大型渡槽抗震分析中流体的位移有限元模式.

1、大型渡槽抗震分析中流体的位移有限元模式摘要：利用弹性体与流体位移运动方程的相似性，将弹性体有限元模式直接用 于流体有限元 计算 ，使得整个渡槽流固耦合系统具有统一的有限元计算模 式。数值计算表明，这种流体有限元模式计算简便，易于工程 应用 ，具有较 好的计算精度，满足工程计算的要求。关键词：大型渡槽 抗震 分析 流体 位移有限元我国 目前 在建的广东省东江深圳供水改造工程建有 3 座大型渡槽，其设 计流量为 90m3/s ，是目前国内在建的流量最大的渡槽，已经开工的南水北调工程将 有更多的、流量更大的大型渡槽，这些大型渡槽都面临着同一个 问题 onclick =g（ 结构 ）; 结构抗震，如何

2、评估地震对渡槽 onclick =g（ 结构）; 结构的作用与 影响 ，是渡槽 onclick =g（ 结构 ）; 结构设计中的重要问题。 大型渡槽中水量大，流体重量与 onclick =g（ 结构 ）; 结构重量相当或 甚至超过 onclick =g（ 结构 ）; 结构重量，在地震及脉动风作用下，槽内水体的 大质量运动会对渡槽 onclick =g（ 结构 ）; 结构的动力特性及地震、脉动风反应 产生重要影响，因此流体的作用是不可回避且必须加以考虑的问题。渡槽体系振动 时，流体会伴随着 onclick =g（ 结构 ）; 结构的振动而产生晃动，反过来流体的 晃动又将对 onclick =g（

3、 结构 ）; 结构的振动产生影响，这是一个较为复杂的流 体 onclick =g（ 结构 ）; 结构相互作用问题。在渡槽抗震计算中，采用的有限 元法有两类计算格式：一种以流体压力 （或流体速度势 ）为待求未知量 1 ，利用流体 运动方程与 onclick =g（ 结构）; 结构弹性体运动方程的相似性 2 ，可得到与 onclick =g（ 结构 ）; 结构有限元格式相一致的流体有限元计算模式，但由于 onclick =g（ 结构 ）; 结构通常采用位移模式，使得 onclick =g（ 结构）; 结 3 以流体位移 为待求未知量，流体与 onclick =g（ 结构 ）; 结构均为位移计算格式

4、，流固交 接边界易于处理，容易应用标准的有限元程序，适用面广，适合于复杂渡槽 onclick =g（ 结构 ）; 结构流体的相互作用问题，但位移模式待求未知量的个 数多于压力模式，占用的计算机内存较多，且容易产生伪模态，当然目前的微型机 内存可配得足够的大，可满足绝大多数的工程计算问题，至于伪模态可通过数值处 理 方法 加以克服 3 。渡槽抗震计算一般情况要计算两个水平方向 （ 横向和纵向 ） 及 一个竖直方向的地震作用，在横向与竖向，槽身 onclick =g（ 结构 ）; 结构与流 体在正法向发生相互作用，这种法向相互作用对 onclick =g（ 结构 ）; 结构与流 体的运动具有很大的

5、影响，而在纵向，槽身与流体仅在切向发生相互作用，如果水 体假设为理想流体 （无粘性 ） ，则槽身与水体之间并不传递剪力，无相互作用，事实 上，水体的粘性很小，槽身与流体在交接面 （ 边界层 ） 的切向相互作用可忽略不计。 只有横向水平地震、竖向地震作用下，才有必要考虑流体与 onclick =g（ 结构 ）; 结构的相互作用。本文就大型渡槽抗震分析中流体的位移有限元模式作一讨论，说明这种有 限元模式在渡槽流固耦合体系整体抗震计算中的适用性，通过数值算例说明这种流 体有限元模式在渡槽抗震计算中的有效性。1 无粘性流体运动的位移控制方程渡槽内的流体运动为一内流问题，一般可设渡槽中水体为可压缩、无粘

6、性、无旋的流体，水体在小幅运动下，流体运动 Euler 方程为(1)式中： p为流体压力，“， i ”表示对坐标 xi的导数； L为流体质量密度； vi为流 体速度分量；“”表示对时间 t 的导数。(2)式中： 为流体中声波的速度，其中 K 为体积压缩模量。 式(2) Einstein为(3)式中：ui 为流体位移分量。由式(1) 、式 (2) 可得(4)将式(3)代入式(2) ，对时间 t积分得(5)对式(5)求关于x i 的偏导数，然后代入式 (1) ，得流体运动的位移方程 为(6)流体运动的边界条件：流体自由表面 s 上，有 p=0，即(7)在流体 onclick =g( 结构 ); 结

7、构交接面上有法向位移协调条件(8)及法向压力协调条件(9)式(8) 、式(9)两式中： wi 、 ij分别为交接面上 onclick =g( 结构); 结 构的位移及应力。2 流体与 onclick =g( 结构 ); 结构运动的相似性onclick =g( 结构 ); 结构弹性体的动力学方程可表为 4(10)式中： wi 为弹性体的位移分量； Xi 为体力分量； Ks、 G、 和 s 分别为弹性体体积 弹性模量、剪切模量、泊松比及质量密度。在式(10)中，若命： Xi=0及G=0，则式(10) 变为(11)比较式 (6) 、式(11) 两式，两个方程形式完全相同，依据这种相似性，只需将弹性

8、体参数 调整为流体参数 c2，则流体的位移运动方程可直接通过弹性体运 动方程加以描述。3 流体位移有限元模式应用 上述 onclick =g( 结构 ); 结构与流体运动方程的相似性，流体有 限元方程可直接由 onclick =g( 结构); 结构弹性体有限元 5 构造得到，因此现 有 onclick =g( 结构 ); 结构弹性体标准有限元 计算 程序可直接用于计算流 体。这样整个流固耦合系统具有统一的有限元计算格式，流体与 onclick =g( 结构 ); 结构交接面上的协调关系将变得易于处理。应用上述运动方程的相似 性，对渡槽中流体作有限元 分析 时，有以下几个 问题 需要说明：(1)

9、 将上述式 (10) 化为式 (11) 的过程中，用到条件 G=0，即流体的剪切模量 为零，表明流体单元之间，以及流体单元与弹性体单元之间并不传递剪力，仅仅只 传递法向压力，这一点符合理想流体 (无粘性 )的力学特征，这样流体 onclick =g( 结构 ); 结构交接面上的法向压力协调条件式 (9) 将自动满足。实际 计算中为了保证计算的稳定性，剪切模量 G不能为零，只需取一个非常小的正数， 保证计算过程不溢出即可。(2) 用于形成流体刚度矩阵的物理方程为(12)式(12) 中第一个方程与式 (2) 等价，其中 bulk 为流体的体应变，对于水体，其体积 压缩模量可近似地取为 K=2.06

10、7 109Pa；、分别表示流体的剪应力与剪应变， 剪切模量可取为一个小的正数，可取 G=K10-9 ，流体的泊松比可近似取为 =0.5 。(3) 渡槽中流体晃动时，自由表面在重力的作用下，总是趋向于其平衡位 置，为了模拟流体自由表面恢复力效应，可在自由表面上加弹簧，弹簧刚度系数的 计算参见 文献 。(4) 流体质量矩阵可采用集中质量法形成。(5) 流体运动方程是针对无粘性的理想流体得到的，对于水体而言，其粘性 很小，可按无粘性的流体考虑，此时流体的阻尼矩阵为零，抗震计算偏于安全。若 计算中需要考虑水体的阻尼作用时，即要考虑水体的粘性效应时，可按以下的物理 方程建立流体单元的阻尼矩阵：(13)式

11、中：表示应变对时间 t 的导数； 为流体的粘性系数；对于水体可取 -1=0.001135kg m-1 s。(6) 流固耦合交界面的处理：交界面上同一位置，一般应设置两个节点， 一个用于流体、另一个用于 onclick =g( 结构 ); 结构弹性体，交界面两个节点 法向处的位移强制保持协调一致，即满足式 (8) ，而两个节点的切向位移不作约 束，允许相对滑动，即为可滑动边界条件。4 数值算例4.1 矩形槽身 以 文献 6 中的算例为例，取矩形槽内静止水截面宽度为 8.0m，高度为 6.0m，槽身长度为 12.0m，流体质量密度为 L=1000kg/m3，采用 边界元法 6 ，将水体假设为不可压

12、缩的流体，得到槽内水体横向第一阶晃动频 率为 0.3087Hz。采用位移格式的有限元法，在纵向仅取 2.0m长度的水体 ( 图 1) ，流体的粘性系数取为零，流体体积压缩模量按实际取为 K=2.067109Pa， 水体的边界采用滑动边界， 计算 得到的槽内水体横向第一阶晃动模态见图 1，晃动频率为 0.3041Hz，有限元与边界元的结果，相对误差仅为 1.5%，两者 结果非常接近，注意到流体的晃动频率与其体积压缩模量的大小无关，仅与重 力加速度及横截面的尺寸有关。图 2 表示了流体在 EL Centro(N-S) 地震波作用下 ( 峰值加速度为23.417m/s 2)对槽身( 按槽身长度为 1

13、2.0m计算)水平剪力的时间历程，图中分别 采用了两种计算 方法 ，可以看出，有限元法与边界元法两个结果在总的时间 域上相当一致，其最大反应值亦极为接近，边界元解为 |Fl| max=1298.0kN，有限 元解为|F l | max=1311.7kN。4.2 U 形槽身 以广东省东江深圳供水改造工程中的 U型渡槽为例 7 ，图 3 为流体在槽内的一阶横向晃动模态，流体 onclick =g（ 结构 ）; 结构边界 采用滑动边界，有限元计算槽内水体晃动首阶频率为 f=0.3224Hz ，边界元计算 结果为 f=0.3413Hz ，两者相当接近，相对误差为 5.5%。槽身长度取为 12m，图 4

14、 为场地人工地震波横向作用下，有限元及边界 元两种方法计算得到的流体对槽身的水平地震作用时程曲线，由图4 可看出，两个时程曲线相当接近，边界元法得到的最小、最大水平剪力分别为 -109.22kN 及 119.95kN ；有限元法得到的最小、最大水平剪力分别为 -115.25kN 及 126.01kN，反应的峰值结果也相当接近。图 3 U 形槽内水体有限元模型及横向第一阶晃动模型图 4 流体对 U 形槽身的水平地震作用时程曲线以上计算误差的来源，除了计算模式不同导致的误差外，另一个来源是边界元法将水体假设为不可压缩，而有限元一般考虑水体为可压缩，更接近于实际情 况。流体 U 形槽身的计算误差要大

15、于矩形槽身的，原因是： (1)U 形槽身水体单元 划分得较粗； (2)U 形槽身曲线滑动边界处理有一定的近似性。以上的计算表明，采用位移格式的有限元计算结果是可信的，满足工程抗 震 分析 要求。作为实际 应用 ，作者采用上述的流体有限元模型，分析了东江 深圳供水改造工程中 3种不同形式渡槽的地震反应，详见文献 7 。5 结 论利用弹性体与流体位移运动方程的相似性，将弹性体有限元模式直接用于 流体有限元计算，使得整个流固耦合系统具有统一的有限元计算模式，抗震计算 简便，易于工程应用，具有较好的计算精度，满足工程计算的要求。参 考 文 献：1 Evertine G C.Finite element

16、 formulations of structural acoustics problemsJ.Computer & Structures,1997,65(3):307-321.2 Evertine G C.Structural analogies for scalar field problemJ.Int.J.Numer.Meth.Engng.1981,(17):471-476.3 Chen H C,Taylor R L.Vibration analysis of fluidsolid systems using a finite elementdisplacement formulationJ.Int.J.numer.Meth.Engng,1990,(29):683-698.4 徐芝