2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)(文科)

1、普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）（文科）本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若集合 A = x| 5x2 , B= x| 3x3,贝U A AB =（）A . x| 3x2B . x| 5x2C. x| 3x3D. x| 5x0)的一个焦点，则b=.13. 如图， ABC及其内部的点组成的集合记为D, P(x, y)为D中任意一点，则z=2x+ 3y的最大值为14 高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学

2、成绩与总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生.。恵成绩年级名抚267D总成绩年级267从这次考试成绩看(1) 在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ；(2) 在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 三、解答题(本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15. (本小题满分13分)已知函数f(x) = sin x 2衍sin2：.(1) 求f(x)的最小正周期；求f(x)在区间0, 上的最小值.16. (本小题满分13分)已知等差数列an满足a1 +10, a3= 2.(1) 求an的通项公式；(2) 设等比数列bn

3、满足b2= a3, b3= a?，问：b6与数列an的第几项相等?17. (本小题满分13分)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁 四种商品的情况，整理成如下统计表，其中v表示购买，表示未购买顾笄人八、甲乙内丁100X7217X7X200777X3007X7X85VXXX98X7XX(1) 估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2) 估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3) 如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?18.(本小题满分14分)如图，在三棱锥 V-ABC中，平面VAB丄平面ABC, VAB为等边三 角形，AC丄BC且AC

4、 = BC =2, O, M分别为 AB, VA的中点.(1)求证：VB /平面 MOC ;求证：平面 MOC丄平面 VAB;求三棱锥V-ABC的体积.219. (本小题满分13分)设函数f(x) = X2 kin x, k0.(1)求f(x)的单调区间和极值；证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1, . e 上仅有一个零点.20. (本小题满分14分)已知椭圆C: x2+ 3y2 = 3,过点D(1, 0)且不过点E(2, 1)的直线 与椭圆C交于A, B两点，直线AE与直线x= 3交于点M.(1)求椭圆C的离心率;若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；(3) 试判断直线BM与直线DE

5、的位置关系，并说明理由.参考答案与详解本试卷分第I卷(选择题)和第H卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.第I卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的)1.5 -302 3 x解析：选A 如图所示，易知AQB = x| 3x寸；a=号专=号,3 13 133 13 133 1k= 2,此时44； a= 42= 8, k= 3,此时84； a= 8举=16 k= 4,此时 16 ,所以当 a b= |a|b|时，有 cos = 1, 即a, b = 0此时a, b同向，所以a/ b.反过来，当a/ b时，若a, b反

6、向，贝 a, b =180, a b= |a|b|;若 a, b 同向，则a, b= 0 a b= |a|b|,故 a b= |a|b|”是 a/ b” 的充分而不必要条件.7. 解析:选C 根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V-ABCD ,其中VB丄平 面ABCD ,且底面ABCD是边长为1的正方形，VB= 1所以四棱锥中最长棱为 VD.连接BD , 易知 BD = 2,在 Rt VBD 中，VD = VB2+ BD2= 3.&解析：选B 因为每次都把油箱加满，第二次加了 48升油，说明这段时间总耗油量 为48升，而行驶的路程为 35 600 35 000= 600（千米）,故

7、每100千米平均耗油量为 48弋= 8（升）.第n卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上）9. 解析：因为i（1 + i） = i + i2= 1 + i,所以实部为一1.答案：13 1 1 110. 解析：因为2 = 2= 81 , 132 = . 3log24= 2,所以三个数中最大的数 是 log25.答案：Iog2511.解析：在厶ABC中，根据正弦定理a = bsin A sin B，36口. rV2有R=耐,可得sin B=云sinTn因为/ A为钝角，所以/ B = 4.答案:n412. 解析：由题意得，双曲线焦点在x轴上，且c= 2.根据双曲线的

8、标准方程，可知a2=1.又 c2= a2 + b2,所以 b2= 3.又 b0,所以 b = _ 3.答案：32 1 213. 解析：把z= 2x+ 3y变形为y = ?x+ z,通过平移直线y= 知，当过点A（2, 1）时，z= 2x+ 3y 取得最大值为 zmax = 2X2 + 3X1 = 7.答案：714. 答案：乙数学三、解答题(本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15. 解： 因为 f(x) = sin x + 3cos x 3=2si n所以f(x)的最小正周期为2 n.(2)因为0$/|耳 所以扌$+ nn.当x + 3L n,即x= 时，f(x)取

9、得最小值.所以f(x)在区间0,手上的最小值为 临一W16. (本小题满分13分)已知等差数列an满足ai +10, as= 2.(1)求an的通项公式；设等比数列bn满足b2= a3, b3= a7，问：b6与数列an的第几项相等？解：(1)设等差数列an的公差为d.因为a4 a3 = 2,所以d= 2.又因为 a1+ a2= 10,所以 2a1+ d = 10,故 a1= 4.所以 an= 4 + 2(n 1)= 2n+ 2(n = 1, 2,).设等比数列bn的公比为q.因为 b2= a3= 8, b3= a7= 16,所以 q= 2, b1 = 4.所以 b6= 4X261= 128.

10、由 128= 2n + 2 得 n = 63,所以b6与数列an的第63项相等.17. 解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙 ， 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为卷第二0.2.从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2种商品，所以顾客在甲、乙、与同理，可得:顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000=0.2,顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100 + 200 + 3001000 =0.6,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为他=0.11 00

11、0所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.18. 解：(1)证明：因为O, M分别为AB, VA的中点，所以 OM / VB.又因为 VB?平面 MOC, OM?平面MOC ,所以VB /平面MOC.证明：因为AC= BC, O为AB的中点，所以OC丄AB.又因为平面 VAB丄平面ABC ,且OC?平面ABC ,所以OC丄平面VAB.又OC?平面MOC ,所以平面MOC丄平面VAB.(3) 在等腰直角三角形 ACB中，AC = BC= 2, 所以 AB = 2, OC = 1.所以等边三角形 VAB的面积Savab= , 3.又因为OC丄平面VAB,所以三棱锥C-VAB的体积等

12、于3OC Savab3.V-ABC的体积为又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等，所以三棱锥33 .2X19. 解：(1)由 f(x) = - kin x(k0),k x2 k得 x0 且 f，x)= x _=.x x由fx) = 0,解得x=.k(负值舍去).f(x)与fx)在区间(0, +s上的情况如下:X(0, &)(g +s)fx)一0+f(x)k (1 ln k)2所以，f(x)的单调递减区间是(0 ,.k),单调递增区间是(,k, +R).f(x)在x= k处取得极小值f(,k) =k (1 In k)2证明：由 知，f(x)在区间(0,上的最小值为f( . k)

13、=k (1 In k)2因为f(x)存在零点，所以k (1 In k)2切，从而k丸.当k = e时，f(x)在区间(1, e)上单调递减，且f(.e)= 0,所以x= . e是 f(x)在区间(1, e 上的唯一零点.aek当ke时，f(x)在区间(1, e 上单调递减，且f(1) = -0, f(, e)= 0,所以f(x)在区间(1, e 上仅有一个零点.综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1, e 上仅有一个零点.2V 220. 解：(1)椭圆c的标准方程为3+ y= 1，所以 a= .3, b = 1, c=-J2.所以椭圆C的离心率e= c =fa 3因为AB过点D(1

14、, 0)且垂直于x轴， 所以可设A(1 , y”, B(1,屮)，直线AE的方程为y 1 = (1 y1)(x 2). 令 x = 3,得 M(3, 2 y1).2 一 y1 + y1所以直线BM的斜率kBM = 1.3 1直线BM与直线DE平行.理由如下:当直线AB的斜率不存在时，由(2)可知kBM = 1.1 0 又因为直线 DE的斜率kDE = =1,所以BM / DE.2 1当直线AB的斜率存在时，设其方程为y= k(x 1)(kM 1)设 AX, y1), B(x2, y2), 则直线AE的方程为y-山匾(x-2)令x = 3,得点M 3,y1 + X1 3X1 2，由匸3宀3，k (x 1)得(1 + 3k2)x2 6k2x+ 3k2 3= 0,所以X1+ x2 =6k21 + 3k2,X1X2 =3k2 31 +