广义积分的收敛判别法

1、上一节我们讨论了广义积分的计算 , 在实际应用中，我们将发现大量的积分是 不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工 作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或 Monte-Carlo 方法求其近 似值 . 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 积分收敛，否则其结果毫 无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的定理9.1 (Cauchy收敛原理)f(x) 在 a, + )上的广义积分f(x)dx收敛的充分a必要条件是：0,存在A0,使得b, b A时，恒有证明：对 lim f (x)dx 0使用柯西收敛原理立即得此结论bb同样对瑕积分f (

2、x)dx( b为瑕点),我们有a定理9.2 (瑕积分的Cauchy收敛原理)设函数f (x)在a, b)上有定义，在其任何闭 子区间a, b-上常义可积，则瑕积分a f(x)dx收敛的充要条件是：0,0, 只要 01,那么积分 f(x)dx 收敛，如 f(x) 二,p 1,xpaxp则积分f(x)dx发散.a *其极限形式为p1),则积分 f (x)dx收敛.定理 9.9 如 lim xpf(x) l (0 lx如 lim xpf (x) l ,而0 lbp 1,f (x)dx 发散.例9.8判断下列广义积分的收敛性。(1) 11ln(1-)xm(m0, n0)x . ndx 1 x解：(1)

3、因为0 ln(1 丄)x1/dx收敛推出1dx收敛.(2)因为limxm 1时，积分对于瑕积分，使用mn m xx n1 xmdx发散.11 xnb1dx作为比较标准，我们有下列柯西判别法.a (x a)p1,所以当nm1时，积分xmrvdx收敛.当n定理9.10 设x=a是f (x)在a, b)上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么(1)c如0f(x) E (c0), pv1,b则a f (x)dx收敛.(2)c如f(x) p (c0), p 1,wba f (x)dx发散.定理瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为9.11 设 lim (x a)p f (x) kx ab如 0 kv ,

4、 p1,贝y f (x)dx收敛a如0k, p 1,那么 f(x)dx发散.a *例9.9判别下列瑕积分的敛散性。(1)1dx0 (1 x2 *)(1 k2x2)2(k0)（1）1是被积函数的唯一瑕点1因为 lim (1 x)2x 1 (1dxx2)(1 k2x2)2(1 k2)1由P 知瑕积分收敛.20与2都是被积函数的瑕点.先讨论4dx0 sinp xcosq x由limx 0xp 1sin xcos xp1时，瑕积分dx40- pq0 sin xcos x收敛；当p 1时，瑕积分dx；sin pxcosqx 发dx再讨论散.x)Ppqsin xcos x因 lim (x _22_ dx所

5、以当q1时，瑕积分p dx q收敛，4 sinp xcosq x_ dx当q 1时，瑕积分 2p发散.4 sinp xcosq xdx综上所述，当p1且q1时，瑕积分02pdx q收敛；其他情况发散.0 sinp xcosq x1例9.10求证：若瑕积分0f(x)dx收敛，且当x 0时函数f (x)单调趋向于+,则lim x f (x)=0.x 0证明：不妨设 x (0,1, f(x) 0,且f(x)在(0, 1)上单调减少。1已知0f (x)dx收敛，由柯西收敛准则，有0,0(1),0 x 有xx f (t)dt2从而02x f (x) 2或00),当cosx)1v-时收敛3当1-时发散.3

6、33证明：Tlim x=limx 0 x(1 cosx) x 031 cosx=limx 011 cosx22 x1所以当3 1时，即 丄时，瑕积分收敛.当31,即卩-时，瑕积分发散.33前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果.定理9.12 (积分第二中值定理)设g(x)在a,b上可积，f(x)在a, b上单调，则存在E a, b使ba f (x)g(x)dx = g(a) a f(x)dx g(b) a f (x)dx为了证明定理9.12，我们先讨论下列特殊情况.引理9.1设f(x)在a, b上单调下降并且非负，函数 g(

7、x)在a, b上可积，则存在c a, b，使bca f (x)g(x)dx=f(a) a g(x)dxx证明：作辅助函数(x)二f (a)g(t)dt,对a, b的任一分法aP:a=xoxix2 A)时，有 xg(x)|4M于是，对 A,AA有+ =2 2由Cauchy收敛原理知f(x)g(x)dx收敛a例9.12讨论广义积分C0SX dx的敛散性，1 x1解：令 f(x)=,g(x)=cosxx则当x 时，f(x)单调下降且趋于零，AF(A)=1 cosxdx=sin A sin1 在a,)上有界.由Dirichlet判别法知co空dx收敛，1 x另一方面因1 dx发散，1 cos2x dx

8、收敛1 2x1 2x从而非负函数的广义积分Co dx发散1 2x由比较判别法知1叵凶dx发散，1 x所以 沁dx条件收敛1 x例9.13讨论广义积分1Cosx arcta n xdx 的敛散性.x)上单调有界,解：由上一题知，广义积分cosxdx收敛，而arctanx在a, +1 xcos x所以由Abel判别法知arctanxdx收敛。1 x另一方面，当x 3,)时，有前面已证Lcsx| dx 发散由比较判别法知1|cosxarctanx|dx发散，所以 cosxarctanxdx条件收敛.1x1x对瑕积分也有下列形式的Abel判别法和Dirichlet 判别法b定理9.14若下列两个条件之

9、一满足，则f(x)g(x)dx收敛：(b为唯一瑕点)ab(1) ( Abel判别法)f (x)dx收敛，g (x)在a, b)上单调有界ab(2) (Dirichlet 判别法) F( ) = f (x)dx在a, b )上有界，g(x)在a(0, b a上单调，且 lim g(x) 0.x b证明：(1)只须用第二中值定理估计2)的证明.例9.14讨论积分.1 sin 1 xdx 0 xp dx(0p 2)的敛散性解：对于0p1 ,因为1 1由dx收敛知0xp绝对收敛敛对于0 p2,因为函数f(x) = x2 p，当x 0时单调趋于0,而函数g(x)=1 sin x 1sin 1_x0 xp

10、dx满足所以积分 1 sin pTdx收敛. x但在这种情况下,dx是发散的,1 sin x xp事实上1 sin x xp.2 1sin xxp2xp2cosx2xp1 1因0dx发散，dx发散21cos0莎dx收敛，从而当0 p1/.1 sin 1 当 0时，上式无极限，所以积分0dx发散.x值得注意的是，两种广义积分之间存在着密切的联系设 & f (x)dx中 x=a 为a1f (x)的瑕点，作变换y=,贝卩有x aba f (x)dx =f(a-)2 dy,而后者是无限y区间上的广义积分.习题9.21、论下列积分的敛散性(包括绝对收敛,条件收敛，发散)(1)In In x .,sin

11、xdx ；In x sin x2dx ；-dx ；2.2 匕入,cos xsin x(5)i In xx21dx;10xp 1(1 x)q 1 In xdx ;p 1 q 1(6)(p,q 0)；1X x ,dx0 In xdx;(8)(9)p 1 xx e dx;xp1dx;x(10)(11)(12)sinxe sin2xqx sin x , 厂dx1 xsin(x 丄)dx;(p 0)；(p 0) 10时，函数f(x)单调趋于+,则2. 证明：若瑕积分f(x)dx收敛，且当x lim x f (x)=0 .x 03. 若函数f (x)在a,)有连续导数f lx), 且无穷积分 f(x)dx与 f/(x)dx都收敛， 则 lim f (x)=0 .ax4. 设f(x)在a,)上可导，且单调减少，lim f (x)=0,求证：xf (x)dx 收敛xf z(x) dx 收敛.aa5. 证明：若函数f(x)在a,)上一致连续，且无穷积分f (x)dx收敛，则lim f (x)=0.x6. 求证：若无穷积分f (x)dx收敛， 函数f(x)在a,)内单调， 则a7. 计算下列广义二重积分的值.(1)