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1、滚动小专题(八)与四边形有关的计算与证明1(2017广州)如图,平面直角坐标系中O是原点,OABC的顶点A,C的坐标分别是(8,0),(3,4),点D,E把线段OB三等分,延长CD,CE分别交OA,AB于点F,G,连接FG,则下列结论:F是OA的中点;OFD与BEG相似;四边形DEGF的面积是;OD.其中正确的结论是(填写所有正确结论的序号)2(2016苏州)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)求证:四边形ACDE是平行四边形;(2)若AC8,BD6,求ADE的周长解:(1)证明:四边形ABCD是菱形,ABCD,ACBD.AE
2、CD,AOB90.又DEBD,即EDB90,AOBEDB.DEAC.四边形ACDE是平行四边形(2)四边形ABCD是菱形,AC8,BD6,AO4,DO3,ADCD5.又四边形ACDE是平行四边形,AECD5,DEAC8.ADE的周长为ADAEDE55818.3(2017徐州)如图,在平行四边形ABCD中,点O是边BC的中点,连接DO并延长,交AB延长线于点E,连接BD,EC.(1)求证:四边形BECD是平行四边形;(2)若A50,则当BOD100时,四边形BECD是矩形证明:四边形ABCD为平行四边形,ABDC,ABCD.OEBODC.又O为BC的中点,BOCO.在BOE和COD中,BOECO
3、D(AAS)OEOD.四边形BECD是平行四边形4(2017湖州)已知正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.(1)如图1,E,G分别是OB,OC上的点,CE与DG的延长线相交于点F.若DFCE,求证:OEOG;(2)如图2,H是BC上的点,过点作EBC,交线段OB于点E,连接D交CE于点F,交OC于点G.若OEOG.求证:ODGOCE;当AB1时,求HC的长解:(1)证明:四边形ABDC是正方形,ACBD,ODOC.DOGCOE90.OECOCE90.DFCE,OECODG90.ODGOCE.DOGCOE(ASA)OEOG.(2)证明:ODOC,DOGCOE90,OGOE,DOGCOE(
4、SAS)ODGOCE.设CHx,四边形ABCD是正方形,AB1,BH1x,DBCBDCACB45.EHBC,BEHEBH45.EHBH1x.ODGOCE,BDCODGACBOCE.HDCECH.EHBC,EHCHCD90.CHEDCH.HC2EHCD,即x21x.解得x1,x2(舍去)HC.5(2017上海)已知:如图,四边形ABCD中,ADBC,ADCD,E是对角线BD上一点,且EAEC.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)如果BEBC,且CBEBCE23,求证:四边形ABCD是正方形证明:(1)在ADE和CDE中,ADECDE.ADECDE.ADBC,ADEDBC.BDCDBC.CDB
5、CAD.又ADBC.四边形ABCD是菱形(2)BEBC,BECBCE.设CBE2x,BCEBEC3x,则2x3x3x180,解得x22.5.CBDCDB45.BCD90.四边形ABCD是正方形6(2017宁波)在一次课题学习中,老师让同学们合作编题,某学习小组受赵爽弦图的启发,编写了下面这道题,请你来解一解:如图,将矩形ABCD的四边BA,CB,DC,AD分别延长至E,F,G,H,使得AECG,BFDH,连接EF,FG,GH,HE.(1)求证:四边形EFGH为平行四边形;(2)若矩形ABCD是边长为1的正方形,且FEB45,tanAEH2,求AE的长解:(1)证明:四边形ABCD是矩形,ADB
6、C,BADBCD90.又BFDH,ADDHBCBF,即AHCF.在RtAEH中,EH.在RtCFG中,FG.EHFG.同理:EFHG.四边形EFGH为平行四边形(2)在正方形ABCD中,ABAD1.设AEx,则BEx1.在RtBEF中,BEF45,BEBF.BFDH,DHBEx1.AHADDHx2.在RtAEH中,tanAEH2,AH2AE.2x2x.x2.故AE2.7(2017兰州)如图1,将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠,顶点C落到点E处,BE交AD于点F.(1)求证:BDF是等腰三角形;(2)如图2,过点D作DGBE,交BC于点G,连接FG交BD于点O.判断四边形BFDG的形
7、状,并说明理由;若AB6,AD8,求FG的长图1图2解:(1)证明:由折叠性质知DBCDBE.四边形ABCD是矩形,ADBC.DBCADB.DBEADB.DFBF.BDF是等腰三角形(2)四边形BFDG是菱形理由:ADBC,DGBE,四边形BGDF为平行四边形又DFBF,四边形BGDF为菱形AB6,AD8,A90,BD10,OBBD5.设DFBFx,AFADDF8x.在RtABF中,AB2AF2BF2,即62(8x)2x2,解得x.BF.FO.FG2FO.8准备一张矩形纸片ABCD,按如图所示操作:将ABE沿BE翻折,使点A落在对角线BD上的M点;将CDF沿DF翻折,使点C落在对角线BD上的N
8、点(1)求证:四边形BFDE是平行四边形;(2)若四边形BFDE是菱形,AB2,求菱形BFDE的面积解:(1)证明:四边形ABCD是矩形,AC90,ABCD,ADBC.由翻折性质得BMAB,DNDC,AEMB,CDNF,BMDN,EMBDNF90.BNDM,EMDFNB90.ADBC,EDMFBN.EDMFBN(ASA)EDFB.又EDFB,四边形BFDE是平行四边形(2)四边形BFDE是菱形,EBDFBD,BEED.ABEEBD,ABC90,ABE9030.在RtABE中,AB2,AE,BE.ED,AD2.SABEABAE,S矩形ABCDABAD4.S菱形BFDE42.9(2016济宁)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CB至点F,使CFCA,连接AF,ACF的平分线分别交AF,AB,BD于点E,N,M,连接EO.(1)已知EO,求正方形ABCD的边长;(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明解:(1)四边形ABCD是正方形,AOOC,ABC是等腰直角三角形在ACF中,ACCF,CE平分ACF,AEEF.EO为AFC的中位线CF2EO2.AC2.AB2,即正方形ABCD的边长为2.(2)猜想:EMCN.证明:CFCA,CE是ACF的平分线,CE
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