精选五篇数学建模优秀论文

1、数学建模优秀论文五篇（一）数码相机定位问题 摘 要 本文对相机定位问题建立数学模型，它实质上是一个空间坐标变换问题。我们首先建立了物点与像点间坐标关系的数学模型；并利用这个模型解决了问题1和2；然后对模型进行了残差分析并给出了精度估计，最后在此基础上研究两台相机的相对位置。在问题1中，我们建立了从物平面到系统坐标系的变换公式；然后利用空间几何变换和矩阵变换两种方法，通过证明三个定理（定理1至定理3），得到物点到像点坐标转换的两个模型（模型1和模型2），并对两个模型进行了比较。对于问题2，在模型1和模型2的基础上进行求解。在问题1中我们已经知道了物点到像点的坐标变换式，关键就是参考点的选取：通过

2、建立、证明、分析关于参考点选取的定理4和定理5，我们设计了边缘选点和切线选点两种方法；并代入模型1和模型2，对靶标圆心所成的像坐标进行求解，发现它们的结果极为近似。问题3中我们首先对模型进行精度分析，通过对残差分析法的推导，结合模型2的数据，可以得出精度的表达式；对模型1中两种不同选点方法进行研究，得到切线选点法在精度方面优于边缘选点法的结论。对于模型稳定性，我们通过参数扰动和物点扰动两种方法进行定性和定量讨论。问题4研究两相机的相对位置；先针对两相机建立各自的坐标系，在模型2的基础上得到各坐标系中物点、像点变换公式，进行推导后建立模型3；最后为方便求解，我们设计了模型求解算法。最后，本文还对

3、模型推广和实际应用进行了进一步讨论，提出了改进模型的方法和思路。利用光学原理、矩阵变换建立模型，对如何寻找相对应的物点、像点的参考点的深入讨论是本文的一个重要特色。关键词：透镜成像原理、空间矩阵变换、边缘选点法、切线选点法 、残差分析 参数扰动法、物坐标扰动、相对空间位置 目录摘 要11 问题的提出42 问题的分析43 模型假设54 符号约定55 问题1的解：求解的两种模型5 5.1 模型1的建立5 5.1.1模型的准备55.1.2建立系统坐标系 65.1.3 从物平面到系统坐标系的变换75.1.4 模型1：从物平面到像平面的物理映射关系8 5.1.4.1确定空间任一物点与其像点的坐标关系式8

4、5.1.4.2确定边缘点在空间坐标系中的坐标 95.2 模型2 ：基于矩阵空间坐标转换模型115.2.1模型2建立 115.2.2 如何求解模型？ 125.3 模型1和模型2的比较136 问题2的求解136.1求解的数据准备工作136.1.1像点扫描136.1.2 像平面坐标系的建立 146.2 物与像之间对应参考点的选择146.2.1 选择的原则146.2.2参考点选择方法 146.2.3边缘选点法156.2.4切线选点法166.3 靶标圆心像点的求解176.3.1 模型2边缘选点法求解 176.3.2 模型1边缘选点法求解 186.3.3 模型1和模型2结果比较：殊途同归 186.3.4

5、模型2的切线选点法的求解197 问题3的求解197.1模型2稳定性的分析197.1.1参数扰动法197.1.2 物点坐标扰动法207.2 模型精度分析 22 7.21误差产生原因分析227.2.1.1 最小二乘法的误差227.2.1.2 由相片分辨率产生的误差 227.2.1.3 参考点的选择造成的误差237.2.2 模型精度的分析247.2.2.1 残差分析法247.2.2.2 模型的精度计算 258 问题4（模型3的求解）278.1 坐标系建立288.2 各坐标系的变换 288.3 模型3的建立298.4 模型求解算法299 模型评价及推广 319.1模型的优点319.2模型的缺点319.

6、3模型推广3110 参考文献31附录132附录2321 问题的提出数码相机的应用越来越广泛，在交通监管（电子警察）等方面也不例外。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是用两部相机定位的双目定位法。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，从照片中分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。标定的一种做法是：在一块已知大小的平板上画若干个圆（称

7、为靶标），同时用两部相机照相，得到这些圆所成的两张像，通常它们的像会产生变形，因此需要确定所成像的圆心，通过它们的几何关系确定两部相机的相对位置。有人设计了一个边长为100mm的正方形靶，分别以四个顶点（对应为a、c、d、e）为圆心，12mm为半径作圆。以ac边上距离a点30mm处的b为圆心，12mm为半径作圆。（见附录1图1）用一位置固定的数码相机摄得其像（见附录1图2）。要求：（1） 以该相机的光学中心为原点，平面平行于像平面建立坐标系，建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标。（2） 根据附录1中图1，图2分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标,

8、该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024768；（3） 设计一种自己的方法检验自己模型，并提出标准，进行分析。（4） 利用已经建立的模型，通过此靶标给出两部固定相机的相对位置。2 问题的分析 本文要求对数码相机进行定位，我们可以获取的信息只有靶标的信息和靶标像的信息，因此解决问题的关键在于建立适当的空间坐标系，先研究一台相机情况下物点、像点的坐标关系，然后再确定两台数码相机的相对位置。问题1中我们研究一台相机情况下靶标上物点与照片上像点的坐标关系，在依题意建立坐标系后，先通过旋转、平移等参数设定靶标在空间中的位置，将靶标

9、、相机、像面三者位置固定，可以通过透镜成像原理和矩阵变换两种方法，研究靶标上任一物点与其相应像点之间的坐标关系。问题2要在问题1模型的基础上，通过提取靶标及其像上的信息，确定该靶标下的模型，然后计算靶标圆心相应的像点。问题的关键是如何找出两幅图中的对应点以进行研究，我们可以应用旋转、平移等空间变换不影响拓扑关系的原理来寻找对应点。 问题3提出对模型的稳定性和精度提出检验方案，对于精度我们应从实际观察值和拟合值间的差来研究模型精度，进行稳定性分析我们重点讨论参数对模型的影响。问题4在前面模型得到的物点到像点矩阵变换公式的基础上，以一台相机和靶标建立空间坐标系，可推导出另一台相机光学中心的空间坐标

10、，这样就可以确定两台相机的相对位置。 3 模型假设 为简化问题，我们对模型作如下假设：1忽略用灰度二值化处理像平面产生的误差。2. 不考虑透镜的光学曲径变化造成像的畸变对模型的影响。 4 符号约定物平面上的原点在在空间坐标系中的值物平面坐标系轴与空间坐标系轴的夹角（） 物平面与系统坐标系的平面的夹角（） 物平面上点的坐标 物平面上点的坐标在系统坐标系中的坐标 像点的坐标 像距 平板上圆的半径 空间坐标系中的坐标原点5 问题1的解：求解的两种模型 51 模型1的建立 5.1.1模型的准备（a）透镜成像的数学分析由于问题中以透镜的光学中心为坐标原点，根据透镜成像原理结合问题我们对照相光学过程做如下

11、的简化。图5.1镜成像过程有几何光学我们可以的到下面的关系式 物体到光学中心的距离； 物体的高度；物体的像高；像的光学中心的距离。从而我们可以得出一般结论，物体上任意一点到光轴的距离与该点的像到光轴距离是线性关系，关系表达式如下。 （5.1.1）（b）本节所使用的一些名词解释为简化和规范说明问题，我们引入以下几个名词：物平面：被拍摄的正方形平板所在的平面；像平面：像点组成的平面，文中即胶片所在的平面；像距：光学中心至像平面的距离最高分辨率：数码相机能拍摄的最大图片的面积。由题中条件知相机的分辨率为1024768，根据1毫米约为3.78个像素单位，相机所能拍摄的最大照片为270.9mm203.2

12、mm,因此平板可以被完整拍摄。边缘点：在一个平面上，边缘点指某连通图最边沿的点，即此连通图某一方向坐标最大的点51.2建立系统坐标系结合问题1的要求，我们建立以透镜的光学中心为原点、光轴为轴、镜面为平面的系统坐标系，如下图5.2z轴x轴y轴o图5.2系统坐标系5.1.3 从物平面到系统坐标系的变换我们希望建立从物平面到像平面的映射关系。为此必须考虑物平面到系统坐标系的变换。设系统坐标系为，为系统坐标系中的原点，物平面为坐标系中有一平面，记为，他自身有一个坐标系，那么将中的点变换到中呢？下面我们来推导从平面上二维坐标到空间三维坐标的转换式：如下图5.3所示，首先应确定物平面，物平面可以看作是平面

13、经过以下变换得到：先使平面沿轴平移距离，再将此平面与轴保持平行，旋转角度 ，最后将平面倾斜，使其与平面夹角为，因此物平面有三个参数，。然后在物平面中建立坐标系，以物平面与光轴交点坐标为物平面坐标系的原点，物平面与系统坐标系的平面的交线为物平面的轴，进而可得横轴轴。图5.3空间坐标系变换图此处为物平面坐标系轴与空间坐标系轴的夹角，有；为物平面与系统坐标系的平面的夹角，有。如图5.3, 设物平面上点在原坐标系中坐标为，由上图示之几何投影关系可以得到： (5.1.2)且点、轴坐标和点相同。为求出、的表达式，我们在平面上研究坐标关系，如下图5.4：图5.4平面坐标转换由平面旋转坐标转换有： (5.1.

14、3)由图5.4的几何关系有： (5.1.4)综上可得，定理1：设物平面坐标系的一点，在系统坐标系的坐标为，且满足 (5.1.5)5.1.4 模型1：从物平面到像平面的物理映射关系 5.1.4.1 确定空间任一物点与其像点的坐标关系式 在已建好的坐标系中，要得到靶标圆心的像点坐标，首先建立空间中任意一点经过透镜所成像点之间的坐标关系式。 考虑到穿过透镜光学中心的光线不折射，设轴为光轴。如图5.5所示，根据成像前后两点的坐标，利用相似三角形原理，有： (5.1.6) 是像点到透镜光学中心的距离即像距； 是物点到透镜光学中心的距离即物距。 o像面图5.5凸透镜成像原理图5.14.2确定边缘点在空间坐

15、标系中的坐标 上面我们得到了空间物点像点的转换关系，但平板上的物点还受平板方位的约束，因此我们应结合平板，求出相应像点的表达式。下面我们通过一些参数在物平面上确立正方形：我们已经通过参数确定了平板的方位，下面以物平面所在的二维坐标系来确定正方形的位置。要在一个平面内确定一个正方形，只要确定正方形的中心点和该正方形在该平面内的旋转角度即可。现在正方形中建临时坐标系如图5.6.o图5.6正方形在物平面旋转示意图实线和虚线分别表示初始和旋转后的正方形，点坐标为，旋转前正方形四个顶点的坐标可由边长和点确定，用坐标统一表示正方形顶点坐标，根据顶点上圆的半径，可知边缘点（参见名词解释中的边缘点）旋转前的坐

16、标为： 不同位置的边缘点依情况取“+”或“-”，边缘点在顶点右边横坐标加，左边减；边缘点在顶点上面纵坐标加，下边减。当将实线所示图形旋转并将中心点在物平面上平移后，其坐标为 (5.1.7)此时正方形的中心点坐标为。定理2：将物平面一点，投影到系统坐标系中点的关系式为 (5.1.8)注记1： 确定物点到像点的转换模型利用（5.1.6）式的物点像点转换关系，结合（5.1.8）和(5.1.7)可写成一个含有参数的表达式 (5.1.9)的具体表达式见附录2。注记2：模型计算的化简我们虽然得到了模型1式(5.1.9)，关于、 、的关系表达式很复杂，根据表达式的特点，我们将上述模型（5.1.9）进行变形，

17、引入9个变量： （5.1.10） （5.1.11）有了式（5.1.10）、（5.1.11） 我们接下来的任务是确定系数，我们采取最小二乘法，按照一定的原则在靶标和相片间选择理论上能够对应的物点与像点，假如共选取了个点，则要求满足条件：理论上由定理2、注记1、注记2可知模型1是可以解决的。5.2 模型2 ：基于矩阵空间坐标转换模型模型1中利用了透镜成像的光学原理，但参数的求解过程很复杂，使得模型的使用范围受到限制，下面我们从矩阵变换角度来建立适用范围更广的模型，因此引入模型2。5.2.1模型2建立我们可以将相机成像看成是物平面上的点通过矩阵，变换到像平面上的点。设从物平面坐标系到空间坐标系的变换

18、矩阵为，为一4阶矩阵,其中为正交单位矩阵,；为三维平移向量,；（参考文献154页）则存在从物平面坐标到空间坐标的变换： (5.2.1)将空间坐标转换成像坐标的(5.1.6)写成矩阵形式： (5.2.2)结合(5.2.1)和(5.2.2)两式，我们可以得到定理3：从物平面坐标到像平面坐标的关系为 （5.2.3）5.2.2 如何求解模型？基于模型2中（5.2.3）式，可以根据靶标点在物平面的坐标和像的坐标来确定参数矩阵、。为方便计算我们引入矩阵 (5.2.4)为了得到转换矩阵，我们选择个靶标点，对其中一个点，结合(5.2.3)和(5.2.4)式有：化成方程组得：消去得： (5.2.5)要求解模型2

19、（即解式（5.2.5），我们的任务就变成如何利用参考点确定式（5.2.5）的参数，我们仍采用最小二乘法。5.3 模型1和模型2的比较（1） 理论上模型1和模型2都是可以得到解决的，且结果也是确定的。（2）通过式（5.1.10）、（5.1.11）与式（5.2.5）的比较我们会发现模型1和模型2的关系本质是一致的，但就求解的复杂度来讲模型1要大，特别是要确定参数、 、特别困难，因此单就这一点来讲模型2更优，因此在下面的求解中我们应用模型2。(3) 虽然模型1比较复杂，但通过建立过程的几何推导变换证明可以作为模型2的证明，在第6节中我们将分别用这两个模型求解，进一步说明。6 问题2的求解6.1求解的

20、数据准备工作6.1.1像点扫描由于数码照片采取像点记录图像的方式（见数码照相原理）所以我们要对图片进行逐像点扫描，杂扫描过程中我们不考虑图像的噪声，扫描方法：第一步：用matlab进行图像灰化，进行二值化处理，0表示非像点，1为像点；第二步：表示坐标，以相片中心为坐标原点表示每一个像点的坐标；第三步：标示几个靶标上圆的像点的集合。流程图如下：图像扫描灰度二值化坐标标记像点标示图6.1照片扫描流程 通过题目中图片的扫描得到了个像点的灰度值，并以照片中心为原点在相片平面内进行了各像点的坐标标定。6.12 像平面坐标系的建立通过以上算法，可以得到当所需的任意像素点在以像素为单位的图像坐标系中的坐标（

21、下面称像素坐标），我们还要将它转化为物理单位表示的坐标（下面称物理坐标），本文中在靶标的像平面中心点为原点建立像平面坐标系，设像中心的像素坐标为，则由任一点的像素坐标，可得它的物理坐标中：、为相片沿坐标轴方向的像元间距。6.2 物与像之间对应参考点的选择为了根据题目中靶标及其像确定模型中的转换矩阵，就要寻找相对应的物点和像点（以下称参考点）来研究。6.2.1 选择的原则过对前面问题的分析，定性的给出选取参考点的几个原则：原则1：要尽可能的确保物点和像点之间的对应关系。原则2：参考点选取要满足一定数目，在模型2中至少选择6个参考点。原则3：选取的参考点应尽量分散。6.2.2参考点选择方法定理4：

22、投影后点序列的不变性。下面给出证明。已知两个物点、，对应像点为、若设 ，我们关心的是平面点的序列，对于z轴不做讨论，则根据投影变化关系式（5.1.6）有透镜成像原理（倒立的像）可以解释上式的符号，可见两像点在像平面的拓扑关系与对应物点的拓扑关系一致。定理5：物平面呈直线的物点，在相片中的像点也满足成直线。以三个点为例我们给出数学证明。如图6.2示：图6.2设三个物点的空间坐标为、，且其对应像点的坐标为、成直线则满足关系根据投影变换方程（5.1.6）有：从而有：即证明了三个像点也在一条直线上，多个点的情况一样不失一般性。6.2.3边缘选点法根据定理1，可以把边缘点作为参考点。对于靶标的像，是由一

23、系列像素点组成的，因此我们要通过扫描的方法来提取边缘点。边缘选点法的算法：步骤1：对靶标的像利用matlab进行灰化处理；步骤2：将灰化后的图片进行二值化处理，对每个像素进行编号，0表示未投影区， 1表示投影区；步骤3：将同一个连通图中的像素编同一个号，5个连通图分别对应1，2，3，4，5；步骤4：扫描编号为1的像素，则它们属于连通图1，扫描过程中记录这些像素点的坐标（可以用该像素所在的行，列表示），当某一个像素的行数或列数取最值时，就认为它是边缘点，记录相应坐标；步骤5：扫描编号为2的像素点，重复步骤4的做法，直到5个连通图都扫描完。6.2.4切线选点法选点的准确程度影响着模型的准确性，根据

24、结论2，我们在进行参考点的选择时，应尽量选择在一条直线上且位于圆边界的点，它们所成的像点也在一条直线上而且位于连通图边界。图6.3 切线选点示意图1如图6.3，以标靶上的三个圆a、b、c为例，三个圆的上、下公切线与三个圆的交点是唯一的,如上图的、，且这些点的相对位置可以确定。基于以上结论，可以知道、的像也在一条直线上，而且位于连通图的边界。接下来我们的任务是在相片上寻找三个圆a、b、c对应连通图的公切线，则相应切点就是，这样通过一条切线，我们就可以选择三组参考点。同理对于两个圆，也可以应用上述方法找参考点，每两个圆确定四组参考点，则图中5个圆理论上可以确定组参考点。图6.4 切线选点示意图2利

25、用之前扫描的像点坐标，可得到每一个连通图的边界集合，再设计算法求出这样的点。 切线选点法的算法：我们首先给出针对两个圆的算法：图6.5 算法示意图步骤一：如上图，设圆1中边界点集合为，圆2的边界点集合；步骤二：确立圆1的一个边界点为起点，如上图中点a；步骤三：遍历圆2上的点，如果不存在这样的关系，就回到步骤二重新选起始点：a与圆2上的某点f连成的线段不经过两圆上除a，f外的其它边界点；否则转到步骤四；步骤四：若步骤三找到切线投影点，还应进一步判断是外公切线还是内公切线，具体判断方法为：以上图b、f为例，分别在两圆上选择另外两点g、h，判断b、g的横纵坐标的之差与f、h的横纵坐标之差的符号是否一

26、致（与的符号，与的符号），如果不一致，转到步骤二重新确立起始点，否则，转下；步骤五：算法结束，标记b、f点。说明：三个圆的算法和两个圆的算法相似，只是在步骤四结束后还要进一步遍历求出与第三个圆上的交点，这里算法不再赘述。6.3靶标圆心像点的求解为比较两个模型的优劣，我们首先以边缘选点法分别利用模型求解。6.3.1模型2边缘选点法求解选择所有边缘点，共20个，利用模型2的数学表达式用最小二乘法求解。在求解过程中我们做一个处理，因为物平面在它的坐标系的中的值为0，所以结合表达式(5.2.5)可以消去三个参数，这样只需要确定9个参数，参数计算结果为：物平面坐标圆心与像平面像点的对应关系，如表6.1圆

27、编号在物平面上的坐标在像平面上的坐标像素毫米像素毫米a-189.0189.0-50.050.0-177.9181.6-47.148.0b-75.6189.0-20.050.0-87.0179.1-23.047.4c189.0189.050.050.0125.1173.233.145.8d189.0-189.050.0-50.072.6-124.819.2-33.0e-189.0-189.0-50.0-50.0-230.4-116.5-60.9-30.8表6.1 边缘选点法的结果表matlab标记出该靶标圆心对应的像如下图6.6图6.6 由模型2得到的投影像点（坐标点以像素为单位）直观的看结果是

28、比较理想的，误差会在问题3进行系统的进行分析求解。6.3.2 模型1边缘选点法求解参考点同6.3.1的参考点相同，解得结果为如表 6.2圆编号在物平面上的坐标在像平面上的坐标像素毫米像素毫米a-189.0189.0-50.050.0-178.4176.3-47.149.4b-75.6189.0-20.050.0-81.0172.1-24.048.8c189.0189.050.050.0132.2175.834.445.5d189.0-189.050.0-50.080.8-132.226.4-37.4e-189.0-189.0-50.0-50.0-219.8-122.8-57.2-34.4表6.

29、2模型1切线选点法的结果表6.3.3 模型1和模型2结果比较：殊途同归通过上面两模型的求解的结果以及（5.1.10）、（5.1.11）、（5.2.5）的分析，足以说明模型1和模型2是殊途同归，求解复杂度来讲模型1要大，因此在后面计算过程中我们不再重复利用模型1求解。6.3.4 模型2的切线选点法的求解根据切线选点法的算法，选择了18个点，利用最小二乘法求解出结果得到相应的参数解为物平面坐标圆心与像平面像点的对应关系，如表6.3圆编号在物平面上的坐标在像平面上的坐标像素毫米像素毫米a-189.0189.0-50.050.0-174.4179.3-46.147.4b-75.6189.0-20.05

30、0.0-83.0177.1-22.046.8c189.0189.050.050.0130.2171.834.445.5d189.0-189.050.0-50.080.8-126.321.4-33.4e-189.0-189.0-50.0-50.0-223.8-118.8-59.2-31.4表6.3 切线选点法的结果表matlab标记出该靶标圆心对应的像如下图6.7图6.7 由模型2得到的投影像点（坐标点以像素为单位） 7 问题3的求解7.1模型2稳定性的分析7.1.1参数扰动法 假设模型中有个参数，我们固定其中个，以另一个为变量，利用参考点进行数据拟合，与观察点进行比较，计算出残差，观察残差平方

31、和的变化趋势，如图7.1。图7.1参数抖动对像点的影响这里我们只对一个参数进行讨论，从图中可以看出成线性关系。参数扰动的物理意义在于在空间照相中由于人为或环境原因造成空间坐标发生变化，而此时模型的稳定性恰好反映了照相系统适应这种变化的能力。7.1.2 物点坐标扰动法 给所有参考点一个坐标扰动，利用模型进行求解像平面坐标的平均变化值。通过模型2结合参考点可以得到和的关系图。边缘选点法：分别给两坐标轴一组数据扰动记录像点坐标，比较对应像点，如下图7.2图7.2 与像点坐标的关系有了上面的关系，我们进一步用曲线拟合出和的关系式拟合通过f检验，拟合结果图如下图7.3：图7.3和关系拟合图像切线选点法：

32、图7.4与像点坐标的关系进一步用曲线拟合出和的关系式：拟合通过f检验，拟合结果图如下图7.5：图7.5和关系拟合图像物点坐标扰动分析法的物理意义在于在实际照相中物点发生平面偏差，此时模型的稳定度反应照相系统纠错的能力，特别是根据和的关系表达式还可以用来进行图像补偿。7.2 模型精度分析 7.21误差产生原因分析在讨论误差时的原因时，我们只研究系统误差，在本问题中我们认为系统误差主要来自下列原因：7.2.1.1 最小二乘法的误差最小二乘结果对中间计算中输入的数据的取舍非常敏感。自变量个数的数目对计算过程的有效数字的取舍控制有一定的影响，且在利用计算机进行计算时自身对数字精度的控制对结果也有一定的

33、影响，这些都是不可避免的（参考文献 2411页）7.2.1.2 由相片分辨率产生的误差前面我们已经说明数码相片由像点组成，我们在以相片平面建立坐标系时是以整数格点为单位的，有：由于在处理图片时采用的是灰度二值化的方法，因此小数格点会被忽略，这样就造成误差，即、分别为像点在像平面的误差值上式图像分辨率造成的误差。7.2.1.3 参考点的选择造成的误差 在问题2中我们采取两种的选点方法，边缘选点法和切线选点法。对于边缘选点法，我们采取物平面最高点对应像平面最高点的方法，这固然可以解决问题，但这种方法存在问题，如下图7.6：图7.6 空间相对位置变化物平面上沿轴的最高点的像点不是图像平面坐标系中的轴

34、的最高点，原因是在进行坐标变换的过程物平面相对系统坐标系有一个旋转角度（图5.3），因此这种选点方法是有误差的。至于切线选点法我们前面已经作了分析。问题2的两种选点方法的求解结果充分说明了选取参考点方法对模型结果的影响。7.2.2 模型精度的分析7.2.2.1 残差分析法将所有参考点，（参考点个数）作为拟合输入点，最利用问1的模型，得到拟合值，利用实际选点的观察值计算出残差设、分别为残差的方差，则满足：服从布参考文献2 p108,同理也服从分布，且自由度为（为数学模型中参数的个数）。由分布的性质有：因而设、为、的估计量且有：因而最终了得到 （7.1） （7.2）7.2.2.2 模型的精度计算

35、模型2的边缘选点法精度分析：根据7.2.2.1的残差分析结合模型2的数据计算可以得到：（单位为像素）图7.7模型2拟合像点与观察像点的关系图图7.8模型2拟合像点坐标轴与观察像点坐标轴的关系图模型1的边缘选点法精度分析：根据7.2.2.1的残差分析结合模型1的数据计算可以得到：（单位为像素）图7.9模型1拟合像点与观察像点的关系图图7.10模型1拟合像点坐标轴与观察像点坐标轴的关系图模型2的切线选点法的精度分析：根据7.2.2.1的残差分析结合模型2代入数据得到像平面的精度：（单位为像素）图7.11模型2拟合像点与观察像点的关系图图7.12模型2拟合像点坐标轴与观察像点坐标轴的关系图从两种选点

36、方法的所得结果精度上我们可以看出切线选点法要优于边缘选点法。8 问题4（模型3的求解）通过问题1、2的解决，可以得到物平面坐标系上点到照相机坐标系上点的对应关系，特别是中间变换的数学关系，可以帮助我们确立两个照相机的相对位置。8.1 坐标系建立在解决第4问前我们首先建立三个坐标系，如下图：图8.1 两台相机情况下坐标示意图标靶坐标系：以标靶靶面为一个坐标面，建立坐标系；相机1坐标系：以相机1的透镜面为一个坐标面，建立坐标系；相机2坐标系：以相机2的透镜面为一个坐标面，建立坐标系。8.2 各坐标系的变换 由前面的矩阵空间变换(5.2.1)推导可知对标靶坐标系上一点可经过矩阵变换到相机1和相机2的

37、坐标系中,设变换矩阵分别为和（式5.2.1），设变换后的坐标分别为、,则存在关系 (8.2.1) （8.2.2）8.3 模型3建立有了相机1和相机2关于标靶上同一点的坐标关系(8.2.1)、（8.2.2），可以得到相机1和相机2 相对位置的关系。由(8.2.1)、(8.2.2)有：进而可得到 (8.3.1)8.4 模型求解算法由前面的矩阵空间变换(6.5.1)推导，我们就可以在和已知，且物点在相机1坐标系位置明确的前提下确定在相机2坐标系中的坐标位置，反之亦然。显然求和成为我们求解模型的关键。对于和的求解可以利用问题1的矩阵模型。解法操作步骤：步骤1：固定两个相机，同时对标靶拍照；步骤2：结合

38、两张照片，利用问题2的选点方法进行选点；步骤3：利用步骤2的参考点以及问题1的矩阵模型：分别计算出和。步骤4：计算两相机光学中心（在各自坐标系中都为）的相对位置，（相机1光心相对于与相机2的位置）或（相机2光心相对于与相机1的位置）这样两相机的相对问题就得到了解决，解法流程图8.2。固定靶标和相机用相机同时拍照扫描图片，选取参考点根据矩阵模型，计算空间变换矩阵由数学模型计算相对位置终止图8.2 解法流程图这里我们不对模型的具体数值解做讨论。 9 模型评价及推广9.1模型的优点1.模型1和模型2建立过程中进行了严格的数学证明（定理1至3），这样就可保证模型推导的正确性。2.选点问题影响着模型的求

39、解结果，在选点问题上，我们证明并运用了定理4和5，这样就确保了选点的准确性。3.本文建立的模型可操作性强；通过在靶标及其像中提取信息就可确定该靶标中任一物点对应的像点。4.本文中模型的可推广性强，可以将两台相机扩展为多台相机，原理不发生改变。9.2 模型的缺点 本文的模型在图像二值化过程中，对灰度扫描不够准确，但随着科学技术的发展，我们一定可以解决这个问题。9.3 模型推广我们还可以对模型加以改进。比如模型中用于标定的两相机像距相同，但可以考虑不同像距的两相机如何标定，鉴于时间原因，我们在此不作讨论。本文建立的模型不只可以应用在相机标定问题上，还可以应用在其它方面。比如机器人对物体的定位；可以

40、将两台相机看成机器人的两双眼睛，通过机器人两眼的相对位置和空间中某点在两眼中所成的像，就可以确定空间中该点的坐标。 10 参考文献1马颂德,张正友，计算机视觉计算理论与算法基础，北京：科学出版社,1998。2 约翰，威廉，应用线性回归模型，北京：中国统计出版社,1983。2赵勋杰,李成金，双目立体实时测距系统的关键技术研究，激光与红外，第36卷第9期：p874-p877，2006。3宣海燕，张峰，申功勋，大视场短焦距成像系统的快速校正，测控技术，第26卷第6期：p28-p30，2007。4最高分辨率，5王沫然，matlab与数值计算（第2版），电子工业出版社，北京，2008。6王正林，刘明，精

41、通matlab7，电子工业出版社，北京，2008。附录1图 1 靶标示意图图2 靶标的像附录2(的具体表达式)（二）nba赛程分析与评价的数学模型摘 要 本文采用层次分析法系统分析了nba2008-2009赛季赛程公平性问题，引入相对公平指数表示组合权重来衡量赛程对各个球队的利弊；同时，在分析同部不同区赛程安排问题时，引用了优化模型中的0-1规划模型，并以两支球队胜率差的绝对值作为权重，设计了新的比较科学的赛程方案。观点新颖，叙述得当，很好的解决了问题。问题一，综合历年赛程与球队战绩，选取时间间隔指数、背靠背指数、连续客场指数和连续强队指数作为准则层因素，并对其进行量化（量化原则见问题分析）。

42、之后利用层次分析法，分别求出各个因素对决策目标的权重和方案层对准则层的权重。同时，引入相对公平指数代替组合权重，便于将问题清晰化。问题二，根据问题一求解进一步求出方案层对目标层的权重,并求出相对公平指数的列向量，各元素分别对应各支球队的相对公平平指数（见表3），从而得出火箭排第17名得分0.0332407，赛程情况中等略偏下。最有利的是活塞(0.020230225)、凯尔特人(0.0260017)等相对较强队；最不利的是魔术(0.0434265)、山猫(0.0402673)、雄鹿(0.0389019)等球队（其中魔术是因为连续客场指数高达58所致）。问题三，在同部不同区的3、4场赛程分配上，根

43、据nba给出的赛程可知平均分配给两个同部不同的分区，然后随机抽取。借鉴问题一、二中的办法，利用0-1规划最优排列的方法，将各队胜率差值的绝对值作为权重计算出符合0-1分布的相对公平赛程分配（见表6、表7），从而最终解决问题。关键词：层次分析法，相对公平指数，0-1规划，mathematica，lingo1. 问题重述喜欢篮球的人都知道，nba是当今世界最优秀的职业篮球联赛，这里盛产奇迹，这里盛产明星，这里也盛产欢乐。作为全世界最成熟的职业赛事之一，它的运营机制、管理经验乃至赛程的安排无疑对全世界的其他赛事都是极有借鉴意义的，而nba的球星们也有很多都是身价上亿的富翁。自从姚易加盟以后，nba越

44、来越受到中国球迷的宠爱和青睐。目前nba现役球队共有30支，西部联盟、东部联盟各15支，大致按照地理位置，西部分西南、西北和太平洋3个区，东部分东南、中部和大西洋3个区，每区5支球队。对于20082009新赛季，常规赛阶段从2008年10月29日（北京时间）直到2009年4月16日，在这5个多月中共有1230场赛事，每支球队要进行82场比赛。对于nba这样庞大的赛事，编制一个完整的、对各球队尽可能公平的赛程是一件非常复杂的事情，赛程的安排对球队实力的发挥和战绩有一定的影响，从报刊上经常看到球员、教练和媒体对赛程的抱怨或评论。这个题目主要是要求用数学建模方法对已有的赛程进行定量的分析与评价：1、

45、 为了分析赛程对某一支球队的利弊，你认为有哪些要考虑的因素，根据这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，并给出评价赛程利弊的数量指标。2、 按照1）的结果计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并找出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。3、 分析赛程可以发现，每支球队与同区的每一球队赛4场（主客各2场），与不同部的每一球队赛2场（主客各1场），与同部不同区的每一球队有赛4场和赛3场（2主1客或2客1主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部3个区的球队间保持均衡。试根据赛程找出与同部不同区球队比赛中，选取赛3场的球队的方法。这种方法如何实现，对该方法给予评价，也可以给出你认为合适的

46、方法。2. 符号说明表示准则层对目标层的判断矩阵表示第支球队在赛季中第场比赛和第场比赛之间的休息天数时间间隔指数的判断矩阵表示把的数据量化为0-1分布的结果背靠背指数的判断矩阵连续客场指数的判断矩阵连续强队指数的判断矩阵各支球队组合权重即相对公平指数排名各分区作0-1分布处理后的3、4场赛程分配矩阵各分区胜率差值权重矩阵一致性指标随机一致性指标一致性比率指标最大特征值准则层对目标层的权重准则层时间间隔指数对目标层的权重准则层背靠背指数对目标层的权重准则层连续客场指数对目标层的权重准则层连续强队指数对目标层的权重方案层对目标层的组合权重，即相对公平指数a1，a2，a5 总排名前5名球队b1，b2，b5 名6-10名球队c1，c2，c5 总排名11-15名球队d1，d2，d5 总排名16-20名球队e1，e2，e5 总排名21-25名球队f1，f2，f5 总排名26-30名球队3. 模型假设l1假设忽略两支球队历史交手战绩。l2假设每天比赛的具体时间点对比赛影响很小，忽略不计。l3假设球赛受到的球星效应、周末因素影响很小，忽略不计。l4假设忽略一些不可控因素对赛程造成的影响，如当家球员受伤等。l5当球队遭遇连续客场比赛时