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1、第六章 线性空间 ( Linear Space)引言 线性空间是线性代数的中心内容,它是几何空间的抽象和推广。 我们知道, 在解析几何中讨论的三维向量, 它们的加法和数与向量的乘法可 以描述一些几何和力学问题的有关属性 为了研究一般线性方程组解的理论, 我 们把三维向量推广为 n 维向量,定义了 n 维向量的加法和数量乘法运算, 讨论了 向量空间中的向量关于线性运算的线性相关性, 完满地阐明了线性方程组的解的 理论。现在把 n 维向量抽象成集合中的元素, 撇开向量及其运算的具体含义, 把集 合对加法和数量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来, 就形成了抽象的线性 空间的概念, 这种抽象将使我们
2、进一步研究的线性空间的理论, 可以在相当广泛 的领域内得到应用 事实上, 线性空间的理论与方法己渗透到自然科学与工程技 术的许多领域,同时对于我们深刻理解和掌握线性方程组理论和矩阵代数也有非 常重要的指导意义。 1 集合映射一、集合 集合是数学中最基本的概念之一,所谓集合就是指作为整体看的一堆东西 组成集合的东西称为这个集合的元素 .用a?M 表示a是集合M的元素,读为: a属于M.用a?M 表示a不是集合M的元素,读为: a不属于M.所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的.因此给出一个集合的方式不外两种,一种是列举法:列举出它全部的元素,一种是描述法:给出 这个集合的元素所具有的
3、特征性质 .设 M 是具有某些性质的全部元素所成的集合,就可写成M = a |a 具有的性质 . 不包含任何元素的集合称为 空集,记作 j .如果两个集合 M 与N 含有完全相同的元素,即 a? M 当且仅当 a? N ,那么 它们就称为相等,记为 M = N .如果集合M 的元素全是集合 N的元素,即由a ? M可以推出a ? N ,那么M 就 称为 N 的子集合,记为 M N 或 N M .两个集合 M 和N如果同时满足 M N 和N M.,则M 和N 相等. 设M和N是两个集合,既属于 M 又属于N的全体元素所成的集合称为 M 与 N 的交 ,记为 M I N .属于集合 M 或者属于集
4、合 N 的全体元素所成的集合称为 M 与N 的并,记为 M UN .二、映射设M 和M 是两个集合,所谓集合 M 到集合M 的一个映射就是指一个法则, 它使M中每一个元素 a都有M 中一个确定的元素 a与之对应.如果映射 s使元素 a ? M 与元素 a ? M 对应,那么就记为s(a) = a ,a就为 a 在映射 s 下的 像,而 a 称为 a在映射 s 下的一个 原像 .M到M 自身的映射,有时也称为 M 到自身的变换.关于M 到M 的映射s 应注意:1) M 与 M 可以相同,也可以不同;2) 对于 M 中每个元素 a ,需要有 M 中一个唯一确定的元素 a 与它对应;3) 一般, M
5、 中元素不一定都是 M 中元素的像;4) M 中不相同元素的像可能相同;5) 两个集合之间可以建立多个映射 .集合M 到集合M 的两个映射 s及t ,若对M 的每个元素 a都有s(a)= t(a)则 称它们相等,记作 s = t .例1 M 是全体整数的集合, M 是全体偶数的集合,定义s(n) = 2n, n ? M ,这是 M 到M 的一个映射 .例2 M 是数域P上全体n级矩阵的集合,定义s1(A)=|A|,A? M. 这是M 到P的一个映射 .例3 M 是数域P上全体n级矩阵的集合,定义s2(a)= aE ,a ? P . E 是 n 级单位矩阵,这是 P 到 M 的一个映射 .例4
6、对于f(x)?Px,定义 s(f(x) = f(x) 这是 Px 到自身的一个映射 .例 5 设M , M 是两个非空的集合, a0是M 中一个固定的元素,定义s(a) = a0 ,a ? M . 这是 M 到 M 的一个映射 .例 6 设 M 是一 个集合,定义s(a) = a ,a ? M .即s把M 的每个元素都映到它自身,称为集合M 的恒等映射或单位映射,记为1M . 例7 任意一个定义在全体实数上的函数y = f(x) 都是实数集合到自身的映射,因此函数可以认为是映射的一个特殊情形 .对于映射可以定义乘法 ,设 s 及t 分别是集合 M 到M ,M 到M 的映射,乘 积ts 定义为(
7、ts)(a)= t(s(a) ,a ?M , 即相继施行 s 和 t 的结果, t s 是 M 到 M 的一个映射 .对于集合 M 到 M 的任何一个映射 s 显然都有1M s = s1M = s .映射的乘法适合结合律 .设s,t,y分别是集合 M 到M,M到M,M到M?的映射,映射乘法的结合律就是(yt )s = y(ts).设s 是集合 M 到M 的一个映射,用s(M)代表M 在映射 s下像的全体,称为 M 在映射 s下的像集合 .显然s(M ) M .如果s(M)= M ,映射s称为映上的或满射 .如果在映射 s 下, M 中不同元素的像也一定不同,即由a1 1 a2 一定有s(a1)
8、1 s(a2) ,那么映射 s 就称为 1- 1的或单射 .一个映射如果既是单射又是满射就称 1- 1 对应或双射 .对于M 到M 的双射s可以自然地定义它的逆映射,记为 s-1.因为s 为满射, 所以 M 中每个元素都有原像,又因为 s 是单射,所以每个元素只有一个原像, 定义s - 1(a ) = a ,当s(a)= a .显然, s- 1是M 到M 的一个双射,并且- 1 - 1s s = 1M ,ss = 1M .不难证明,如果s, t 分别是M到M ,M 到M 的双射,那么乘积ts就是M 到 M 的一个双射 . 2 线性空间 ( Linear Space) 的定义与简单性质一、线性空
9、间的定义 .例 1 在解析几何里 , 讨论过三维空间中的向量 . 向量的基本属性是可以按 平行四边形规律相加,也可以与实数作数量算法 . 不少几何和力学对象的性质是 可以通过向量的这两种运算来描述的 .10 按平行四边形法则所定义的向量的加法是 V3的一个运算 ;20 解析几何中规定的实数与向量的乘法是 RV3 到 V3 的一个运算 .30 由知道 , 空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律 .例 2. 数域P上mn 矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满 足上述规律 .定义1 令V 是一个非空集合, P是一个数域.在集合V 的元素之间定义了一 种代数运算,叫做 加法 additio
10、n;这就是说给出了一个法则,对于 V 中任意两个 元素 a 与 b , 在V 中都有唯一的一个元素 g 与它们对应 , 称为 a 与 b 的和 sum, 记为 g= a + b .在数域P与集合V 的元素之间还定义了一种运算, 叫做数量乘法 scalar multiplication ;这就是说,对于数域 P 中任一个数 k 与 V 中任一个元素 a , 在V 中 都有唯一的一个元素 d 与它们对应 , 称为 k 与 a 的 数量乘积 scalar multiple, 记为 d = ka .如果加法与数量乘法满足下述规则,那么 V称为数域 P上的线性空间 .加法满足下面四条规则: :1) a
11、+ b = b + a ; Commutative law2) (a+b)+ g= a+(b+ g) ; Associative law3) 在V 中有一个元素 0,a?V ,都有a+ 0 = a(具有这个性质的元素 0称为 V 的零元素 a zero vector);4) a ?V, b ?V,st a b = 0( b称为 a 的负元素 additive inverse) .数量乘法满足下面两条规则:5) 1a = a ;6) k(la) = (kl)a ;数量乘法与加法满足下面两条规则:7) (k + l)a = ka + la ;8) k(a + b)= ka + kb;在以上规则中,
12、 k,l等表示数域 P中任意数; a,b,g等表示集合V 中任意元素. 注:1 凡满足以上 八条规则的加 法及数量乘法也称 为线 性运算(linear operation)2线性空间的元素也称为 向量( vector) ,当然这里的向量比几何中所谓向 量的涵义要广泛得多 . 线性空间也称为 向量空间 ( vector space) 但这里的向量不定是有序数组 以下用黑体的小写希腊字母 a,b,g,L 代表线性空间 V 中的元素, 用小写拉丁字母 a,b,c,L 代表数域 P 中的数 .3. 由特殊到一般,由具体到抽象,把具体的代数对象用公理化方法统一在 一个数学模型下, 是数学研究的一种基本思
13、想方法。 线性空间的概念集中体现了 现代数学的两大特征:集合论的思想( G. Cantor)和公理化方法( D. Hilbert ), 它们的相互结合将数学的发展引向高度抽象的道路, 并渗透到数学的各个领域之 中,从而进一步揭示了各个数学分支的内在联系。抽象化和统一性是现代数学的基本特征。4线性空间的判定 :若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭,或者运算 封闭但不满足八条规则中的任一条,则此集合就不能构成线性空间例 3 数域P 上一元多项式环 Px, 按通常的多项式加法和数与多项式的乘 法,构成一个数域 P 上的线性空间 . 如果只考虑其中次数小于 n 的多项式,再添 上零多项式也构成数域 P
14、 上的一个线性空间,用 Pxn 表示.例 4 元素属于数域 P的m n矩阵,按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法, 构成数域 P 上的一个线性空间,用 Pmn 表示.例 5 全体实函数,按函数加法和数与函数的数量乘法,构成一个实数域上 的线性空间 .例 6 数域 P 按照本身的加法与乘法,即构成一个自身上的线性空间 .例 7 以下集合对于所指定的运算是否作成实数域 R 上的线性空间 :1) 平面上全体向量所作成的集合 V , 对于通常向量的加法和如下定义的纯 量乘法 :aa = 0,a 挝R, a V .2) R上n次多项式的全体所作成的集合 W 对于多项式的加法和数与多项式 的乘法.例8 设V
15、是正实数集 , R为实数域.规定Georg Cantor(1845-1918) ,德国数学家,19 世纪数学伟大成就之一 -集合论的创立人David Hilbert (1862-1943),德国数学家,是 19 世纪和 20 世纪初最具影响力的数学家之一。a?b ab (即a与b的积), aa =a (即a 的a 次幂),其中 a,b 挝V,a R. 则V 对于加法和数乘作成 R 上的线性空间 .二 线性空间的简单性质1. 零元素是唯一的 .2. 负元素是唯一的 .利用负元素,我们定义 减法 (Subtraction) : a - b = a + (- b)3. 0a = 0;k0= 0;(-
16、 1)a = - a.4.如果ka = 0, 那么k = 0或者 a = 0.注 数域 P上的线性空间 V 若含有一个非零向量,则 V 一定含有无穷多个向量 只含一个向量 - 零向量的线性空间称为 零空间 .3 维数(dimension)基(basis)与坐标 (coordinate)一、向量的线性相关与线性无关定义 2 设V 是数域 P 上的一个线性空间, a1,.a2,L ,ar (r 3 1) 是V 一组向 量,k1,k2,L ,kr是数域 P中的数,那么向量a = k1a 1 + k2.a2 + L + kr a r称为向量组 a1,.a2,L , ar的一个线性组合( linear
17、combination) ,有时也说向量 a可 以用向量组 a1,.a2,L ,ar线性表出(a can be expressed as a linear combination of elements of a1,.a2,L ,ar ).定义 3 设a 1,.a2,L ,ar ;(1)b1,b2,L .bs(2)是V 中两个向量组,如果( 1)中每个向量都可以用向量组( 2)线性表出,那么 称向量( 1)可以用向量组( 2)线性表出 .如果( 1)与(2)可以互相线性表出, 那么向量组( 1)与( 2)称为等价的 .定义 4 线性空间V 中向量a1,.a2,L ,ar (r3 1)称为线性相
18、关(linearly dependent) ,如果在数域 P 中有 r 个不全为零的数 k1,k2,L ,kr ,使k1a1 + k2.a2 + L + krar = 0. (3) 如果向量 a1,.a2,L ,ar不线性相关, 就称为线性无关 ( linearly independent). 换句话 说,向量组 a1,.a2,L ,ar称为线性无关,如果等式( 3)只有在k1 = k2= L kr = 0时才 成立.几个常用的结论:1. 单个向量 a线性相关的充要条件是 a= 0 .两个以上的向量 a1,.a2,L ,ar线 性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合 .2. 如果
19、向量组 a1,.a2,L ,ar线性无关,而且可以被 b1,b2,L .bs线性表出,那么 由此推出,两个等价的线性无关的向量组,必含有相同个数的向量 .3. 如果向量组 a1,.a2,L ,ar线性无关,但 a1,.a2,L ,ar,b 线性相关,那么 b可以 由被 a1,.a2,L ,ar 线性表出,而且表示法是唯一的 .在一个线性空间中究竟最多能有几个线性无关的向量, 显然是线性空间的一 个重要属性 .定义 5 如果在线性空间 V 中有n 个线性无关的向量,但是没有更多数目的线 性无关的向量,那么 V 就称为 n 维的, 记作 dimV n ;如果在V 中可以找到任 意多个线性无关的向量
20、,那么 V 就称为无限维的 . 注 :零空间的维数定义为 0,即 dimV 0 ? V0 .定义6 在n维线性空间V中,n个线性无关的向量 e1,e2,L ,en称为V 的一组基.设a是V 中任一向量,于是 e1,e2,L ,en,a线性相关,因此 a可以被基 e1,e2,L , en线性 表出:a=a1e1+a2e2+L +anen.其中系数 a1,a2,L ,an是被向量a和基e1,e2,L , en唯一确定的,这组数就称为 a在基 e1,e2,L,en下的坐标,记为(a1,a2,L ,an) .有时也形式地记作a = (e1,e2,L ,en)注:向量a 的坐标(a1,a2,L ,an)
21、是被向量 a 和基 e1,e2,L ,en唯一确定的即向量 a 在基 e1,e2,L , en下的坐标唯一的 . 但是,在不同基下 a 的坐标一般是不同的由以上定义看来,在给出空间 V 的一组基之前,必须先确定 V 的维数 .定理 1 如果在线性空间V 中有n个线性无关的向量 a1,.a2,L,an,且V 中任一 向量都可以用它们线性表出,那么 V 是n 维的,而 a1,.a2,L ,an就是V 的一组基 . 注意: n 维线性空间 V 的基不是唯一的, V中任意 n 个线性无关的向量都是 V 的一组基 任意两组基向量是等价的例 1 在线性空间 Pxn 中,1,x,x2,L ,xn-1是n 个
22、线性无关的向量,而且每一个次数小于 n 的数域P 上的多项式都可以被它们线性表出,所以 Pxn是n 维的,而1,x,x2,L ,xn- 1就是它的一组基 .注:此时, f(x) = a0 + a1x + L + an- 1xn- 1在基1,x,x2,L ,xn- 1下的坐标就是(a0,a1,L ,an-1) .(2)1,xa,(xa)2,(xa)n1 是线性无关的 ,又对 f(x)? P x n ,按泰 勒展开公式有f (n- 1)(a)f(x)= f(a)+f(a)(x- a)+L + f (a)(x- a)n-1.即,f(x)可经 1,xa,(xa)2,(x (n - 1)!a)n1 线性
23、表出 . 1,xa,(x a)2,(xa)n1 也为 Px n 的一组基 此时,f(x)=a0+a1x+L +an-1xn-1在基 1,xa,(xa)2,(xa)n1下f (n- 1)(a)的坐标就是 (f(a),f(a),L , f (a).(n - 1)!例2 在n维的空间P n中,显然?e1 = (1,0,L ,0),?e2 = (0,1,L ,0),?L L L L Len = (0, 0,L ,1)是一组基 .对于每一个向量 a = (a1,a2,L ,an ),都有a= a1e1+a2e2+L+aenn所以(a1,a2,L ,an)就是向量a在这组基下的坐标?e1= (1,1,L
24、,1),不难证明, ?e2= (0,1,L ,1),是Pn中n个线性无关的向量。 在基e1,e2,K,en?下,对于向 L L L L Len= (0, 0,L ,1)量a=(a1,a2,L,an)有a=a1e1+(a2-a1)e2+L +(an-an-1)en?.因此,a在基e1,e2,K,en?下 的坐标为 (a1,a2 - a1,L ,an - an- 1) .例 3 如果把复数域 C 看作是自身上的线性空间,那么它是一维的,数 1 就 是一组作是实数域上的线性空间,那么就是二维的,数 1与i 就是一组基 .这个例 子告诉我们, 维数是和所考虑的数域有关的 . 4 基变换与坐标变换 (B
25、asis transformation and coordinate transformation)教学目的 通过教学, 使学生理解基变换定理及可逆矩阵的同何意义, 掌握 坐标变换公式教学内容在n 维线性空间中,任意 n 个线性无关的向量都可以取作空间的基 . 对于不 同的基,同一个向量的坐标一般是不同的 . 随着基的改变,向量的坐标是怎样变 化的.a11e1 + a21e2 + L + an1en , a12e1 + a22e2 + L + an2en ,(1)设e1,e2,L ,en与e1, e2,L , en?是n维线性空间 V 中两组基,它们的关系是?L L L L L Len= a1
26、ne1 + a2ne2 + L + ann en .设向量 x 在这两组基下的坐标分别是 (x1,x2,L ,xn)与(x1,x2,L ,xn?) ,即x = x1e1 + x2e2 + L + xnen = x1e1 + x2e2 + L + xnen .(2)现在的问题就是找出 (x1,x2,L ,xn) 与(x1,x2,L , xn?)的关系. 首先指出, (1) 中各式的系数(a1j,a2j,L ,anj),j = 1,2,L ,n实际上就是第二组基向量 ej(j = 1,2,L ,n )在第一组基下的坐标 .向量 e1, e2, L ,en?的 线性无关性就保证了 (1) 中系数矩阵
27、的行列式不为零 . 换句话说,这个矩阵是可逆 的.为了写起来方便,引入一种形式的写法 . 把向量x = x1e1 + x2e2 + L + xnen .写成x = (e1, e2, L ,en )2 ,M,(3)也就是把基写成一个 1n 矩阵,把向量的坐标写成一个 n 1矩阵,而把向量看作是这两个矩阵的乘积 . 所以说这种写法是“形式的”,在于这里是以向量作为矩 阵的元素,一般说来没有意义 . 不过在这个特殊的情况下,这种约定的用法是不 会出毛病的 .相仿地, (1) 可以写成矩阵11 21 M 骣a a a12 22aa1n 2n M a a aa11a12La1n(e1,e2,L ,en?
28、) = (e1,e2,L ,en )? Ma22MLa2n . M.(4)?桫an 1an2Lann 称为由基 e1,e2,L , en到e1, e2, L , en?的过渡矩阵( the transition matrix ),它是可逆的 . 在利用形式写法来作计算之前,首先指出这种写法所具有的一些运算规律设a1,a2,L ,an和b1,b2,L ,bn是V 中两个向量组, A= (aij ),B = (bij )是两个n n矩阵, 那么(a1,a2,L ,an)A)B = (a1,a2,L ,an)(AB) ;(a1,a2,L ,an)A+ (a1,a2,L,an)B = (a1,a2,L
29、 ,an)(A+ B);(a1,a2,L,an)A+(b1,b2,L,bn)A=(a1+b1,a2+b2,L ,an+bn)A. 1 2 M 骣x x? x现在回到本节所要解决的问题上来 .由(2) 有x = (e1,e2,L ,en?)骣珑珑11a12La1n珑珑a21a 22La2n珑MMM珑珑桫珑an1an2LannM桫xn21用 (4) 代入,得x = (e1,e2,L ,en)与 (3) 比较,由基向量的线性无关性,得a12 a22 M an 2L a1na2n x2MM(5)ann(6)(5) 与 (6) 给出了在基变换 (4) 下,向量的坐标变换公式 例 1 在 3 例 2 中有
30、(e1, e2,L ,en?)(e1,e2,L?桫1 1 L000M1A=01就是过渡矩阵 . 不难得出因此100L0100L00 - 1 0 L 0 MMMM000L1100L0 骣x100Lx101 x0-10L0 2 MMMMM000L桫xn1或者也就是x1= x1, xi = xi - xi- 1(i = 2,L ,n).与3 所得出的结果是一致的例 2 取V 2的两个彼此正交的单位向量 e1, e2它们作成V 2的一个基. 令e1,e2分别是由 e1, e2旋转角 q 所得的向量(如 图 1),则 e1, e2 也是V2 的一个基,有e1 = e1 cosq+ e2 sinqe2 =
31、 - e1 sinq+ e2 sinq所以 e1, e2 到 e1,e2 的过渡矩阵是骣cosq桫 sin q- sin q . cosq 设V2 的一个向量 x 关于基e1 , e2 和 e1, e2 的坐标分别为 (x1,x2)与(x1,x2 ).于是由 (5) 得sin q 骣x1 cosq ?桫x2x1 = x 1cos q - x2 sinq x2= x1 sinq + x2?cos q这正是平面解析几何里,旋转坐标轴的坐标变换公式 .例3 在F3中,设 a 1= (1,0,- 1),a2=(2,1,1), a 3= (1,1,1) ,b1=( 0,1 1,) b2 = - ,( ,
32、1,1 0b3) =, ,( 1a =2(21,5),3) ,求基 a1,a2,a3到基 b1,b 2, b3的过 渡矩阵 T,并且求 分别在这两个基下的坐标解 设 a 为 的转置因为b= k1a1+k2a2+k3a3? b k1a 1 + k 2a 2+ k3a 3所以(b1,b2,b3)= (a1,a2,a3)T ? (b1, b2, b 3) (a1,a2,a3 )T 于是,设 A=(a1,a2,a3?),B=( b1,b2,b3?),则从(b1,b2,b3?) =( a1, a2, a3?)T 得出, B=AT为了求 T,需要解这个矩阵方程,可按第一章的方法求解因为鼢骣1 揪行变换井
33、琪0桫00 0 01 0 -10 1 211-3 -2 ,44所以,过渡矩阵设在基 b 1, b 2, b 3下的坐标为 ( y1,y2, y3 ),则 骣1 0 2?因此,由坐标变换公式得到 在基 a1,a2,a3下的坐标为 (2, 5,10)5 线性子空间( Linear subspace)(2 学时 )一、线性子空间的概念定义 7 数域 P 上的线性空间 V 的一个非空子集合 W 称为 V 的一个线性子空 间(或简称子空间),如果W 对于V 的两种运算 ( under the inherited operations)也 构成数域 P 上的线性空间 .定理 2 如果线性空间 V 的一个非
34、空集合 W 对于 V 两种运算是封闭的( closed) ,那么 W 就是一个子空间 .既然线性子空间本身也是一个线性空间,上面引入的概念,如维数、基、坐 标等,当然也可以应用到线性子空间上 . 因为要线性子空间中不可能比在整个子 空间中有更多数目线性无关的向量 . 所以,任何一个线性子空间的维数不能超过 整个空间的维数 .例 1 在线性空间中,由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间, 它叫做零子空间 .例 2 线性空间 V 本身也是 V 的一个子空间 .在线性空间中, 零子空间和线性空间本身这两个子空间有时叫做 V 的平凡子空间 ( the trivial subspace) ,而其它
35、的线性子空间叫做非平凡子空间 .例3 在全体实函数组成的空间中,所有的实系数多项式组成一个子空间 .例 4 Pxn 是线性空间 P x 的子空间 .例 5 在线性空间 Pn 中,齐次线性方程组xs1a ?x21 a+2 x2 a +2x22 a+2x2s a +n xn a +nx2n an xsn a +的全部解向量组成一个子空间,这个子空间叫做齐次线性方程组的解空间. 解空间的基就是方程组的基础解系,它的维数等于 n- r ,其中r为系数矩阵的秩 .二、生成子空间设a1,a2,L,ar是线性空间V 中一组向量,这组向量所有可能的线性组合k1a1 + k2a2 + L + kr a r所成的
36、集合(The span (or linear closure ) of a nonempty subset S =a1,a2,L ,ar)是 非空的,而且对两种运算封闭,因而是 V 的一个子空间,这个子空间叫做由 a1,a2,L ,ar 生成的( generated)子空间,记为L(a1,a2,L ,ar) 或span(S).由子空间的定义可知,如果 V 的一个子空间包含向量 a1,a2,L ,ar ,那么就一定包 含它们所有的线性组合,也就是说,一定包含 L(a1,a2,L ,ar )作为子空间 . 在有限维线性空间中, 任何一个子空间都可以这样得到 . 事实上,设W 是V 的一个子空间,
37、W 当然也是有限维的 .设a1,a2,L ,ar 是W 的一组基,就有W = L(a1,a2,L ,ar) .定理 3(P256) 1) 两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组等 价.2)L(a1,a2,L , ar )的维数等于向量组 a1,a2,L ,ar 的秩.定理 4(P256) 设W 是数域P上n维线性空间V 的一个m维子空间, a1,a2,L,am是W 的一组基,那么这组向量必可扩充为整个空间的基 .也就是说, 在V 中必定可以找到 n - m 个向量 am+1,am+2,L ,an 使得 a1,a2,L ,an是V 的一组基.结论 数 域 P 上线 性空 间V 的一个
38、非空子集W 是V 的一 个子空间a, b挝 P,a ,b W都, 有 a+ b? .W6 子空间的交 (intersection) 与和 (sum)(2 学时 )一、子空间的交定理 5 如果V1 , V2是线性空间V 的两个子空间,那么它们的交 V1IV2也是V 的子空间.由集合的交的定义有,子空间的交适合下列运算规律:V1 I V2 = V2 I V1(交换律 commutative law) ,(V1IV2)I V3=V1I (V2I V 3 ) (结合律 associative law ).s由结合律,可以定义多个子空间的交: V1IV2IL I Vs = I Vi ,它也是子空间. i
39、=1二、子空间的和定义8 设V1,V2是线性空间V 的子空间,所谓V1与V2的和,是指由所有能表 示成 a1+ a2,而a1挝V1,a2 V2的向量组成的子集合,记作 V1 +V2.定理 6 如果V1, V2是线性空间V 的子空间,那么它们的和 V1+V2也是V 的子 空间.由定义有,子空间的和适合下列运算规律:V1 + V2 = V2 + V1(交换律),(V1+V2)+V3 = V1+ (V2 + V3) (结合律) . 由结合律,可以定义多个子空间的和sV1+V2+L +Vs=?Vi .i=1它是由所有表示成a1 + a2 + L + as , ai ?Vi (i 1,2,L ,s) 的
40、向量组成的子空间 .关于子空间的交与和有以下结论:1. 设V1,V2,W 都是子空间,那么由 W V1与W V2可推出W V1IV2;而由W V1与W V2 可推出W ?V1 V2 .2. 对于子空间 V1 与V2,以下三个论断是等价的:1)V1 V2;2) V1I V2=V1;3)V1+V2 =V2.例 1 在三维几何中用 V 1表示一条通过原点的直线, V2 表示一张通过原点而 且与V 1垂直的平面,那么, V1与V2的交是 0 ,而V 1与V 2的和是整个空间 .例2 在线性空间Pn中,用V1与V2分别表示齐次方程组?a a?21s1 a+ a12x2 + L+ a22x2 +LLLLx
41、1+as2x2+ Lx11 b b? ?x121xbtn xn a +nx2n anxns a + b12x2 + L + b22x2 + L+2 x2 bt +0,0,0的解空间,那么 V1 I V2 就是齐次方程组11x1 + a12x2 + L + a1n xn = 0, LLLLLLLs1x1 + as2x2 + L + asnxn = 0, b11x1 + b12x2 + L + b1nxn = 0, ?L L L L L L L L ?bt1x1 + bt2x2 + L + btn xn = 0的解空间.例3 在一个线性空间V中,有L(a1,a2,L ,as) + L(b1,b2,
42、L ,bt) = L(a1,L ,as,b1,L ,bt) . 关于两个子空间的交与和的维数,有以下定理 .三、维数公式定理 7(维数公式) 如果V1,V2 是线性空间 V 的两个子空间,那么维( V 1 )+维( V 2 )=维( V 1 + V 2 )+维( V 1 I V2)从维数公式可以看到,和的维数往往要比维数的和来得小 .推论 如果n维线性空间V中两个子空间V1,V2的维数之和大于 n,那么V1, V 2必含有非零的公共向量 .即:若dim( V1)+ dim( V 2 ) n ,则V 1枪V 2 0 .并: union例 4. 在 P 4 中,设 a1 = (1,2,1, 0),
43、 a2 = (- 1,1,1,1) b1 = (2,- 1,0,1), b2 = (1,- 1,3,7)1) 求L(a1,a2)I L (b1 , b2 )的维数的与一组基;2) 求L(a1,a2)+ L(b1,b2) 的维数的与一组基 .解:1) 任取g?L(a1,a2)I L(b1,b2)设g= x1a1+ x2a2= y1b1+ y2b2,则有x1a1 + x2a2 - y1b1- y2b2 = 0,即x1 2x ? ?- x 2 - 2y1 - y 2 =1+x2+ y1+y2=x1 + x2 -x1 - y1 -3y2 = 07y2 = 0x1= - t0解得 ?x 2= - 4ty
44、1 = - 3t? y2 = tg=t(-a1+4a2)= t(b2- 3b1)令 t =1,则得L(a1,a2)I L(b1,b2)的一组基g=-a1+4a2=(- 5,2,3,4)L(a1,a2)I L(b1,b2)= L( g)为一维的 .2) L(a1,a2)+ L(b1,b2) = L(a1,a2,b1,b2) 对以 a 1, a 2, b1, b2为列向量的矩阵 A作初等行变A-1111-10100桫0- 1 2 13 - 5 -3117-10102-2-1200桫0- 1 2 11 - 1 1B0 1 30 0 0由 B 知, a1,a2,b1为 a 1, a 2, b1, b2
45、的一个极大无关组 .L(a1,a2)+ L(b1,b2)= L(a1,a2,b1)为3维的,a1,a2,b1为其一组基.7 子空间的直和( direct sum)一、直和的概念定义9 设V1,V2是线性空间V的子空间,如果和 V1+V2中每个向量a的分解 式a=a1+a2, a1挝V1,a2 V2是唯一的,这个和就称为直和,记为 V1?V2. 二、直和的判定定理8 和V1+V2是直和的充要条件是等式 a1+a2= 0, ai?Vi (i 1, 2)只有在 a i 全为零时才成立 .推论 和V1+V2是直和? V1IV2= 0.定理9 设V1 ,V2是线性空间V的子空间,令W =V1+V2,则W
46、 = V1?V2 ? 维(W )=维(V1 )+维(V2).定理 10 设U 是线性空间 V 的一个子空间,那么一定存在一个子空间 W 使V = U ? W .称这样的W 为U 的一个余子空间. 注: 1、余子空间一般不是唯一的 (除非U是平凡子空间 ).2、设 1, 2, , r ; 1, 2, , s分别是线性子空间 V1,V2 的一组基,则V1 V2是直和1, 2, , r, 1, 2, , s线性无关 .三、多个子空间的直和子空间的直和的概念可以推广到多个子空间的情形 .定义 10 设V1,V2,L ,Vs都是线性空间 V 的子空间,如果和V1+V2+ L + Vs中每个 向量 a 的
47、分解式 a = a1 + a2+ L + as,ai ?Vi(i 1,2,L ,s) 是唯一的,这个和就称为直 和,记为 V1排V2 L ?Vs.定理11V1,V2,L,Vs是线性空间V 的一些子空间,下面这些条件是等价的:1)W = ? Vi 是直和;2)零向量的表法唯一;3)Vi I ? Vj = 0 (i = 1,2,L ,s) ; j1i4)维(W )=? 维(Vi) . 8 线性空间的同构 (Isomorph)设 e1,e2,L ,en 是线性空间 V 的一组基,在这组基下, V 中每个向量都有确定的 坐标,而向量的坐标可以看成 Pn 元素,因此向量与它的坐标之间的对应实质上 就是V
48、 到Pn的一个映射 .显然这个映射是单射与满射,换句话说,坐标给出了线 性空间V 与P n的一个双射 .这个对应的重要性表现在它与运算的关系上 .设a= a1e1+a2e2+L +anen,b = b1e1 + b2e2 + L + bnen而向量a,b,的坐标分别是 (a1,a2,L ,an),(b1,b2,L ,bn),那么a+b=(a1+b1)e1+(a2+b2)e2+L + (an + bn)en ;ka = ka1e1 + ka2e2 + L + kan en .于是向量 a + b, ka 的坐标分别是(a1+b1,a2+b2,L ,an+bn)=(a1,a2,L,an)+(b1,
49、b2,L ,bn),(ka1,ka2,L ,kan) = k(a1,a2,L ,an) .以上的式子说明在向量用坐标表示之后, 它们的运算就可以归结为它们坐标的运 算.因而线性空间 V 的讨论也就可以归结为 Pn 的讨论 .一、同构映射的定义定义 11 数域 P 上两个线性空间 V 与V 称为同构的,如果由 V 到V 有一个 双射( one-to-one and onto) s ,具有以下性质:1) s(a + b) = s(a)+ s(b);2) s(ka) = ks(a).其中a,b是V 中任意向量,k是P 中任意数.这样的映射s 称为同构映射(isomorphism). V 与 V 同构
50、,记作 V V .We writeV V , read V “is isomorphic toV ”, when such a map exis. ts“ Morphism ” means map, so “ isomorphism ” means a map expressing sameness. 前面的讨论说明在 n维线性空间V 中取定一组基后,向量与它的坐标之间的 对应就是 V 到 P n 的一个同构映射 .二、同构的有关结论1、数域 P 上任一个 n 维线性空间都与 Pn 同构.2、设V 、V 是数域P上的两个线性空间, s是V 到V 的同构映射,则有:1) s(0) = 0, s(
51、- a) = - s(a).2) s(k1a1+ k2a2+L +krar)= k1s(a1)+k2s(a2)+L +krs(ar),其中ai 挝V, ki P, i = 1,2,L ,r .3) V 中向量组 a1,a2,L ,ar 线性相关(线性无关) ? 它们的象s(a1),s(a2),L ,s(ar )线性相关(线性无关) .4) dimV dimV .5) : V V 的逆映射 1为 V 到V 的同构映射 .6) 如果V1是V 的一个线性子空间,那么, V1在s 下的象集合s(V1)= s(a)|a ?V1是 s(V )的子空间,并且 V1与s (V 1)维数相同 .注: 由 2 可知,同构映射保持零元、负元、线性组合及线性相关性,并且 同构映射把子空间映成子空间 .3、两个同构映射的乘积还是同构映射 .注: 同构作为线性空间之间的一种关系,具有反身性、对称性与传递性.既然数域 P 上任意一个 n 维线性空间都与 Pn 同构,由同
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