均值不等式常考题型

1、均值不等式及其应用一.均值不等式1. （1）若心訂,则a2+b22ab（2）若则ab 2y （当且仅当 a = b 时取“=”）2若gb丘，则“s （当且仅当a = b时取“=”）2丿3 若0,则x + -2 （当且仅当兀=1时取“=”）；若x0,则 + !L2 （当且仅当a = b时取“）b a-+ - 22 即-+ -2- + -.2 （当且仅当 a = b 时取“=”） h a h a b a4若agR,贝ij （出）2 上工（当且仅当a = b时取“=”）2 2注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的昙小值，正所谓“积定和最小

2、，和定积最大”.（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”均值定理在求最值、比较大小、求变長的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一：求援值例1:求下列函教的值域1 1 f=3.v2+7（2） /=.v+值域为（一8, -2U2, +oo）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知无学 求函数y = 4x-2+L_的黒大值。441-5解：因4x-50,所以首先要“调整”符号，又（4x-2）1不是常教，所以对4x-2要迸行拆、凑项,4x-55i/i vx0, /. y = 4x-2 += - 5-4x + +3 0,利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式于技巧二：凑

3、系数例1.当OCX 4时，求y = X(S-2x)的黒大值。积的形式，但其和不是定值。注意到2x + (8-2x)= 8为定值，故只雷将y = x(8-2x)凑上一个系数即可。 z = x(8-2x)=l2x =8当加=8-力，即乂=2时取等号 当x=2时，y = x(8 2x)的最大值为8。评注：本题无法宜接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不尊式求臺大值。 3变式：设0求函数y = 4x(3-2Q的杲大值。解:vOx0/. = 4x(3-2a) = 2-2x(3-2x)-l)的值域。X + 1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分于配方凑出含有(x+1)的项

4、，再将其分离。X2 +7x4-100 + 1)2 +冷+ 1)+4/ 八 4-l,gft=X+l 0 时,)72 打孑 + 5 = 9 (当 1=2 gpx=l 时取“=”号)。评注：分式函数求最宣，通常直接将分于配凑后将式于分开或将分母换元后将式于分开再利用不等式求舅A值。即化为y = (x) + + B(A0,B0),能)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。 g(x)技巧五：注就在应用援值定理求屡值时，若遇椚阿到的惜况，应结合驱心)十单调性。f + 5例：求函数)=；-的值域。VP+4解：V-V2 +4 = t(t 2),贝i、_ 二 + =厶?+4+一 =+ -(宀2)&+4J

5、x，+41+解得/=1不在区间2,-ho),故等号不成立，考虑单调性。因 / 0,/ - = 1，但F = 因为yF + 十在区间1,+S)单调递增，所以在其于区间2,+8)为单调递增函数，故)7*。 所以，所求函数的值域为;,+s。1_2练习.求下列函数的是小值，并求取得屋小值时，x的值.兀？ + 3x +111(1) y=,(%0) (2) y = 2x+ ,x3 (3)y = 2sinx+ xx-3sinx2已知0xl,求函数y二Jx(l-X)的最大值.；3. 0A-/F歹=6当3“ =3时等号成立，由a + b = 2n3a =3b得“ =b = 1即当a=b = 1时，3“+3“的最

6、小值是6.1 1变式：若log4x + log4y = 2,求一+二的最小值并求紀的值x y技巧六：整体代换：多次连用最值定理求聂值时，要注意取轸号的条件的一致性，否则就会出错。192:已知x0,y0,且一+ = 1,求x + y的最小值。% y臂解： x0,y 0 ,且 + - = 1, /. x + .y = 丄+ ?(x+y)n2 仁2 历=12 故( +，)讪=12。错因：押法中两次连用均值不等式，在x+y2等号成立条件是x = y,在1+22 F等号成立 x y 如19条件是-=即y = 9取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出 A V等号成立条件是解

7、题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：gOjO.丄+2 = 1,x y； x+y = (x+ y) - + y)106 + 10 = 16v 9x1 9当且仅当一=一时，上式等号成立，又一+ = 1,可得x = 4,y = 12时，(x + y). =16。xyx ynun变式：(1)若匕y w/r且2x+y = l,求丄+丄的最小值x y(2)已知。上,兀,y w F H- + - = i,求X + y的最小值技巧七.巳知拓y为正实数,且=1,求的最大值分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式同时还应化简屮工戸 中P前面的系数为!， Z+2 =丫寸2 -下面将X,冷-4

8、-y分别看成两个因式：技巧八：巳知, b为正实数，2Z+必+三=30,求函数/=占的屡小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调 性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因巳知条 件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最宣，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式 的途径进行。亠30-2b. 30-26-2 b2+30b法：；/= 6+1，：lb= 5+1 b=b+由彳0 得，015一 2疋+3牡一311616/1?令十=卄1, lr2A /1 - =81 处成18/ -当且仅当r=4,

9、即*3,心6时，等号成立。法二：由已知得：30力=:汁2，a+2bd2y正令 u=yb 贝ij ir+Zyfi U-30W0,-52 u323-/2 ,点评：本题考査不等式斗n佈的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式ab = a + 2b + 3OSbwR)出发求得肪的范围，关键是寻找到a + b与加之间的关系，由此想到不等式牛丫而(gbwRT ,这样将已知条件转换为含ab的不等式，迸而解得“方的范围.2变式：1已知Q0, 40,力一(n+Q=1,求方+6的最小值。2若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知x, y为正实数，3卄2丿=10,求函数W=y3x +

10、苗的昙值.a+b ab2解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，0, W=3x+2y+2伍苗=10+2伍曲 W 10+(伍严(苗尸=10+(3x4-20=20W/20 =2/变式：求函数y = sj2x- + j5-2x(占 X ,2 = (J2x-1 + /5-2x)2 =4+2yJ(2x-l)(5-2x) 5 4 + (2x-1) + (5-2x) = 8 又yo,所以0)ab + bc + ca1)正数彳，b、c满足 /?+ b+ c= 1,求证：(1 )(1 6)(1 例 6:已知冬 b、ce/? 且c+b + c = l。求证：j -1 I -1 I -118八b 八c丿分析

11、：不等式右边数宇8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又 丄+巳=土2匝,可由此变形入手。aa a a初-q+ / . i 1 i 1一0b + c、2伍b切 1、2歸1_2yfab 2、 b、 cwR yd+z?+c = i。.1 = =noHf* in, in。aa a abb cc上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得込区.年工娅=8 o当且仅当a = b = c = 时取等号。应用三：均值不等式与恒成立问题例：巳知X 0,y 0且丄+ 2 = 1 ,求使不等式x+y也恒成立的实数m的取值范围。 v y解：令x+y = k,x0,y 0. + = 1x+y 9x + 9y10 y 9x _+= 1 .：+ v 1kx kyk kx ky10312o .k 16