2023高考立体几何综合大题练习100题

2023高考立体几何综合大题必刷100题

目录

1.任务一:善良模式（基础）1-30题................................................1

2.任务二：中立模式（中档）30-70题.............................................44

3.任务三:邪恶模式（困难）70-100题...........................................128

L任务一:善良模式（基础）1-30题

1.在棱长为1的正方体/8CD-44CQ中，E为线段44的中点，尸为线段N8的

中点.

（1）求点8到直线/G的距离；

（2）求直线FC到平面AECt的距离.

【答案】（I）逅；（2）近.

36

【分析】

（1）以A为原点，DJOQ所在直线分别为X轴，y轴，Z轴，建立空间

_^AC.

直角坐标系，取£=荏，Iz=岗，根据空间向量点到直线距离公式，可得点点8

到直线ZG的距离；

（2）易证"7/平面NEG，则点尸到平面ZEG的距离为直线尸C到平面Zg的距

离,求出平面ZEa的一个法向量，再求出万=（0,；,0）,根据点到面的距离公式,

可得直线FC到平面XEG的距离.

【详解】

以。为原点，RAyDlCl,OQ所在直线分别为X轴，P轴，z轴，建立如图所示的

空间直角坐标系，

第1页共199页

则A(l,0,1),5(1,1,1),C(0a,l),C,Q,1,0),E

_______,1

所以48=(0,1,0),AC1=(-1,1,-1),AE=(θ,ɪ,-l),

—∙1—■1—1

ECl=(-l,-,0),FC=(-l,-,0),Af=(Q-,0).

(1)取Z=酢=((M,0),u=1,1,-1),则

所以，点B到直线/G的距离为

(2)因为定=鬲=卜lg,θ],所以FC//EJ,所以尸C//平面/g.

所以点尸到平面/EG的距离为直线尸C到平面NEa的距离.

h∙AE=0

设平面ZECl的法向量为"=(χ,y,z),则

n∙ECl=0

-y-z=0

2

所以

-X+ɪʃ=0

X=Z

所以

y=2z

取Z=L则ALy=2.所以,I=(1,2,1)是平面力四的一个法向量.

又因为万=(0,4,0),所以点尸到平面AEC1的距离为也@=150)"W|=√6

2|»|√66

即直线FC到平面∕EC∣的距离为".

6

2.如图，正方形/38/的边长为2,///蜴的中点分别为GG,正方形

沿着折起形成三棱柱/8C-44G,三棱柱N8C-4AG中，AClBC,AD=AA4.

第2页共199页

Blf∖、

(1)证明：当/=4时，求证：OCi平面8CZ)；

(2)当2=J时，求二面角。-8G-C的余弦值.

4

【答案】(I)详见解析；(2)返

29

【分析】

(1)要证明线面垂直，转化为证明线线垂直，关键证明。C，OC；,BClDCf;

(2)以点C为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面附和平面BCG的法向

量，利用法向量公式求二面角Q-BG-C的余弦值.

【详解】

(1)当2=3时，点。是44的中点，

因为/。=/。=4。=4。|=1,所以。C=Z)G=应，又CCI=2,

所以。C?+DC；=CC：,所以。C∙LOC∣,

因为BC_L/C,BCLCCx,所以5C_L平面/CC/,OGU平面RCC/

所以BCIOG，且。C18C=C,

所以。q1平面88；

(2)因为CG,CA,CB两两互相垂直，所以以点C为原点，以B,在，西作

为羽入Z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如下图，

第3页共199页

。，平面3CG，所以向量有=(1,0,0)是平面BCG的法向量，

8(0,1,0),CI=(0,0,2),nfl,θ,ɪl西=卜1端,丽=(TLq

设平面附的法向量J=(X,y,z),

3八

-X+—z=0

所以乳2

即令z=2,%=3,V=4,

1

-x+y--z=λ0

所以平面£0。的一个法向量万=(3,4,2),

>=Mɪ=.33场

COS<CA,n

ICdMl√32+42+2229

所以二面角。-SC-C的余弦值是噜

3.如图，直三棱柱48C-4&G的底面为直角三角形，两直角边/5和/C的长

分别为4和2,侧棱的的长为5.

(1)求三棱柱"C-45G的体积；

(2)设M是BC中点，求直线4"与平面"5C所成角的正切值.

第4页共199页

【答案】⑴20；(2)√5.

【分析】

(1)根据棱柱的体积公式进行求解即可；

(2)根据线面角的定义，结合锐角三角函数定义进行求解即可.

【详解】

(1)•••直三棱柱"C-的底面为直角三角形，

两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱/4的长为5.

.∙.三棱柱NBC-的体积：V≈S^ΛBC×AA,=^×AB×AC×AAX

=Lχ4x2χ5=20.

2

(2)连接

・・,直三棱柱"CfMG的底面为直角三角形，

两直角边力8和力。的长分别为4和2,侧棱/4的长为5,M是BC中点,

.W底面Z8C,∕∣M=∣βC=∣√16+4=√5,

∙∙∙^MA是直线A1M与平面ABC所成角，

tanZA,MA=以=ɪ=后,

'AM√5

二直线4附与平面/8C所成角的正切值为有.

第5页共199页

4.如图，在三棱锥PrBC中，PAABC,/BZC=90。.点。，E,N分别

为棱24,PC,3C的中点，M是线段的中点，PA=AC=4,AB=2.

(1)求证：W//YffiBDE;

(2)求二面角C-EM-N的正弦值；

(3)已知点〃在棱以上，且直线M与直线5E所成角的余弦值为手，求

线段/77的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)返；(3)4

21

【分析】

(1)根据三角形中位线定理，结合面面平行的判定定理和性质进行证明即可;

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；

(3)利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】

(1)证明：取Z8中点E连接MF.NF,

∙.∙M为Zz)中点，

.-.MFHBD,

Q83u平面BDE,"尸U平面BDE,

.∙.MF∕/平面BDE.

QN为8C中点，

.-.NFHAC,

又。、E分别为/P、PC的中点，

.-.DEHAC,NF11DE.

■：DEU平面BDE,NF(Z平面BDE,

.・.*//平面BDE.

第6页共199页

又MFCNF=F,MEU平面JWW,NFU平面Λ√FN,

，平面"/W//平而8QE,又MNU平面MFN,

则1W//平面BDE-,

(2)VPzllJgjfI/胡C=90。.

.•・以N为原点，分别以48、AC.NP所在直线为X、八Z轴建立空间直角坐标

系.

∙.∙P∕=∕C=4,AB=2,

.∙.∕(0,0,0),8(2,0,0),C(0,4,0),M(0,0,1),N(1,2,。)，£(0,2,2),

贝IJ丽=(1,2,-1),Λffi=(0,2,l),

设平面MEN的一个法向量为∕w=(x,y,z),

[沅•丽=0/曰卜+2y-Z=O

^i[m-ME=0,2j+z=0'

取z=2,得而=(4,-1,2).

由图可得平面CME的一个法向量为；=(1,0,0).

/--mn

―加〃∖)=丽=标445∕21

由图Ur知:而向C-EM-N的平面.角为锐用，

••・二面角C-EM-N的余弦值为逑ɪ,则正弦值为运；

2121

(3)设/H=f,则"(0,0,「)，ΛW=(-l,-2√),而=(-2,2,2).

直线NH与直线BE所成角的余弦值为五,c0s<≡≡>⅛

第7页共199页

2t-2_√Γ

y∣5+t2×2y∣37"

解得：f=4.

.・当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为近，此时线段AH的

7

长为4.

5.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为0,半径为2.

（1）设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积；

（2）设PO=4,OA.03是底面半径，且4408=90。，M为线段45的中点,

如图.求异面直线PM与08所成的角的余弦值.

【答案】（I）返；（2）也.

36

【分析】

（1）利用圆锥的体积公式进行求解即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】

（1）・.•圆锥的顶点为P,底面圆心为0,半径为2,圆锥的母线长为4,

圆锥的体积P=^×π×r2×Λ=-^XÆ×22×Λ∕42-22

8√3^∙

=;

3

（2）∙.∙PO=4,OA,08是底面半径，且4。8=90。，

M为线段/8的中点，

二以。为原点，（以为X轴，08为y轴，OP为Z轴，

建立空间直角坐标系，

第8页共199页

mo,4),A(2,0,O),8(0,2,O),

”(1,1,O),O(O,O,O),

丽=(1,1,-4),OB=(0,2,O),

设异面直线PM与OB所成的角为6,

PM-θS∖2^√2

则COSe

^PM∖∖O^^√I8×2-6-

•••异面直线PM与OB所成的角的余弦值为也.

6

6.如图所示，已知四棱锥P-力88中，四边形NBCQ为正方形，三角形P4B为

正三角形，侧面/>43，底面/88,用是棱/。的中点.

(1)求证：PCLBM；

(2)求二面角8-PM-C的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)理.

4

【分析】

(1)取Z18的中点0,连接。尸，并过。点作5C的平行线OE,交CD于E,即可

得到OE:8,POVAB,从而得到POL底面/8C。，如图建立空间直角坐标系，

第9页共199页

利用空间向量法证明线线垂直；

（2）利用空间向量法求出二面角的余弦值，从而求出其正弦值；

【详解】

解：（1）取力8的中点（9,连接。尸，并过。点作8C的平行线OE,交CD于E,

则OE1AB

•••三角形产/8为正三角形

.∙.PO1AB

,：平面PAB1底面/8CZ）且平面PABC底面ABCD=AB

尸01底面/8C。

以。为坐标原点，历的方向为X轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，令

PB=AB=2,

Zi\

P

D

则B(l,0,0),P(θ,θ,√3),M(-1,1,0),C(l,2,0)

FC=(1,2,√3),5Λ7=(-2,1,0)

~PC~BM=l×(-2)+2×l+卜6卜0=0

PCɪBM

(2)丽=(-1,1,-®CΛ∕=(-2,-1,0)

设平面产旭8的•个法向量为M=(X,y,z)

贝诉=。即[-x+v-"=C)

[BM∙∕w=0—2x+ʃ=0

_(W

令X=I,m=1,2,—

第10页共199页

设平面PMC的一个法向量为n=（a,b,c）

,.PM-n=O∖-a+b-∖fic=0

则r一即《

[CM-n^Q[-2a-b=0

令α=l,〃=(∣,-2,>/5")

.∙.二面角B-PM-C的正弦值为巫

4

7.已知点E,尸分别是正方形/8CD的边,4D,BC的中点.现将四边形EFcD沿EF

折起，使二面角C-EF-B为直二面角，如图所示.

（1）若点G,H分别是/C,济■的中点，求证：G"//平面E”。；

（2）求直线/C与平面/8/芭所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）逅.

6

【分析】

（1）要证明线面平行，可转化为证明面面平行；

（2）根据面面垂直的性质定理，可知C尸，平面/8FE,再结合线面角的定义,

可得得到直线ZC与平面/8FE所成角的正弦值.

【详解】

证明：（1）连接“尸，

设点。为ZF的中点，连接G。，OH,

在"C尸中，又因为点G为ZC中点，

所以OG//CF.

第11页共199页

同理可证得

又因为E,尸分别为正方形/8C。的边/O,8C的中点，

故EFHAB,所以。”〃E尸.

又因为OHCoG=O,所以平面GOHH平面EFCD.

又因为GZZu平面GCW,所以G"//平面MCD.

(2)因为ZBCD为正方形，E,尸分别是4。，BC的中点，

所以四边形EFC。为矩形，JjllJCFlfF.

又因为二面角C-EF-B为直二面角，平面EFCon平面ZB尸E=EF,CFU平面

EFCD,

所以C尸J_平面ABFE,

则/尸为直线ZC在平面/8FE内的射影，

因为NC4厂为直线4C与平面ZBFE所成的角.

不妨设正方形边长为。，则CF=B尸=£,

在Rt"8F中，4F=^AB2+BF-==亭，

因为CFJ.平面48尸E,4尸U平面NBPE,所以CFJ_/尸,

在Rt中，AC=在尸+C尸=J［与J+H=当，

a

CF2V6

SinZCAF-----—=—

ACy∕βa6

2

即为直线XC与平面”8房所成角的正弦值.

8.已知如图1所示，等腰“8C中，∕8=∕C=4,BC=4∣i,。为8C中点，现

将48。沿折痕翻折至如图2所示位置，使得N8OC=(,E、尸分别为48、4C

的中点.

第12页共199页

A

A

(1)证明：BC//平面。EF；

(2)求四面体8CZ)E的体积.

【答案】(1)证明见解析；(2)√3.

【分析】

(1)由线面平行的判断定理即得；

(2)根据题意可得—=，加=；%8，即求

【详解】

(1)证明：

；E、尸分别为“8、4C的中点，.∙.E尸〃BC,

VEFU平面DEF,8CC平面DEF,

.∙.BC//平面。E尸；

(2)在原等腰三角形ZBC中，∙.∙∕8=∕C=4,BC=而,。为8C中点,

.∙.ADVDB,ADlDC,K∕1D=√42-(2√3)2=2,

在折叠后的三棱锥中，ADlDB,ADLDC,

又DBCDC=D,.∙.∕Z)1平面8DC,

71

■：DB=DC=2邪,ZBDC=—,

S^DC=ɪ×2√3×2√3×sinɪ=6×ɔy=√5,

第13页共199页

^-βc∕>=∣×3√3×2=2√3,

,∙'E为AB111点，∙,∙SgCE=5SMBc,

可得^BCDE=2^D-^BC=2".CD=6■

9.在三棱柱ABC-AxBxCi中，AB=2,BC=BBl=4,AC=ABi=2√5,且N5CCi=60。.

C'

(1)求证：平面4SG_L平面5CG5ι:

(2)设二面角GNGd的大小为仇求sinθ的值.

【答案】⑴证明见解析；⑵sin。=姮.

4

【分析】

(1)勾股定理证明/8L8C.结合"8C="四.证明即可证明；(2)建

立空间坐标系求解

【详解】

解:⑴在“8C中,AB2+BC2=20=AC2,所以2月5C=9(Γ,BPAB1BC.

因为BC=BBI,4C=4B],4B=4B,所以A∕8CMA∕88∣.

所以NABBI=NABC=90°,即AB1BBv

又BCCBB、=B,所以48,平面8明斗

又ABI平面ZBG，所以平面NBGɪ平面BCaB、.

(2)由题意知，四边形3CCf为菱形，且NBCG=60。，则A8CG为正三角形，

取CG的中点，连接8D,则友〃CCr

第14页共199页

以B为原点，以前,函,0的方向分别为x,%z轴的正方向，建立空间直角坐标系

B-xyz,则B(0,0,0)中(0,4,0),∕(0,0,2),c(2√i,-2,0),G(2√J,2,0)

设乎面NCC/的法向量为7=(x,y/),且就=(2/-2,-2),西=(0,4,0).

由时”。得I箕产2Z=。,取χ,o的

由四边形BCC圈为菱形，得BaLBC；

又/8_L平面8CG8∣,所以力8J.8C；

又AB∖BG=B,所以4C_L平面48G，

所以平面/8G的法向量为品=(2√3,-6,θ).

故Sine=^ɪ.

4

10.如图，四棱锥P-NBS中，底面，88是直角梯形，ADHBCf/540=90。,

已知P/=PC=3有，AD=2,AB=后,BC=3.

(2)若二面角P-/C-8的余弦值为:，求四棱锥尸-的体积.

70

【答案】⑴证明见解析；(2)y.

【分析】

(1)过。作OE_LBC交8C于点E,求得CZ)=2,取4C中点为尸点，连接PF,如，

证得NC_Lz)EZCl尸尸，证得"，平面尸万，即可证得4C_LH).

(2)由(1)知，得到cos/PFD=；,求得点P到平面/88的距离为人，和梯形

488的面积，结合体积公式，即可求解.

【详解】

第15页共199页

(1)过。作DEjC交BC于点E,则。E=Z8=√J,EC=BC-ZO=I,

在直角A。CE中，则CD=JDE2+E(j2=2,

取力C中点为尸点，连接PEE0,

因为ND=CZ)=2,Λ4=PC=3百，所以Zo',4C∙LPF,

乂因为PFCFD=F,且PEH»u平面PFr),所以/Cl平面PFD,

又由PZ)U平面PFD,所以4C∙LPD.

（2）由题意知，二面角P-NC-。的余弦值为:，

由（1）知，二面角P-XC-。的平面角为NPQ,故cos/尸F。=；,

在RtZU8C中，可得AC=LB?+BC）=28，所以4r=g∕C=√i,

所以PF=JPr-加=2指，

设点P到平面月BCD的距离为4,则h=PFsmZPFD=2√6×逑=—，

33

又梯形/88的面积为5=（竿卜百=",

故四棱锥P-/88的体积H=Lx筮X迪=型.

3233

11.如图，四棱柱/567）—431。101中，底面4BC0和侧面3CG5ι都是矩形,

E是CO的中点，DlE±CD,AB=IBC=I.

第16页共199页

(1)求证：平面CGOIojL底面/6C0；

(2)若平面BCC1B1与平面BEDl所成的锐二面角的大小为。，求线段EOl的

长度.

【答案】(1)证明见解析；⑵ED=L

【分析】

(1)利用线面垂直的判定定理证明平面CDDiG,可得ADlDtE,又

CDID1E,即可证明。/J_平面/BCD再由面面垂直的判定定理证明即可；

(2)DtE=a,建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标,

然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式列出关于。的方

程求解即可.

【详解】

(1)证明：因为底面/8CO和侧面BCC囱都是矩形，

所以AD-LDDi,

又CDCDDi=D,CD,DDlU平面CODG,

所以4。，平面CDDC,又。IEU平面CDDC,

所以/。，。归，又CD±DιE,且。。A/。=。，CD,NOu平面Z8C。，

故L平面/8C。，又OIEU平面CGJ0。，

则平面Ca平面ABCD-,

(2)解：取力8得中点R连结ER则四边形EEBC为正方形，

所以EZLLCZ),故以E为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

设。∕=α,贝!]E(0,0,0),F(1,0,0),5(1,1,0),C(0,1,0),

Ci(0,2,a),

所以元=(-1,0,0),西=(0,1,a),定=(TL0),

设平面BCaBI的法向量为万=(χ,y,z),

第17页共199页

n-BC=O-x=0

则有∙,即

n-CCl≈Oy+az=0

令z=l,则万=(0,-α,D,

因为尸又FC上DιE,BECDIE=E,BE,Z)IEU平面BEZh,

所以“，平面BED∖,

故定=(-1,1,0)为平面BDIE的一个法向量，

所以MSG,硝I=犒=瓦衣r

因为平面BCClBI与平面BEDl所成的锐二面角的大小为

√⅛π=cosτ4'解得a』，

所以AE=L

12.如图，四棱锥P-/88的底面/88是边长为2的正方形，平面PNoJ.平面

ABCD,是斜边山的长为2及的等腰直角三角形，E,尸分别是棱PC

的中点，M是棱8C上一点.

第18页共199页

（1）求证：平面DEM_L平面尸/8；

（2）若直线“与平面/8CD所成角的正切值为咛，求锐二面角E-DM-尸的

2

余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）逅.

6

【分析】

（I）根据面面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定

理进行证明即可；

（2）根据（1）,结合线面角的定义得出加点是8C的中点，建立空间直角坐标

系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】

解：（1）依题意可得：PDLDA,DP=DA=DC=2.

,/平面尸/。_L平面ABCD,平面P∕°n平面ABCD=DA,ABlDA,ABi平面ABCD,

/.45J_平面PAD,DEU平面PAD：.ABLDE.

在RtV中，DP=DA,£■是棱PZ的中点，所以尸4,∙DE.

又P4C4B=4,PA,481平面PNB,，DE_L平面尸NB.

又DEU平面DEM,二平面。ENI平面P48.

（2）如图，取CD的中点N,连接MN,NF,

则JVF〃尸D,NF=；PD=I

由（1）知PoJ_平面∕5S,ΛNF1ABCD

第19页共199页

.∙./FMN是直线Λ//与平面N88所成角

I72

.*.tanZFMN==

^MN~~2

：.MN=近,/•MC=y∣MN2-NC2=1

∙∙∙M是棱BC的中点,

以。为坐标原点，DA,DC,DP分别为X轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标系,

则有：JD(0,0,0),£(1,0,1),尸(0,1,1),M(1,2,0)

.∙.市=(1,0,1),而=(0,1,1),丽=(1,2,0)

设平面EDM的法向量为五=(α,6,C),平面DMF的法向量为3=(x,%z)

0=DE∙m=a+cʌ„,—、

则l_____，令α=-2,则"7=(-2,1,2)z

0=DM∙m=a+2b

0=DF∙π=ʃ+z…-/x

有,0=两S=X+2/令A2则〃=(-2],-1)

/一一∖m`n3√6

•COS(/〃•〃)=I__II_i=---------产=---

'ʃw'H3×y∕β6

锐二面角E-OW-尸的余弦值为理.

6

13.如图所示，四棱锥E-‹8。的底面/8C。是边长为2的正方形，侧面E48,

底面488,EA=EB,尸在侧棱CE上，且"，平面/CE.

(1)求证：4E_L平面8CE；

(2)求点O到平面/CE的距离.

【答案】(1)证明见解析；(2)苧.

【分析】

第20页共199页

(1)证得8/E和C结合线面垂直的判定定理即可证得结论；

(2)等体积法即可求出结果.

【详解】

证明：(1)：侧面EZBL底面/58,侧面£48C底面NBCO=NB,且C

CBU底面/8CD,，CB，平面ABE,：.CBVAE,'：8/，平面ACE,4Eu平面ACE,

故BF人4E,BFCCB=B,故4E_L平面2CE：

(2)过点E作E0_LZ5,垂足为O,则EO_L平面/18C。，在取AE/8中，

EA=EB,AB=2,可求得OE=1,设。到平面ZCE的距离为〃，由^D-ΛCE=VE-ACD，

所以义腔∕=:∙S"8∙EO,/,=S•%丝,

ɔ'GACEJ

即点D到平面ACE的距离为亚.

3

14.在三棱锥5-∕α)中，平面/3ZKL平面/CO,AC=CD=AD=AB

=1,且/5/0=30。，求点O到平面/5C的距离.

【答案】警

13

【分析】

建立空间直角坐标系，求出平面/6。的一个法向量，利用空间距离的公式即可

求出结果.

【详解】

解如图所示，以的中点。为原点，以OD,OC所在直线为X轴、y轴，

过。作OML平面/CD交/8于以直线OM为Z轴建立空间直角坐标系，

则Z(-1θ,O),s(^ɪɪ,θɪ),C(O,3,0),Z)(∣,0,0),

22222

ZC=(；,当0),AB=(与,0,},OC=(-；,*,0),

设G=(X,y,z)为平面/BC的一个法向量，

第21页共199页

h∙AB=^-x+-z=O∣-

则,23,所以y=一日工，z=一√Jx,可取7=（一百，1,3）,

n∙AC=JX+--y=0

22

/LIχ>IDCHIZ≡.+y/39

代入d=J,得d=22

W~ar13

即点D到平面ABC的距离是叵.

13

15.如图，在长方体∕88-40G2中，AB=BC=I,BB、=2,E为棱热的中点.

（1）证明：BE2平面EB£；

（2）求二面角B-EC-C的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）120。.

【分析】

（1）根据4G，侧平面44B/得出8E_LB£,再利用勾股定理即可证明BE1S1C1,

从而证明筋_L平面E4G.

（2）以点。为坐标原点，以方,反,西分别为X，HZ轴，建立空间直角坐标

系，利用向量法即可解决.

【详解】

（1）证明：因为/8CZ）-48£鼻是长方体，所以8CU则平面48由/,

而BEU平面48田4,所以3E_L5G，

在A8E8∣中，BE=瓜BlE=>∕2,BB、=2,

所以BE、BF=BB；,所以8EL8f,

第22页共199页

又B∖C∖CB∣E=B∣,βlCl,AEU平面EBlCl,因此庞，平面EB£.

（2）如图所示，以点。为坐标原点，以方,反,国分别为X，。Z轴，建立空

间直角坐标系,

则8(1,1,O),C(O,1,0),C1(0,1,2),£(1,0,I),

反=(-1,1,-1),CC1=(0,0,2),丽=(0,7,1),

设比=（演,必，zI）是平面BEC的法向量,

ifi`BE=0,-y+z=0,

力1ɪ1=>w=(0,1,1),

rfιEC=0F+M-z∣=0

设元=（和必，Z2）是平面ECG的法向量,

n,CC=0,2z=0,

则l1=>π=(l,1,0),

∏∙EC=O—X)+%—Z2=0

所以品=U方=；，因为二面角B-EC-C为钝角，所以二面角B-EC-C^

大小为120。.

16.如下图，在四棱锥S-/BO）中，底面［8CZ）是正方形，平面S4），平面/8CZ）,

SA=SD=29AB=3.

（1）求以与8C所成角的余弦值;

第23页共199页

(2)求证：ABlSD.

7

【答案】⑴工(2)证明见解析.

4

【分析】

(D由题意可得NS/。即为SA与BC所成的角，根据余弦定理计算即可；

(2)结合面面垂直的性质和线面垂直的性质即可证明.

【详解】

【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质

【解】(1)因为ADHBC,因此ASAD即为SA与BC所成的角，在^SADψ,SA=SD=2,

又在正方形ABCD'∖'AD=AB=i,因此cosZSAD="丘/"一"：=2二3-二2：=3,

2SA∙AD2×2×34

因此与BC所成角的余弦值是(

4

(2)因为平面见。，平面4BCD,平面%Z)C平面Z5C。=/。，在正方形ZBCZ)中，

ABLAD,

因此/18，平面S4D,又因为SoU平面S/D,因此力8_LSD.

17.如图，四棱锥尸-的底面是矩形，Pr)I底面N8CZ),M为BC的中点，

且尸8J.ZM.

(1)证明：平面Λ4Λ∕J■平面P8。；

(2)若PD=DC=1,求四棱锥P-/8C。的体积.

【答案】(1)证明见解析；(2)也.

3

【分析】

(1)由POL底面/8CD可得PDL/",又PBL4M,由线面垂直的判定定理可

得4"，平面PBD,再根据面面垂直的判定定理即可证出平面PAMɪ平面PBD；

第24页共199页

(2)由(1)可知，AMLBD,由平面知识可知，ADAB~"BM,由相似比可求

出再根据四棱锥尸-43CC的体积公式即可求出.

【详解】

(1)因为PDL底面∕5S,4Wu平面月88,

所以PDJ.NV,

又PB!.AM,PBRPD=P,

所以/A/_L平面P8D,

而AMU平面PAM,

所以平面PAM1平面PBD.

(2)由(1)可知，平面尸8D,所以

从'而ADAB~AABM,设BΛ∕=x,AD=2x,

则=即2χ2=l,解得χ=4∑,所以力。=¢•

ABAD2

因为PD，底面ÆSGO,

故四棱锥尸-/5C。的体积为∕=gx(lx√ŋxl=q.

18.如图，在四棱锥P-/8CZ)中，底面/8CD是平行四边形，

ZABC=∖2Qo,AB=l,BC=4,PA=√15,M,N分别为8C,尸。的中点，

PDlDC,PMLMD.

(1)证明：ABlPMi

(2)求直线NN与平面PDM所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)坐.

6

【分析】

(1)要证48_LPM,可证Z)C_LPA/,由题意可得，PDLDC,易证DWLOC,

第25页共199页

从而Z)CJ•平面PDM,即有。CIPW,从而得证;

(2)取中点£,根据题意可知，"E,DM,PAT两两垂直,所以以点M为坐标

原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量丽和平面PZW的一个法向量，即

可根据线面角的向量公式求出.

【详解】

(1)在AOCM中，DC=I,CM=2,NDCM=60°,由余弦定理可得=百，

所以。M2+OC2=C“，.∙.DMLDC.由题意。C∙L尸。且尸DCQM=Z),.∙.OCL平

面/,而尸MU平面叩M,所以。CLP”,又ABUDC,所以Z8_LPA/.

(2)由尸ABLPM,而N8与。/W相交，所以PA/_L平面/8CD,因为

AM=41,所以PM=2&,取ND中点E,连接ME,则MEB",PA/两两垂直，

以点M为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系，

则J(-√3,2,0),P(0,0,2√2),D(√3,0,0)M0,0,0),C(√3,-l,0)

乂N为PC中点，所以NFg,彳用,丽=(孚v*.

由(1)得CQ_L平面PDW,所以平面PDW的一个法向量力=(OJO)

_f5

从而直线AN与平面PDM所成角的正弦值为Sinθ=僚，=ɪ===ɪ.

A/---1------F2

V44

19.如图，是圆。的直径，PX垂直圆O所在的平面，C是圆。上的点.

第26页共199页

(I)求证8CJ.平面尸4C；

(II)设。为PZ的中点，G为MOC的重心，求证：QG//平面58C∙

【答案】见解析

【详解】

(I)由力8是圆的直径可得XCJ_8C,由P4J■平面∕8C,BCu平面∕8C,^PA1BC

又R4cNC=4P/u平面PZGNCU平面PNC,所以8CJ.平面尸ZC

(II)连。G并延长交4C于河，连接。W,QG

由G为A40C的重心，得“为ZC的中点，

由0为融的中点，得0Λ∕IlPG由。为Z面勺中点，得OMIlBG

因为QMCMo=M,QMu平面QAlO

MOU平面QΛ∕O,BCcPC=C,

BCU平面08C,PCU平面PBC,

所以平面QMoll平面P3C,因为QGU平面QMO

所以OGll平面PBC

20.如图，在四棱锥P-/8C。中，PAABCD,ABLAD,点E在线段上,

第27页共199页

^CE∕∕AB.

(I)求证：底，平面4。；

(∏)^PA=AB=∖,/。=3,CZ)=√2,NaM=45。，求四棱锥P-/8。的体积.

【答案】(I)证明见解析(IDI

O

【分析】

(1)由已知可得&∙LCE,CELAD,即可证明结论；

(II)Λ4∙L底面NBCO,VP.ΛBCD=^SΛBCD∙PA,根据已知条件求出梯形居CO面积,

即可求解.

【详解】

(I)证明：因为/MJ■底面"CD,CEU平面”88,

所以PN1∙CE.因为,CE//AB,

所以CEJ./。.又Λ4c/O=Z,

所以CE_L平面尸ÆD.

(U)解：由(I)可知CE_L/£>,

在RtΔΛCD中，CE=CQ∙sin45。=1,

OE=Cc>∙cos45°=l,

又因为/8=1,贝∣J∕8=CE.

又CEHAB`ABLAD,

所以四边形/8CE为矩形，四边形NBC。为梯形.

因为/0=3,所以BC=∕E=∕D-OE=2,

∣

SABCD=^BC+AD∖/J5=i(2+3)×1=,

VP-ABCD='SABCD*P4=TXTXɪ=T>

第28页共199页

于是四棱锥PT88的体积为4.

O

21.如图，直三棱柱/8C-H*C',ABAC=90°,/B=ZC=-H,点M,N分别为

43和8C的中点.

(I)证明：MN〃平面H/CC;

(∏)若二面角/-MN-C为直二面角，求2的值.

【答案】(I)见解析(II)Λ=√2

【详解】

试题分析：(I)分别取4C'//的中点P,Q,再连结MQ,∕VP,PQ,则有

PN∕∕-A'B',PN≈^A'B',MQ//^A'B',MQ=^A'B',所以PN"MQ,PN=MQ

则四边形MNPQ为平行四边形，所以AW〃尸Q,则MN//平面HZCC

(Ii)分别以”利以44所在直线为χ∕,z轴,建立空间直角坐标系(如图)

设/4=2,则彳必=(40,-1),丽=(O,/M),而=(4-2/M),

设平面/MN的一个法向量秘=(χ,y,z),

由，:黑得平面AMN的一个法向量*=(LT,2),

同理可得平面MNC的一个法向量;ξ=(3,1,T),

因为二面角H-MN-CA为直二面角，所以屋后=0,则有;l=√∑

第29页共199页

22.如图，在三棱锥S-ZBC中，侧面"8与侧面”C均为等边三角

形,/历1C=9O。,。为8C中点.

(I)证明：SoI平面"C;

(H)求二面角/-SC-8的余弦值.

【答案】(I)S。_L平面ABC;

(Il)二面角Z-SC-8的余弦值为3.

3

【详解】

证明：

(I)由题设∕8=ZC=S8=SC=S4连结O/,ANBC为等腰直角三角形，所以

OA=OB=OC=-SA,J.AOLBC.又4SBC为等腰三角形，故SOL8C,

2

SO=-SA,

2

从而OA2+SO2=SA2,

第30页共199页

所以ASO/为直角三角形，SOlAO.

又AOQBC=O,

所以SOJ_平面ZBC

(II)解法一:

取SC中点M,连结AMQM,由（I）知SO=Oe,S/=4C,得0M±SC,AM±SC.

NOMA为二面角/-SC-5的平面角.

由ZOLBC,AO±SO,SonBC=。得

ZO，平面S6C,

所以ZO_LOM.又AM=2SA,故

2

s"AM0=处=华=如

AME3

所以二面角/-SC-B的余弦值为当

解法二：

以。为坐标原点，射线08、分别为X轴、y轴的正半轴，建立如图的空间

直角坐标系。-号z∙

第31页共199页

设8(1,0,0),则C(T,0,0),40,1,0),S(0,0,1).

SC的中点

MO=(g,O,-g),MX=(g,l,-],SC=(-1,0,-1),

.-.MO-SC=O,MA-SC=O.

故MOJ_SC,MALSC,(加,疯)等于二面角/-SC-8的平面角.

MO-MA_√3

∣wδ∣p∣=T,

所以二面角”SC-8的余弦值为史.

3

23.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2√J的菱形，且NBAD=I20。,

且PAj_平面ABCD,PA=2√6,M,N分别为PB,PD的中点.

(I)证明：MN〃平面ABCD；

(2)过点A作AQ_LPC,垂足为点Q,求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值.

【答案】(1)见解析;(2)亭.

【分析】

⑴证明:连接BD,因为M、N分别是PB.PD的中点,所以MN是APBD的中位线,

所以MNHBD.

又因为MNC平面ABCD,BDu平面ABCD,

所以MNll平面ABCD.

⑵解：在菱形ABCDΦ≠BAD=120o,

得AC=AB=BC=CD=DA,

第32页共199页

BD=√jAB.

又因为PAj_平面ABCD,

所以PA±AB,PA±AC,

PAlAD.

所以PB=PC=PD.

所以APBCMPDC.

而M、N分别是PB、PD的中点,

所以MQ=NQ,

且AM=-PB=-PD=AN.

取线段MN的中点E,连接AE,EQ

则AE±MN,QE±MN,

所以NAEQ为二面角A-MN-Q的平面角.

由AB=2√3,PA=2Jβ,故在aAMN中,AM=AN=3,MN==BD=3,得AE=必.

■工

在直角APAC中,AQLPC,得AQ=2,QC=2,PQ=4,

⅛∆PBC中,coszBPC=PB：二£二叫=二,

IPBPC6

得MQ=JRTr+10.2RT/PQgSqPCf.

在等腰AMQN中,MQ=NQ=在,MN=3,

得QE=J嬲蜉=坐.

第33页共199页

在aAEQ中,AE=半,QE=gI,AQ=275,

得CosZ-AEQ=

叵

所以二面角A-MN-Q的平面角的余弦值为

24.如图，在三棱锥尸一/8C中，AB=BC=2点,PA=PB=PC=AC=A,0为AC

的中点.

（1）证明：尸。，平面/8C；

（2）若点M在棱8。上，且MC=2M8,求点C到平面PoM的距离.

【详解】

分析：（1）连接08,欲证PO∙L平面/8C,只需证明？。_14,尸。_1。5即可；（2）

过点C作S∙LOM,垂足为M,只需论证CH的长即为