量大 2021-6-1 35 (3)能量关系能量关系 电感不断释放能量被电阻吸收电感不断释放能量被电阻吸收, ,直到全部消耗完毕。直到全部消耗完毕。 设设 i(0+) = = I0 则电感放出能量：则电感放出能量： 电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量： 2 1 LI0 2 WR = = 0 Ri2 dt= = 0 R (I0 e R L - -t )2dt = = I0 L 2R e 2Rt L - - ) 0 = = 2 1 LI0 2 R LuL + + - - i 2 R (- - 2021-6-1 36 例题分

43、析例题分析 P144 例例7- -2 试求：试求：t t ；i(0+ +)和和i(0- -) ； i(t)和和uV (t) ；uV (0+ +)。 造成电压表损坏。造成电压表损坏。 t t = = R+ +RV L = = 0.189+ +5103 0.398 = =79.6 (m (ms) i(0- -) R U = = 0.189 35 = =185.2 A i(t) = = 185.2 e- -12560t A uV(t) = ) = - -RV i(t) = ) = - -926 e- -12560t kV uV(0+ +) = = 926 kV ! 实践中，实践中， 要切断要切断 L

44、 的电的电 流，必须考虑流，必须考虑 磁场能量的释磁场能量的释 放问题。放问题。 解：解： i(0+ +) = = i(0- -) = =185.2 A S+ + - - R L + + - - U RV uV i 0.189W W 0.398H 5kW W 35V 某某300kW汽轮发电机汽轮发电机 励磁回路的电路模型励磁回路的电路模型 V t0+ 2021-6-1 37 小结小结 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的 响应响应, , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数；都是由初始值衰减为零的指数衰减函数； f(t) = = f(0+ +)

45、et t - - t RC电路：电路： uC(0+ +) = = uC( (0- -) ) RL电路：电路： iL(0+ +) = = iL( (0- -) ) 衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数t t ； RC电路：电路： t t = = RC， RL电路：电路：t t = = R L 一阶电路的零输入响应与初始值成正比，一阶电路的零输入响应与初始值成正比， 称为零输入线性。称为零输入线性。 同一电路中所有响应具有相同的时间常数；同一电路中所有响应具有相同的时间常数； R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。 2021-6-1 38 7-

46、-3 一阶电路的一阶电路的零状态零状态响应响应 零状态响应：零状态响应：在动态元件初在动态元件初 值为值为 0 的状态下，由的状态下，由 t0电电 路中外施激励引起的响应。路中外施激励引起的响应。 1. RC电路的零状态响应电路的零状态响应 S US + + - - (t= =0) + + - - uC R C + +- -uR i 常系数非齐次线性方程常系数非齐次线性方程 解答形式：解答形式：uC = = uC + + uC uC( (0- -) = ) = 0 方程：方程： duC dt RC+ + uC = = US uC 为为非齐次方程特解：非齐次方程特解： uC = =US 称称强制

47、分量。强制分量。 这是电路的稳态解，这是电路的稳态解， 称称稳态分量。稳态分量。 由于该分量与输入激励由于该分量与输入激励 的变化规律有关，故又的变化规律有关，故又 2021-6-1 39 uC 为为齐次方程通解：齐次方程通解： US + + - - (t0+) + + - - uC R C + +- -uR i 解答形式：解答形式：uC = = uC + + uC 方程：方程： 特解：特解：uC = =US uC = =A e 1 RC - -t 随着时间的推移，将消随着时间的推移，将消 失，故称失，故称暂态分量暂态分量。 由于其变化规律由电路由于其变化规律由电路 结构和参数决定，故又结构和

48、参数决定，故又 称称自由分量自由分量。 零输入也是这一规律。零输入也是这一规律。 全解：全解：uC = = US + + A A e 1 RC - -t 由初始条件由初始条件 uC (0+)=0 得：得： A A = - = - US uC = = US - - US e 1 RC - -t = = US (1- - e ) 1 RC - -t (t0) duC dt RC+ + uC = = US i = = C duC dt = = US R e 1 RC - -t 2021-6-1 40 US + + - - (t0+) + + - - uC R C + +- -uR i 表明表明 uC

49、 = = US (1- - e ) 1 RC - -t (t0) i = = US R e 1 RC - -t 电压、电流是随时间按同电压、电流是随时间按同 一指数规律变化的函数；一指数规律变化的函数； 稳态分量稳态分量( (强制分量强制分量) ) + + 暂态分量暂态分量( (自由分量自由分量) ) 电容电压由两部分构成：电容电压由两部分构成： uC 连续函数连续函数uC t uC 0 US u C 跃变跃变 t 0 i R - - US R US 2021-6-1 41 电源电源提供的提供的能量：能量： 电阻电阻吸收的吸收的能量：能量： W = = 0 US i(t) dt= =USq =

50、 = CUS 2 WR = = 0i 2(t)R dt= = 2 1 CUS 2 t t = =RC 结果表明：电源提供的能结果表明：电源提供的能 量一半转换为电场能量存量一半转换为电场能量存 储于储于C 中，另一半在充电中，另一半在充电 过程中消耗在过程中消耗在 R上。不论上。不论 RC的值是多少，充电效的值是多少，充电效 率总是率总是50%。 US + + - - (t0+ +) + + - - uC R C + +- -uR i 响应变化的快慢，由时间响应变化的快慢，由时间 常数常数 t t = = RC 决定；决定；t t 大充大充 电慢，电慢，t t 小充电就快。小充电就快。 响应与

51、外加激励成线性关系；响应与外加激励成线性关系； 能量关系能量关系 电容电容存储的存储的能量：能量： WC = = 2 1 CUS 2 2021-6-1 42 = = 0.2 e- -200t A 例：例：t= =0时，开关时，开关S闭合，已知闭合，已知 uC(0 )= =0，求 ，求 (1)电容电压和电流；电容电压和电流；(2) uC= =80V时的充电时间时的充电时间t。 解：解：(1)这是一个这是一个RC电路零状电路零状S 100V + + - - (t= =0) + + - - uC 500W W 10m mF i 态响应问题，有：态响应问题，有： t t = = RC= =50010-

52、 -5 = = 510- -3 s uC = =US(1- -e ) 1 RC - -t = =100 (1- -e- -200t )V(t0) i = = C duC dt = =10- -5 100200e- -200t (2)设经过设经过t1秒，秒，uC= =80V 80 = = 100 (1- -e- -200t1 )Vt1 = = 8.045ms 2021-6-1 43 2. RL电路的零状态响应电路的零状态响应 (1) 激励是恒定直流激励是恒定直流 换路前：换路前：iL(0+ +) = = iL(0- -) = = 0 换路后：换路后：iR + + iL = = IS S RL +

53、 + - - IS uL (t= =0) iRiL (t0+ +) iR = = uL R = = L R diL dt L R diL dt + + iL = = IS L R t t = = 解得：解得：iL = = IS (1- - e ) t t - - t 式中：式中： uL = = L diL dt = = RIS e t t - - t (t0) t uL , 0 iL IS RIS 2021-6-1 44 (2)激励是正弦电压激励是正弦电压 设设 us= =Umcos(w wt+ +y yu) 则则 L di dt + + Ri= = Umcos(w wt+ +y yu) 通解

54、：通解： i = = A e t t - - t 特解的形式：特解的形式：i= = Imcos(w wt + +q q ) 把把 i 代入微分方程：代入微分方程： Im、q q 为待定系数。为待定系数。 RImcos(w wt+ +q q )- - w wLImsin(w wt+ +q q )= =Umcos(w wt+ +y yu) Im|Z|cos(w wt+ +q q + +j j)= =Umcos(w wt+ +y yu) 式中式中 R2 |Z| = =+ + (w wL)2 tgj j = = R w wL L R t t = = t0+ + us + + - - + + - - u

55、L R L i + +- - uR 比较得：比较得：Im= = Um |Z| q q = =y yu- -j j ， 2021-6-1 45 |Z| Um 特解：特解：i = = Imcos(w wt + +q q ) cos(w wt + + y yu- -j j) |Z| Um i = =cos(w wt+ +y yu- -j j)+ + Ae - - t t t 由由i(0+ +) = =i(0- -) = = 0定出：定出：A = = - - |Z| Um cos( (y yu- -j j) ) |Z| Um i = =cos(w wt+ +y yu- -j j) - - cos(y

56、yu- -j j) e |Z| Um - - t t t 全解：全解： 稳态分量稳态分量 i 是与外施是与外施 激励同频率的正弦量激励同频率的正弦量 暂态分量暂态分量 i 随时间随时间 的增长衰减为零。的增长衰减为零。 R上的电压上的电压 uR = = RiL上的电压上的电压 uL= = Ldi dt = = t0+ + us + + - - + + - - uL R L i + +- - uR 2021-6-1 46 讨论讨论 (1)若若 S闭合时闭合时y yu- -j j = =90o， 则则 i = =0。 说明电路不发生说明电路不发生 过渡过程而立即进入稳态。过渡过程而立即进入稳态。

57、t0+ + us + + - - + + - - uL R L i + +- - uR |Z| Um i = =cos(w wt+ +y yu- -j j) - - cos(y yu- -j j) e |Z| Um - - t t t t 0 i i = = i |Z| Um uR = = Ri = =cos(w wt+ +y yu- -j j) - - cos(y yu- -j j) e |Z| Um - - t t t uL= = L di dt|Z| w wL cos(w wt+ +y yu- -j j + + 90o)= = Um |Z| R cos(y yu- -j j )e= =

58、Um - - t t t 2021-6-1 47 i 0 i |Z| Um |Z| Um - - 当当t t很大时，很大时， i衰减缓慢。衰减缓慢。 在在 y yu = = j j 时闭合时闭合 S，约，约 过半个周期，过半个周期， iL的最大的最大 瞬时值瞬时值(绝对值绝对值) 将接近将接近 稳态振幅的两倍。稳态振幅的两倍。 稳态振幅稳态振幅 过渡中的最大瞬时值过渡中的最大瞬时值 可见，电路的过渡过程可见，电路的过渡过程 与与 S动作的时刻有关。动作的时刻有关。 t0+ + us + + - - + + - - uL R L i + +- - uR |Z| Um i = =cos(w wt+

59、 +y yu- -j j) - - cos(y yu- -j j) e |Z| Um - - t t t t i (2)若若S闭合时闭合时y yu= =j j |Z| Um i = =cosw wt - - e |Z| Um - - t t t 2021-6-1 48 例：例：t= =0开关打开，求开关打开，求t 0后后iL、 、uL及 及u。 解：这是解：这是RL电路零状态电路零状态 响应问题，先化简电路。响应问题，先化简电路。 + + - - u + + - - uL20W W2H iL 1A 5W W + + - - u 10W W + + - - uL10W W2H iL S 2A (

60、t0) L Req t t = = = 2 20 = = 0.1s iL = = Isc(1- - e ) t t - - t = (= (1- - e- -10t ) A uL = = L diL dt = = Req Isc e t t - - t = 20= 20e- -10t V u = 5= 5IS + +10 0iL + + uL= (20+10= (20+10e- -10t ) V iL(0(0+ +)=)=iL(0(0- -)=0 )=0 t t diL dt + + iL = = Isc Req = 20W= 20W， Isc = 1= 1A。 2021-6-1 49 全响应