用平移、旋转和轴对称几何问题

1、用平移、旋转和轴对称研究几何问题学习旋转要解决的问题：分三个层次直接的旋转作图或者旋转关系的叙述；增加干扰线段，隐含部分已知，主动发现旋转关系，并证明某些结论需要添加辅助线，完善图形创造情境，进行证明。要重视的问题：共顶点的等腰三角形的出现是实现旋转的情境；辅助线添加方向）一、平移、旋转和轴对称在几何题中的应用1已知： ABC与 ADE 都是等腰直角三角形 .求证： BDEC.2如图，已知 ABC ADE， B 45， C 20， EAB 30，则 D，若AC、DE交于点 F，则 EFCC3如图， ABC中， BAC=120o，以 BC为边向形外作等边 BCD，把 ABD 绕着点 D 按 顺时

2、针方向旋转 60o 后到 ECD的位置 .若 AB=3，AC=2，求 BAD的度数和 AD 的长.D4已知：如图， A、B、C在同一直线上，且ABE 与 BCD都是等边三角形，求证：AD CE .拓展 如图 1，点 C为线段 AB上一点， ACM， CBN是等边三角形，直线 AN、MC 交于点 E， BM、 CN交于点 F1）求证： AN=BM；2）求证： CEF为等边三角形；3）将 ACM绕点 C按逆时针方向旋转 90o，其他条件不变，在图 2 中补出符合要求的图形，并判断第（ 1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）5如图，已知正方形 ABCD和 BC 边上一点 E，将直角三角形

3、 ABE绕点 B 逆时针旋转 90o，再沿 BC方向平移，平移距 离是线段 BC 的长度，请画出图形 .并回答：旋转后三角形的斜边与AE有什么关系为什么二、常见的利用平移、旋转和轴对称变换作的辅助线几何问题中的辅助线是对同学们几何思维能力的考验，通过分析找到辅助线的添加方法，能够使几何问题简化， 有助于问题的解决 .同时，通过研究平面几何的辅助线的添加方法，能够锻炼同学们分类研究问题的能力.平面几何的辅助线有一定的规律，而这些规律大多与几何图形的三种变换有关，下面我们就来研究常见辅助线与几何图形变换的关 系.11（三角形的倍长中线）已知：在 ABC中， AB=AC，CD是中线，延长 AB到 E

4、，使 BE=AB，连结 CE.求证： CD= CE.2CC再通过证三角形全等得 DF EF2（三角形的翻折角平分线）已知：在BD拓展 1 如图 1，已知 ABC中， AD是ABC的中线， AB=8，AC=6，求 AD 的取值范围提示： 延长 AD至 A，使 ADAD，连结 BA根据 “SAS易”证 ABDACD，得 ACAB这样将 AC转移到 A BA中，根据三角形三边关系定理可解拓展 2 如图 2，已知 ABC中，ABAC，D 在 AB上，E是 AC延长线上一点，且 CE，DE 与 BC 交于点 F求证： DF=EF提示： 此题辅助线作法较多，如： 作 DG AE交 BC于 G； 作 EH

5、BA交 BC的延长线于 H；ABC 中， B 2 C，AD 是 BAC 的平分线 . 求证： AB BD AC.C拓展 1 如图，已知：在 ABC 中，ABAC ，AD是 BAC的平分线，P是 AD上任意一点 . 求证：AB AC PB PC .拓展 2 已知： ABC中， A=90 ，AD是 BC边上的高， BE是角平分线，且交 AD于 P.求证： AE=AP.3(梯形的线段倍长)已知：梯形ABCD中， AD证： CD=CF.展已知ABCD2ABABCDAD / BC, MBDAC1/ BC,MN (BC AD )2拓展 1 如图，已知：在正方形 ABCD中，E、F分别是 BC、CD上的点，

6、若有 BE DF 求： EAF 的度数 .MNEF .拓展 2 如图，已知：在正方形 ABCD中， E、F分别是 BC、 CD上的点，若有 EAF45求证： BE DF EF .AD拓展 3 如图，正方形 ABCD边长为 1， AB、 AD 上各有一点 P、Q，若 APQ的周长为 2求 PCQ的大小AHEF求证： AH=AB拓展 4 如图，在正方形 ABCD中， E、 F分别为 BC、DC上的点，且 EAF=45o，P 是 EF 与 GH 的交点，若矩形 PFCH的拓展 5如图，正方形 ABCD被两条与边平行的线段 EF、 GH分割成 4 个小矩形， 面积恰是矩形 AGPE面积的 2 倍试确定

7、 HAF 的大小，写出推导的过程5（三角形的辅助线旋转）已知，如图在ABC 中， AB=AC， BAC=90， DAE=45，BD=2，CE=3 求. 证： DE的长.拓展 1 如图，在等腰三角形 ABC中，P 是三角形内的一点， 且 APB= APC求证 PB=PC拓展 2 ABC中， AB=AC， D 是三角形内一点，若 ADB ADC求证 DBC DCBAEA分析 将 ABC 以 A 为中心逆时针旋转一角度 BAC，到 ACE的位置连 DE，由 ADB ADC， 得 AEC ADC又 ADE= AED，相减，得 DEC EDC CD CE即 CD BD，从而 DBC DCB拓展 3 若

8、P 为正方形 ABCD内一点， PAPBPC=123试证 APB=135分析 利用正方形的特点设法经过旋转使AP、PB、PC相对集中，为简单起见不妨设 PA=1， PB=2，PC=3绕 B 点顺时针旋转 90o，使 CBP到 ABE的位置，这时 BE=2，AE=3， PBE=90oPE=2 2， BPE=45o。又AP 2 PE 2 1 8 9 AE 2 APE=90于是 APB=135拓展 4 在等边三角形内有一点 P连接 P与各顶点的三条线段的长为 3、4、5.求正三角形的边长 （. 答案： 2513 3 ）分析 将 CPB旋转到 APB，连接 PP，延长 BP，过 A 作 ADBD.易知

9、 APP是直角三角形，因为 BPP=60o，所以 APD=30o，则 AD=2，DP=2 3 .6（轴对称变换（翻折问题） ）（1）如图，将矩形 ABCD沿着直线 BD折叠，使点 C落在 C处， BC交 AD于E， AD=8， AB=4.求 BED的面积（2）如图，将边长为 12厘米的正方形 ABCD折叠，使得点 A落在边 CD上的 E点，然后压平得折痕 FG若 FG的长为 13 厘米 .求线段 CE的长（3）如图，点 M、 N 为矩形 ABCD一组对边的中点，将矩形的一角向内折叠，使点 B 落在直线 MN 上，得到落点 B 和折痕 AE，延长 EB交 AD于 F.判断 AEF是什么三角形，并

10、说明理由（4）把一张正方形纸片 ABCD从中间对折后仍然摊平，得折痕为 动，把 B 点处的纸向右上方折起来使 B 点落在 EF上，得落点为 问图中 GAB是多少度求 GAB相当于求 ABE 显然三角形 CGB和三角形 CGB是 全等的， 所以 CB=CB=1/2CF 又因为 EF垂直于 BC， 假设正方形边长为 1， 所以 BE=1-（根号 3） 所以 tan ABE=AE/BE=（1/2） （1根- 号 3） 所以 ABE=75=GABEF，如图（ 1）所示接着，使点 C不B，折痕为 GC，如图（2）所示连 AB，因为是对折得到的，所以 FBC=30 算出 BF=（根号 3） /2/2/2)

11、=2+根号 31） 已知：如图 2，在梯形 ABCD中， AB / CD , A 60 , AD BCDC 求证： AB 2CD 2）已知：如图 3，在梯形 ABCD中， AB/CD,AC BD 求证：梯形 ABCD是等腰梯形3 ）已知：如图 7，在梯形 ABCD 中， AB / CD , AB 90 ,M 、 N 分别是 DC 、 AB 的中点求证：MN 1 (AB CD) 2几何综合1如图 1，在 ABCD中， AEBC于 E，E 恰为 BC的中点， tanB 2. （ 1）求证： AD=AE；（2）如图 2，点 P在BE上，作 EF DP于点 F，连结 AF.求证：DF EF 2AF ；

12、（3）请你在图 3 中画图探究：当 P为射线 EC上任意一点（ P 不与点 E重合）时，作 EFDP于点 F，连结 AF，线段 DF、EF与 AF 之间有怎样的数量关系直接写出你的结论.D2如图，在平面直角坐标系 xOy中，一次函数 y 3x 3 3的图象与 x 轴交于点 A， 与 y 轴交于点 B，点 C 的坐标为（ 3,0），连结 BC（ 1）求证： ABC是等边三角形；（2）点 P 在线段 BC的延长线上，连结 AP，作 AP 的垂直平分线，垂足为点D，并与 y轴交于点 D，分别连结 EA、 EP若 CP 6，直接写出 AEP的度数；若点 P 在线段 BC的延长线上运动（ P不与点 C重

13、合）， AEP的度数是否变化若变化， 请说明理由；若不变，求出 ADP 的度数；（3）在（ 2）的条件下，若点 P从 C点出发在 BC的延长线上匀速运动，速度为每秒1 个单位长度 EC与 AP 于点 F，设 AEF的面积为 S1， CFP的面积为 S2，y S1 S2，运动时间为 t（t0）秒时，求 y 关于 t 的函数关系式3已知：如图 1，点 P 在线段 AB 上（APPB），C、D、E 分别是 AP、PB、 AB的中点，正方形 CPFG和正方形 PDHK在直线 AB 同侧（ 1）求证： EHG是等腰直角三角形；（2）若将图 1 中的射线 PB连同正方形 PDHK绕点 P 顺时针旋转一个角

14、度后， 其它已知条件不变，如图 2，判断 EHG 还是等腰直角三角形吗请说明理由4如图，正方形 ABCD的对角线 AC与BD相交于点 M，正方形 MNPQ与正方形 ABCD全等，射线 MN与MQ不过 A、 B、C、 D四点且分别交 ABCD的边于 E、F两点 .（ 1）求证： ME=MF； （2）若将原题中的正方形改为矩形，且BC 2AB 4 ，其他条件不变，探索线段 ME与线段 MF 的数量关系 .MFCENADP5. 如图 10-1，四边形 ABCD是正方形， G是 CD边上的一个动点 （点G与C、D不重合 ），以 CG为一边在正方形 ABCD外 作正方形 CEFG，连结 BG，DE我们探

15、究下列图中线段 BG、线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1） 请直接写出图 10-1 中线段 BG、线段 DE 的数量关系及所在直线的位置关系； 将图 10-1 中的正方形 CEFG绕着点 C 按顺时针 （或逆时针 ）方向旋转任意角度，得到如图 10-2、如图 10-3 情形请你通过观察、测量等方法判断 中得到的结论是否仍然成立 ,并选取图 10-2 证明你的判断2）将原题中正方形改为矩形（如图10-4 10-6)，且 ABa,BC b,CE ka,CG kb (a b,k 0) ，试判断1） 中得到的结论哪个成立，哪个不成立并写出你的判断，不必证明3）在图 10-5 中，连结 D

16、G 、 BE ，且 a4,b2,k1 2 2 ，则 BE2 DG 2=21如图，在边长为 8的正方形 ABCD中，E是BC边上任意一点， 把正方形沿着 GH折叠，使 A与E重合，D与 D重合， ED与边 CD 交于点 F。1）当点 E为 BC边中点时，求 ECF的周长连结 AE， AF，求 EAF的度数2）当点 E在BC边上运动时， （1）中的结论变化吗试说明理由。2已知正方形纸片 ABCD的边长为 2操作：如图 1，将正方形纸片折叠，使顶点 A落在边 CD上的点 P处（点 P与 C、 D不重合），折痕为 EF，折叠后 AB边 落在 PQ 的位置， PQ与 BC交于点 G探究：（ 1）观察操作

17、结果，找到一个与 EDP 相似的三角形，并证明你的结论；2）当点EDP 周长的比是多少（图C2 为备用图）3几何模型：条件如下左图， A、 B是直线 l 同旁的两个定点问题：在直线l 上确定一点 P ，使 PA PB 的值最小方法：作点 A关于直线 l的对称点 A，连结 AB交l于点 P， 模型应用：则 PA PB A B 的值最小（不必证明）1）如图 1，正方形 ABCD的边长为 2，E为 AB的中点，P是 AC上一动点连结 BD ，由正方形对称性可知，2）B与 D关于直线 AC对称连结 ED交 AC于 P，则 如图 2，O的半径为 2，点 A、B、C 在O上，OA 的最小值是PB PE 的最小值是 ；OB， AOC 60，P是OB 上一动点，则 PA PC3）如图 3，AOB