考虑统计与模型不确定性的结构统计可靠度理论

1、考虑统计与模型不确定性的结构统计可靠度理论吕大刚 宋鹏彦 王光远哈尔滨工业大学 土木工程学院，黑龙江 哈尔滨 150090摘 要： 结构工程中的随机性包括物理不确定性、统计不确定性和模型不确定性，经典的结构可靠 度理论属于随机可靠度理论，因为它处理的主要是物理不确定性问题，而对于考虑统计与模型不确 定性的结构统计可靠度问题，目前的研究则很不充分。文本将综合考虑物理不确定性、统计不确定 性和模型不确定性，以 Bayes理论为数学工具，对结构的统计可靠度问题进行研究。首先对Bayes理论进行了概括和总结，采用该理论对结构工程中的统计不确定性和模型不确定性进行了建模和分 析。然后研究考虑统计与模型不

2、确定性的结构可靠度分析方法，给出考虑统计与模型不确定性的各 种结构可靠性测度，并研究了综合考虑主观不确定性与客观不确定性的整体式与分离式可靠度计算 方法。最后通过两个算例，分析了统计不确定性和模型不确定性对结构可靠度的影响。关键词： 随机可靠度；统计可靠度；统计不确定性；模型不确定性；Bayes统计学结构工程中的随机性包括物理不确定性、统计不确定性和模型不确定性，物理不确定性是指各 种物理量(如荷载、材料强度、结构尺寸等)的客观变异性；统计不确定性是由于对物理量进行统 计分析时缺乏足够的样本信息而产成的；模型不确定性源于对复杂物理现象进行数学建模时的理想 化假设。经典的结构可靠度理论属于随机可

3、靠度理论，因为它处理的主要是物理不确定性问题。目 前，在结构可靠度的研究领域，对于考虑统计与模型不确定性的结构统计可靠度问题，则研究得很 不充分。Egeland 在国际上较早地注意到了结构的随机可靠度与统计可靠度这两个学科之间的分野，并 提出了将这两种理论进行融合的建议1 。对于模型不确定性对结构可靠度的影响，目前国内外结构设计规范的统一处理方法是在考虑材料性能和几何参数随机性的抗力模型基础上，引入一个考虑计 算模式随机性的随机变量，以考虑模型不确定性的影响。这种方法太粗糙，且属于经典的随机可靠 度理论范畴。 Ditlevsen 首先提出了采用 Bayes 统计理论研究模型不确定性的方法 2，

4、 Maes 研究了承 受模型不确定性时设计荷载准则的规范化问题3 ， Zhang 和 Mahadevan 研究了基于可靠度的检测理论中的模型不确定性和 Bayes 修正技术 4 ， Mahadevan 等人采用 Bayes 概率网络技术，系统地研究 了模型不确定性的分析与验证方法 5 ，Igusa 等人采用 Bayes 分析技术较系统地研究了结构工程中的 不确定性 6 。 Der Kiureghian 深入地研究了在不完全知识状态下结构安全性的各种测度7 ，并提出了考虑模型不确定性的结构地震易损性分析方法8 。上述研究都是研究模型不确定性引起的结构可靠度问题，目前国内外对于考虑统计不确定性的结

5、构可靠度问题则研究得更少， Lemaire 等人对于统 计数据不确定性对结构可靠度的影响进行了初步的研究9 。文本将综合考虑物理不确定性、统计不确定性和模型不确定性，以Bayes统计理论为数学工具，对结构的统计可靠度问题进行深入细致的研究。2 统计与模型不确定性的 Bayes 建模与修正在 Bayes 统计学中， Bayes 公式通过来源于观测数据的似然函数修正先验概率分布，从而将主 观信息与客观信息进行有机的集成：f ( ) cL( )f ( ) (1) 式中， f ( ) 为随机参数 的先验分布， L( ) 为 的似然函数， c L( )f ( )d 为归一 化因子， f ( ) 为 的后

6、验分布。确定先验分布的方法主要有主观先验分布、扩散先验分布、无信息先验分布、共轭先验分布等方法；似然函数是根据客观信息通过似然原理确定的；后验分布实际上是给定样本观测值 x 后 的条件分布：f ( |x) L( |x)f ( ) ，后验分布一旦得到，即可得到的平均值和标准差等后验统计信息。利用 Bayes 修正公式 (1)可以对统计不确定性和模型不确定性进行建模与分析。设 f (x,f ) 为随机向量 X 的联合概率密度函数， f 为考虑统计不确定性的分布参数。当随机 试验的观测值表现为等式观测(例如混凝土强度的统计分析)时，似然函数L(f ) 可以取为nL(f)f (xi,fi)(2)i1式

7、中， x1,x2, ,xn是X 的随机抽样的一组观测数据。 如果抽样不是随机的，则必须使用样本值的联合分布建立似然函数，此时可以通过对于x 的不等式观测(例如桥梁的荷载验证试验)来取代对于 x 的直接观测。假设不等式观测事件为Ei gi(xi) 0 ,i 1, , n ，并假设 xi 是统计独立的，则有L(f ) Pgi(xi) 0 |fP gi(xi) 0|fi1 i 1结构工程中的模型不确定性及其相应的处理方法主要可以分为以下三大类：(3)1)模型的形式不精确，但是可以采用精确的方式对其进行观测；( 2)模型的形式不精确，对模型的观测也存在误差；(3)对现有的近似模型进行校正。对于非精确模

8、型、精确观测的情况，统计模型可以表示为y g?(x,g )(4)式中， g?(x,g)为精确模型的近似模型，其中 x为基本随机变量， g 为模型参数；为偏差，即系统误差； 为具有零均值和单位标准差的随机变量； 为模型误差的标准差，是对模型不确定性 的测度。假设：( 1)正态性：N (0,1) ；( 2)均匀离中性( Homo-skedashcity )： 与 x 独立；( 3 )无偏性，即令0 ，可得似然函数为：1 1 nL(g, ) 1nexp 12 i 1对于非精确模型、有观测误差的情况，统计模型可以表示为 yi y?i ei 式中， ei N (0, s2 ) 为无偏观测。可得似然函数为

9、：L(g, )1( 2 s2)n/21nexp2i1对现有近似模型的校正情况，统计模型可以表示为y g?( x) ( x,)g(x,)式中， (x,) 为校正项，它的一种可能形式为(x,)khk (x)k 式中， hk (x ) 称为“解释性函数” (Explanatory Functions )。(5)(6)(7)(8)(9)3 考虑统计与模型不确定性的结构可靠性测度 将统计不确定性参数 f 和模型不确定性参数 g 写成向量 f ,g ，则同时考虑统计与模 型不确定性的结构失效概率可按下式计算pf ()fX(x,f )dx(10)g( x , g ) 0对于统计参数 结构可靠性的测度。，通常

10、有三种数学处理方法：点估计、区间估计和预测估计，相应地也有三种(11a)(11b)设 ?为的某种点估计，例如 ? M 或 ? MLE ( M 为的后验平均值， MLE 为 的最大似然估计)，则失效概率和可靠指标的点估计分别为p?f pf (?)?11 p?f 式中，1() 为标准正态累积分布函数( CDF)的反函数。考虑某个统计参数，根据给定的置信水平，寻求满足(12)P( ) 1 的 和 ，称为 的区间估计问题。的平均值和方差可按下式计算：从而得到可靠指标的区间估计为根据 Bayes 统计学的基本原理，( )2 ( )T ( ) 。pf()的 Bayes估计为其后验均值，即 E pf ()

11、pf() f()d(13a)(13b)(14)式中， f () 为 的后验 PDF。由 Fubini 定理，有Epf () dx f ()dg(x,g ) 0g(x,g ) 0由于 fX(x,f)f ()d f (x) ，因此可以称 f (x)为预测分布，可用其作为失效概率和可靠 指标的估计：fX(x,f)fX(x,f )f()d(16a)(16b)pfpf()f()d E pf ()11 pf pf 和 分别称为“预测失效概率”和“预测可靠指标” 。4 考虑统计与模型不确定性的结构可靠度分析方法物理不确定性属于客观不确定性，而统计不确定性和模型不确定性则属于主观不确定性。根据 对于主观和客观

12、不确定性数学处理方法的不同，结构的统计可靠度分析有以下两种分析方法。4.1 主观与客观不确定性的整体式分析方法整体式分析方法 1：一次分析这种方法将将 f,g 与x同等对待，亦即将 f,g 也视为随机变量，将其与 x一起组成扩展的 随机向量，然后采用经典的随机可靠度理论进行分析。采用该方法，失效概率按下式计算：pff(x|f )f (f)f(g)dgdfdx(17)g(x,g ) 0通常情况下，可以假设随机向量x,f ,g 相互独立，于是可以采用经典的FORM 、 SORM 或IS 等方法对式 (17)进行一次随机可靠度分析即可得到可靠指标和相应的失效概率。整体式分析方法 2：预测分析这种方法

13、利用 x 的预测分布 f (x)f (x|f )f (f )df来计算结构的失效概率。将式 (18)代入到式 (17) 中，可以得到相应的预测失效概率为 pff (x) f (g)dgdxg( x,g ) 0整体式分析方法 3：嵌套分析 这种方法引入一个新的极限状态函数： g(u,) u () 式中， u 为标准正态随机变量，并与 独立。相应于式 (20) 的失效概率为()p?f() u ()0 f() (u)dud (u)du f()d 由于 u 为标准正态随机变量，因此上式中方括号内的积分为()(u)du( ) pf ()将式 (22)代入到式 (21) 中，可得：p?f() pf ()

14、f()d pf()(18)(19)(20)(21)(22)(23)由此可以看出，式 (20)对应的失效概率 p?f ()即为预测失效概率 pf() 。由于这种方法需要进 行两层可靠度分析，第一层需要首先计算()，第二层再计算失效概率 pf () ，因此称之为“嵌套可靠度”分析。整体式分析方法 4：近似分析 这种方法直接求解预测可靠指标的近似表达式。对于功能函数式(20)，如果 g(x) 为正态分g / g。如果 () 接近正态分布，则有： 0布，则根据 MVFOSM 理论可知，预测可靠指标为g(24a)12(24b)因此，预测可靠指标可以近似为(25)12 这里， E () ， 为主观不确定性

15、的测度。4.2 主观与客观不确定性的分离式分析方法与整体式分析方法不同，这种方法是将() 单独视为一个随机变量。()的 CDF 为F ()(b)f ()d(26)()-b 0 显然，这是一个嵌套可靠度分析问题，内层需要首先计算() ，外层再计算 F () (b) 。()的 PDF 为f () (b) F ()(b)/ b (27) 显然，这是结构可靠度理论中的灵敏度分析问题。将 () 在M 处近似展开为一次 Taylor 级数形式，可以得到 () 的一次近似为式中， M 为 的后验平均值，为 的后验协方差矩阵。(28a)(28b)5 算例分析5.1 考虑统计不确定性的断裂可靠度分析焊接的裂缝尺

16、寸是随机的，假设超过某一特定尺寸s0 的概率密度函数定义为f (s| )exp (s s0) s0 s (29)它是关于参数 的移位指数分布。我们希望在裂缝尺寸资料的基础上对 进行估计。假设通过对某 一段焊缝观测，参数 的似然函数可表示为nn(30)L( )f(si | ) nexp(si s0)i 1 i1则由修正准则 (1)可得其后验分布为v(v )k 1 (k)exp( v)(31)上式表明， 服从 Gamma 分布，裂缝尺寸的预测分布为nv(si s0) 和 k n 1是它的两个分布参数。i1f(s) exp (s s0 ) f ( )d = 0kvk(v s s0 )k 1s0 s(

17、32)考虑压力管道焊接裂缝的问题。假设管道长l 1000 m ，且焊接处产生的裂缝是均值比为的随机泊松分布，希望确定焊接裂缝尺寸Smax 的概率分布。一般从泊松分布中随机抽取的分布其分布类 型不变，由此可得P(Smax s) 1 exp lP(S s)(33)1 exp lexp (s s0) 若已知 Smax 关于 和 的条件分布，则可得 Smax 的预测余累积分布函数 (CCDF) ，如图 1 所 示 。 图 中 s0 0.1cm ， 是 服 从 参 数 k 10 和 v 120 cm 的 Gamma 分 布 ， 也 是 服 从 参 数 k 11 和 v 2cm 的 Gamma 分布。从图

18、中可明显 看出：考虑统计不确定性的结果降低了裂缝尺寸的 概率。图1 最大裂缝尺寸的 CCDF5.2 考虑模型不确定性的砂土液化概率分析影响砂土液化的最重要两个变量是土壤的标准抗渗透力N 和由地震所引起的循环应力比 S ，最简单的砂土液化预测模型为g?( N , S, ) N 1lnS 2 (33) 式中，( 1, 2) 是模型参数向量。由于这种简化模型的边界不是确定的，所以需对这些模型参数进行统计估计。对于 n个地点的观测数据 (Ni,Si),i 1, ,n，假设有 k 个已出现液化，其余 n k 个未发生液 化。若用 i表示第 i 次观测的模型误差，则 n次观测的精确模型可表示为(34)gi

19、 g?(Ni,Si, ) i i 1, ,n 似然函数与 k 点已液化和 n k 点未液化的概率成比例，即kL( , )i1g?( N i , Si , )g?(Ni ,Si, )(35)式中， ( , ) 为未知的模型参数，可应用 Bayes 修正公式得到其后验分布。由 ， 和 所决 定的 模 型 g g?(N,S, ) 可用来预测任意 N 和 S给定情况下砂土发生液化的概率： P g?(N , S, ) 0( | )f ( , )d d dg?( N,S, ) 0(36) 式中， ( | ) 是均值为零，方差为的的正态概率密度，而 f( , ) 是 ( , ) 的后验联合分布。图 (4-5

20、) 给出了考虑模型不确定性时砂i图2 反映模型不确定性的砂土液化可靠指标曲线土液化可靠指标的区间估计。感谢国家自然科学基金( 省留学归国人员基金资助项目本文应用 Bayes统计学，系统地研究了考虑统计与模型不确定性的结构统计可靠度理论，给出 了考虑统计与模型不确定性的各种结构可靠性测度，并研究了综合考虑主观与客观不确定性的整体 式与分离式可靠度计算方法。分析表明，这两种主观不确定性对只考虑客观不确定性的随机可靠度 有很大影响。预计统计可靠度理论将会被广泛应用于结构的安全评定、健康监测和寿命预测中。 致谢50678057, 50108005)、教育部留学回国人员科研启动基金、黑龙江(LC05C0

21、1) 、哈尔滨工业大学优秀青年教师基金等项目的资助。参考文献1 Egeland T. Two trends in reliability. Structural Safety. 1991(9): 261-268.2 Ditlevsen O. Model uncertainty in structural reliability. Structural Safety. 1982(1): 73-86.3 Maes M.A. Codification of design load criteria subject to modeling uncertainty. ASCE Journal of St

22、ructural Engineering. 1991, 117(10): 2988-3007.4 Zhang R.X. and Mahadevan S. Model uncertainty and Bayesian updating in reliability-based inspection. Structural Safety. 2000(22): 145-160.5 Mahadevan S. and Rebba R. Validation of reliability computational models using Bayes networks. Reliability Engineering and Syst