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文档简介
1、第二章第二章 流体运动学和动力学基础流体运动学和动力学基础 第第 2 2 章章 流体运动学和动力学基础流体运动学和动力学基础 n2.1 描述流体运动的方法 n2.2 流体微团运动的分析 n2.3 理想流体运动微分方程组 n2.3.1 连续方程 q2.3.2 Euler运动微分方程组 q2.3.3 Bernoulli积分及其物理意 义 q2.3.4 Bernoulli方程的应用 n2.4 流体运动积分方程组 q2.4.1 Lagrange型积分方程 q2.4.2 Reynolds输运方程 q2.4.3 Euler型积分方程 n 2.5 环量与涡 2 2 2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体
2、运动的方法 n2.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法 连续介质假设:流体是由质点组成,无空隙地充满所占据 的空间。对于无数多的流体质点,当其发生运动时,如何 正确描述和区分各流体质点的运动行为,将是流体运动学 必须回答的问题。描述流体运动的方法有两种。 3 3 2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法 n1、Lagrange方法(拉格朗日方法,质点法) Lagrange (1736-1813),法国数学家、物理学家,分析力学的 创始人,呈被拿破仑称为“数学科学高耸的金字塔” 。在 该方法中,观察者着眼于个别流体质点的流动行为,通过 跟踪每个质点的运动历程,从而获得整个流场的运动规律 。
3、(引出迹线的概念) 4 4 2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法 n x(a,b,c,t), y(a,b,c,t), z(a,b,c,t) n其中 a,b,c为流体质点的标识符,用于区分和识别各质点的。 t表示时间。a.b.c.t称为拉格朗日变数。 a.b.c给定,表示指定质点的轨迹。 t给定,表示在给定时刻不同质点的空间位置。 x y z t zyx, (a,b,c) 5 5 2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法 n质点法观察者着眼于个别流体质点 所获取的第一手资料是流体质点的轨迹 6 6 n对于给定流体质点,速度表达式是 n流体质点的加速度为 t tcbaz
4、 w t tcbay v t tcbax u ),( , ),( , ),( 2 2 2 2 2 2 ),( , ),( , ),( t tcbaz a t tcbay a t tcbax a zyx 2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法 7 7 n流体质点的其它物理量也都是 a,b,c,t 的函数。 n迹线方程为 dt w dz v dy u dx 2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法 8 8 n2、Euler方法(欧拉方法,空间点法,流场法) n Euler(1707-1783),瑞士数学家、物理学家,提出变分原 理,建立了理想流体运动方程。 n在该方法中,
5、观察者相对于坐标系是固定不动的,着眼于 不同流体质点通过空间固定点的流动行为,通过记录不同 空间点流体质点经过的运动情况,从而获得整个流场的运 动规律。(引出流线概念)。 2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法 9 9 n其中: qx,y,z为空间点的坐标。 qt表示时间。x,y,z,t 称为欧拉变数。 n x,y,z给定, t变化:表示不同时刻不同流体质点通过同一空间点的 速度。 n t给定, x,y,z变化:表示给定时刻,不同流体质点通过不同空间点 的速度,给定速度场。 (守株待兔,看门房式的工作方法守株待兔,看门房式的工作方法) ),( V ),( ),( tzyxw kw
6、j vi utzyxv tzyxu 2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法 1010 2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法 1111 n 应指出,空间点速度本质上指的是 t 瞬时恰好占据该空间 点流体质点所具有的速度。 n 一个布满了某种物理量的空间称为场。 q流体流动所占据的空间称为流场。 q如果物理量是速度,描述的是速度场。 q如果是压强,称为压强场。 q在高速流动时,气流的密度和温度也随流动有变化,那就还有一个 密度场和温度场。 q这都包括在流场的概念之内。 2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法 1212 n如果场只是空间坐标的函数而与时间无
7、关则称为定常场,否 则为非定常场。 n对于定常速度场的表达为: n ,. ),(zyxuu 一个速度场一个速度场 2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法 1313 n用欧拉法来描述流场时,观察者直接测量到的是速度,那 么在流体质点的运动过程中,质点的速度变化是如何引起 的,怎样正确表示流体质点的加速度呢?以下面例子说明 。 2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法 1414 n参看下图: q第1图表示流体质点从A流到B速度不变; q第2图表示流体质点从A流到B点,因水位下降引起速度减小; q第3图表示流体质点从A流到B点,因管道收缩引起速度增加; q第4图表示流体质点
8、从A流到B点,因水位下降和管道收缩引起速度的变化。 n水位下降表示流场的非定常性,管道收缩表示流场的不均匀性。由此可见, 一般情况下引起流体质点速度的变化来自于两方面的贡献:其一是流场的不 均匀性,其二是流场的非定常性。 2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法 1515 2.1.2 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式 n 设速度函数具有一阶连续的偏导数,现在来求加速度。设 某一流体质点在t时刻位于流场中M点,经过微分时段位于 N点,根据加速度定义有 t tMVtNV t tNVttNV dt Vd t tMVttNV t V dt Vd a t t tt ),(
9、),( lim ),(),( lim ),(),( limlim 0 0 00 1616 n根据泰勒级数展开,流场非定常性引起的速度变化为 )( ),( ),(),( 2 tOt t tNV tNVttNV t V t tMV t tOt t tNV t tNVttNV tt ),( )( ),( lim ),(),( lim 2 00 2.1.2 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式 1717 n由于流场不均匀性引起的速度变化为 ),.,( ),(),(),( ),(),( ),.,( ),(),(),( ),( ),(),( 2 2 xOz z tMV y y tMV x
10、x tMV tMVtNV xOz z tzyxV y y tzyxV x x tzyxV tzyxV tzzyyxxVtNV z tMV w y tMV v x tMV u z tMV t z y tMV t y x tMV t x t xOz z tMV y y tMV x x tMV t tMVtNV ttt t t ),(),(),( ),( lim ),( lim ),( lim ),.,( ),(),(),( lim ),(),( lim 000 2 0 0 2.1.2 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式 1818 n综合起来,得到流体质点的全加速度为 VV t V
11、 dt Vd a z V w y V v x V u t V dt Vd a )( 2.1.2 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式 1919 n等式右边第1项表示速度对时间的偏导数,是由流场的非定常性引起 的,称为局部加速度,或当地加速度; n右边第2项表示因流体质点位置迁移引起的加速度,称为迁移加速度 ,位变加速度,或对流加速度。二者的合成称为全加速度,或随体加 速度。写成分量形式为 duuuuu uvw dttxyz dvvvvv uvw dttxyz dwwwww uvw dttxyz 2.1.2 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式 2020 n算子
12、n表示随流体质点运动的导数,称随体导数。除速度外,对 流场中其它变量也成立。如对于压强p,有 z w y v x u tdt d dppppp uvw dttxyz 2.1.2 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式 2121 n如果流动参数是一维空间流程坐标 s和时间 t的函数,速度 场为v(s,t)。则全加速度表示为: s v v t v Dt Dv as v s 2.1.2 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式 2222 n根据上述分析,可得出以下各图中的加速度表达式。 2.1.2 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式 2323 2.1.3
13、2.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量 n在某一瞬时t,从流场中某点出发,顺着这一点的速度指向画一个微分 段到达邻点,再按邻点在同一瞬时的速度指向再画一个微分段,一直 画下去,当取微分段趋于零时,便得到一条光滑的曲线。在这条曲线 上,任何一点的切线方向均与占据该点的流体质点速度方向指向一致 ,这样曲线称为流线。在任何瞬时,在流场中可绘制无数条这样的流 线。流线的引入,对定性刻画流场具有重要意义。 时间 t 固定 2424 n由于流线上各点的切线方向与该点的速度方向一致,则流 线上的切线方向的三个余弦dx/ds,dy/ds,dz/ds必和流速 分量与合速度组成的三个方向余弦相同
14、。表示为微分的关 系是 V ds w dz v dy u dx 称为流线微分方程称为流线微分方程 2.1.3 2.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量 2525 n流线是反映流场瞬时流速方向的曲线。其是同一时刻,由不同流体质点组 成的。与迹线相比,迹线是同一质点不同时刻的轨迹线。根据流线的定义 ,可知流线具有以下性质: n在定常流动中,流体质点的迹线与流线重合。 q在非定常流动中, 流线和迹线一般是不重合的。 q在定常流动中,流线是流体不可跨越的曲线。 n在常点处,流线不能相交、分叉、汇交、转折, 流线只能是一条光滑的 曲线。也就是,在同一时刻,一点处只能通过一条流线。 1.
15、在奇点和零速度点例外。 2.1.3 2.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量 2626 n与流线密切相关的,是流管和 流面两个概念。流管是由一系 列相邻的流线围成。在三维流 动里,经过一条有流量穿过的 封闭曲线的所有流线围成封闭 管状曲面称为流管。 2.1.3 2.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量 2727 n由流线所围成的流管也正像一根具有实物管壁一样的一根 管子,管内的流体不会越过流管流出来,管外的流体也不 会越过管壁流进去。 n流面是由许多相邻的流线连成的一个曲面,这个 曲面不 一定合拢成一根流管。当然流管的侧表面也是一个流面。 不管合拢不合拢,流面也
16、是流动不会穿越的一个面 。 2.1.3 2.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量 2828 n流量是单位时间内穿过指定截面的流体量(体积、质量或 重量),例如穿过上述流管中任意截面A的体积流量 、质 量流量 和重量流量可分别表为 dAnVm A )( dAnVQ A )( dAnVgG A )( 其中, 是局部速度向量, 是密度, 是微元面积 的法线向量 V n dA 2.1.3 2.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量 2929 2.2 2.2 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 2.2.1 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式 n在理论
17、力学中,研究对象是质点和刚体(无变形体),它们的基本运 动形式可表示为: q(1)质点(无体积大小的空间点)只有平移运动 (平动); q(2)刚体(具有一定体积大小,但无变形)运动除平移运动外,还有整体的旋转 运动(转动)。 3030 2.2.1 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式 n在流体力学中,研究对象是质点和不断变化形状与大小的变形体,就 变形体而言,其运动形式除包括了刚体的运动形式外,还有变形运动 n变形运动包括两种,其一是引起体积大小变化的边长伸缩线变形运动 ,其二是引起体积形状变化的角变形运动。由此可得变形体的基本运 动形式包括: (1)平动(2)转动(3)线
18、变形运动(4)角变形运动 3131 2.2.1 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式 平动 转动(角平分线转动) 线变形运动 角变形运动(角平分线不动) 3232 2.2.1 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式 n为便于分析,在流场中任取一平面微团分析。根据台劳级 数展开,微分面四个顶点的速度可表示如下。 3333 2.2.1 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式 n(1)各顶点速度相同的部分,微团的平动速度(u,v,w) n(2)线变形速率:线变形运动是指微元体各边长发生伸 缩的运动。线变形速率定义为单位时间单位长度的线变形 量。
19、如对于AB边长,在微分时段内边长的增加量为 tx x u tux x u uAB )( 3434 2.2.1 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式 n由此得到x方向的线变形速率为 n同理,在y方向的线变形速率为 n平面微团的面积变化率为 x u xt AB t x )( lim 0 y v yt AC t y )( lim 0 yx t y v x u tyx tyx y v x u tyx y v x u tyx yxty y v ytx x u x tyx ACAB Vdiv 2 0t 0t0 lim limlim )( 3535 2.2.1 2.2.1 流体微团的基本
20、运动形式流体微团的基本运动形式 n(3)角变形速率与旋转角速度 n 在微分时段内,AB与AC两正交边夹角的变化与微分平 面的角变形和转动有关。在微分时段内,AB边的偏转角 度为(逆时针为正) t x v x tvx x v v x BB 1 3636 2.2.1 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式 n在微分时间内,AC边的偏转角度为(顺时针为负) t y u y tuy y u u y CC 2 3737 2.2.1 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式 n平面微团夹角的总变化量可分解为像刚体一样角平分线的 转动部分和角平分线不动两边相对偏转同样大小角
21、度的纯 角变形部分。如图所示。 3838 2.2.1 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式 n设在微分时段内,平面微团角平分线转动角度为,边线 的纯角变形量为,则由几何关系可得 n解出可得 21 2 2 2121 3939 2.2.1 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式 n定义平面微团的旋转角速度(单位时间的旋转角度)为 n平面微团的角变形速率(单位时间单边角变形量)为 y u x v t t z 2 1 lim 0 y u x v t t z 2 1 lim 0 4040 2.2.1 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式 n对于三
22、维六面体微团而言,其运动形式同样可分为:平动 、转动和变形运动,类似平面微团很容易导出相关公式。 此处不再推导,以下直接给出。 n流体微团平动速度: ),(),(),(tzyxwtzyxvtzyxu 4141 2.2.1 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式 n流体微团线变形速率: n流体微团角变形速率(剪切变形速率): n流体微团旋转角速度: z w y v x u zyx , , y u x v x w z u z v y w zyx 2 1 , 2 1 , 2 1 y u x v x w z u z v y w zyx 2 1 , 2 1 , 2 1 4242 2.2
23、.2 2.2.2 流体微团速度分解定理流体微团速度分解定理 n德国物理学家 Helmholtz(1821-1894)1858年提出的流场 速度的分解定理,正确区分了流体微团的运动形式。设在 流场中,相距微量的任意两点,按泰勒级数展开给出分解 。 n在 速度为:),( 0 tzyxM ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) u x y z t v x y z t w x y z t 4343 2.2.2 2.2.2 流体微团速度分解定理流体微团速度分解定理 n在 点处,速度为 ),( 1 tzzyyxxM ),( ),( ),( tzzyyxxw tzzyyxxv tzzyy
24、xxu 4444 2.2.2 2.2.2 流体微团速度分解定理流体微团速度分解定理 n按泰勒级数展开有 zyxxytzyxw z z w y y w x x w tzyxwtzzyyxxw zyxzxtzyxv z z v y y v x x v tzyxvtzzyyxxv zyxyztzyxu z z u y y u x x u tzyxutzzyyxxu zxyyx xyzxz yzxzy )(),( ),(),( )(),( ),(),( )(),( ),(),( 4545 2.2.2 2.2.2 流体微团速度分解定理流体微团速度分解定理 n应指出的是,实际流体微团的运动可以是一种或几种
25、运动 的组合。如: q(1)对于均速直线运动,流体微团只有平动无转动和变形运动。 q(2)无旋流动,流体微团存在平动、变形运动,但无转动。 q(3)旋转容器内的流体运动,流体微团存在平动和转动,但无变 形运动。 4646 2.2.2 2.2.2 流体微团速度分解定理流体微团速度分解定理 n应指出的是,刚体的速度分解定理和流体微团的速度分解 定理除了变形运动外,还有一个重要的差别。刚体速度分 解定理是对整个刚体都成立,因此它是整体性定理;而流 体速度分解定理只是对流体微团成立,因它是局部性定理 。譬如,刚体的角速度是刻画整个刚体转动的一整体特征 量,在刚体上任意一点都是不变的,而流体的旋转角速度
26、 是刻画局部流体微团转动的一个局部性特征量,在不同点 处微团的旋转角速度不同。 4747 2.2.3 2.2.3 散度及其意义散度及其意义 n三个相互垂直方向的线变形率之和在向量分析中称为速度 V的散度,符号为 divV,即 z w y v x u VVdiv 散度在流体力学里表示流体微团的相对体积膨胀 率(单位时间单位体积的增长量)。 4848 2.2.3 2.2.3 散度及其意义散度及其意义 n为说明此点可取一简单的矩形微元六面体来看,设六面体的三边原长 分别是x, y, z,原来体积是(xyz),经过t时间后三个边长 分别变为: n则相对体积膨胀率(单位时间单位体积的增长量)为: xt
27、x u x 1 yt y v y 1 zt z w z 1 V z w y v x u zyxzt z w yt y v xt x u tzyx Vdiv t 111 1 lim 0 4949 2.2.3 2.2.3 散度及其意义散度及其意义 n流体微团在运动中不论它的形状怎么变,体积怎么变,它 的质量总是不变的。而质量等于体积乘密度,所以在密度 不变的不可压流动里,微团的体积不变,其速度的散度必 为零。 0 z w y v x u VVdiv 如果是密度有变化的流动,那么散度一 般地不等于零。 5050 2.2.4 2.2.4 旋度和位函数旋度和位函数 n业已知道,流体微团绕自身轴的旋转角速
28、度的三个分量为 x,y,x,合角速度可用矢量表示为 n这个值在向量分析里记为(1/2)rotV,称为V的旋度。 VVrotkji zyx 2 1 2 1 5151 2.2.4 2.2.4 旋度和位函数旋度和位函数 n一个流场,如果各处的都等于零,这样的流场称为无旋 流场,其流动称为无旋流。否则为有旋流场,其流动称有 旋流。根据数学上Stokes定律 AL AdVrotrdV 如果是无涡流场,那么其旋度为零,由此得到 说明速度场的曲线积分与路径无关,仅是坐标位 置的函数。 0 L rdV 5252 2.2.4 2.2.4 旋度和位函数旋度和位函数 n上式中这个函数称为速度势函数或速度位,其存在的
29、充分 必要条件是无涡流动。 n在数学上表示下列微分代表某个函数的全微分, 即 L 0 L drdVwdzvdyudxrdVd 0 2 1 Vrot 5353 2.2.4 2.2.4 旋度和位函数旋度和位函数 n速度势函数仅是坐标位置和时间的函数。即 n速度势函数与速度分量的关系为 n说明速度势函数在某个方向的偏导数等于速度矢量在那个 方向的分量。 ),(tzyx z w y v x u 5454 2.2.4 2.2.4 旋度和位函数旋度和位函数 n对于无旋流,沿一条连接A、B两点的曲线进行速度的线 积分,结果只与二端点的值之差有关而与积分路径无关 。即 AB B A B A dwdzvdyud
30、x )( 5555 2.2.4 2.2.4 旋度和位函数旋度和位函数 n例2.1:设有一个二维流场其速度分布的式子是 u =-2ax, v = 2ay,问这个流动是有旋的还是无旋的?有没有速 度位存在?流线方程是什么?变形率的是什么? 解:流体微团绕z轴的旋转角速度为 流动无旋,存在速度势函数。 流线方程为 aydyaxdxvdyudxd22)( 22 yxa v dy u dx 000 2 1 2 1 y u x v z 5656 2.2.4 2.2.4 旋度和位函数旋度和位函数 n积分得 Cxy n常数C取一系列的值画得一系列的流线,见下图。 流体微团线变形率: 0 yx Vdiv a y
31、 v a x u x 2 2 y 角变形率: 0 2 1 y u x v z 5757 2.3 2.3 理想流体运动微分方程组理想流体运动微分方程组 n2.3.1 2.3.1 连续方程连续方程 n连续方程是质量守恒定律在流体力学中具体表达形式。以 下针对一个微分六面体推导微分形式的连续方程。由于连 续方程仅是运动的行为,与动力无关,因此适应于理想流 体和粘性流体。现在流场中划定一个边长分别为dx,dy, dz的矩形六面体,这个体的空间位置相对于坐标系是固定 的,不随时间变化,被流体所通过。 5858 .1 连续方程连续方程 n假设六面体中心点坐标为(x,y,z)。在 t 时,过
32、中心点流体微团的 三个分速是u,v,w,密度是。在t瞬时,过该点处通过垂直于x轴单 位面积的流体流量为u,如果把这个量看作为空间和时间的函数,则 根据台劳级数展开有 n在dt时段内,从ABCD面进入的流体质量为 x z y A B C D A B C D dydzdt dx x u um 2 )( 1 5959 2.3.1 2.3.1 连续方程连续方程 n在dt时段内,从ABCD面流出的流体质量为 n在dt时段内,由x面储存在在微分六面体的流体质量为(净流入量) dydzdt dx x u um 2 )( 2 dxdydzdt x u dydzdt dx x u udydzdt dx x u
33、u mmmx )( 2 )( 2 )( 21 6060 2.3.1 2.3.1 连续方程连续方程 n 同理可得,在dt时段内,由y,z面储存在微分六面体的流 体质量为 n由此可得,在dt时段内由所有侧面流入到微分六面体的净 流体总质量为 )( )( dxdydzdt z w mdxdydzdt y v m zy )()()( dxdydzdt z w y v x u mmmm zyx 6161 2.3.1 2.3.1 连续方程连续方程 n由于是空间位置和时间的函数,在dt时段内,由于密度变化引起微分 六面体质量的增加量为 n根据质量守恒定律,在dt时段内从侧面净流入微分六面体的总质量应 等于六
34、面体内流体质量因密度随时间变化的引起增量。 dxdydzdt t dxdydzdxdydzdt t mt ()()() dxdydzdt t uvw mmdxdydzdt xyzt 6262 2.3.1 2.3.1 连续方程连续方程 n 上式两边同除以dxdydzdt,整理得到微分形式的连续方程 。即: 0 0 0)( 0 )()()( V dt d z w y v x u z w y v x u t V t z w y v x u t 6363 2.3.1 2.3.1 连续方程连续方程 n对于不可压缩流体,连续方程变为 0 x u 0 0 z w y v V dt d 根据散度的定义,有 A
35、 dAnV VVdiv )( lim)()( 0 6464 2.3.1 2.3.1 连续方程连续方程 n不可压 指的是每个质点的密度在流动过程中保 持不变,但是这个流体质点和那个流体质点的密度可以不 同,即流体可以是非均值的,因此不可压缩流体的密度并 不一定处处都是常数,例如变密度平行流动。 n得到高斯公式,有 A dAVndV)()( 0 Dt D 6565 2.3.1 2.3.1 连续方程连续方程 n 而均值流体的定义是0,即密度在空间上处处均匀 ,但不能保证随时间不变化。 n只有既为不可压缩流体,同时又是均值时,流体的密度才 处处都是同一个常数;由不可压条件得到 0 dt d 均值流体条
36、件得到0 6666 2.3.1 2.3.1 连续方程连续方程 n从而,有 n于是=C,即流体密度既不随时间变化,也不随位置变化 ,在整个流场中是个常数。 )( V tz w y v x u tdt d 0 t 6767 2.3.2 Euler2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组 n欧拉运动微分方程组是在不计流体粘性前提下推导出来的 ,该方程实质上是微分形式的动量方程。 n在流场中划出一块三边分别的 为dx,dy,dz的微元矩形六面 体的流体微团来看,不计粘性 力,表面力没有切向力,仅有 法向力(压力)一种。 x y z P dx dy dz 6868 n设六面体中心点坐标为(x,
37、y,z),相应该点处的流体要素为 n压强p(x,y,z,t) ,单位质量力,速度u,v,w。在微元体的左面, 压力为 n在微元体的右面,压力为 x y z P dx dy dz 2 dx x p p 2 dx x p p dydz dx x p p 2 dydz dx x p p 2 2.3.2 Euler2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组 6969 n微元六面体质量力在x方向的分力为 n根据牛顿定律:x 方向合外力等于质量乘以x方向加 速度,得 dxdydz dt du dxdydzfdydz dx x p pdydz dx x p p x 22 x dxdydzf 2.3.
38、2 Euler2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组 7070 n两边同除以微元体积 的质量dxdydz,取极限得到x 方向的运动方程。为 n请注意,这里写成全加速度形式,是因为在上述分析 过程中,在微分时段内跟随流体微团建立的。或者可 表示为 x p f dt du x 1 x p f z u w y u v x u u t u x 1 2.3.2 Euler2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组 7171 n同理可得其它两个方向的运动方程。综合起来,有 z p f dt dw y p f dt dv x p f dt du z y x 1 1 1 pf dt Vd
39、1 2.3.2 Euler2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组 7272 n上三式即为笛卡儿坐标系下理想流体运动的欧拉方程 (1755年)。表明了流体质点的加速度等于质量力减 去压力梯度。写成另一种形式,为 z p f z w w y w v x w u t w y p f z v w y v v x v u t v x p f z u w y u v x u u t u z y x 1 1 1 2.3.2 Euler2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组 7373 n矢量形式 n对于一元流动,运动方程为 s 1 s vvp vf tss pfVV t V 1 )(
40、2.3.2 Euler2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组 7474 n如果把加速度项重新组合,可以在加速度项中显 示出旋转角度来,这样的方程称为格罗米柯- Lamb型方程。如x方向的方程,有 2 22 2 zy uuu uvw xyz uvwvuuw uvwvw xxxxyzx V vw x 2.3.2 Euler2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组 7575 n由此可得“格罗米柯形式”为 )(2) 2 ( 1 )(2) 2 ( 1 )(2) 2 ( 1 2 2 2 xyz zxy yzx vu V zt w z p f uw V yt v y p f wv V
41、xt u x p f n写成矢量形式为 V t VV pf2 2 1 2 2.3.2 Euler2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组 7676 n这个方程本质上仍是在理想流体运动方程。其好处是在方 程中显示了旋转角速度项。便于分析无旋流动。对于理想 流体,可以无旋运动也可以有旋运动。只是对于理想流体 ,微团在运动过程中不会受到切向力的作用,因而流体微 团在运动过程中不会改变它的旋度,如原来旋度为零的( 即无旋流)在运动过程也保持无旋流;原来有旋的,继续 保持为有旋流,且其旋度不变。 2.3.2 Euler2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组 7777 n对于理想正压
42、流体,在质量力有势条件下,假设 为定常流动,有 n这样格罗米柯方程变为 0 p 1 1 t V dpf V V V V 2) 2 ( 2 2 2 2 2.3.3 Bernoulli 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义 7878 n现在流场中,任取一条光滑曲线,并将上式投 影到曲线上,有 sdVds V s 2 2 2 n如果上式右边项为零,有0sdV 2.3.3 Bernoulli 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义 7979 n这就是Bernoulli积分,或伯努利方程。上式表明,对 于理想正压流体的定常流动,在质量力有
43、势条件下, 单位体积流体微团沿着这条特定曲线s的势能、压能 和动能之和不变,即总机械能不变。(1738年) )( 2 0 2 22 sC VV s n这样在曲线上,下式成立。 2.3.3 Bernoulli 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义 8080 Bernoulli积分成立的条件,是 (1)沿着任意一条流线,Bernoulli积分成立。这是因为, 在此情况下 0sdV 0sdV VV / Vsd (2)沿着任意一条涡线,Bernoulli积分成立。这是因为, 在此情况下 0sdV V / sd 2.3.3 Bernoulli 2.3.3 Bernoul
44、li积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义 8181 n(3)在以下条件下,Bernoulli积分与所取的曲线无关,在 整个流场中积分常数不变,等于同一个常数。 q (a) 静止流场, q (b) 无旋流场,有势流动。 q (c) 流线与涡线重合,即螺旋流动。 0 V 0V 0 /V 2.3.3 Bernoulli 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义 8282 n 对于不可压缩流体,在不计质量力情况下,Bernoulli积分 变为 n 如果质量力只有重力,Bernoulli积分变为 )( 2 2 sC Vp )( 2 2 sC Vp gy 2.3.3 Be
45、rnoulli 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义 8383 n如果两边同除以g,最后得到的能量方程形式为 n上式表示不可压缩流体,在质量力为重力作用 下的能量方程。表明,单位重量流体所具有的 势能、压能和动能之和不变。 )( 2 2 sH g Vp y 2.3.3 Bernoulli 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义 8484 ny -表示单位重量流体相对于基准面 高度,称为位置水头; np/ = p/g -表示单位重量流体在绝对 真空管中上升的高度,称为压强水头; nv2/2g-表示单位重量流体垂直上抛所能 达到高度
46、,称为速度水头; nH -表示沿流线单位重量流体具有的总 能量,称总水头。 y1 1 p 2 p y2 g v 2 2 1 g v 2 2 2 H1H2 静力水头 线 总水头线 1 2 y x 2.3.3 Bernoulli 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义 8585 n例. 求如图光滑容器中小孔的出流速度 v,假设小孔中心距 自由面深为 h n解. 由于是小孔出流,因此自由面的水 位下降速度v0 与小孔的出流速度相比 可以忽略不计,流动可以假设是定常的 。假设不计粘性损失。 n沿小孔中心点处一根流线列伯努利方程 ,由于是小孔,中心点处速度可以近似 代表小
47、孔速度 v h pa pa 2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用 8686 2 00 2 vp gh p aa ghv2 n此式也可是将流动看成是一维流动的结果,从而 n(由于实际上粘性不可忽略,实际速度将略低于上 述理论值 ,其中 叫做速度 系数,实验表明) ghcv v 2 2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用 v c 0.97 v c 8787 n测量低速气流的速度时,用的风速管就是根据上述原理设计并由上式 去计算风速的。风速管的构造很简单,见右下图。 n基本原理是 风速管的结构 )2 ) 2 ( 0 s
48、 2 0 s p(p Vgyp g V ygp 2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用 8888 注意:未考虑空气的可压缩性。在测量超音速时,还要考虑激波前后气体状态参数的关系。 n总压孔对准来流,来流撞在孔上速度降为零,相应的 压强达到了总压p0 ,而静压空处感受到的是静压。测 量时不必分开量总压和静压,只要把二者接在一根U形 测压计的两支上,看二者的差(p0- p)就行了。 1.05-0.98 )(2 0 s pp V 2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用 8989 2 00 2 ab b ppv gh a
49、2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用 9090 高速飞行的飞行器,需要考虑空气的可压缩性以及激波前后气体状态参数的关系。高速飞行的飞行器,需要考虑空气的可压缩性以及激波前后气体状态参数的关系。 n例. 在海平面上,直匀流流过一个机翼,远前方直匀流 的静压 p=p101200牛/米2,流速=100米/秒。已知A, B,C三点的速度分别是VA=0,VB =150米/秒,VC=50米 /秒,空气在海平面的 =1.255千克/米3 。 n假设流动无旋,求A、B、C三点的压强 直匀流对机翼 的绕流 2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方
50、程应用方程应用 9191 n解: 流动是无旋的,伯努利常数全流场通用。 根据远前方的条件得 n这就是通用于全流场的常数。于是 222 0 11.225 101200(100)107325/ 22 ppv 牛 米 22 0 22 0 22 0 /1057941531107325 2 /93825225006125. 0107325 2 /107325 2 米牛 米牛 米牛 CC BB AA vpp vpp vpp 2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用 9292 n例 有一种二维的绕其固定轴线的旋转流动,其 正比于半径r,即=kr,如图。试证伯努利常 数C
51、是r的函数。 n证: 先沿着流线写出伯努利方程 n对半径取导数: 2 2 vpC r v v r p r C d P Pr r 一种旋转流动 2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用 9393 n法向压力差必须平衡微团的离心力,故有 n左侧的第二项是AD面和BC面上的压力在 r向的 投影。略去微量的高次项,得 drd drrr r v prddrdrrdr r p ppddrrdr r p p ) 2 ( )( 2 1 )( 2 r v r p 2 代入 C r 的式子,并将 vkr 代入,得 2 2 C k r r 2.3.4 Bernoulli 2.3
52、.4 Bernoulli方程应用方程应用 9494 n如果速度场是 r K v n试证明,能量方程的积分常数对整个流场是不变 的。 0 r v v r p r C 2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用 9595 n该流场实际上是一个无涡流场,能量方程积分常数不变 0 )()(22 1 222 22 222 22 z 2222 yx xy yx xyK y u x v yx x Kv yx y Ku r K v n对于在流场中一个集中的旋涡,分涡核和涡核外的诱导 流场。在涡核内流体质点像刚体一样绕涡轴旋转,其周 向速度与r成正比,在涡核外的诱导流场是无涡
53、运动, 其周向速度与r成反比。 2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用 9696 2.4 2.4 流体运动的积分方程流体运动的积分方程 2.4.1 2.4.1 基本概念基本概念 n流体动力学是研究产生流体运动的原因。为此 ,我们必须解决三个方面的问题: n(1)流体的运动学问题; n(2)作用于流体上各种力的特征; n(3)控制流体运动的普遍规律(质量守恒、牛顿第 二定律(动量守恒)、动量矩守恒、能量守恒等) 9797 2.4.1 2.4.1 基本概念基本概念 n流体动力学方程是将这些描述物质运动的普遍规律,应用于流体运动 的物理现象中,从而得到联系流体
54、运动各物理量之间的关系式,这些 关系式就是流体动力学的基本方程,如果关系式是以积分形式给出, 称为流体动力学积分方程,如果是以微分形式给出,称为微分方程。 在流体动力学积分方程中,具体包括: q(1)连续方程; q(2)动量方程; q(3)动量矩方程; q(4)能量方程 9898 n1、系统(System) n定义:系统是指包含着确定不变物质的任何集合体,称为 系统。在流体力学中,系统是指由任何确定流体质点组成 的团体。系统的基本特点: q(1)系统边界随流体一起运动; q(2)在系统的边界上没有质量的交换; q(3)在系统的边界上受到外界的表面力; q(4)在系统的边界上存在能量的交换。 2
55、.4.1 2.4.1 基本概念基本概念 9999 n例如,F=ma,F指作用于系统上所有外力的合力。a指系统 的平均加速度。系统对应于Lagrange观点,即以确定的流 体质点系统作为研究对象,研究系统各物理量的关系。 n2、控制体(Control Volume) n定义:被流体所流过,相对于某个坐标系而言,固定 不变的任何体积称为控制体。控制体的边界,称为控 制面。控制体是不变的,但占据控制体的流体质点随 时间是变化的。 2.4.1 2.4.1 基本概念基本概念 100100 n控制体的基本特点: q(1)控制体的边界相对于坐标系而言是固定的; q(2)在控制面上可以发生质量交换,即流体可以
56、流进、流出控制面 ; q(3)在控制面上受到外界作用于控制体内流体上的力; q(4)在控制面上存在能量的交换。例如,F=ma,F指作用于控制体 边界面上所有作用于流体上外力的合力。控制体对应Euler观点,即以 通过确定的体积流体质点作为研究对象,研究控制体内流体各物理量 的关系。 2.4.1 2.4.1 基本概念基本概念 101101 n现任取一体积,边界表面积为S0的确定系统作为考 察对象。 n(1)连续方程(质量守恒) 0 0 d dt d dt dM n表示,在系统内不存在源和汇的情况下,系统的质量 不随时间变化。 2.4.1 Lagrange 2.4.1 Lagrange型积分方程型
57、积分方程 102102 n(2)动量方程 000 00 S ndS pdfFdV dt d dt Kd n表示:系统的动量对时间的变化率等于外界作用于系统上的所有 外力的合力。 n(3)动量矩方程 000 000 )( dSprdfrFrdVr dt d dt Md S n r n表示:系统对某点的动量矩对时间的变化率等于外界作用于系统上 所有外力对同一点力矩之和。 2.4.1 Lagrange 2.4.1 Lagrange型积分方程型积分方程 103103 n(4)能量方程 表示:单位时间内由外界传入系统的热量Q与外界对系统所做的功W 之和等于该系统的总能量E对时间的变化率。 n传给系统的热
58、量:热传导和热辐射。单位时间内,由系统 表面传入的总热传导量为 0 0 2 ) 2 ( d V u dt d dt dE WQ 00 00 SS dSnqdSqQ 2.4.1 Lagrange 2.4.1 Lagrange型积分方程型积分方程 104104 n单位时间内,系统所吸收的热辐射总量为 n单位时间内,由质量力和表面力所做的功为 0 0 dqQ RR 00 00 S n dSVpdVfW n最后的能量方程形式为 00000 0 2 0000 ) 2 ( d V e dt d dSVpdVfdqdSq S nR A 2.4.1 Lagrange 2.4.1 Lagrange型积分方程型积
59、分方程 105105 粘性流体运动方程粘性流体运动方程-Navier-Stokes-Navier-Stokes方程方程 n与Bernoulli积分理想流体运动方程类似,积分N-S方程假 定: n(1)不可压缩粘性流体; n(2)定常流动; n(3)质量力有势; n(4)沿流线积分。 106106 粘性流体运动方程粘性流体运动方程-Navier-Stokes-Navier-Stokes方程方程 n 上式说明,在粘性流体中,沿同一条流线上单位时间单位 重量流体的所具有的机械能总是沿程减小的,不能保持守恒 (理想流体时,总机械能是保持守恒的,无机械能损失), 减小的部分代表流体质点克服粘性应力做功所
60、消耗的机械能 量。 107107 22 1122 121 2 22 w pVpV zzh gg 22 1122 12 22 pVpV zz gg 积分形式的积分形式的N-S方程方程 Bernoulli方程方程 n粘性不可压缩流体运动的基本方程为: (连续性方程,和N-S方程) 222 222 222 222 222 222 0 1 1 1 uvw xyz uuuupuuu uvw txyzxxyz vvvvpvvv uvw txyzyxyz wwwwpwww uvw txyzzxyz 108108 n如要将Lagrange型积分方程改造成为适合于控制体 的形式,首先必须解决随体导数在控制体上的
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