实数型不确定多属性决策方法及应用

1、决策(decision making)，即抉择、决定的意思。 例1：假期旅游，是去风光绮丽的杭州，还是去迷人的北戴 河，或者是去山水甲天下的桂林。确定一个旅游目的地， 或把3个目的地进行排序即为决策。其中可供选择的旅游目 的地“杭州”，“北戴河”，“桂林”称为方案，或备选 方案。你 会根据诸如景色、费用、居住、饮食、旅途条件等一些准 则去反复比较哪三个候选地点。 因素 目的地 景色费用居住饮食旅途 杭州 北戴河 桂林 其中，“景色”，“费用”，“居住”，“饮食”，“旅 途”称为因素， 也称为属性，指标等。这种决策问题称为多属性决策 (multiple attribute decision ma

2、king)问题或称之为有限个方 案 的多目标决策 。 多属性决策是现代决策科学的一个重要组成部分，它 的理论和方法在工程设计、经济、管理和军事等诸多领域 中有着广泛的应用，如：投资决策、项目评估、维修服务、 武器系统性能评定、工厂选址、投标招标产业部门发展 排序和经济效益综合评价等多属性决策的实质是利用已 有的决策信息通过一定的方式对一组(有限个)备选方案进 行排序或择优它主要由两部分组成：(l) 获取决策信 息决策信息一般包括两个方面的内容：属性权重和属性 值(属性值主要有三种形式：实数、区间数和语言) 其中，属性权重的确定是多数性决策中的一个重要研究内 容；(2)通过一定的方式对决策信息进

3、行集结并对方案进 行排序和择优 第一讲 基于OWA算子的多属性决策方法 为了方便起见,下面先给出一些基本概念: 定义1 设 是一组给定的数据，函数 ，若 12 (,) n a aa : n fRR 1212 1 11 ( ,)() n nni j f a aaaaaa nn 则称函数 为算术平均算子（arithmetic averaging (AA) operator）。 f 定义2 设函数 ， 是一组给 定的数据,若 : n WAA RR 12 1 (,) n wnjj j WAAa aaw a 其中 12 (,)T n ww ww 是数据组 12 (,) n a aa 的权重 向量，0,1

4、 j w 1jn 1 1 n j j w R为实数集.则称 函数WAA为加权算术平均算子 (weighted arithmetic averaging (WAA) operator)。 12 (,) n a aa 该算子的特点是：只对数据组 中的每个 数据进行加权(即根据每个数据的重要性赋予适当的权 重），然后对加权后的数据进行集结。 12 (,) n a aa 例1 我校教学水平评估，在4项指标：办学指导思想，学 风，教学效果，特色项目. 得分为数据组 4项指标的权重向量为 ，则加权平 均综合得分为 (91,82,83,93) (0.4,0.1,0.2,0.3)Tw (91,82,83,93

5、) 91 0.4820.1830.2930.3 89.1 w WAA 因素 目的地 景色费用居住饮食旅途 杭州(A) 85 80 857890 北戴河(B)80 70 889080 桂林(C)841009080100 1 (85,80,85,78,90)(8580857890)83.6 5 A f 1 (80,70,88,90,80)(8070889080)81.6 5 B f 1 (84,100,90,80,100)(84 1009080 100)90.8 5 B f 因素 目的地 景色费用居住饮食旅途 杭州(A) 85 80 857890 北戴河(B)80 70 889080 桂林(C)8

6、41009080100 (85,80,85,78,90) 0.3 850.3 800.1 850.2 780.1 9082.6 A WAA (0.3,0.3,0.1,0.2,0.1)Tw 若因素的权重向量为： (80,70,88,90,80) 0.3 800.3 700.1 880.2 900.1 8079.8 A WAA (84,100,90,80,100) 0.3 840.3 1000.1 900.2 800.1 10090.2 A WAA 定义3 设函数 是一组给定 的数据,若 :, n OWA RR 12 1 (,) n wnjj j OWAa aaw b 其中 12 (,)T n W

7、w ww 是与函数OWA相关联的权重 0,1 j w 1jn 1 1 n j j w 函数OWA为有序加权算术平均算子 (ordered weighted averaging operator)。 向量，且 为数据组 j b 12 (,) n a aa 中第 个大的元素。R为实数集 ，则称j 12 (,) n a aa 上述算子的特点是：对数据 ，按从大到小 的顺序重新进行排序并通过加权集结。而且元素 与 没 有任何联系。只与集结过程中的第i个位置有关(因此加权向 量w也称为位置向量) 12 (,) n a aa i a i w 例1 国家有一项对国有企业的扶持资金，重点扶持效益好 的5家国有

8、企业，其资金扶持比例从好到差为权重向量 (0.5,0.3,0.1,0.05,0.05)W ，5家国有企业效益测评结果为 数据组(521,863,238,469,790)，OWA加权平均扶持资 金为 )790,469,238,863,521( w OWA 0.5 8630.3 7900.1 521 0.05 4690.05 238 755.95 而算术平均算子运算的结果为 (521,863,238,469,790) w AA 1 (863790521469238)576.2 5 所以，OWA是一个与数据位置有关的算子。 基于OWA算子多属性决策方法具体步骤： 步骤1：对于某一多属性决策问题，设

9、为方案集， 为属性集，属性权重信息完全未 知对于方案 ，按属性 进行测度，得到 关于 的属性 值 ，从而构成决策矩阵 ，如表1.1所示 12 ( ,) n Xx xx 12 ( ,) m Uu uu i x j u i x ij a() ijn m Aa j u 1 x 2 x n x 1 u 2 u m u 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a2m a 1n a 2n a nm a 表1.1 决策矩阵A 属性类型一般有效益型、成本型、固定型、偏离型、区间 型、偏离区间型等，其中效益型属性是指属性值越大越好的 属性，成本型属性是指属性值越小越好的属性，固定型属性 是指属性值越接近某

10、个固定值 越好的属性，偏离型属性是 指属性值越偏离某个固定值 越好的属性区间型属性是指 属性值越接近某个固定区间 (包括落入该区间)越好 的属性，偏离区间型属性是指属性值越偏离某个固定区间 越好的属性。为了消除不同物理量纲对决策结果的 影响，决策时可按 下列公式对决策矩阵A进行规范化处理： i j 12 , jj qq 12 , jj qq max ij ij ij i a r a iN 若属性值为效益型，则令 或 min maxmin ijij i ij ijij ii aa r aa iN (1.2a) (1.2b) iN 若属性值为成本型，则令 或 max maxmin ijij i i

11、j ijij ii aa r aa iN min ij i ij ij a r a (1.3a) (1.3b) 1 max | ijj ij ijj i a r a iN 若属性值为固定型，则令 min | | max |min | ijj i ijijj ijjijj ii a ra aa iN 若属性值为偏离型，则令 (1.4) (1.5) 12 12 12 12 max(,) 1, max(min,max) 1, jj ijijjj ij jj ijij ij ii jj ij qa aq aq q qaaq r aq q iN 若属性值为区间型，则令 12 12 12 12 max(,

12、) , max(min,max) 0, jj ijijjj ij jj ijij ij ii jj ij qa aq aq q qaaq r aq q iN 若属性值为偏离区间型，则令 (1.5) (1.6) A经过规范化处理后，得到规范化矩阵 步骤2 利用OWA算子对各方案 进行集结，求得 其综合属性值 ( ) ijn m Rr () i x iN ( ) i z w 12 1 ( )(,) m iwiiimjj j z wOWArrrw b 其中 12 (,)T n Ww ww 是OWA算子的加权向量， 0,1, j w 1,jm 且 为数据组 j b 12 (,) iiim r rr 中

13、第 个大的元素。j 1 1, m j j w 步骤3 按 的大小对方案进行排序并择优( ) (1) i z win 实例分析 例 投资银行拟对某市4家企业(方案) 进 行投资，抽取下列5项指标(属性)进行评估： 产值(万 元); 投资成本(万元); 销售额(万元); 国家 收益比重； 环境圬染程度。投资银行考察了上年度4 家企业的上述指际情况(其中污染程度系有环保部门历时检 测并量化)，所得评估结果如表1.2 所示。在各项指行中， 投资成本、环境污染程度为成本型，其他为效益型属性 权重信息完全未知，试确定最佳投资方案 (1,2,3,4) i x i 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 1

14、x 2 x 4 x 1 u 2 u 4 u 835053006135 6527 8892 0.82 74554952 0.65 11000800190080.59 9624 50000.74 表1.2 决策矩阵A 3 x 3 u 5 u 0.17 0.13 0.15 0.28 步骤1 利用(1.2a)式将 , , 列规范化，得到矩阵 R，如表1.3所示。 2 u 5 u max ij ij ij i a r a iN(1.2a) 成本型 1 u 3 u 4 u 1 x 2 x 4 x 1 u 4 u 0.74550.6811 0.7246 0.9871 1.0000 0.67770.7926

15、1.00001.0000 0.7195 0.87490.9024 表1.3 决策矩阵R 3 x 3 u 2 u 5 u 成本型 步骤1 利用(1.3a)式将 , 列规范化，得到规范化矩阵 R，如表1.3所示。 2 u 5 u 2 u 5300 4952 8001 5000 5 u 0.17 0.13 0.15 0.28 iN min ij i ij ij a r a (1.3a) 1 x 2 x 4 x 1 u 2 u 4 u 0.74550.9343 0.6811 0.7246 0.9871 1.0000 0.6777 1.00000.7926 1.0000 0.6189 1.0000 0.

16、7195 0.87490.99040.9024 表1.3 决策矩阵R 3 x 3 u 5 u 0.7647 1.0000 0.8667 0.4643 步骤2 利用OWA算子对各方案 进行集结， 求得其综合属性值 ，设OWA算子的加权向量为 (1,2,3,4) i x i ( ) i z w (0.36,0.16,0.16,0.16,0.16)TW 1 x 2 x 4 x 1 u 2 u 4 u 0.74550.9343 0.6811 0.7246 0.9871 1.0000 0.6777 1.00000.7926 1.0000 0.6189 1.0000 0.7195 0.87490.9904

17、0.9024 表1.3 决策矩阵R 3 x 3 u 5 u 0.7647 1.0000 0.8667 0.4643 11112131415 ( )(,) w z wOWArrrrr (0.36,0.16,0.16,0.16,0.16)TW 0.36 1.00000.16 0.93430.16 0.7647 0.16 0.74550.16 0.6811 0.8596 1 x 2 x 4 x 1 u 2 u 4 u 0.74550.9343 0.6811 0.7246 0.9871 1.0000 0.6777 1.00000.7926 1.0000 0.6189 1.0000 0.7195 0.8

18、7490.99040.9024 表1.3 决策矩阵R 3 x 3 u 5 u 0.7647 1.0000 0.8667 0.4643 22122232425 ( )(,) w zwOWArrrrr (0.36,0.16,0.16,0.16,0.16)TW 0.36 1.00000.16 1.00000.16 0.7926 0.16 0.72460.16 0.6777 0.8712 1 x 2 x 4 x 1 u 2 u 4 u 0.74550.9343 0.6811 0.7246 0.9871 1.0000 0.6777 1.00000.7926 1.0000 0.6189 1.0000 0.

19、7195 0.87490.99040.9024 表1.3 决策矩阵R 3 x 3 u 5 u 0.7647 1.0000 0.8667 0.4643 33132333435 ( )(,) w zwOWArrrrr (0.36,0.16,0.16,0.16,0.16)TW 0.36 1.00000.16 1.00000.16 0.8667 0.16 0.71950.16 0.6189 0.8728 1 x 2 x 4 x 1 u 2 u 4 u 0.74550.9343 0.6811 0.7246 0.9871 1.0000 0.6777 1.00000.7926 1.0000 0.6189 1

20、.0000 0.7195 0.87490.99040.9024 表1.3 决策矩阵R 3 x 3 u 5 u 0.7647 1.0000 0.8667 0.4643 44142434445 ( )(,) w zwOWArrrrr (0.36,0.16,0.16,0.16,0.16)TW 0.36 1.00000.16 0.98710.16 0.9024 0.16 0.87490.16 0.4643 0.8731 1( ) 0.8596;z w 汇总： 2 ( )0.8712;zw 3( ) 0.8728;zw 4 ( )0.8731.zw 步骤3 按 的大小对各企业进行排序( ) (1,2,3

21、,4) i z wi 4321 xxxx 为最佳企业。 4 x 湛江是我国首批对外开放的沿海城市,1999年以来，先后获 得“全国绿化达标城市”、“广东省卫生城市”、“中国优 秀旅游 城市”、 “国家园林城市”等荣誉称号。近几年，随着城 市的 发展，市委、市政府加大了环境保护的投入，不断强化环境 基础设施建设，加强城市环境综合治理，使得湛江市的环境 质量逐年提高。现用你掌握地方法，对其2002-2006年的城 市环境质量进行综合评判。 按照“十五”期间城市环境综合整治定量考核指标实 施 细则汇总出测评指标，见表1。 一级指标 二级指标 三级指标 定义4 设函数 是一组给定 的数据,若 :, n

22、 CWAA RR ,12 1 (,) n wnjj j CWAAa aaw b 其中 12 (,)T n ww ww 是与函数CWAA相关联的权重 0,1, j w 1,jn 1 1 n j j w 向量，且 为加权数据 j b 1 122 (,) nn na nana j 12 (,) n a aa 中第 个大的元素。这里， 12 (,) n 是数据组 12 ( ,) n a aa的加权向量， 0,1, j 1,jn 1 1, n j j n 是平衡因子。 则称函数CWAA为组合加权算术平均算子 (combination weighted averaging operator)，简称CWAA

23、算子。 例 设 12 (,)(0.1,0.4,0.4,0.1) TT n ww ww是CWAA 算子的加权向量， 1234 (,)(7,18,6,2)a a a a 是一组给定的 数据，数据组的加权向量为 12 (,)T n (0.2,0.3,0.1,0.4) , T 则 11 45.6, 22 421.6, 33 42.4, 44 43.2 因此 1 21.6,b 2 5.6,b 3 3.2,b 4 2.4b 12 (,)(0.1,0.4,0.4,0.1) TT n ww ww 1 21.6,b 2 5.6,b 3 3.2,b 4 2.4b ,1234 1 (,) n wjj j CWAAa

24、 aaaw b 0.1 21.60.4 5.60.4 3.20.1 2.4 5.92 CWAA算子不仅考虑了每个数据自身的重要性程度，而且 还体现了该数据所在位置的重要程度 决策方法 在现代大型决策过程中，为了体现决策的民主性和合 理性，往往需要多个决策者的共同参与(即群决策)下面 介绍一种基于OWA算子和CWAA算子的多属性群决策方 法，具体步骤如下： 步骤1 对于某一多属性群决策间题设 和 分别 为方案集和属性集。属性权重信息完全未知。 为决策者集， 为决策 者的权重向量。 XU 12 (,) t Dd dd 12 (,) t 1 0,1,1,2, ,1. t kk k kt 设决策 者

25、k dD给出方案 i xX在属性 j uU 下的属性 值 ，从而构成决策矩阵 。若 的物理 量纲不同，则需要对其进行规范化处理假设 经过规范化 处理后，得到规范化矩阵为 。 步骤2 利用OWA算子对决策矩阵 中第 行的属性值 进行集结，得到决策者 所绐出的方案 综合属性值 ( )k ij a ( ) () k kijn m Aa k A k A ( ) () k kijn m Rr k R k d i x i ( ) ( )(1,2, ;1,2, ) k i zw in kt ( )( )( )( )( ) 12 1 ()(,) m kkkkk iwiiimjij j zwOWArrrw b

26、(1,2, ;1,2, )in kt 其中 12 (,)T n ww ww是OWA算子的加权向量， 0,1, j w 1,2,jm 1 1. n j j w ( )k ij b 且 (1,2,)lm 中第 个大的元素。j 是 ( )k il r 步骤3 利用CWAA算子对第 位决策者给出的方案 的综合属性值 进行集结，得到 方案 群体综合属性值 t i x ( ) ( )(1,2, ) k i zwkt i x( ,)(1,2, ) i zwin (1)(2)( )( ) , 1 ( ,)( ),( ),( ) t tk iwiiiki k zwCWAAzw zwzww b (1,2, )in

27、 其中 12 (,)T t ww ww是CWAA算子的加权向量， 0,1, j w 1,2,jm 1 1. n j j w ( )k i b 且 大的元素。 是平衡因子。 k 是一组 加权数据 (1)(2)( ) 12 ( ),( ),( ) t iiti tzw tzwtzw 中第 个 t 步骤4 利用 对方案进行排 序和择优 ( ,)(1,2, ) i zwin 该决策方法首先利用OWA算子进行横向集结(即对一 个次策者所给定的某一方案所有属性进行集结)，然后利用 CWAA算子对横向集结结果进行纵向集结(即对由不同次策 者得到的同一方案综合属性值进行集结)由于在一些决策 过程中，往往会出现

28、个别决策者受个人感情等主观因素的 影响对某些方案作出过高或过低的评价，因而会导致不 合理的决策结果。CWAA算子不仅能充分考虑决策者的自 身重要性程度，而且尽可能地消除这些不公正因素的影 响，并增加中间值的作用（一般是对过高或过低的方案综 合属性值赋于较小的权重)，从而增强决策结果的合理性。 例15 考虑航天设备的评估问题首先制定8顶评估指 标(属性)： 导弹预警能力； 成像侦察能力； 通 信保障能力； 电子侦察能力； 卫星测绘能力： 导 航定位能力； 海洋监测能力； 气象预报能力指标 (属性)权重信息完全未知。现有4位专家 ， 权重向量为 依据上述各项指标对4 种航天装备 进行打分 (范围从

29、0分到100分) 结 果如表1.4-表1.7所示试确定最佳航天设备 1 u2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u (1,2,3,4) k dk (0.27,0.23,0.24,0.26) (1,2,3,4) i x i 1.2.3 实例分析 1 x 2 x 4 x 1 u 2 u 4 u 85 95 65 75 表1.4 决策者d1给出的决策矩阵R1 3 x 3 u 7 u 75 75 80 9095 60 95 50 60 70 65 65 5 u 70 90 90 95 6 u 80 85 95 75 90 80 70 85 8 u 80 85 70 85 1 x 2 x

30、4 x 1 u 2 u 4 u 85 65 表1.5 决策者d2给出的决策矩阵R2 3 x 3 u 7 u 75 5 u 70 90 90 6 u 95 75 90 7085 8 u 80 70 60 60 60 65 60 65 65 90 60 75 60 80 7090 95 95 7095 65 1 x 2 x 4 x 1 u 2 u 4 u 表1.6 决策者d3给出的决策矩阵R3 3 x 3 u 7 u 75 5 u 90 6 u 8 u 80 60 60 60 65 80 95 75 65 80 85 85 50 60 90 85 60 85 85 95 80 65 90 80 6

31、0 85 85 75 95 70 1 x 2 x 4 x 1 u 2 u 4 u 表1.7 决策者d4给出的决策矩阵R4 3 x 3 u 7 u 5 u 90 6 u 8 u 8070 65 85 90 8085 95 90 85 80 757070 70 85 70 80 60 65 80 80 65 80 9570 85 85 70 90 85 由于所有指标均为效益型，量纲一致，为了方便起 见，不把决策矩阵规范化 下面利用1.1.2节中的方法进行求解： 步骤1 设OWA算子的加权向量为 (0.3,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1)w ，对决策矩阵 中第 行的属性值进行

32、集结，得到决策者 所给出的方案 综合属性值 k R i k d i x ( ) ( )( ,1,2,3,4) k i zw i k 1 x 2 x 4 x 1 u 2 u 4 u 85 95 65 75 表1.4 决策者d1给出的决策矩阵R1 3 x 3 u 7 u 75 75 80 9095 60 95 50 60 70 65 65 5 u 70 90 90 95 6 u 80 85 95 75 90 80 70 85 8 u 80 85 70 85 1 x 2 x 4 x 1 u 2 u 4 u 85 95 65 75 表1.4 决策者d1给出的决策矩阵R1 3 x 3 u 7 u 75

33、75 80 9095 60 95 50 60 70 65 65 5 u 70 90 90 95 6 u 80 85 95 75 90 80 70 85 8 u 80 85 70 85 (1)(1)(2)(8) 1111218 ( )(,) w zwOWArrr 0.3 950.1 900.1 900.1 85 0.1 850.1 800.1 700.1 60 84.50 同理： (1) 1 ( )zw (1) 2 ( )zw (1) 3 ( )zw (1) 4 ( )zw (1) 1 ( )zw (1) 2 ( )zw (1) 3 ( )zw (1) 4 ( )zw 1 d (2) 1 ( )

34、zw (2) 2 ( )zw (2) 3 ( )zw (2) 4 ( )zw 2 d (3) 1 ( )zw (3) 2 ( )zw (3) 3 ( )zw (3) 4 ( )zw 3 d (4) 1 ( )zw (4) 2 ( )zw (4) 3 ( )zw (4) 4 ( )zw 4 d 1 x 2 x 4 x 3 x 1 2 3 4 84.5797580 82798083 8382.589.587.5 7974.573.576 x x x x 1234 dddd 步骤2 设CWAA算子的加权向量为 (1/6,1/3,1/3,1/6),w (0.27,0.23,0.24,0.26)由已知，

35、4位专家的权重向量为 (1) 1 1 ( )40.2784.591.26,nzw 1 2 3 4 84.5797580 82798083 8382.589.587.5 7974.573.576 x x x x 1234 dddd 0.270.230.240.26 (1) 1 1 ( )40.2784.591.26,nzw (2) 21 ( )40.237972.68,nzw (3) 31 ( )40.247572,nzw (4) 41 ( )40.268083.20.nzw 1 2 3 4 84.5797580 82798083 8382.589.587.5 7974.573.576 x x

36、x x 1234 dddd 0.270.230.240.26 (1)(1) 11 1 ( )40.2784.591.26,bnzw (3)(2) 121 ( )40.237972.68,bnzw (4)(3) 131 ( )40.247572,bnzw (2)(4) 141 ( )40.268083.20.bnzw 1 2 3 4 84.5797580 82798083 8382.589.587.5 7974.573.576 x x x x 1234 dddd 0.270.230.240.26 (1/6,1/3,1/3,1/6),w 设CWAA算子的加权向量为 因此可求得方案 的群体综合属性值

37、为 1 x 4 (1)(2)(3)(4)( ) 1,11111 1 ( ,)( ),( ),( ),( ) k wk k zwCWAAzw zw zw zww b (1/6,1/3,1/3,1/6),w (1) 1 91.26,b (2) 1 83.20,b (3) 1 72.68,b (4) 1 72.b 1/6 91.261/3 83.201/3 72.68 1/6 72 79.17 1 2 3 4 84.5797580 82798083 8382.589.587.5 7974.573.576 x x x x 1234 dddd 0.270.230.240.26 (1) 2 88.56,b

38、 (4) 2 72.68,b (3) 2 76.80,b (2) 2 86.32.b 因此可求得方案 的群体综合属性值为 2 x 4 (1)(2)(3)(4)( ) 2,22222 1 ( ,)( ),( ),( ),( ) k wk k zwCWAAzw zw zw zww b 1/6 88.561/3 86.321/3 76.8 1/6 72.68 79.87 1 2 3 4 84.5797580 82798083 8382.589.587.5 7974.573.576 x x x x 1234 dddd 0.270.230.240.26 (1/6,1/3,1/3,1/6),w (2) 3

39、 89.64,b (4) 3 75.90,b (3) 3 85.92,b (1) 3 91.b 因此可求得方案 的群体综合属性值为 2 x 4 (1)(2)(3)(4)( ) 3,33333 1 ( ,)( ),( ),( ),( ) k wk k zwCWAAzw zw zw zww b 1/6 91 1/3 89.641/3 85.921/675.90 86.34 1 2 3 4 84.5797580 82798083 8382.589.587.5 7974.573.576 x x x x 1234 dddd 0.270.230.240.26 (1/6,1/3,1/3,1/6),w (1)

40、 4 85.32,b (4) 4 68.54,b (3) 4 70.56,b (2) 4 79.56.b 因此可求得方案 的群体综合属性值为 2 x 4 (1)(2)(3)(4)( ) 4,44444 1 ( ,)( ),( ),( ),( ) k wk k zwCWAAzw zw zw zww b 1/6 85.321/3 79.561/3 70.561/6 68.54 75.68 1 2 3 4 84.5797580 82798083 8382.589.587.5 7974.573.576 x x x x 1234 dddd 0.270.230.240.26 (1/6,1/3,1/3,1/

41、6),w 1( , )79.17,zw 2( , )79.87,zw 3( , )86.34,zw 4( , )75.68.zw 步骤3 利用( ,) i zw(1,2,3,4)i 对4种航天装备 (1,2,3,4)i 3214 xxxx i x 进行排序 故最佳航天设备为 3. x 第3章 基于OWGA算子的多属性决策方法 第1节 OWGA算子 定义1.4 设GA:(), n RR 若 1 12 1 (,)() n n nj j GA a aab 则称GA为几何平均（geometric averaging）算子。 定义1.4 设WGA:(), n RR 若 12 1 (,) j n w wn

42、j j WGAa aaa 其中 12 (,)T n ww ww 是数据组 的指数 0,1, j w 1,jn 1 1, n j j w 加权向量， 12 (,) n a aa 则称函数 WGA(weighted geometric averaging)为加权几何平均算 子，也称为WGA算子。 例 设 (0.4,0.1,0.2,0.3)w 为WGA算子的加权向量， (7,18,6,2) 是一组数据，则 0.40.10.20.3 (7,18,6,2)718625.123 w WGA 1/41/41/41/4 (7,18,6,2)718626.24GA 算术平均侧重群体的作用，而几何算子强调个体作用

43、。 也就是说，只有所有数据都大，算术平均数才大。而 数据组中有一个数很小，就会导致几何平均数很小， 特别的，当这个较小的数是零时，集合平均数为零。 第3章 基于OWGA算子的多属性决策方法 第1节 OWGA算子 定义1.4 设OWGA:(), n RR 若 12 1 (,) j n w wnj j OWGAa aab 其中 12 (,)T n ww ww 是与函数OWGA相关联的指数 0,1, j w 1,jn 1 1, n j j w 加权向量， 且 为一组 j b 数据 12 (,) n a aa第 大的元素， j R 为正实数集合。 则称函数OWGA是有序加权几何平均算子。也称为 OWG

44、A算子。 例 设 (0.4,0.1,0.2,0.3)w 为OWGA算子的加权向量， (7,18,6,2) 是一组数据，则 0.40.10.20.3 (7,18,6,2)187626.8 w OWGA 第二节 决策方法 下面介绍一种基于OWGA算子的多属性决策法，具体步 骤如下： 步骤1 对于某一多属性决策问题属性权重信息完全未知， 决策矩阵为 ，() ijn m Aa max ij ij ij i a r a iN(1.2a) 若属性值为效益型，则令 若属性值为成本型，则令 iN min ij i ij ij a r a (1.3a) A经过规范化处理后，得到规范化矩阵 步骤2 利用OWGA算

45、子对各方案 进行集结，求 得其综合属性值 ( ) ijn m Rr () i x iN ( ) i z w 12 1 ( )(,) j m w iwiiimij j z wOWGArrrb 其中 12 (,)T n ww ww 是OWA算子的加权向量， 0,1, j w 1,jm 1 1, m j j w 且 为数据组 ij b 12 (,) iiim r rr 中第 个大的元素。j 步骤3 按 的大小对方案进行排序并择优( ) i z w 第3节 实例分析 例 信息系统投资项目对评价指标(属性)主要有： (1) 收入 (单位：万元)：同任何投资项日一样，其首 要目的是为了盈利因此收入应作为投

46、资评价的一个主 要因素 (2) 风脸 ：信寻系统投资的风险是第二个应考虑的因 素，尤其是政府部门信息投资项目，受政府和市场的影响 甚大。 (3) 社会效益 ：信息化建设最终是为了提高社会服务 1 u 2 u 3 u 水平。因此，社会效益应作为信息项目投资一个评价指 标，社会效益显著的投资项目不仅可以提高企业竞争，而 且更容易得到政府的认可和批准 (4)市场效应 ：在信息技术发展过程中其市场效应 是十分显著的，主要表现在两个方面：一是市场抢占速 度，尤其在政府工程项目中最为明显，谁最早成功地得到 政府都门的认可，谁就可以以其样板效应迅速抢占同类项 目市场；二是边际成本降低，开发过程的技术和项目经

47、验 积累利规模效益会极大地降低开发成本，所以在某些市场 4 u 效应显著的投资项目中可以以微利甚至亏损方式进行。 (5) 技术难度 ：在信息投资项目的开发过程中，技 术也是一个关键因素，伴随着计算机技术的发展，新的 技术不断出现，为了提高系统的实用性和安全性对技 术的要求也相应提高 在某地区信息管理系统项目中共有4种方案可供选 择，其中 由某公司投资建设，采用8Kb的CP卡； 由某公司投资建设，采用2KB的CPU卡； 由某公 司投资建设，采用磁卡； 某公司不投资，由当地 政府投资，公司只承包系统集成对上述4种方案，组 5 u 1 x 2 x 3 x 4 x 织专家论证，得到评估矩阵如表1.8所

48、示。在各项指标 中，风险 、技术难度 为成本型，其他为效益型。 属性权重信息完全未知，试确定最佳方案 5 u 2 u 1 x 2 x 4 x 1 u 2 u 4 u 表1.8 决策矩阵A 3 x 3 u 0.83 5 u 300 100 250 200 0.67 0.33 0.5 0.83 0.67 0.5 0.5 0.83 0.67 0.5 0.33 0.8 0.6 0.2 0.2 步骤1 利用公式(1.2a)、(1.3a)将A规范化，得到矩 阵 ( ) ijn m Rr 1 x 2 x 4 x 1 u 2 u 4 u 表1.9 决策矩阵R 3 x 3 u 5 u 1.0000 0.3333

49、 0.8333 0.6667 1.0000 0.3976 0.4925 0.6600 1.0000 0.8072 0.6024 0.6024 1.0000 0.8072 0.6024 0.39761.0000 1.0000 0.3333 0.2500 (1,2,3,4) i x i ( ) i z w 1234 1 ( )(,) j m w iwiiiiij j z wOWGArrrrb 步骤2 利用OWGA算子对各方案 进行集结，求得其综合属性值 ，不妨设OWGA 算子的加权向量为(0.1,0.2,0.4,0.2,0.1)w 1,2,3,4.i 1 x 2 x 4 x 1 u 2 u 4 u

50、 表1.9 决策矩阵R 3 x 3 u 5 u 1.0000 0.3333 0.8333 0.6667 1.0000 0.3976 0.4925 0.6600 1.0000 0.8072 0.6024 0.6024 1.0000 0.8072 0.6024 0.39761.0000 1.0000 0.3333 0.2500 (0.1,0.2,0.4,0.2,0.1)w 1111213141 1 ( )(,) j m w wj j z wOWGArrrrb 0.10.20.40.20.1 1.00001.00001.00000.39760.2500 0.7239 1 x 2 x 4 x 1 u

51、2 u 4 u 表1.9 决策矩阵R 3 x 3 u 5 u 1.0000 0.3333 0.8333 0.6667 1.0000 0.3976 0.4925 0.6600 1.0000 0.8072 0.6024 0.6024 1.0000 0.8072 0.6024 0.39761.0000 1.0000 0.3333 0.2500 (0.1,0.2,0.4,0.2,0.1)w 2212223242 1 ( )(,) j m w wj j zwOWGArrrrb 0.10.20.40.20.1 0.83330.80720.80720.49250.3333 0.6715 1 x 2 x 4

52、x 1 u 2 u 4 u 表1.9 决策矩阵R 3 x 3 u 5 u 1.0000 0.3333 0.8333 0.6667 1.0000 0.3976 0.4925 0.6600 1.0000 0.8072 0.6024 0.6024 1.0000 0.8072 0.6024 0.39761.0000 1.0000 0.3333 0.2500 (0.1,0.2,0.4,0.2,0.1)w 3313233343 1 ( )(,) j m w wj j zwOWGArrrrb 0.10.20.40.20.1 1.00000.66670.66000.60240.6024 0.6708 1 x

53、2 x 4 x 1 u 2 u 4 u 表1.9 决策矩阵R 3 x 3 u 5 u 1.0000 0.3333 0.8333 0.6667 1.0000 0.3976 0.4925 0.6600 1.0000 0.8072 0.6024 0.6024 1.0000 0.8072 0.6024 0.39761.0000 1.0000 0.3333 0.2500 (0.1,0.2,0.4,0.2,0.1)w 4414243444 1 ( )(,) j m w wj j zwOWGArrrrb 0.10.20.40.20.1 1.00001.00000.60240.39760.3333 0.669

54、0 4( ) 0.6690.z w 3( ) 0.6708,z w 2( ) 0.6715,z w 1( ) 0.7239,z w 步骤3 按 的大小对方案进行排序( ) i z w 1234 xxxx 最佳公司为 。 1 x 第4章 基于OWGA算子和CWGA算子的多 属性决策方法 第1节 CWGA算子 定义4 设函数 是一 组给定的数据,若 :(), n CWGARR ,12 1 (,) j n w wnj j CWAAa aab 其中 12 (,)T n ww ww 是与函数CWGA相关联的权重 0,1, j w 1,jn 向量，且 为指数加权 j b 12 (,) n a aa 1 1

55、 n j j w 12 12 (,) n nnn n aaa j中第 个大的元素。这里， 12 (,) n 是数据组 12 (,) n a aa 的加权向量， 0,1, j 1,jn 1 1, n j j n 是平衡因子。 数据 则称函数CWGA为组合加权几何平均算子，也称为 CWGA算子。 例 设 (0.1,0.4,0.4,0.1)w 为CWGA算子的指数加权 1234 (,)(7,18,6,2)a a a a是一组数据，数 0.10.40.40.1 , (7,18,6,2)32.094.743.032.054.413 w CWGA 向量， 据的指数加权向量为 (0.2,0.3,0.1,0.

56、4) ，则 1 4 0.2 1 74.74, n a 2 4 0.3 2 1832.09, n a 3 4 0.1 3 62.05, n a 4 4 0.4 4 23.03. n a 第二节 决策方法 下面介绍一种基于OWGA算子和CWGA算子的多属性决 策法，具体步 骤如下： 步骤1 对于某一多属性决策问题属性权重信息完全未知， 为 位决策者的权重向量，其中 ( ) () k kijn m Aa 12 (,) t t 0,1, k 1,2, ,kt 1 1. t k k 设决策者 k dD给出方案 i xX在属性 j uU下的属性值为 ( )k ij a ( ) (0), k ij a 从而

57、构成决策矩阵，假定决策矩阵经过规 范化处理后，得到规范化矩阵为 ( ) (). k kijn m Rr 步骤2 利用OGWA算子对决策矩阵 中第 行的 属性值进行集结，得到决策者 所绐出的方案 综合 属性值 k Ri k d i x ( ) ( )(1,2, ;1,2, ) k i zw in kt ( )( )(2)( )( ) 12 1 ( )(,)() j m w kkkk iwiiimij j zwOWGArrrb (1,2, ;1,2, )in kt 其中 12 (,)T n ww ww是OWA算子的加权向量， 0,1, j w 1,2,jm 1 1. n j j w ( )k ij

58、 b 且 (1,2,)lm 中第 个大的元素。j 步骤3 利用CWAA算子对第 位决策者给出的方案 的综合属性值 进行集结，得到 方案 群体综合属性值 t i x ( ) ( )(1,2, ) k i zwkt i x( ,)(1,2, ) i zwin (1)(2)( )( ) , 1 ( ,)( ),( ),( )() k m wtk iwiiii k zwCWAAzw zwzwb (1,2, )in 其中 12 (,)T t ww ww是CWGA算子的加权向量， 0,1, j w 1,2,jm 1 1. n j j w ( )k i b 且 个大的元素。 是平衡因子。 k 是一组 指数加

59、权数据 12 (1)(2)( ) ( ),( ),( ) k tttt iii zwzwzw 中第 t 步骤4 利用 对方案进行排 序和择优 ( ,)(1,2, ) i zwin 第3节 实例分析 例1.10 百年大计，教育为本高等教育在整个教育事 业中处于龙头地位，国家宏观职能部门如何把有限的教育 投入合理分配到全国各个高校，各高校又如何正确认识自 身的财务状况，进而提高资金利用率，这些都需要有一个 科学的高校财务评价万法来作为资金配置和使用的依据。 到目前为止，在实际工作中高校的财务评价只停留在采 用简单的财务分析方法对某一财务指标或某一方面进行反 应和评价并不能完成综合评价的任务。因此，

60、选用科学 有效的评价方法对高校财务状况进行综合评价具有重要的 观实意义。 考虑高校的财务评价的评估问题苜先制定10项评 估指标(属性)其中 预算收入完成情况； 预算 支出完成情况； 财政及上级补助收入情况； 经 费自给情况； 人员经费支出情况； 公用支出情 况； 生均支出情况； 固定资产利用情况； 流动资产占用情况； 偿还能力指标权重信息完全 未知现有4位专家 权重向量为 ，依据上述各项指标对4所高 校财务情况(方案) 进行打分(范围从0分 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u 10 u (1,2,3,4) k dk (0.27,0.23,0.24,0.26)