第四章向量代数与空间解析几何

1、第四章 向量代数与空间解析几何向量作为研究与刻划空间解析几何的有效工具，需要掌握向量的基础概念与运算；而空间解析几何作为一门独立的课程，有着丰富的内容。在此，作为高等数学中的一个章节，仅 是为了学习和研究多元函数微积分而补充的一个基础工具。 4-1 向量代数1. 向量的概念(1) 几何描述(长度与方向)(2) 代数描述(坐标)2. 向量的运算(1) 基本的运算a 士 b,a, a b, a b.上述运算都从几何和代数两个角度入手作了描述，请分析比较几何上的描述便于理解与对问题的分析，代数上的描述适于运算(2) 特别还有混合积运算 abc,请理解其几何意义和代数运算表达式.3. 向量的关系|a

2、|,(a,b) ； a _b, a|_b4. 对向量的几何描述与代数描述，是在建立了直角坐标系的框架下，利用“投影”概 念来建立两者的关系的。 4-2空间解析几何1. 基本概念(1) 空间解析几何是在建立了坐标系的框架下，用分析的方法来研究几何问题.(2) 方程与图形：用方程来刻划与描述图形，用图形来阐述方程.2. 平面与直线平面及其方程，空间直线及其方程，是作为空间解析几何中最简单的研究对象.3.曲面与空间曲线(1) 规则的二次曲面及其方程(指没有交叉乘积项).(2) 特别关注不规则的投影柱面、柱面、旋转曲面.(3) 空间曲线的描述主要基于两曲面的交线；也可视为点的运动轨迹，用参数方程表示.

3、 4-3 示例例 1 设(a b) c = 2,贝U (a b) (b c) (c a)=解 原式=(a b) c -(b c) a = 2abc =4. 注：(i) (a b) c = abc = bca = -bac等.(ii) a, b, c共面二abc 0.可知，若abc的计算中出现a, b, c中有两个 向量相等(或平行)，贝卩abc =0.例2 若a b = a -b,证明a =b.证因|a b|2 =(a b) (a b) =(a b) (a b)=(a b) a -(a b) b = 0.所以a = b.注:| a |2 二 aa是常用公式.例 3 设 a 式0, b式0,且

4、|b | =2, (a,b)=扌，求 1巴1 a + Xb 1_回2 2 2 2解原式=iim 1 a + xb 1 一旧 1 M 2xa b+ x |b1IxQa+ xb| +|a |) x(|a+ xb|+|a |)2Fm|a|b| + x| b |=迪=1 4=!. X-0 |a+ xb|a |2|a |2例4设有两条不平行直线r = 1 n c 1 , r 2=2 n 2 c2 ,证明：两条直线相交的充分必要条件是(n 1 n2) (& C2) =0.n, C为L上一点.设P注：直线的向量表示式 设直线L的方向向量为 为L上任一点，则Op 0C L n.记 OP =r, OC = c,

5、则 r - n c.证 必要性.若两直线相交，即存在r0使r0 = in 1c 1,r = 2n2 c2,故C1 - c 2 = 2 n 2 - 1 n1 ,于是(n 1 n2) (c 1c2) =(n 1 n2) (2亚-、叫)=0.充分性.若(n1 n2) (c 1 -c2) = 0,则 n1, n2, c 1 -c2 共面，得& c2 = 一 1 n1 s九2n2,即1n 1 c 1 2n 2 C2 L r,故r0既在r 1上又在r2 上,所以r1与r2相交.例5通过直线x =2t _1IL1 : y =3t 2Iz =2t -3x =2t 3知!和 L2 : y =3t -1Iz =2

6、t 1的平面方程是解Li和L2是平行的，方向向量s二(2,3,2).在Li和 L2 上分别取点 Mi(1,2, -3)和 M2(3, -1,1).贝 U= (4, - 3, 4),从而所求平面的法向量为n = s=18(1,0, -1).于是所求平面方程为(x 1)-(z 3)=0即X-Z2 =0.例6设直线I过点M (1, -2, 0)且与两直线x - -2 亠t 2x z =1I1:o c, I2: y=1-4tx -y +3z =5L(z=3垂直，则I的参数方程为.解l1的方向向量为ijkS =201=(1,5, 2).173I2的方向向量为 佥=(1,-4,0).故I的方向向量为s =

7、s XS2 =(8, 2, 1).从而I的参数方程为x =1 8ty = -2 2t.z = -t,x y b =022例7设直线l :在平面: 上,而二与曲面z = x y相x +ay _z _3 =0切于点(1,-2,5),求a, b之值.解平面二的法向量n=(2x, 2y, 1)(1, 2,5)=(2, 4, O故二的方程为2(x 1) 4(y2) (z 5) =0.l的参数方程为x = _tby =tZ r(a -1)t -(3 b)由于1在二上,故有2(-t_b _1) _4(t2) _(a -1)t -(3 b) _5)三0即 (a 5)t -(b 2)三0,故a - -5, b

8、- -2.f x 讦 2 y _ 3z = 2.L,则点例8设直线丫在平面z=i上的投影直线为2x y +z =3M (1,2,1)到L的距离为解由于点M恰在平面z =1上,故点M到L的 距离恰为点M到投影平面的距离在已知直线方程 中消去z得投影平面方程为7x - y -11 =0,故*|7-2_11|3 宾dJ72 +(-1)25例9求两异面直线L：土二.和印0q之间的最短距离.L2z - z2C2解记S =佝，0, q),S2 =2, Da),Mi(冷 , Zi),M2(X2, y2, Z2).设过L1且平行于L2的平面为:,则二的法向量n =s x邑.设M (x, y, z)为二上任一点

9、，则平面二的方程为n = 0.注意到L1与L2的最短距离即为M 2到二的距离，有|n |(s x s0 |d =I n IX2 - xaiy2bib2Z2 _ Z1CiC II(be b2G)2(Ga2 C2aJ2 (aib2 a2bi)2a2例10 求直线I : 口二丄二匸 在平面二：y 2z =1上的投影直线L 1 1-1的方程.X -y1：；嗔(y Z1) =0,即解 方法一.过I的平面束方程为x ( -1)y，z-(，1)=0.平面束中与 二垂直的平面 匕与二的交线即为n =(1 -1,),厲=(1, -1,2)由n n1 1 ； 2- =0得，-2.所以L的方程为x-3y-2z 1

10、=0I x-y 2z T =0 方法二.直线I的参数方程为x =1 ty =t z =1 t设P(x, y, z)为投影柱面Z上任一点.它是由直线I上P1(x1, y1, z1)得到的.记门.的法向量为n 二(1,一1,2),由PPLn得又Pg, %,乙)I,故亠X xi _xyi -yzi _zss, i-i2捲=X S yi = y s zi = z 2sx s =1 tIy s =ttz 2s =1 t消去参数s,t,得匕的方程为x -3y -2z T =0.所以L的方程为x3y -2z i =0| x - y 2z _i =0注：T；求曲线在坐标面上的投影曲线时，比如曲线匸：! F(x

11、, y,z)=0G(x, y,z)=0在xOy面上的投影曲线 C,我们通常的做法是在 丨的方程中消去变形 z得到投 影柱面(仔细想想为什么？)2求曲线r ： ! F(x, y,z)=0 G(x, y, z)=0在某平面二：Ax By Cz D = 0上的投影曲线丨时，设投影柱面为1, P(x,y,z)为二上任意一点，由尿1_ n, Pi -可得F (Xi, %,乙)=0G(为，,乙)=0xt =x At yt =y +Bt 召=z Ct消去参数t,即得匕的方程.联立平面二和匕的方程即得丨的方程不z=ky例11当k (k 0)取何值时，曲线x22 是圆？并求此圆的圆心坐z =2yI 2标以及该圆

12、在zOx平面和yOz平面上的投影解 由对称性,可设圆心坐标为Q(0, y0, ky0).设P(x, y, z)为曲线上任一点则z =kyq y2 2 2x 4y_2k y因此2 2 2 2|PQ|=x (y-y。)(z-zo)k2)y2(4 _2y。2k2y)y (1 k2)y0,由|PQ |三常数,得k =1,y。=1所以圆心为Q(0,1,1),圆的方程为z =yJ 2iV?=2y消去y得该圆在zOx面上的投影为2今(z1)2 “y 0消去x得该圆在yOz面上的投影为iz = y(0Ey 兰2).| x =0并问m为_Cx 亠mz -1 =0例12求过曲线 222,母线平行于x轴的柱面方程-

13、X +y z =1何值时，该柱面为椭圆柱面？-z2解 曲线方程中消去x得柱面方程为(mz -1)2 y2将柱面方程化为y2 (m2 -1) lzmm2 -12 - m2 m2 -1该柱面为椭圆柱面的充要条件是m2-102 - m20解得例13已知一柱面的准线为t xy =4L:z,0 ,母线垂直于平面二：x-yo,求柱面的方程解 记平面二的法向量为n.设M(x, y, z)为柱 面二上任一点 它是由母线I沿准线移动到点 皿勺时 产生的，则MMiL nM t三L即工Xi x _ % y _Zi z1 - 1 - 1 細=4Zi =0消去 , y1, z1得柱面方程(x_z)(y + z) =4.

14、注：以上关于柱面的问题和投影曲线的问题是相通的x =2z例14求直线L :绕z轴旋转所得旋转曲面的方程ly=i解 设M (x, y, z)为旋转曲面Z上任一点.视 其为直线L上点M1(x1, y1, z1)绕z轴旋转而得，则2 2 2 2xiyix yz =乙zi =2zi.y1 二1消去 , y1, z-i得旋转曲面方程2 2 2x y 4z 二1.注：空间曲线绕空间直线m np旋转所得旋转曲面 匕的方程的求法：设M (x, y, z)为二上任一点.视它为由丨上的点 M1 (x1, y1, z1)旋转而得,M0(x0, y0, z0)为 I 上一点,则MMol =|MM|MM _lM1:消去

15、 , y1, z1即可得Z的方程.自我检测题(四)(1)若a, b, c互不平行,且a b=b c=c a,证明：a亠b亠c = 0.设a, b为非零向量,证明:a bNT両2I a-b|2_|a|2 |b|2证明：(b c) a (a b) c (c a) b=0. 已知a为单位向量,a 3b _ 7a -5b, a - 4b _ 7a - 2b,则a与b的夹角(5) 已知a, b不在一直线上，且有相同起点(6) 一平面过原点及点(6, -3,2)且与平面 方程为Xx 3y 2z -1 =0I:,平面2x -y -10z 3=0,求它们角平分线上的单位向量4x - y 2z =8垂直,则此平面的(7)设直线二：4x - 2y - 3 = 0,则 I 与二的关系是().(A) I _ 二.Z-Z2n(B) I 二 (C) I _7：.(D) I与二斜交.(8) 求两平行直线Li： / Z Z1与Li里I m nIm之间的距离.(9) 求点(X。，y。，Z0)关于直线 心1二二口1的对称点.lm nx - y z 1 = 0(10) 已知柱面的母线平行于直线*=、= z,而准线是 丫，求x - y z = 0柱面的方程.x =t(11) 圆柱面的对称轴为直线y=1