第14讲约数与倍数

1、第 14 讲 因数与倍数【专题精华】几个自然数 a、b的最大公因数记作（ a、 b），如果（ a、b）=1，则 a和 b 互质。 自然数 a、b 的最小公倍数可以记作 a、 b ，当（ a、 b）=1 时， a、 b=a b。两个数 的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数最小公倍数=两数的乘积。掌握以上数量关系，根据题目中的已知条件，就可以解决因数与倍数的问题。【教材深化】题1 一次会餐供有三种饮料， 餐后统计，三种饮料共用了 65瓶，平均每 2个人饮 用一瓶 A 饮料，每 3 个饮用一瓶 B 饮料，每 4 个人饮用一瓶 C 饮料，问参加会餐的人数 是多少人？ 因为2 、3、4=12

2、 ，所以参加会餐人数应是 12的倍数， 又因为 122+12 3+124=13 瓶，所以可见 12个人要用 13 瓶饮料。又 6513=5，所以参加会餐的总人数是 12的 5 倍。 12 5=60（人）答：参加会餐的人数是 60人。 解此题的关键要明白参加会餐人数应是2，3，4 的公倍数。 能力冲浪 1、甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次，甲3 天去一次，乙 4天去一次，丙 5 天去一次。有一天，他们三人恰好在图书馆相会。问至少再过多少天他们 三人又在图书馆相会？2、大雪后的一天，小轩与爸爸共同步测一个圆形花坛的周长。他们走的起点、路线、 方向完全相同，小轩每步长 54 厘米

3、，爸爸每步长 72 厘米。由于两人的脚印有重合，所以 雪地上只留下 60 个脚印，这个花坛的周长是多少？3、四个连续的自然数，它们从小到大顺次是3 的倍数， 5 的倍数、 7 的倍数、 9 的倍数，这四个连续自然数的和最小是 。题 2 两个数的最大公因数是 10，最小公倍数是 140，已知其中一个数是 70，问另 一个数是多少？设另一个数为 a，则有a 7010 b 7所以 a=10b ， 70=10 7 ，则有 70a=10b107又 10b7是 a和70 的最小公倍数 ，则 70a=10 140 a=（ 10 140） 70=20 如果用 a、 b 表示两个自然数，那么这两个自然数的最大公

4、因数与最小 公倍数的乘积等于这两个自然数的乘积。 能力冲浪 1、现有 4 个自然数，它们的和是 1111，如果要求这 4 个数的公因数尽可能大，那么 这四个数的公因数最大可能是 。2、两个数的最大公因数是 42，最小公倍数是 2940 ，且两数之和是 714，这两个数各 是多少？3、两个数的积是 240，最小公倍数是 60，求这两个数。【生活数学】题 3有一堆苹果共 5000 多个，按 10 个装一袋，装到最后少一个； 9个装一袋，最后 还少一个，按 8 个、 7个 2个装一袋，总是少 1 个，这堆苹果到底有多少个？ 因为 10、 9、8 2=25202520 2=5040 这堆苹果一共有：

5、5040-1=5039 （个） 苹果数应是 10、9 3、2 的公倍数减 1，只要求出在 5000 至 6000 范围内的公倍数即可； 2520 小于 5000 ，不合题意。25202=5040 大于 5000，符合题意。 能力冲浪 1、学校在排练团体操，要求队伍分别变为12行、 15行、 18行、 24 行时，都能成为矩形，应该至少有多少人参加团体操排练？2、有一批水果，总数在 1000 个以内，如果每 24个装一箱，最后一箱差 2 个；如果 每 28 个装一箱，最后一箱还差 2 个；如果每 32 个装一箱，最后一箱只有 30 个。这批水 果共有多少个？3、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一

6、圈分别需要1 分钟， 1 分 15 秒和 1 分 30秒，问三人同时从起点出发，多少时间后又在起点相会？题4 一个两位数，用它除 58余 2，除73余3，除 85余1，这个两位数是。 用此两位数除 58 余 2，除 73 余 3，除 85 余 1，那么（ 58-2）=56，（73-3） =70，（ 85-1）=84都能被这个两位数整除，这个两位数一定是56、70和 84的公因数。2 56 70 847 28 35 42 由此可见， 56、 70、 84 的公因数是 27=14，则这个两位数是 14。 巧妙变更被除数或除数， 将有余数问题转化为整除问题， 进而应用与因 数有关的知识去解答。 能力

7、冲浪 1、一个自然数，被 3除余 2，被 4 除余 3，被 5 除余 4，这个数最小是多少 ?2、一个四位数，它被 131除时余 112，它被 132 除时余 98，求这个四位数。3、一个数被 7 除余数是 3，该数的 3倍被 7 除，余数是【感受奥赛】题 5 把一块长 90 厘米，宽 42 厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相 等的小正方形铁板，恰无剩余。至少能剪 块。 根据题意，剪得的小正方形的边长必须是90 和 42 的最大公因数 6。所以原长方形的长要分 906=15 段，宽要分 426=7 段，至少能剪 157=105（块）（1）求 90和 42的最大公因数3 90423 4

8、52115 7（90 42） =6（2）求至少剪多少块正方形铁板？90 6=15426=715 7=105（块）答：至少剪 105 块正方形铁板。 要至少能剪多少块，就要求正方形的边长尽可能的大，又要求“恰无 剩余”，因此正方形的边长只能是长与宽的最大公因数。 能力冲浪 1、判断1111115015是不是最简分数。2、海港码头三只船， 甲船往返需三天， 乙船出海五天回， 丙船七天返回岸， 三船 1996 年元旦出海去，下次同遇码头边，恰在这一年的几月几日？3、从一张长 2002 毫米、宽 847 毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正 方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再

9、剪下一个边长尽可能大的正方 形，按照上面的过程，不断地重复，最后剪得的正方形的边长是 毫米。14、因数与倍数提高篇1、把 26、33、34、35、63、85、 91、 143 分成若干组，要求每组中任两个数的最大 公因数都是 1，那么，至少要分几组？2、已知 3 个自然数的和是 404，那么这 3 个自然数的最大公因数最大是几？3、东东每 13 天去公园一次，涛涛每 15 天去同一公园一次，今年东东 3 月 30 日曾去 公园，涛涛 4月1日曾去公园， 以后他们在这公园第一次相遇的日期将是月 日。105，甲、丙两数的12 点整电子钟响4、甲、乙两数的最小公倍数是 90 ，乙、丙两数的最小公倍数是 最小公倍数是 126，那么甲数是。5、有一个电子钟，每走 9 分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午 铃又亮灯。下一次既响铃又亮灯是 点钟？6、若 2836、4582、5164、6522 四个自然数都被同一个自然数除，所得余数相同且为 两位数，除数和余数的和为 。7、有一个自然数，它的最大的两个因数之和是123，求这个自然数。8、甲、乙