导数问题中的分类讨论

1、导数问题中分类讨论的方法摘要：近年，高考解答题对导数部分的考察几乎都会涉及到对某个参数的分类讨论，而考生的在这一题中的得分率并不高。主要原因有两个，一是看不懂题意，二是不会分类讨论。而分类讨论在高考中处于重要的地位”：分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点与热点，而且是高考的难点。每年在中高档题甚至在低档题中都设置分类讨论问 题，通过分类讨论考查推理的严谨性和分析问题解决问题的能力。本人在几年的教学生涯中，对这类问题作了一定的探讨，并总结出了导数问题中解答问题的步骤及引起分类讨论的原 因。关键词：单调区间，极值，分类，最值，取值范围 为了更好的解决导数中分类讨论的问题，笔者建议按

2、照下列步骤来解决导数解答题（1）求导 f （X）（2）令 f（x）=O（3）求出f（x）=O的根（4）作出导数的图像或等价于导数的图像（一般是二次函数或一次函数的图像）（5）由图像写出函数的单调区间，极值，或最值规范了步骤后，在解题过程中涉及到的分类讨论一般有：方程f（x）=0的类型引起的讨论、根的存在引起的讨论、根的大小引起的讨论、画图像时开口或斜率的讨论、根与给定区间 或定义域的端点的大小的讨论）下面笔者结合若干例题对上述的分类讨论方法作一一阐述2例1若函数f（x）=ax+lnx （a0）,求函数的单调区间。x解： f （x）二 a牛 丄二 ax葺- （x 0）x x x令f（x）=0,即

3、：ax2 x-2 =0（注意这里方程的类型需要讨论）若a =0,则x =2,作出g（x）=x-2的图像，由图像可知f （x）在（0,2）上为减函数，在（2, + a）上为增函数若a0,贝y厶=1 8a 0,由 ax2 x2 = 0，得1+8a1 + / +8a捲02a2a作出h(x)二ax2 - x - 2的图像，由图像可知f(x)在(0,X2)上为减函数，在(X2,二)上为增函数综上所述：a = 0时，f (x)在(0,2)上为减函数，在(2, + R)上为增函数a 0时，f (x)在(0,11 8a )上为减函数2a在(一118a， ：)上为增函数2a例2： (08全国高考)已知函数f(x

4、) = x3 + ax2 + x+ 1, a R ,讨论函数f(x)的单调区间 解: f (x)二 3x2 2ax 1令f (x) =3x2 2ax 1 =0(注意这里根的存在需要讨论).：=4a2 -12若厶=4a2 -12 _0，即一 .3 _a _ 3 ,则f(x)在R上为增函数若厶=4a2 -12 0,即a ：3或a3由 f (x) =3x2 2ax 1=0得，_a - la2 _3_a +詁a2 _3X1, x233f (x)在 (-：-a - a2 -33在(_a _ a2 _3 -a a2 _3)上为减函数综上所述：-，一3乞a乞.,3时，f（x）在R上为增函数2 2a .3或a

5、3时，f（x）在（：，兰a3）或 （一a a 3,-：）33上为增函数，在（一 a 一心 一3，二？）上为减函数33k 2例 3. (2010 北京)已知函数 f(x)=ln(1+ x)- x+ x2 ( k 0)。2求f ( x)的单调区间。解：5宀八=*八）令f（x）=o，即：x（kx k -10 （这里需要对方程 kx，k-1=0的类型讨论）若k=0，则f （x厂1 +xf （x）在（-1,0）上为增函数，在（0，+8）上为减函数若 k 丰 0,由 x（kx k -1） =0 得，亠 1x=0或x1-1（这里需要对两个根的大小进行讨论）k2x若 k=1，贝U f （x）二0， f （x）

6、在（-1, + 8）上为增函数1 +x1若0 : k : 1，则f （x）在（-1,0）或（1,：）上为增函数1在（0,1）上为减函数1若k 1，则f （x）在（一1, -1）或（0,咼）上为增函数1在（1,0）上为减函数k综上所述：若k=0 , f（x）在（-1,0）上为增函数，在（0, +7 上为减函数1若 0 : k : 1, f （x）在（_1,0）或（-1,=）上为增函数1在（0,1）上为减函数若k=1 , f （x）在（-1, + m）上为增函数1若k 1 , f （x）在（_1,1）或（0,=）上为增函数1在（1,0）上为减函数.kx例4. （2009北京理改编）设函数 f（X）

7、二xe ，求函数f（X）解：f (x) =ekxkxkxkxe e (kx 1)令f (x) =0，即kx 1 =0(这里需要对方程 kx 1 = 0讨论）若k = 0,贝y f (x) =10 , f (x)在R上为增函数1若k丰0则由kx 1 =0得，x（这里需要对 y = kx k斜率讨论）11 若k0则f（x）在（-：，）上为减函数，在（-一：）上为增函数kk11右k0则f （x）在上为减函数，在,母）上为增函数kk11若k0,则f （x）在（-卩）上为增函数，在（-一，匸：）上为减函数kk例5:(海南2011四校联考)f(x) =21 nx 2x 3,g(x)二(p -2)x 匚2

8、一3x若对任意的x 二1,2, f (x) _ g(x)恒成立，求实数p的取值 范围解：f (x)的定义域为(0, ：)设h(x)二 f (x) -g(x) = 21 n x - px设 h (x)2-px 2x p 22x2令设h (x) = 0,即- px 2x p0 (对方程类型的讨论)2x + 2若p=0,则设h (x)二一厂0x则h(x)在1,2上为增函数，h(x)min二h(1)r-2,不符合要求若 p丰0,由一px2 2x p 2=0 得x - _1 或 x =(对两根的大小，定义域的端点、给定区间的端点大小的讨论)若-一-1,即 p -1,则 h(X)min =h(1) =0,

9、符合题意p若丄_2 ： _1,即一仁：p ：0,则 h(X)min =h(1) =2p-2 ： 0，不符合题意 p若 -1 ：丄上：0，即- 2 :： p :： -1,则 h(x)min 二 h(1) - -2p-2 0,符合题意 pp + 2若0,即 p - -2,则 h(x)min = h(1) = 2 0 ,符合题意pp + 2若 01,即 p -2,则 h(x)min 二 h(1)n-2p-2 0,符合题意p1_1 X-1 01 2图略若 1 -2 : 2,即 p . 2,则 h(1) = -2 p - 2 : 0 ,不符合题意P若 匚2 =2,即p =2,则h(1) = -2 0 ,

10、不符合题意P若 匕一2 2,即0 ： p ：, 2,则 h(1)二一2p - 2 ： 0，不符合题意P综上所述：p的取值范围为(-二下面笔者就海南2010年高考的压轴题来说明本人提出的解题步骤和讨论方法具有一定 的实用价值，当然解答的过程可能不够严谨，处于定性的范围，不足之处，望全体同仁多 多指教。例6:(海南2010理)x2设函数 f (x) = e -1 - x -ax。若当 x _ 0 时 f (x) _ 0 ,求a的取值范围f (x)二 ex2ax1令f (x) =ex 2ax -1 =0 (此方程是个超越方程，故根的讨论转换成两个函数的交点的问题)即 ex = 2ax - 1令 y1 二 e*，y2 = 2ax 1易求得y1 ex在A的切线的斜率为11显然若有2a -1，即a则有ex _ 2ax T恒成立2即f (x) =ex -2ax 一1亠0恒成立所以 x 0 ,时 f (x) 一 f (0) =0，即 f(x) _01若有2a 1，a则显然存在区间(0, X0)使得2X，(0,