线性代数重要知识点及典型例题答案(二)

1、线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式N 阶 行 列 式 ： 行 列 式 中 所 有 不 同 行 、 不 同 列 的 n 个 元 素 的 乘 积 的 和aijn( 1) ( j1 j2 . jn ) a1 ja2 j2.anjn1j1 j2 j n（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质： 行列式行列互换，其值不变。（转置行列式DD T ） 行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 常数 k 乘以行列式的某一行（列），等于 k 乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为

2、零。 行列式具有分行（列）可加性 将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式M ij 、代数余子式Aij( 1)i j M ij定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式D0时，有唯一解： x jD j ( j1、2n)D齐次线性方程组：当系数行列式D10 时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式：a11a12a13a11a21a31转置行列式： a21a22a23a12a22a32a31a32a33a13a23a33对称行列式 : aija ji反对称行列式 : aij

3、a ji奇数阶的反对称行列式值为零a11a12a13三线性行列式 :a21a220方法：用 k1a22 把 a21 化为零，。化为三角形行列式a310a33上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章矩阵矩阵的概念： Am* n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵 )矩阵的运算：加法（同型矩阵）-交换、结合律数乘 kA (kaij )m* n - 分配、结合律lA* B( aik )m*l * (bkj )l * n ( aik bkj ) m* n乘法1注意什么时候有意义一

4、般 AB=BA，不满足消去律；由AB=0 ，不能得 A=0 或 B=0转置 ( AT )TA( A B)TATBT(kA)TkAT( AB)TBT AT (反序定理 )方幂： Ak1 Ak2Ak1 k2( Ak1 ) k2Ak1 k2几种特殊的矩阵：对角矩阵 ：若AB都是 N 阶对角阵，k 是数，则 kA 、 A+B 、AB 都是 n 阶对角阵数量矩阵： 相当于一个数（若）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵 ：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方都是 0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注： 把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：

5、设A 是 N 阶方阵，若存在N 阶矩阵 B 的 AB=BA=I 则称 A 是可逆的，A 1B (非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0 、伴随矩阵 )初等变换1、交换两行（列）2.、非零 k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K倍加到另一行（列） 初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵倍乘阵 倍加阵）等价标准形矩阵 DrI rOOO矩阵的秩r(A) ：满秩矩阵降秩矩阵若 A 可逆，则满秩若 A 是非奇异矩阵，则r（ AB ） =r（ B）初等变换不改变矩阵的秩求法： 1 定义 2 转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表 ；行列式行数列数一

6、样，矩阵不一样 ；行列式最终是一个数，只要值相等，就 相 等 ， 矩 阵 是 一 个 数 表 ， 对 应 元 素 相 等 才 相 等 ； 矩 阵 ( kaij ) nk (aij ) n ， 行 列 式kaijnkn aijn逆矩阵注 ： AB=BA=I 则 A 与 B 一定是方阵 BA=AB=I则 A 与 B 一定互逆；不是所有的方阵都存在逆矩阵；若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。矩阵的逆矩阵满足的运算律 ：1、可逆矩阵 A 的逆矩阵也是可逆的，且( A 1 ) 1A2、可逆矩阵 A 的数乘矩阵 kA 也是可逆的，且(kA) 11 A 1k3、可逆矩阵 A 的转置 AT也是可逆的，且 ( AT

7、 ) 1( A 1) T4、两个可逆矩阵A 与 B 的乘积 AB 也是可逆的，且 ( AB) 1B 1 A 1但是两个可逆矩阵 A 与 B 的和 A+B 不一定可逆， 即使可逆， 但 ( A B)A 1B 1A 为 N 阶方阵，若 |A|=0，则称 A 为奇异矩阵 ，否则为 非奇异矩阵 。5、若 A 可逆，则 A 11A伴随矩阵： A 为 N 阶方阵，伴随矩阵： A*A11A12（代数余子式）A21A22特殊矩阵的逆矩阵 ：（对 1 和 2，前提是每个矩阵都可逆）AB1111、分块矩阵 DAA BCO则 D 1COC 1A1A11A212、准对角矩阵 A， 则 A 1A2A31A31A4A43

8、、 AA*A* AA I4、 A*A A 1（ A 可逆）5、 A*An 16、 A*1A 1*1A （A 可逆）A7、 A* TAT *8、 AB *B* A*判断矩阵是否可逆：充要条件是 A0 ，此时 A 1 1 A*A求逆矩阵的方法 ：定义法 AA 1I伴随矩阵法 A 1A*A初等变换法A | I nI n | A 1只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系：设 Aaijm* n是m*n阶矩阵，则对A 的行实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同等的m 阶初等矩阵左乘以A ：对 A 的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种n 阶初等矩阵右乘以A（行变左乘，列变右乘）第三章线性方程组消元法非齐次

9、线性方程组：增广矩阵 简化阶梯型矩阵r(AB)=r(B)=r当 r=n 时，有唯一解；当rn 时，有无穷多解r(AB)r(B) ，无解齐次线性方程组：仅有零解充要r(A)=n 有非零解充要r(A)n当齐次线性方程组方程个数未知量个数，一定有非零解当齐次线性方程组方程个数=未知量个数，有非零解充要|A|=0齐次线性方程组若有零解，一定是无穷多个N 维向量：由n 个实数组成的n 元有序数组。希腊字母表示（加法数乘）特殊的向量：行（列）向量，零向量 ，负向量，相等向量，转置向量向量间的线性关系 : 线性组合或线性表示向量组间的线性相关（无）：定义 P179向量组的秩： 极大无关组（定义P188）定理

10、 ：如果 j,j2,. jr是向量组 1, 2 ,. s 的线性无关的部分组，则它是1极大无关组的充要条件是：1,2 ,.s 中的每一个向量都可由j1 , j 2 ,. jr线性表出。秩 : 极大无关组中所含的向量个数。定理：设 A 为 m*n 矩阵，则 r ( A)r 的充要条件是：A 的列（行）秩为r。现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系线性组合或线性表示注：两个向量，若k则 是 线性组合单位向量组任意向量都是单位向量组的线性组合零向量是任意向量组的线性组合任意向量组中的一个都是他本身的线性组合向量组间的线性相关（无）注： n 个 n 维单位向量组 一定是线性无关一个非零向量是线性无关

11、，零向量是线性相关含有零向量的向量组一定是线性相关若两个向量成比例，则他们一定线性相关向量 可由1 , 2 ,. n 线性表示的充要条件是 r ( 1T2T . nT ) r ( 1T2T . nT T )判断是否为线性相关的方法 ：1、定义法：设k1 k2 .kn ，求 k1k2.kn （适合维数低的）2、向量间关系法P183 ：部分相关则整体相关，整体无关则部分无关3、分量法（ n 个 m 维向量组） P：线性相关（充要）r ( 1T2T . nT ) n180线性无关（充要）r (TTT12. n ) n推论当 m=n 时，相关，则TTT0TTT123；无关，则 1 230当 mn 时，

12、线性相关推广：若向量1 , 2 ,. s 组线性无关，则当s 为奇数时，向量组12 , 2 3 ,. s 1也线性无关；当s 为偶数时，向量组也线性相关。定理：如果向量组 1 , 2 ,. s,线性相关，则向量可由向量组1, 2 ,. s 线性表出，且表示法唯一的充分必要条件是1 , 2 ,. s 线性无关。极大无关组 注：向量组的极大无关组不是唯一的，但他们所含向量的个数是确定的；不全为零的向量组的极大无关组一定存在；无关的向量组的极大无关组是其本身；向量组与其极大无关组是等价的。齐次线性方程组（I ）解的结构 ：解为1,2 .（ I）的两个解的和12 仍是它的解；（ I）解的任意倍数k还是

13、它的解；（ I）解的线性组合 c11c22 .cs s 也是它的解， c1 ,c2 ,.cs 是任意常数。非齐次线性方程组（II ）解的结构 ：解为1 , 2 .（ II ）的两个解的差12 仍是它的解；若 是非齐次线性方程组AX=B的一个解， v 是其导出组 AX=O 的一个解，则 u+v 是（II ）的一个解。定理 ：如果齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩 r ( A) r n ，则该方程组的基础解系存在，且在每个基础解系中，恰含有n-r 个解。若是非齐次线性方程组AX=B是（ II ）的全部解。的一个解，v 是其导出组AX=O的全部解，则u+v第四章向量空间向量的内积实向量定义：（ ， ）

14、 =Ta1b1a2 b2. an bn性质：非负性、对称性、线性性(,k)=k( ,);(k,k)= k 2 (,);(+,)=( ,)+( ,)+( , )+( ,);rsrs, , ,Rn ,(kii ,l jj )kil j ( i , j )i1j1i 1j1向量的长度( ,)0 的充要条件是=0 ； 是单位向量的充要条件是（， ） =1单位化向量的夹角正交向量： 是正交向量的充要条件是（， ） =0正交的向量组必定线性无关正交矩阵：阶矩阵AATAT AI性质：1、若A 为正交矩阵，则可逆，且A1AT，且A 1也是正交矩阵；、若A 为正交矩阵，则A1；、若 A 、为同阶正交矩阵，则也是

15、正交矩阵；、阶矩阵（aij ）是正交矩阵的充要条件是的列（行）向量组是标准正交向量；第五章矩阵的特征值和特征向量特征值、特征向量A 是 N 阶方阵，若数使 AX=X ，即（I-A ） =0有非零解，则称为 A 的一个特征值，此时，非零解称为A 的属于特征值的特征向量。|A|=1 *2 * .n注：1、 AX=X2、求特征值、特征向量的方法IA0求i将i 代入（I-A ） X=0求出所有非零解3、对于不同的矩阵，有重根、单根、复根、实根（主要学习的）c1特殊： ( I ) n 的特征向量为任意N 阶非零向量或c2 (ci 不全为零 )cn4、特征值：若(0) 是 A 的特征值则 A 1 - 1则

16、 Am - m则 kA - k若 A2=A 则 -=0 或 1若 A2=I 则-=-1或 1若 Ak =O 则 -=0迹 tr(A ) ：迹（ A ）= a11a22ann性质：1、 N 阶方阵可逆的充要条件是A 的特征值全是非零的2、 A 与 A 1有相同的特征值3、 N 阶方阵 A 的不同特征值所对应的特征向量线性无关4、 5、 P281相似矩阵定义 P283： A 、 B 是 N 阶矩阵，若存在可逆矩阵P，满足 P 1 APB ，则矩阵 A 与 B相似，记作 AB性质 1、自身性： AA,P=I2、对称性：若 AB 则 BAP 1 APBAPBP 1( P 1) 1 BP 1A3 、 传

17、 递 性 ： 若 AB 、 BC 则 ACP1 APBP1 BPC -1122- ( P1 P2 ) 1 A( P1 P2 ) C4、若 AB ，则 A 与 B 同（不）可逆5、若 AB ，则 A 1 B 1P 1 APB 两边同取逆， P 1 A 1PB 16、若 AB ，则它们有相同的特征值。（特征值相同的矩阵不一定相似）7、若 AB ，则 r ( A)r ( B)初等变换不改变矩阵的秩例子： P 1APB 则 A100PB100 P 1P 1APOA=OP 1APIA=IP 1APIA=I矩阵对角化定理：N 阶矩阵 A 与 N 阶对角形矩阵相似的充要条件是A 有 N 个线性无关的特征向量

18、注： 1、 P 与 中的 xi 与 i 顺序一致2、 A, 则 与 P 不是唯一的推论：若 n 阶方阵 A 有 n 个互异的特征值，则A （ P281）定 理 ： n 阶 方 阵 A 的 充 要 条 件 是 对 于 每 一 个 K i 重 特 征 根i ， 都 有r ( i I A) n K i注：三角形矩阵、数量矩阵I 的特征值为主对角线。约当形矩阵11约当块：形如J的 n 阶矩阵称为n 阶约当块；1J1约当形矩阵： 由若干个约当块组成的对角分块矩阵JJ2（ Ji 是约当块）J n称为约当形矩阵。定理：任何矩阵A 都相似于一个约当形矩阵，即存在n 阶可逆矩阵P 1 APJ 。第六章二次型二次

19、型与对称矩阵只含有二次项的标准型：形如规范型：形如n 元多项式 f() 称为一个的二次型，称为标准型。的二次型，称为规范型。n 元二次型，简称二次型。线性变换矩阵的合同：设AB是n 阶方阵，若存在一个n 阶可逆矩阵C，使得则称A 与B 是合同的，记作 AB。合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、化二次型为标准型：配方法、做变换（二次型中不含有平方项）第一章行列式一行列式的定义和性质1. 余子式 M ij 和代数余子式 Aij 的定义01111011A21 （例 1 行列式10第二行第一列元素的代数余子式）111110A2BC1D测试点余子式和代数余子式的概念1201111111111011

20、, A21 ( 1)2 1 M 21解析1 01012111011100011110答案 B2行列式按一行或一列展开的公式nn1）Aaij naij Aij , j1,2,Ln;(A aijnLn)iaij Aij , i 1, 2,1j 1nAkjnAkiaij AikaijAkj2）0k;0kii1jj1例2设 某 3 阶 行 列 式的 第 二 行 元 素 分 别 为1,2,3, 对 应 的 余 子 式 分 别 为3,2,1则 此 行 列 式 的 值为.测试点行列式按行 ( 列 ) 展开的定理解D( 1)A212 A223A23(1)(1)2 1 M 212( 1)22 M 22 3(1)

21、 2 3 M 2334310例 3 已知行列式的第一列的元素为1,4,3,2 ，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x 问 x.测试点行列式的任意一行( 列 ) 与另一行 ( 列 ) 元素的代数余子式的乘积之和为零.解 因第一列的元素为1,4,3,2 ，第二列元素的代数余子式为2,3,4, x, 故 1 2 43(3) 4 2x 0所以 x1壱拾3行列式的性质1） ATA .2）用数 k 乘行列式的某一行（列）所得新行列式原行列式的k 倍 . 推论3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数.推论4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.5）行列式可以按任一行

22、（列）拆开.6）行列式的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.a11a12a132a112a122a13例 4 已知 a21a22a233 ，那么 a21a22a23（）a31a32a332a312a322a33A.24B.12C.6D.12测试点行列式的性质2a112a122a13a11a12a13解析a21a22a232( 2) a21a22a2312.2a312a322a33a31a32a33答案 B例 5 设行列式 a1b1=1， a1c1 =2，则 a1b1c1 =（）a 2b2a 2c2a 2b2c2A 3B1C 1D3测试点行列式的性质解a1b1

23、c1a1b1a1c13a2b2c2a2b2a2c2故应选D答案 D二行列式的计算1二阶行列式和三角形行列式的计算.2. 对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算.3对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.4行列式中各行元素之和为一个常数的类型.5. 范德蒙行列式的计算公式壱拾壱11141131例 6 求 4 阶行列式21的值 .111111测试点行列式的计算11141114231131002002303解2110101( 3)6130310111100003123233例 7 计算 3 阶行列式249499 .3676771

24、23233100233100203解2494991)(2)2004992004090.(1) (2)( 1)(3)367677300677300607xaaa例 8axaa计算行列式：axaaaaax测试点各行元素之和为常数的行列式的计算技巧.x a a ax 3a a a a x 3aaaa解 Da x a ax 3a x a a0x a00a a x ax 3a a x a00x a0a a a xx 3a a a x000x a( x 3a)( x a) 3.ab0L000abL00例 9 计算行列式 D n00aL00MM M OM M000Labb00L0a测试点行列式中有一行只有两

25、个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算壱拾弐ab0L000abL00解 Dn00aL00=aA11 bAn1=aM 11 +b( 1)n 1M n1 an( 1) n 1 bnM M M OM M000Labb00L0a00L0100L20例 10 计算行列式 D6 M M OM M05L0060L0000L0110L0000L2002L00解 D6M M N M M( 1)3 M M O M M 6!(1)(6)05L00 (2)(5)00L5060L0(3)(4)00L0601xx2x3例 11 设 D( x)124813927141664问（ 1） D ( x) 中， x3 项的

26、系数？（2）方程 D (x)0有几个根？试写出所有的根。测试点 1.范德蒙行列式的判别和计算公式;2. 行列式按行 ( 列 ) 展开的定理 .124解（ 1） x3 项的系数A14( 1)5 139(32)(4 2)(4 3) 21416(2) 因为 D ( x)(2x)(3 x)(4 x)(32)(42)(43)所以方程 D ( x)0 有三个根 : x12, x23, x34.第二章矩阵一、矩阵的概念1. 要弄清矩阵与行列式的区别2. 两个矩阵相等的概念3. 几种特殊矩阵（ 0 矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）二、矩阵的运算壱拾参1 矩阵 A, B 的加、减、乘有意义的充分必要条件例

27、 1 设矩阵 A(1,2),12123）B， C45，则下列矩阵运算中有意义的是（346A ACBB ABCC BACD CAB测试点 :矩阵相乘有意义的充分必要条件答案 : B120100例 2 设矩阵 A210 ， B 021，则 A 2B =_.001013测试点 :矩阵运算的定义120200320解 A 2B210042252.001026027例 3 设矩阵 A1，B2，则 AT B _.23测试点 :矩阵运算的定义解 AT B(1,2)28.32矩阵运算的性质比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律；）

28、重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点 .( ( AB)2A2 +ABBAB2 ;( AB)( A - B)A2 +BA - AB - B2 ;( AB)kABABLABAk Bk ;( AE)2A22 AE如果 ABO ，可能 A O, B1122O. 例如 A, B2都不为零，但 AB O .1123转置对称阵和反对称阵1）转置的性质( A B)TATBT ;( A)TAT ;( ABC )TC T BT AT2）若T(T)A 为对称（反对称）阵AA AA ，则称例 4 矩阵A, B,C为同阶方阵，则( ABC )T =（）壱拾四A AT BTC TB C

29、 T BT ATC C T AT BTD ATC T BT答案 : B例 5 设(1,2,3),(1, 1,1),令 AT, 试求 A5.测试点矩阵乘法的一个常用技巧解 因为 AT111222, 所以333A5TTTTTT (T )(T )(T )(T )11111111(T )5T(1,1,1)25 2(1,1,1)25222 32222 .33333333111答案32222 .333例 6A 为任意 n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（）A A ATB AATC AATD AT A解析( AAT )TAT( AT )TATAAAT . 故 AAT 为对称阵 .( AAT )TATA( AAT ). 故 AAT 为反对称阵 .( AAT )TAAT .故 AAT 为对称阵 . 同理 AT A 也为对称阵 .答案 B例 7已知矩阵 A11,E 为 2 阶单位矩阵 , 令 BA23A2E, 求 B23测试点方阵多项式的概念;B A23A2E11111110232333212014332021876902204. 方阵的行列式的性质ATA ;AnA ;ABA B ;壱拾伍AkA ;A 11 ; AA .kn 1A例 7 设 A 为 n 阶方阵，为实数，则A =（）AABACnADnA答案 : C例 8 矩阵 A12, B12，则行列式A