误差理论与数据处理第5版

1、第一章绪论1 1测得某三角块的三个角度之和为18000 02” ,试求测量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于:相对误差等于:18000 02 -180 =2218022180 60 60 _ 648000=0.00000308641 ： 0.000031%1-4在测量某一长度时，读数值为2.31m，其最大绝对误差为20m，试求其最大相对误差相对误差max二绝对误差max测得值100%20 1062.31100%= 8.66 10-4%1 6检定2.5级（即引用误差为 2.5%）的全量程为I00V的电压表，发现 50V刻度点的 示值误差2V为最大误差，问该电表是否合格？解：依题意，该电压表的示

2、值误差为2V由此求出该电表的引用相对误差为2/100 = 2%因为2% 2.5%所以，该电表合格。1-6检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V的电压表，发现50V刻度点的示值误差2V为最大误差，问该电压表是否合格?最大引用误差某量程最大示值误差测量范围上限100%2100100% =2% : 2.5%该电压表合格1- 8用两种方法分别测量 L1=50mm，L2=80mm。测得值各为50.004mm,80.006mm。试评定两种方法测量精度的高低。相对误差L1:50mm,50.004 -50 cc/ c “cc/11100% - 0.008%50L2：80mm80.006 -80

3、丨2100% = 0.0075%80I1 1 2所以L2=80mm方法测量精度咼。1 9多级弹导火箭的射程为 10000km时，其射击偏离预定点不超过0.1km ,优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为 2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高？解：多级火箭的相对误差为:10000 “00001 “001%射手的相对误差为:1cm 0.01m50m50m= 0.0002 = 0.002%多级火箭的射击精度高。1-10若用两种测量方法测量某零件的长度 L1=110mm,其测量误差分别为-1Vlm和丄9 m ;而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm其测量误差为-12m，试比较三种测量

4、方法精度的高低。相对误差1111m0.01%110mm9 Am0.00 8 2 %1 1 mm12 m= 0.008%150mmI2 ：I1第三种方法的测量精度最高第二章误差的基本性质与处理2 4 测量某电路电流共 5 次,测得数据（单位为mA）为168.41，168.54，168.59，168.40，168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。解：、Ti= 168.49(mA) (li -丨)=i =45-1= 0.082 (|j)2351O。8054()4”5【,108062 5在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据（单位为mm为20.0015,定测量结果。解

5、：求算术平均值20.0016 , 20.0018 , 20.0015 , 20.0011。若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确n7 lix = - = 20.0015mmn求单次测量的标准差n Vi2n126 10、2.55 10，mm4求算术平均值的标准差CJ2.55 10*x 5= 1.14 10*mm确定测量的极限误差因n = 5较小，算术平均值的极限误差应按t分布处理。现自由度为：v = n 1 = 4;a = 1 0.99 = 0.01 ,查t 分布表有：ta = 4.60极限误差为写出最后测量结果、iimx =： t：匚x 4.60 1.14 105.24 10，mmL 二

6、x 、|imx = 20.0015 -5.24 10, mm2-4测量某电路电流共5次，测得数据（单位为 mA）为168.41, 168.54,168.59, 168.40, 168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误-168.41168.54 168.59168.40 168.50x =5= 168.488( mA)J W2二；一 0.082(mA)a 0.082或然误差：R 二 0.6745；匕二 0.6745 0.037 二 0.025( mA)平均误差：T = 0.7979=0.7979 0.037 = 0.030(mA)2- 5在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量 5

7、次，测得数据（单位 为 mm 为 20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服 从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。20.0015 20.0016 20.0018 20.001520.0011x =5二 20.0015（ mm）止态分布p=99%寸，t =2.58lim xx二 0.000252.580.。0025V5=0.0003(mm)测量结果：X =x J佔=(20.0015 _0.0003)mm2-7用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差0.004mm,若要求测量结果的置信限为一 0.005mm,当置信概率为99%

8、 时，试求必要的测量次数。正态分布 p=99%时，t=2.582.58 0.004 cc、n2.0640.005n =4.26取 n =52-8用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差 误差为土 0.0015mm,而置信概率 解：根据极限误差的意义，有(T = 0.001mm,若要求测量的允许极限 P为0.95时，应测量多少次？一垸乂 二一t 二：0.0015、n根据题目给定得已知条件，有t 0.0015,1.5 .n 0.001查教材附录表3有若 n = 5, v= 4, a = 0.05 ,有 t = 2.78 ,278空8 242.236若 n = 4, v= 3, a = 0.05 ,

9、有 t = 3.18 ,t =3.18- n 4壬592即要达题意要求，必须至少测量5次。2-10某时某地由气压表得到的读数(单位为 Pa)为 102523.85, 102391.30,102257.97, 102124.65, 101991.33,101858.01, 101724.69, 101591.36,其权各为1, 3, 5, 7, 8, 6, 4, 2,试求加权算术平均值及其标准差。8_ Z PiK殳=14102028.34(Pa) Pii 4、PiVxi2cx:-86.95(Pa)(8-1广 Pi2- 11测量某角度共两次，测得值为- 24 13 36 , 2 =24 1324，

10、其标准差分别为G =3.1 2 =13.8 ,试求加权算术平均值及其标准差。P1： P2 匸= 19044: 9611X =24 132019044 16 961 419044 961=24 1335-3.119044.19044 961:3.02-12甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角得值如下：:-各重复测量5次，测:甲 :7 220 ,7 3 0 ,7 2 35 ,7 2 20 ,7 2 15 ;:乙 :7 225 ,7 2 25 ,7 2 20 ,7 2 50 ,7 2 45 ;试求其测量结果甲: X甲=7 2 20 60 35 20 15,230= 18.4”-甲5 二18.4=8.

11、2311 :2 :CJ -rax甲1 : 18.232 6.042二 3648: 67733648 30 6773 333648 + 677372 7232CF-xP甲P甲 P乙、3648=4.87.3648 6773乙：x乙 =7 2 25 25 20 50 45“233X =x_3=7 232_15 2-14重力加速度的20次测量具有平均值为9.811m/s2、标准差为 0.014m/s2。另夕卜30次测量具有平均值为9.802m/s2，标准差为 0.022m/s2。假设这两组测量属于同一正态总体。试求此 50次测量的平均值和标准差。1 1 1 1p1 : p2 二 TT : TT 二2

12、:2 = 2 4 21 4 7x210.014 ； 10.022 ；2:9.808(m/s )-242 9.811 147 9.802x =242 +1470.01424220242 147:0.002(m/s2)2-15对某量进行10次测量，测得数据为14.7, 15.0, 15.2, 14.8, 15.5,14.6, 14.9, 14.8, 15.1, 15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。X =14.96按贝塞尔公式 G二0.263310Z Vi按别捷尔斯法 匕二1.25 i -0.2642J1O(1O_1)由=1 u 得 u 二-1 =0.0034.1 . 12u = =0.67

13、所以测量列中无系差存在。2-16对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下(单位为mH：50.82, 50.83, 50.87, 50.89;50.78, 50.78, 50.75, 50.85, 50.82, 50.81。试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。使用秩和检验法：排序：序号12345第一组第二组50.7550.7850.7850.8150.82序号678910第一组50.8250.8350.8750.89第二组50.85T=5.5+7+9+10=31.5 查表T= 14 T = 30T T-所以两组间存在系差2

14、- 19对某量进行两组测量，测得数据如下:Xi0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.301.341.391.411.57yi0.991.121.211.251.311.311.381.411.481.591.601.601.841.95ni (nn21)=(-2) =203 ；212=474求出:T -aCJ=-0.1试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。解：按照秩和检验法要求，将两组数据混合排列成下表：T12345678910Xi0.620.861.131.131.161.181.20yi0.991.121.21T111213141516171

15、81920Xi1.211.221.301.341.391.41yi1.251.311.311.38T2122232425262728Xi1.57yi1.411.481.591.601.601.841.95现nx= 14, ny = 14，取x的数据计算T,得T= 154。由现取概率2建)=0.95 ,即(t) =0.475 ,查教材附表1有r =1.96。由于t t.因此,可以认为两组数据间没有系统误差。第三章误差的合成与分配3- 1相对测量时需用54.255mm的量块组做标准件，量块组由四块量块研合而成，它们 的基本尺寸为h =40mm , l2 =12mm , l 1.25mm ,I4 =

16、1.005mm。经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分别为计1 二0.7m, J 二 05b ,仏=0.3m,也= 0.1m, rmh = 0.35miiml2 = 0.25m,、伽丨3 = 0.20m,nml-0.20Jm。试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。修正值=（./ .仏* .仏.订4）=-(-0.70.5 -0.30.1) =0.4 (m)测量误差:2lim hlim I2lim I32lim I4=_ . (0.35)2(0.25)2(0.20)2(0.20)2 =二 0.51( Jm)3- 2 为求长方体体积V ,直接测量其各边长为 161.6mm

17、,b =44.5mm,c =11.2mm,已知测量的系统误差为：a = 1.2mm，厶b - -0.8mm ,c = 0.5mm，测量的极限误差为=0.8mm，： 0.5mm，： 0.5mm，试求立方体的体积及其体积的极限误差V 二 abc V = f (a, b, c)V0 二 abc=161.6 44.5 11.23=80541.44( mm )体积V系统误差V为：=V =bc=a ac=b ab=c33=2745.744(mm ) ： 2745.74(mm )立方体体积实际大小为：V =V V =77795.70(mm3)益丄：打2宀2 行2r2f 22 limV 二 ()( )-b (

18、 )-c、O比cc= (be)2 叮 (ac)2、b2 (ab)2、c2=：3729.11(mm3)测量体积最后结果表示为：V 二Vo - ：V 、iimv =(77795.70 _3729.11)mm33 3长方体的边长分别为 a 1, a 2, a 3测量时：标准差均为(T ；标准差各为(T 1、(T 2、 (T 3。试求体积的标准差。解：长方体的体积计算公式为：V = a1 a2 a3体积的标准差应为:V 2 2V 2()w+()2 (N、2 C )-*3ca2；:VeV-a1 a3 ；-=a1a 2:a2&3-V2 2-3eV现可求出：a2 a3 ；cai若:则有：二V丁 ,(a2a3

19、)2(da?)2(ca?)2右：；r =匚2 =匚3i1222222则有：-V = . 2&3)1 1&3)2 旧2)-33-4 测量某电路的电流I = 22.5mA，电压U =12.6V，测量的标准差分别为G = 0.5mA , % =0.1V ,求所耗功率P=UI及其标准差二PP =UI -12.6 22.5 =283.5(mw)P二f (U,l)； U、I成线性关系 5胡%U2 +(什)22 +2(f )(专)56cIcU cIfU.:UI =l；u U；| = 22.5 0.1 12.6 0.5J= 8.55( mw)3 9 按公式V=n r2h求圆柱体体积，若已知 r约为2cm, h

20、约为20cm,要使体积的相对 误差等于1%,试问r和h测量时误差应为多少？解：若不考虑测量误差，圆柱体积为V =感 r2 h =3.14 2220 = 251.2cm3根据题意，体积测量的相对误差为1%,即测定体积的相对误差为：c1%V即：；二V 1% =251.2 1% =2.51现按等作用原则分配误差，可以求出 测定r的误差应为：CT 1Cr2 :V / ；：r测定h的误差应为： 1h2 :V / ;h1.412.512-hr二 0.007 cm打=0.142cm1.41 二 r3-11对某一质量进行4次重复测量，测得数据（单位g）为428.6, 429.2, 426.5, 430.8。已

21、知测量的已定系统误差= - -2.6g,测量的各极限误差分量 及其相应的传递系数如下表所示。若各误差均服从正态分布，试求该质量 的最可信赖值及其极限误差。序号极限误差/g误差传递系数随机误差未定系统误差12.1一12一1.513一1.014一0.5154.5一16一2.21.471.0一2.28一1.81-428.6429.2426.5430.8x =4=428.775(g)428.8(g)最可信赖值 x = X - 厶=428.8 - 2.6 = 431.4(g)4(S5(f)n i -Xj4 i m4 1 某圆球的半径为r，若重复10次测量得r d r =(3.132 0.005)cm，试

22、求该圆球 最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度，置信概率P=99%。解：求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度已知圆球的最大截面的圆周为：D =2二丁:-4.9(g)测量结果表示为：x = X广；订x =(431.4 _4.9)g第四章测量不确定度=0.0314cm确定包含因子。查t 分布表 10.01 (9)= 3.25，及 K= 3.25其标准不确定度应为:故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为：u= Ku= 3.25 X 0.0314 = 0.102求圆球的体积的测量不确定度43圆球体积为：Vr3其标准不确定度应为：u = J 幷2 =J(4 灯 r2 2r： =U16x3.141

23、592 X3.1324 X 0.0052 = 0.616确定包含因子。查 t分布表to.oi ( 9)= 3.25，及K= 3.25最后确定的圆球的体积的测量不确定度为U= Ku= 3.25 X 0.616 = 2.0024- 4某校准证书说明，标称值 10门的标准电阻器的电阻 R在20 C时为10.0007420 129呛(P=99%),求该电阻器的标准不确定度，并说明属于哪一类评定的不确定度。T由校准证书说明给定-属于B类评定的不确定度vR在10.000742门-129丄,10.000742门+129山范围内概率为99% 不为100%-不属于均匀分布，属于正态分布a =129当 p=99%

24、时，Kp =2.58Kp1292.58=50（山）4- 5在光学计上用52.5mm的量块组作为标准件测量圆柱体直径，量块组由三块量块研合而成，其尺寸分别是：h = 40mm， l2 =10mm，l3 = 2.5mm，量块按“级”使用，经查手册得其研合误差分别不超过_0.45m、 -0.30m、_0.25m(取置信概率P=99.73%的正态分布)，求该量块组引起的测量不确定度L = 52.5mm h=40mm l2=10mml3 = 2.5mmL =li I2 I3p =99.73%心=3iia 0.45kP = 0.15(m)U|2a 0.30kP =0.10(m)U |3 = = 0.08(

25、 .Lm)kp 3U L =，:u 厂U 厂 h Jo.lX 0.102 0.082= 0.20( Jm)4 6某数字电压表的说明书指出，该表在校准后的两年内，其2V量程的测量误差不超过土 （14 X 10-6读数+1 X 10-6 X量程）V，相对标准差为20 %，若按均匀分布，求1V测量时电压表的标准不确定度； 设在该表校准一年后， 对标称值为1V的电压进行16次重复测量， 得观测值的平均值为 0.92857V，并由此算得单次测量的标准差为0.000036V，若以平均值作为测量的估计值，试分析影响测量结果不确定度的主要来源，分别求出不确定度分量， 说明评定方法的类别，求测量结果的合成标准不

26、确定度及其自由度。622202220101412064822336113x y =2.95- 1测量方程为x -2y =0.9试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。误差2x -3y =1.9V1 =2.9 -(3x y) 方程为 v2 =0.9 -(x-2y)v3 =1.9 (2x 3y)nnai1ai1x吃ai1ai2yai =!i =innai2ai1 x+zai2ai2yai2i ir nz列正规方程心n.i彳代入数据得0.962y =0.015MX513.4 解得-5x 14y - -4.6W =2.9 -(3 0.9620.015-0.001将 X、y 代入误差方程式v2 =0.9

27、 -(0.962 -2 0.015) =-0.032v3=1.9 -(2 0.962 -3 0.015)=0.021测量数据的标准差为二 0.038求解不定乘数d:14dn - 5d12 = 1d12_5dn 14d12 = 0d2214d21 _5d22 =0-5d2i 14d22 =1解得 = d 22 = 0.082x、y 的精度分别为二x -；d11 =0.01 二 yd22 =0.01x -3y = -5.6, P1 = 15-5不等精度测量的方程组如下：4x= 8.1, p2 22x - y 二 0.5, P3 = 3试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。V1 二-5.6 -(x -3y), P1 =1歹U误差方程 v2 =8.1 -(4xy), p2 =2V3 二 0.5 _(2xy), P3 =33正规方程为 ：二33卩匚玄也低亠二Piai1ai2y= 苗征i =1i=l33Piai2a1x 亠一 Piai2ai2 P