传感器计算题详解

1、传感器与传感器技术计算题解题指导(供参考)第1章 传感器的一般特性1-5某传感器给定精度为 2%FS,满度值为50mV零位值为10mV求可能出现的 最大误差 (以mV十)。当传感器使用在满量程的 1/2和1/8时，计算可能产生的测量 百分误差。由你的计算结果能得出什么结论 ？解：满量程(F? S)为 5010=40(mV)可能出现的最大误差为：m= 40 2%=(mV)当使用在 1/2和1/8满量程时，其测量相对误差分别为：100%4%40 12100% 16%40 181-6有两个传感器测量系统，其动态特性可以分别用下面两个微分方程描述，试求这两个系统的时间常数和静态灵敏度 K。(1) 30

2、dy 3y 1.5 10 5Tdt式中，y为输出电压，V; T为输入温度，C。(2) 1.4鱼 4.2y 9.6Xdt式中，y输出电压，V; X 输入压力，Pa。解：根据题给传感器微分方程，得(1)T =30/3=10(s),K= 10 5/3= 10 5(V/C)；t =1/3(s),K=( V/Pa)。1-7设用一个时间常数=的一阶传感器检测系统测量输入为x(t)=sin4 t+的信号，试求其输出y( t)的表达式。设静态灵敏度K=1。解 根据叠加性，输出y(t)为X1(t)=sin4 t和X2(t)=单独作用时响应ydt)和y2(t) 的叠加，即 y(t)= y 1(t)+ y 2(t)

3、。由频率响应特性：力.1 ( i )2sin4tarcta n(i )1sin4t arctan(4 0.1) ,1 (4 0.1)2所以y2(t)0.93sin(4t 21.8 )10.2sin40t arctan(40 0.1)1 (40 0.1)20.049sin(40t75.96 )y(t)= y1(t)+ y 2( t )=(4 t )(40t )1- 8试分析AdX(t) By(t) Cx(t)传感器系统的频率响应特性。 dt解 传感器系统的时间常数=A/B,灵敏度K=C/Bo所以，其频率响应为A()C/B.1( A/B)2相频特性为1-9已知一热电偶的时间常数()arctan(

4、A/ B)=10s，如果用它来测量一台炉子的温度，炉内温度在540C至500C之间接近正弦曲线波动，周期为80s ,静态灵敏度K=1o试求该热电偶输出的最大值和最小值。以及输入与输出之间的相位差和滞后时间。 解：依题意，炉内温度变化规律可表示为x(t) =520+20sin( t) C由周期T=80s，则温度变化频率f=1/T,其相应的圆频率=2 f=2/80=/40 ;温度传感器(热电偶)对炉内温度的响应 y(t)为y(t)=520+ Bsin(t+ ) C热电偶为一阶传感器，其响应的幅频特性为121 1040因此，热电偶输出信号波动幅值为B=20 A )=C由此可得输出温度的最大值和最小值

5、分别为B200.786y(t)| max=520+B=520+Cy(t)| min=520 - B=C输出信号的相位差为(3 )= arctan( w)=arcta n(2/8010)=相应的时间滞后为t =-80 38.28.4 s3601-10 一压电式加速度传感器的动态特性可以用如下的微分方程来描述，即21011.0 10 x1010 ym/s2。壯y 3.0 103 也 2.25 dtdt式中，y为输出电荷量，pC； x为输入加速度，试求其固有振荡频率n和阻尼比 。解：由题给微分方程可得1.5 105 rad /s3I110.2.25 10/13.0 100.01 2. 2.25 10

6、10 11-11某压力传感器的校准数据如表1-5所示，试分别用端点连线法和最小二乘法求非线性误差，并计算迟滞和重复性误差；写出端点连线法和最小二乘法拟合直线方程。 （最小二乘法线性拟合原理和方法见末尾附录）表1-5 校准数据表压力(MPa)输出值（mV）第一次循环第二次循环第三次循环正行程反行程正行程反行程正行程反行程0解校验数据处理（求校验平均值）压力（MPa）（设为x）输出值（mV）第一次循环第二次循环第三次循环校验平均值（设为y）正行程反行程正行程反行程正行程反行程0（1 ）端点连线法 设直线方程为y=a+kx,取端点（X1, y1）=（0,）和 g yM=（,）。则a。由x=0时的y。

7、值确定，即ao=yo kx=y1= （mV）k由直线的斜率确定，即k 614.45 ( 2.70) 171.5( mV/MPax6 Xi0.10 0拟合直线方程为y= +求非线性误差:压力(MPa)校验平均值(mV)直线拟合值(mV)非线性误差(mV)最大非线性误差(mV)000所以，压力传感器的非线性误差为L求重复性误差：100%0.7%14.45 ( 2.70)压力(MPa)输出值(mV)正行程反行程123不重复误差123不重复误差0最大不重复误差为 mV,则重复性误差为R求迟滞误差：100%0.47%14.45 ( 2.70)压力(MPa)输出值(mV)第一次循环第二次循环第三次循环正行

8、程反行程迟滞正行程反行程迟滞正行程反行程迟滞00最大迟滞为，所以迟滞误差为H0.10100%0.58%14.45( 2.70)(2)最小二乘法 设直线方程为y=a+kx数据处理如下表所示。序号123456x0y2 x0xy0ao2x y x xynx2x20.022 34.83 0.3 2.94226 0.022 0.30.76626 0.88260.0422.77(mV)根据以上处理数据，可得直线方程系数分别为:n xy x y171.5( mV/MPa)0.0714.38( 2.77)100%0.41%6 2.9420.3 34.8326 0.022 0.32所以，最小二乘法线性回归方程为

9、y= +求非线性误差：压力(MPa)校验平均值(mV)直线拟合值(mV)非线性误差(mV)最大非线性误差(mV)0所以，压力传感器的非线性误差为可见，最小二乘法拟合直线比端点法拟合直线的非线性误差小，所以最小二乘法拟 合更合理。重复性误差R和迟滞误差 H是一致的。1- 12用一个一阶传感器系统测量100Hz的正弦信号时，如幅值误差限制在5%以内，则其时间常数应取多少？若用该系统测试 50Hz的正弦信号，问此时的幅值误差和相位差为多？解：根据题意.15% （取等号计算）11 5%10.951.0526解出所以当用该系统测试3T0.328730.523 10 s =2 10050Hz的正弦信号时，

10、其幅值误差为0.3287/1厂相位差为=-arctan（3 211.32%,1250 0.523 10)=-arctan(2 n1-13 一只二阶力传感器系统，已知其固有频率 它作工作频率 f=400Hz的正弦变化的外力测试时, 各为多少；若该传感器的阻尼比=时，其A(2 ff2 fofo8003x 50XX 10）= -f 0=800Hz，阻尼比=，现用其幅值比A（）和相位角（）和（）又将如何变化 ？4000.5所以，当E =时12 22 2V1/1n4n1J10.52240.1420.5211.312arcta n -12 0.14 0.5arctan20.1845 rad 10.610.

11、521丿=0.97510.52 $4 0.720.52arcta n2 0.7 0.51 0.520.75 rad431- 14用一只时间常数=的一阶传感器去测量周期分别为1s、2s和3s的正弦信号，问幅值相对误差为多少？解：由一阶传感器的动态误差公式(1)T1s1Hz2 (rad)(2)T2s155.2%(20.318)229.3%0.5HzHz3(rad )2 (rad)31-15已知某二阶传感器系统的固有频率fo=10kHz,阻尼比=,若要求传感器的输(3)T3s16.8%出幅值误差小于3%,试确定该传感器的工作频率范围。解：由fc=10kHz,根据二阶传感器误差公式，有13%1.032

12、1.06911将= 弋入，整理得21.96 n0.0645n 2101.9270.03350.1830.183101.388(舍去)0.1831.83 kHzf 0.183fo1-16设有两只力传感器均可作为二阶系统来处理，其固有振荡频率分别为800Hz和，阻尼比均为。今欲测量频率为400Hz正弦变化的外力，应选用哪一只并计算将产生多少幅度相对误差和相位差。解:由题意知_400/8000.5400/12001/3n则其动态误差 0.41 =%相位差=Ku C=100mV/pR ( =4-5所示。选用变压器交流电4-5有一变间隙式差动电容传感器，其结构如习题图 = 0=移(向上位移) x=0.0

13、5mm时,桥作测量 电路。差动 电容器参数：r =12mm d1=d2=do=0.6mm；空气介质，即 x 10-12F/m。测量电路参数：USr=U=U sr = 3sin w t (V)。试求当动极板上输入位 电桥输出端电压USc?习题图4-5解：由习题图4-5可求 初始电容C=G=G=S d=0r2/ d0123 28.85101212 10一 12 一36.6710 F6.67pF0.610变压器输出电压?Z? ?2Z2乙:C1 C2 ，:U sc22U ULU12UZ1Z2Z1Z2C1 C2其中Z,Z2分别为差动电容传感器C, C2的阻抗.在 xdo时，C= C0+ C, C2 =

14、G C,且 C/C0= d/do，由此可得? C ? x ?0.05Usc U U sr3sin t 0.25sin t(V)C0d0.64-6 如习题图4-6所示的一种变面积式差动电容传感器，选用二极管双厂网络测 量电路。差动电容器参数为：a=40mm b=20mm di=d2=d0=1mm起始时动极板处于中间位置，C=G=G,介质为空气， = 0=x 10-12F/m。测量电路参数：D、D为理想二极管； 及R=R2=R=10k Q; Ff=1MD，激励电压 U=36V,变化频率f=1MHz试求当动极板向右位 移厶x=10mm寸，电桥输出端电压 Uc?习题图4-6（或解：由习题图4-6可求

15、传感器初始电容C 仝C0 d=x 10 12当动极板向右移a b2do(F)=128.85 10340 10320 1021 10 3 x=10mmB寸，单个电容变化量为40/2C01 3.541.77 pF20bx d8.85 10 12 20 10 3 1010 3则 C = C0+ C, C = C01 10121.77 10(F)1.77pF )? c,由双T二极管网络知其输出电压USc = 2 k Ui f CR R 2Rf2RRfRfUi f C446c10102102厂46 210 2 10106 36 1061.77 10122.55V4-7 一只电容位移传感器如习题图4-7所

16、示，由四块置于空气中的平行平板组成。板A C和D是固定极板；板 B是活动极板，其厚度为t，它与固定极板的间距为do B、C和D极板的长度均为a, A板的长度为2a,各板宽度为b。忽略板C和D的间隙及各 板的边缘效应，试推导活动极板刀从中间位置移动X= a/2时电容CAc和Cad的表达式（x=0时为对称位置）。习题图4-7解：参见习题图4-7知CAC是CAB与CBc串联，Gd是Gb与C?D串联。当动极板向左位移 a/2时，完全与C极板相对（见题解 4-7图），此时CAb=CBc= e ab/d则CAc=CAb/2= CBc/2= e 0ab/2 d ；CAd= e 0ab/(2 d+t) o题解

17、4-7图同理，当动极板向右移 a/2时，与上相仿(见题解 4-7图)，有CAc = e oab/(2 d+t) ； CAd= & oab/2 d4-8 已知平板电容传感器极板间介质为空气，极板面积S=ax a=(2do=O.1mm。求：传感器的初始电容值；若由于装配关系，使传感器极板一侧间隙 另一侧间隙为 do+b( b=0.01mm),解：初始电容此时传感器的电容值。当装配不平衡时则其电容为(a)CoSdo35.4oS 8.85 1O 122 2 1O 43doO.1 1O1O 12(F)35.4pF(见题解4-8图(a),可取其平均间隙计算(见题解h do (do b) dC恋d-12=X

18、 10 (F)=(b)2=+2=(mm)128.85 1O或利用积分法计算传感器的电容，长度为a的两个狭窄长条之间的微电容为dCdo2 10 430.105 102)cm2,间隙do，而4-8 图(b)(c)题解4-8图(见题解4-8图(c)，在位置x处，取宽度为dx、oadxdo bx/a所以，总电容为CC dC02oaIn 1b.彳 0.013 ln 1 0.01 10 3 0.1两种计算方法结果接近，但积分法更为严密。4-14习题图4-14(a)所示差动式同心圆筒柱形电容传感器，其可动内电极圆筒外 经d=9.8mm固定电极外圆筒内经D=10mm初始平衡时，上、下电容器电极覆盖长度L1=L

19、2=Lo=2mm电极间为空气介质。试求：(1) 初始状态时电容器 C、C2的值；(2) 当将其接入习题图 4-14(b)所示差动变压器电桥电路，供桥电压E=10 V (交流),若传感器工作时可动电极筒最大位移x=0.2mm电桥输出电压的最大变化范围为多少？8.85oadxo do bx/a12 2 21O (2 1O )bdo33.8 10 12(F)33.8pF(a)(b)习题图4-14解 (1)初始状态时C1 C2Co5.51(2)当动电极筒位移2 0 _0 2DIn12 d12(F)5.51pF0 Lo8.85 10 12 2 10 3 70In9.8C1In2 0_ D10x= +0.

20、2mm (向上)时，L1=2+=2.2mm, l_2=2 =1.8mm,则12小小一36.06 10 12(F)6.06pFC28.85 102.2 1010In9.81238.85 101.8 10r0In9.8124.96 10(F)4.96pF差动变压器电桥输出为u E2同理，当动电极筒位移C1 C210 6.06C22 6.06 4.96x= 0.2mm (向下)时， L=2 =1.8mm, l_2=2+=2.2mm 贝VC26.06pFCiG 4.96pF差动变压器电桥输出为C1 C 2102 C1C22因此，当传感器可动电极筒最大位移 围为。4.960.5(V)竺乞妙0.5(V)6

21、.06 4.96x=0.2mm电桥输出电压的最大变化范第5章压电式传感器(1)解:零度X切的纵向石英晶体；利用纵向效应的 BaTiO3。 由题意知，压电晶体受力为6 6F=pS=10X 10 X 20X 10- =200(N)25-3 有一压电晶体，其面积为 20mm,厚度为10mm当受到压力p=10MPa乍用时, 求产生的电荷量及输出电压：(1) 0 X切割石英晶体，r=, d11=x 10 12C/N等效电容Ca4.5 20 101010=X 10 14 (F)128.85 10 1263受力F产生电荷12 2Q=dnF=x 10X 200=462X 10 (C)=462pC输出电压Ua2

22、462 10 ：5.796 1 03 VCa7.97 10(2)利用纵向效应的BaTiOs,12 r=1900, d33=191X 10 C/N等效电容Ca0 r Sd=X 10-12(F)=(pF)12 68.85 101900 20 10310 10受力F产生电荷Q=d33F=191x 1012 X 200=38200X 10 12 (C)= X 10 8C输出电压Ca5-4入阻抗为(1)(2)(3)(4)3.82 10 83 x/1.137 10 V10 12kq=2.5C/cm ,电缆电容G=3000pF,示波器的输解:33.6某压电晶体的电容为 1000pF, 1MD和并联电容为50

23、pF,求： 压电晶体的电压灵敏度足 K;测量系统的高频响应；如系统允许的测量幅值误差为5 %，可测最低频率是多少?如频率为10Hz,允许误差为5%，用并联连接方式，电容值是多大 (1) KuKq/Ca2.5C/cm 2.5 109V/cm1000pF咼频()时，其响应U amd33K uF m Ca Cc Ci2.5C/cmCa1000系统的谐振频率123000 5010 FUimUamR Ca Cc Ci1n，得/ n 2kqCi6.17108V/cm247 rad. s1 106 1000 30005010 12解出/n15% (取等号计算)2n0.90251/ n 20.90250.90

24、25n 2(3 / 3 n)=3 / 3 n=3 =3 n=x 247=(rad/s)f = 3 /2 n =2n =(Hz)(4)由上面知，当 5%寸，3 / 3 n=当使用频率f=10Hz时，即3 =2n f=2nX 10=20 n (rad 时3 n=3 /=20 n /=(rad/s)又由3 n=1/RC贝UC=1/ 3 nR=1/X 1X 106)= X 10-8(F)= 104pFC总2 %以内5- 5分析压电加速度传感器的频率响应特性。若测量电路为电压前量放大器=1000pF, R总=500MD ;传感器固有频率fo=3OkHz,阻尼比Z =，求幅值误差在的使用频率范围。解：压电

25、式加速度的上限截止频率由传感器本身的频率特性决定，根据题意2% (取等号计算)则解出所以则J41/ n 2 24 2/ n 21/1.021+( 3 / 3)422( 3 / 3 n)+4X ( 3 / 32(3 / 3 n)+ = 0(3 / 3 n)2 =或(3 / 3 n)2 =(舍去)3 / 3 n =或(舍去)=nn)fH =0.205 f 0 =X 30=( kHz)其幅频压电式加速度传感器下限截止频率取决于前置放大器特性，对电压放大器,特性2由题意得厂12 1 2%(取等号计算)0.98 12()2=+ ()2()2 = =3 = Tf l =3 /2 n =(2)=(2RC)=

26、(289X5X 10 X10)=(Hz)其误差在2%M内的频率范围为：5-6石英晶体压电式传感器，面积为lOOmrf,厚度为1mm固定在两金属板之间，用来测量通过晶体两面力的变化。材料的弹性模量为9X 1010Pa，电荷灵敏度为2pC/N,相对介电常数是， 材料相对两面间电阻是1014 Qo 一个20pF的电容和一个100MD的电阻与极板并联。若所加力F=(1000t)N，求：(1)两极板间电压峰一峰值；(2)晶体厚度的最大变化。解：(1)石英压电晶片的电容12 60 rS 8.85 105.1 100 10d1 10 3 * *-12X10(F)Uimd 11F m R12380.02 10

27、 10 10RC 21103 108 24.5 10 12 2148由于 Rs =10 Q,并联电容 R并=100MD =10 Q则总电阻R=R /R并=10 14 /10 8 108Q总电容C=CS / C 并=+20=(pF)又因F=(1000t)N=F m sin( 3 t)N , kq =2 pC/N则电荷Q=dn F= kq FQn = du Fm = kq Fm =2 pC/N X = pC所以=X 10(V)=5% ,(取等号计算)n3 n)2=+ ( 3 / 3n)6109(2)应变 m=Fm / SE=(100 X 10 X 9X 10 )= X 10 = dm / d99 dm = d m = 1 xx 10(mm)=x 10 mm厚度最大变化量(即厚度变化的峰一峰值)99 d =2A dm =2xx 10=x 10 (mm)=x 10 12 m5- 7 用石英晶体加速度计及电荷放大器测量机器的振动，已知：加速度计灵敏度 为5pC/g，电荷放大器灵敏度为 50mV/pC,当机器达到最大加速度值时相应的输出电压 幅值为2V,试求该机器的振动加速度。(g为重力加速度)解：由题意知，振动测量系统