单摆测量重力加速度实验的误差分析

1、单摆测量重力加速度实验的误差分析吉恒（云南省通海县第二中学，云南，玉溪652701）单摆实验是普通物理的基本实验之一，同时也是必做实验之一。其原理简 单、易懂，原则上只要在同一地点进行实验，都应得到相同结果，但在实际操作 过程中一些不可避免的因素会影响实验结杲的精确度。为提髙实验的精确度，减 小各种不可避免因素给实验结果带来的影响，本文从以下几方面着手对此实验进 行分析和研究。首先，对摆角进行分析，因为随摆角大小的变化，摆道循的运动规律是不一 样的。在实验原理中，一般是把它理想化地当作简谐运动来处理，让其满足简谐 运动的运动方程，然后来求解其周期公式，事实上这是有条件限制的。因此本文 采用了增

2、维精细积分的方法来讨论单摆在什么样的摆角情况下才能够做线性动 力学分析，也就是单摆满足简谐运动运动规律的摆角范围。其次，单摆摆长的测量也是引起实验误差的原因二一。本文就单摆摆长的不 同测量方法带来的E类标准不确定度（由实验仪器的精确度引进）进行计算、分 析、比较，以选取最佳测量方法。1.单摆测量重力加速度的实验原理如图1所示，单摆就是用一根不可伸长的轻线悬挂一个小球，使其可绕摆的 支点。做摆动，当小球作摆角很小的摆动时就是一个单摆。设小球的质量为加，其质心到支点。的距离为/（摆长）。建立自然坐标系,根据受力分析，作用在小球上的切向力的大小为加gsin&,方向总指向平衡点心 当&很小时，有sin

3、8&,此时切向力的大小近似为加g&。 法向，绳的张力和重力的分力相平衡。根据牛顿第二 运动定律,质点动力学方程为：tnat = mgO因勺=/害，代入上式得dr（1）上式即为单摆的运动微分方程。对上式移项得到d20罟+侶。dr若令则有其解为0 = Acos（5/ + a）式中q与a是待定常数。由于单摆运动的周期性，应有0 = Acose（）（f+ 7j+a0 = A cos(ty(/ + coJT + a)又因余弦函数的周期为2兀，故y）T = 2/r将式（2）代入得T = 2兀 I-实验时，若只测量一个时间周期，则测量误差相对较大，因此一般采用测量连 续摆动n个周期的时间I；此时（5）式变为

4、：4 , n2l8= r （6）以上为基本实验原理，理想情况（即忽略复摆，空气阻力，空气浮力等因素对实验的影响）下只要在同一地点进行实验，都应得到相同结果，但在实际操作 过程中一些不可避免的因素会影响实验结杲的精度。2实验改进2.1摆角范围讨论在上述实验原理中，谈到当摆角很小时，可将sin。近似为&处理，但未确切 说明到底要多小；同时对0角增大了又是怎样的情况也没有誇虑进来。因此，若 要建立单摆模型，让单摆摆动起来，摆角范围的大小就是首要解决的问题。则单摆非线性动力学方程变为:p = -ysin &根据增维思想，通过一维变量x三1和貝三0的引入 可将式（8）写成矩阵形式的齐次状态方程:记V =

5、 (9 p x FV = o p010H =00sin I_ 0000010 、0P =00 SsinB /P，(9)X0_000 _X于是式（8）简写为V = HV根据矩阵分析理论，其解为(10)V = eH,VQ其中Wo为初始状态向量W为任意时刻的状态向量。为得解的递推表达式，将时间轴等分为N段，即52,心心+1，G时间步长为则由J时刻的状态向可求S时刻的状态向量即(11)其中指数矩阵采用高精度、高效率的精细积分法。以上是采用髙精度、高效率的增维精细积分推导出的求解单摆非线性动力摆角和摆速（取摆角初始速度都为零）的迭推公式。通过单摆线性动力响应与非线性动力响应的对比分析,得出了能简化为线性

6、动力问题的最大摆角值及最大摆角 和摆长对非线性动力问题摆角相位、摆速相位的变化规律，即当初始摆角小于 久=10。时，采用非线性动力方程求解的摆角时程曲线、摆角速度时程曲线分别 与同一问题线性动力方程求得的摆角时程曲线、摆角速度时程曲线几乎完全重合, 达到同一周期两者间的相位差很小，可以忽略不计。但是当初始摆角超过 久= 10后，随着初始摆角的增大，采用非线性动力方程求得的摆角、摆角速度达 到某一平衡位置所需的时间分别比采用线性动力方程所得的摆角、摆角速度达到 同一周期平衡位置所需的时间越来越长。因此，当初始摆角大于久=10后，不能 采用简化的线性动力方程来求解单摆动力响应，否则所得结杲与实际存

7、在较大 的差距，而应采用非线性动力方程求解。所以，若要采用简谐运动方程来求解单 摆周期公式，实验中单摆的摆角应该小于10。，误差也才能因此而减小。换言之，只有在单摆摆动的角度小于10。的情况下，单摆的微分方程才可表 示为式（1）的形式，才可求解得相应地，重力加速度的表达式为g =4沪+。此即为实验原理中介绍的周期公式 和重力加速度公式的来由。2.2摆长的测量方法选择在测量摆长的过程中，方法选择的不同，误差的来源以及传递就不同，引起 的误差大也就不一样。在选用的长度测量工具都为米尺和游标卡尺的情况下（即 仪器的精确度等级相同，其极限误差值相同），测量方法对由实验仪器引入的 E类标准不确定度”的影响是不同的。实验中用毫米刻度的米尺测量摆线长度，用游标卡尺测量摆球直径，其中米尺的板限误差为0.1mm ,游标卡尺的极限误差为0.02mm摆长的测量方法 一般如下三种。摆球的直径。如图2所示，厶为支点到摆球上端的距离，厶为支点到摆球下端的距离，D为方法1：/如厶）/2=0.040?其B类标准不确定度为：方法2：图2单摆摆长E类标准不确定度为：U（B）=（甲）2 +（2217 = 0.0954”