决战中考数学压轴题综合提升训练《二次函数》(含解析)

1、二次函数1如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ax2+bx+3（ a 0）的图象经过点A（ 1，0），点 B（3， 0），与 y 轴交于点 C（ 1）求 a， b 的值；（ 2）若点 P为直线 BC上一点， 点 P到 A，B 两点的距离相等， 将该抛物线向左 （或向右）平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点P，求新抛物线的顶点坐标解：（ 1）二次函数yax2+3（ 0）的图象经过点（ 1， 0），点（ 3， 0），bxaAB，解得；（ 2） y x2+2x+3（ x 1） 2+4，抛物线的对称轴为直线 x 1， C（ 3， 0），点 P到 A， B两点的距离相等，点 P在抛物线的对称轴

2、x 1 上， B（ 3， 0）， C（ 0， 3），直线 BC的解析式为y x+3，令 x1，则 y 1+3 2， P（ 1， 2），设平移后的新抛物线的解析式为y（ x h） 2+4，新抛物线经过点P， 2（ 1 h） 2+4，解得 h11+，h2 1，新抛物线的顶点坐标为（1+， 4）或（ 1， 4）2如图 a，已知抛物线yx2+bx+c 经过点 A（4， 0）、C（0， 2），与 x 轴的另一个交点为 B（ 1）求出抛物线的解析式（ 2）如图 b，将 ABC绕 AB的中点 M旋转 180得到 BAC， 试判断四边形 B C AC的形状并证明你的结论（ 3）如图a，在抛物线上是否存在点D，

3、使得以A、 B、 D 三点为顶点的三角形与ABC全等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在请说明理由解：（ 1）将点 A、 C的坐标代入抛物线表达式并解得：b 1，c 2，故：抛物线的解析式为：y x2+x+2；（ 2）四边形 BC AC为矩形抛物线 y x2+x+2 与 x 轴的另一个交点为： （ 1， 0）由勾股定理求得：BC， AC2，又 AB 5，由勾股定理的逆定理可得：ABC直角三角形，故 BCA 90；o已知， ABC绕 AB的中点 M旋转 18 0 得到 BAC，则 A、 B互为对应点，由旋转的性质可得： BCAC ， AC BC所以，四边形BC AC为平行四边形，已证BCA

4、90，四边形 BC AC为矩形；（ 3）存在点 D，使得以 A、 B、 D三点为顶点的三角形与ABC全等，则点 D与点 C关于函数对称轴对称，故：点 D的坐标为（ 3， 2）3如图，已知二次函数y x22x+m的图象与 x 轴交于点 A、 B，与 y 轴交于点 C，直线 AC交二次函数图象的对称轴于点D，若点 C为 AD的中点（ 1）求 m的值；（ 2）若二次函数图象上有一点Q，使得 tan ABQ 3，求点 Q的坐标；（ 3）对于（ 2）中的 Q点，在二次函数图象上是否存在点P，使得QBP COA？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解：（ 1）设对称轴交x 轴于点 E，交对称轴

5、于点D，函数的对称轴为：x 1，点 C为 AD的中点，则点A（ 1， 0），将点 A的坐标代入抛物线表达式并解得：m 3，故抛物线的表达式为：yx2 2x 3 ；（ 2） tan ABQ 3，点 B（ 3， 0），则 AQ所在的直线为： y 3x（ x 3） ，联立并解得： x 4 或 3（舍去）或 2，故点 Q（ 4， 21）或（ 2， 3）；（ 3）不存在，理由： QBP COA，则 QBP90当点 Q（ 2， 3）时，则 BQ的表达式为： y （ x 3） ，联立并解得：x 3（舍去）或，故点 P（，），此时 BP： PQ OA： OB，故点 P 不存在；当点 Q（ 4，21）时，同理可

6、得：点P（，），此时 BP： PQ OA： OB，故点 P 不存在；综上，点 P 不存在4如图，已知二次函数yax2+4ax+c（ a0）的图象交x 轴于 A、B 两点（ A 在 B 的左侧），交 y 轴于点 C一次函数yx+b 的图象经过点A，与 y 轴交于点 D（0， 3），与这个二次函数的图象的另一个交点为E，且 AD：DE 3：2（ 1）求这个二次函数的表达式；（ 2）若点 M为 x 轴上一点，求MD+MA的最小值解：（ 1）把 D（ 0， 3）代入 yx+b 得 b 3，一次函数解析式为yx 3，当 y0 时，x 30，解得 x 6，则 A（ 6， 0），作 EFx 轴于 F，如图，

7、 ODEF， OF OA 4， E 点的横坐标为 4，当 x4 时， yx3 5， E 点坐标为（ 4， 5），把 A（ 6， 0），E（ 4， 5）代入 y ax2+4ax+c 得，解得，抛物线解析式为yx2x+ ；（ 2）作 MH AD于 H，作D点关于x 轴的对称点 D，如图，则D（ 0，3），在 Rt OAD中， AD 3， MAH DAO， Rt AMH Rt ADO，即， MHAM， MDMD， MD+ MA MD+MH，当点 M、 H、 D共线时， MD+MAMD +MH D H，此时 MD+MA的值最小， D DH ADO， Rt DHD Rt DOA，即，解得 DH， MD+

8、MA的最小值为5如图 1，已知抛物线y ax2+bx+c（ a 0）与 x 轴交于 A（ 3，0）、 B（1， 0）两点，与y 轴交于点 C（ 0， 3）（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）如图 2，直线 AD：yx+1 与 y 轴交于点 D，P 点是 x 轴上一个动点，过点P作 PG y 轴，与抛物线交于点 G，与直线 AD交于点 H，当点 C、 D、 H、 G四个点组成的四边形是平行四边形时，求此时 P 点坐标（ 3）如图 3，连接和，Q点是抛物线上一个动点，连接，当时，ACBCAQQACBCO求 Q点的坐标解：（ 1）抛物线的表达式为：y（+3）（ 1）a（x2+2x 3），axx故 3a

9、 3，解得： a 1，故抛物线的表达式为：y x2 2x+3 ；（ 2）直线 AD： yx+1 与 y 轴交于点 D，则点 D（0， 1），则 CD 2；设点 P（ x， 0），则点 H（x，x +1）、点 G（ x， x2 2x+3），则 2，即 |x+1（x22x+3） | 2，GH CD解得： x或，故点 P（，0）或（， 0）或（，0）；（ 3）设直线 AQ交 y 轴于点 H，过点 H作 HM AC交于点 M，交 AQ于点 H，设： MH x MC， QAC BCO，则 tan CAH，则 AM 3x，故 ACAM+CM 4x 3，解得： x，则 CHx，OH OC CH，故点 H（

10、0，），同理点H（， 3），由 点 AH坐标得，直线AH的表达式为： y（ x+3） ，同理直线 AH的表达式为：y 2（x+3） ，联立并解得：x 3（舍去）或；联立并解得：x 3（舍去）或 1；故点 Q的坐标为：（，）或（ 1， 4）6在平面直角坐标系中，直线yx 2 与 x 轴交于点B，与 y 轴交于点C，二 次函数 y x2+bx+c 的图象经过 B， C两点，且与 x 轴的负半轴交于点 A（ 1）直接写出：b 的值为； c 的值为 2；点A的坐标为（ 1， 0）；（ 2）点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上设点D的横坐标为m如图 1，过点 D作 DM BC于

11、点 M，求线段DM关于 m的函数关系式，并求线段DM的最大值；若 CDM为等腰直角三角形，直接写出点M的坐标1解：（ 1）直线 yx2 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，则点 B、 C的坐标为：（ 4，0）、（ 0， 2），将点 B、 C的坐标代入抛物线表达式并解得：b ，c 2，故抛物线的表达式为：yx2x 2 ，点（ 1， 0）；A故答案为：， 2，（ 1， 0）；（ 2）如图 1，过点 D作 y 轴的平行线交BC于点 H，设点 D（ m， m2m 2），点 H（ m，m 2），则 MDH OBC， tan OBC tan ，则 cos；MD DHcos MDH（ m 22m+2

12、）2m+（ m+4m）， 0，故 DM有最大值；设点 M、 D的坐标分别为： （ s，s 2），（m， n）， n2m 2；m（）当 CDM 90时，如图2 左图，过点 M作 x 轴的平行线交过点D于 x 轴的垂线于点F，交 y 轴于点 E，则 MEC DFM（ AAS）， MEFD， MFCE，即 s 2 2m s， s s2 n，解得： s，故点M（，）；（）当 MDC 90时，如图2 右图，同理可得： s，故点 M（，）；（）当 MCD 90时，则直线 CD的表达式为： y 2x 2 ，联立并解得：x 0 或 1，故点 D（ 1， 0），不在线段BC的下方，舍去；综上，点坐标为：（，）或

13、（，）M7如图，抛物线y （ 1）（x3）（ 0）与x轴交于，两点，抛物线上另有一点Ca xaA B在 x 轴下方，且使 OCA OBC（ 1 ）求线段 OC的长度；（ 2）设直线 BC与 y 轴交于点 D，点 C是 BD的中点时，求直线 BD和抛物线的解析式，（ 3）在（ 2）的条件下，点P 是直线 BC下方抛物线上的一点，过P作 PE BC于点 E，作PF AB交 BD于点 F，是否存在一点P，使得 PE+PF最大，若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由解：（ 1） a（ x1）（ x 3） 0，x1 1， x2 3，则点 A的坐标为（ 1， 0），点 B 的坐标为（ 3， 0），

14、OA1， OB 3， OCA OBC，即，解得， OC；（ 2）在 Rt BOD中，点 C是 BD的中点， BD2OC 2 ，由勾股定理得，OD，点 D的坐标为（ 0，）设直线 BD的解析式为： y kx+b ，则，解得，则直线 BD的解析式为： yx，点 B的坐标为（ 3， 0），点 D的坐标为（ 0，），点 C是 BD的中点，点 C的坐标为（，）， a（ 1）（ 3），解得， a，抛物线的解析式：y（ 1）（ 3），即yx2x+2 ；xx（ 3）作 PG OB交 BD于 G，tan OBD， OBD 30， PFAB， PFG OBD 30， PFPG， PEBC， PFPG， EPG P

15、FG 30， PE PG， PE+PFPG+PGPG，设点P的坐标为（，2+2），点G的坐标为（，m ），mmmm2 PGm（mm+2）2m+3m 3 PE+PFPG2m 3m+ 3（ m） 2+，则 +的最大值为PE PF8已知抛物线y ax2+bx+c 经过点 A（ 2，0）， B（3， 0），与 y 轴负半轴交于点C，且 OC OB（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）在 y 轴负半轴上存在一点 D，使 CBD ADC，求点 D的坐标；（ 3）点 D关于直线 BC的对称点为 D，将抛物线 y ax2+bx+c 向下平移 h 个单位，与线段 DD只有一个交点，直接写出 h 的取值范围解：（ 1

16、） OC OB，则点 C（ 0， 3），抛物线的表达式为：y a（ x+2）（ x 3） a（ x2 x 6）， 6a 3，解得： a ，故抛物线的表达式为： y x2 x 3；（ 2）设： CD m，过点 D作 DH BC交 BC的延长线于点H，则 CHHDm，tan ADC tan DBC，解得：m 3 或 4（舍去4），故点 D（ 0， 6）；（ 3）过点 C作 x 轴的平行线交 DH的延长线于点 D，则 D（ 3， 3）；平移后抛物线的表达式为： y x2 x3 h，当平移后的抛物线过点C时，抛物线与线段DD有一个公共点，此时，h 3；当平移后的抛物线过点D时，抛物线与线段DD有一个公

17、共点，即 39h，解得： h 15，故 3h 159如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x2 的对称轴为直线l ，将直线 l 绕着点 P（ 0，2）顺时针旋转的度数后与该抛物线交于AB两点（点 A 在点 B 的左侧），点 Q是该抛物线上一点（ 1）若 45，求直线 AB的函数表达式；（ 2）若点 p 将线段分成 2： 3 的两部分，求点 A 的坐标（ 3）如图，在（1）的条件下，若点Q在y轴左侧，过点p作直线lx轴，点是直M线l上一点，且位于y轴左侧，当以， ，Q为顶点的三角形与相似时，求的坐P BPAMM标解：（ 1） 45，则直线的表达式为：y x+b，将（ 0， 2）代入上式并解得：b

18、2，故直线 AB的表达式为： y x+2；（ 2） AP： PB 2： 3，设 A（ 2a， 4a2）B（ 3a，9a2），解得：，（舍去），； AP：PB 3： 2，设 A（ 3a， 9a2）， B（ 2a， 4a2），解得：，（舍去），综上或；（ 3） MPA 45， QPB 45 A（ 1， 1）， B（ 2，4）， QBP 45时，此时 B， Q关于 y 轴对称， PBQ为等腰直角三角形， M1（ 1， 2） M2（ 2， 2）， BQP 45时，此时 Q（ 2， 4）满足，左侧还有Q 也满足， BQP BQ P， Q ，B， P， Q四点共圆，则圆心为 BQ中点 D（ 0， 4）；设

19、 Q （x， x2），（x 0），Q D BD，（ x 0） 2+（ x2 4） 2 22（ x2 4）（ x2 3） 0， x0 且不与 Q重合，Q P2， Q P DQ DP 2， DPQ为正三角形，则，过 P作 PEBQ，则，当 Q BP PMA时，则，故点；当 时，Q PBPMA，则，故点；综上点 M的坐标：（ 1，2），（ 2， 2），10如图， Rt 中， 90， 轴， 0.6 ，则称 Rt为准黄金直角三角FHGHFH xFHG形（G在F的右上方）已知二次函数y12+c的图象与x轴交于、两点，与yaxbxA B轴交于点E（ 0， 3），顶点为C（1， 4），点 D为二次函数y2 a

20、（ x1 m） 2+0.6 m4（ m0）图象的顶点（ 1）求二次函数 y1 的函数关系式；（ 2）若准黄金直角三角形的顶点 F 与点 A 重合、 G落在二次函数 y1 的图象上，求点 G的坐标及 FHG的面积；（ 3）设一次函数y mx+m与函数 y1 、y2 的图象对称轴右侧曲线分别交于点P、 Q且 P、Q两点分别与准黄金直角三角形的顶点F、G重合，求 m的值，并判断以C、D、Q、 P为顶点的四边形形状，请说明理由解：（ 1）设二次函数y1 的函数关系式为y1 a（ x 1） 2 4，将 E（0， 3）代入得 a4 3，解得 a 1， y1（ x 1） 2 4 x2 2x 3；（ 2）设

21、G a， 0.6 （ a+1） ，代入函数关系式，得，（a 1） 2 4 0.6 （ a+1），解得 a13.6 ， a2 1（舍去），所以点 G坐标为（ 3.6 ， 2.76 ）由 x2 2x 3 0 知 x1 1， x2 3， A（ 1， 0）、B（ 3， 0），则 AH4.6 ， GH 2.76 ， SFHG 4.6 2.76 6.348 ；（ 3） y mx+m m（ x+1），当 x 1 时， y 0，直线 y mx+m过点 A，延长 QH，交 x 轴于点 R，由平行线的性质得， QRx 轴 FHx 轴， QPH QAR， PHQ ARQ 90， AQR PHQ，0.6 ，设 Q n

22、， 0.6 （ n+1） ，代入 y mx+m中，得 mn+m 0.6 （n+1），整理，得： m（ n+1） 0.6 （ n+1）， n+1 0， m 0.6 四边形 CDPQ为平行四边形，理由如下：连接 CD，并延长交 x 轴于点 S，过点 D作 DKx 轴于点 K，延长 KD，过点 C作 CT垂直 KD延长线，垂足为T，2+0.6 m 4， y （ x 1 m）2点 D由点 C向右平移 m个单位，再向上平移0.6 m个单位所得，0.6 ， tan KSD tan QAR， KSD QAR， AQCS，即 CD PQ AQCS，由抛物线平移的性质可得， CT PH，DT QH， PQCD，

23、四边形 CDPQ为平行四边形11如图，点P是二次函数y+1 图象上的任意一点，点（ 1，0）在x轴上B（ 1）以点P为圆心，长为半径作 BPP直线l经过点 （ 0， 2）且与x轴平行，判断P与直线l的位置关系，并说明理由C若 P 与 y 轴相切，求出点P 坐标；（2）P1、P2、P3 是这条抛物线上的三点，若线段 BP1、BP2、BP3的长满足，则称 P2 是 P1、 P3 的和谐点，记做T（ P1， P3）已知 P1、P3 的横坐标分别是2， 6，直接写出（1， 3）的坐标（ 1，） T P P解：（ 1） P与直线相切过 P 作 PQ直线，垂足为Q，设 P（ m， n）22222则 PB（

24、 m 1）+n ， PQ（ 2n），即：（ m1） 2 4 4n，2（ 1）2+n24 4 +2（ 2）22PBmn nnPQ PBPQ， P与直线相切；当 P 与 y 轴相切时 PD PB PQ | m| 2 n，即： n 2m代入（ m 1） 2 4 4n22得： m6m+5 0 或 m+2m+5 0解得： m1 1， m2 5 P（ 1， 1）或 P（ 5， 3）；（ 2），则 BP2（ BP1+BP2），P1、 P3 的横坐标分别是2， 6，则点 P1、 P2 的坐标分别为： （ 2，）、（ 6，），BP2（ BP1+BP2）（+），设点 P2 的坐标为：（ m， n），n（ m 1）

25、2 +1，则（ m 1） 2+（ n）2（） 2，解得： m 1，故点 P2 的坐标，即T（ P1， P3）的坐标为：或12如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ax2+bx+2（ a0）与 x 轴交于 A（ 1，0），B（ 3，0）两点，与y 轴交于点 C，连接 BC（ 1）求该抛物线的函数表达式；（ 2）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点，使得以， ， ，为顶点MBCMN的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（ 3）点 P 是直线 BC上方抛物线上的点，若PCB BCO，求出 P 点的到 y 轴的距离（ 1）解：（ 1）将点

26、 A（ 1， 0），B（ 3， 0）代入 yax2+bx+2，可得，；（ 2）存在点 M使得以 B，C， M， N为顶点的四边形是平行四边形，由题得， B（ 3，0）， C（ 0， 2），设 N（ 1， n）， M（ x，y），四边形是平行四边形时，x 2，CMNB；四边形 CNBM时平行四边形时， x 2， M（ 2， 2）；四边形 CNNB时平行四边形时， x 4，；综上所述： M（ 2， 2）或或；（ 3）解法一：过点B 作 BH平行于 y 轴交 PC的延长线与H点 BHOC OCB HBC又 OCB BCP PCB HBC HCHB又 OCOB HBOB故可设 H（ 3， m），即 H

27、BHC m过点 H作 HN垂直 y 轴于 N在 Rt HCN中，则222m 3 +（ m 2）解得由点C、 P 的坐标可得，设直线CP的解析式为；故解得 x10（舍去），即点 P到 y 轴的距离是解法二、 过点 B作 CP的垂线， 垂足为 M，过点 M作 x 轴的平行线交y 轴于点 N，再过点 B作 DN的垂线，垂足为 D，（以下简写）可得 BOC BMC得 BMBC 3， OC CM2设点 M（ m， n）得 BDn， CN n 2， MN m， MD 3 m可证 BDM MNC所以得解得，则同解法一直线CP的解析式故解得 x10（舍去），即点 P到 y 轴的距离是13如图，已知抛物线y a

28、x2+bx+c 的图象经过点A（ 3， 3）、B（ 4，0）和原点 O，P为直线OA上方抛物线上的一个动点（ 1）求直线 OA及抛物线的解析式；（ 2）过点 P 作 x 轴的垂线， 垂足为 D，并与直线 OA交于点 C，当 PCO为等腰三角形时，求 D的坐标；（ 3）设面积为P 关于对称轴的点为，如果存在，求出Q，抛物线的顶点为 M，探索是否存在一点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由P，使得PQM的解：（ 1）设直线OA的解析式为y1 kx，把点 A坐标（ 3， 3）代入得： k 1，直线 OA的解析式为y x；再设 y2ax（ x4），把点 A坐标（ 3， 3）代入得： a 1，函数的解析式为y x2+4x，直线的解析式为y，二次函数的解析式是yx2+4 OAxx2（ 2）设 D的横坐标为m，则 P 的坐标为（ m， m+4m）， P 为直线 OA上方抛物线上的一个动点， 0 m 3此时仅有OC PC，解得；，（ 3）函数的解析式为y x2+4x，对称轴为x 2，顶点 M（ 2， 4），设 P（n， n2+4n），则 Q（4 n， n2+4n）， M到直线 PQ的距离为 4（ n2+4n）（ n 2） 2，要使 PQM