2020届高考数学二轮复习专题《形如f(x)lnx+g(x)型的函数问题》

1、专题9 形如f(x) lnx+g(x)型的函数问题用导数的方法研究形如f(x)lnx+ g(x)的函数问题历来是高考的热点与难点，解决此类问题的难点是转化目标的有效选择.本专题主要研究与函数f(x)lnx+ g(x)有关的恒成立、存在性、最值等问题，并在解决问题的过程中感悟数学思想方法的灵活运用国微而准同微而细若不等式xlnx a(x- 1)对所有x 1都成立，求实数 a的取值范围.国0本题考查的是结构为f(x)lnx+g(x),且含参数a的恒成立问题，由于题目中含有参 数a,故解决过程中，先对参数 a分类讨论，第一种情况 aW,证明恒成立，而第二种情况 a 1 ,则利用单调性导入反例，否定结

2、论联想问题受构网络 OEZU已知当x1时，x2lnx-x+1m(x-1)2恒成立，求实数 m的取值范围.匿日 已知关于x的不等式(x-3)lnx0恒成立，求a的值;111(2)设m为整数，且对于任意正整数n, 1 + 2 1+221 + m vm,求m的最小值.画目 设函数f(x)= x2lnx ax2+ b在点(xo, f(xo)处的切线方程为 y= x + b.(1)求实数a及xo的值；(2)求证：对任意实数 bC(0, e),函数f(x)有且仅有两个零点.E1新题在线然点在线 林典新题画画(2019全国卷)已知函数f(x)= (x 1)lnx x 1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点

3、；(2)f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.客题标准减少失分秋运兽iiES (本小题满分16分)已知函数f(x)=(x+ 1)lnx+ ax(aCR).(1)若y=f(x)在(1, f(1)处的切线方程为x+ y+b=0,求实数a, b的值;(2)设函数g(x) = LH, xC 1, e(其中e为自然对数的底数). x当a= 1时，求g(x)的最大值；若h(x)= g-exr-是单调递减函数，求实数 a的取值范围.I解析合案(1) a= - 3, b= 2； (2)；aC - 0, - 1 -； U 2 , + 8).、，、 e，e 、由题意得 f (x) = ln x+a,

4、f (1) = a+2 = 1, a = 3,xf(1) =a=3, (1 , 3)代入x+y+b=0解得b=2.2分(由条件求出a, b的值)小1(2).g(x) =(-+1)ln x-1,xIn x x+ 1 x In x+ 12-d2x x令 6 (x) =x In x+ 1,则 6 ( x) = 1 -0, 6 (x)在单调1 , e递增， x6(x)A 6(1) 0, 4 分(推证(J)(x)0)11. g (x) 0, g(x)在1 , e单倜递增，g(x)的取大值为 g(e) =-.6分(求出g(x)的 e最大值)同理，单调递增函数g(x)=f- a, a+1+- , 7分(写出

5、g-一的值域) xex则 h(x) =(-+1) lnx+a.xe。什, g (x)1 若 a0, g(x) 0, h(x) =. x , e因为 h(x)单调递减，所以 h (x) = g ”) =g-(x)g(x)0 在1 , e恒成 ee立，只需 y=g (x) g(x) W0,.1.,口 ，、11lnx ，11 Inx -1.由g(x)= (1 +x)lnx+ a,得g (x)=x + x,所以x + x +(x2 + x+ 1)ln x=x+f+(x2 + x+ 1)ln x= (x2+x+1)。“1,、，-+ 1) -1, x9分(a0时分离参数a)令=t C 1,则 a(t 2+

6、t + 1)(ln t + 1)1, x e.o10令 m(t) = (t2+t + 1)(ln t + 1) -1, m (t) = (2t + 1)(ln t + 1) +-(t2+t + 1) 0,所以m(t)在；1单调递增，所以am(1) =2； 11分(a0时导出a2) e。什 e+1g (x)2 若 a, g(x)wo, h(x) = ” x ,ee因为h(x)单调递减，所以h (x) = Lg(x) =gg-5L (1+x)lnx+a 在1 , e恒成立，a 0x2+-+1)(ln x+1)-1 = m(t), ,1、， 1由1同理可知mt)在,1单调递增，所以awm) = 1,

7、eee +1 /c 八/e+ 1,e+ 1所以aw.13分(aw时，推出aw)e 、 ee 3 若一ev a2= -2 0,x x xx x 所以g(x) = f(x)在1 , e上单调递增，又g(1) g(e) =a(a+1+1)0,则存在唯一的xo xee (1 , e),11使 h(xo) = ( + 1)ln xo+a)=0, xoexoe+ 1h(x)在1 , e上不单倜.15分( 0时，由h (x)wo恒成立，分离a；第六步：由单调性求得a2;-、，八、一e + 1人”第七步：推证 aw 合题； e.一. e +1. 一一.第八步：推证 a 1都有f(x)ax 1,则实数 a的取值

8、范围是匚已知函数 f(x) = x2+aln x,对任意两个正数xi, x2(xix2)都有f 1；I22) 2成立，则实数a的取值范围是 .已知函数f(x) = 1 + J x,若关于x的不等式F(x) + af(x)0有且仅有两个整数解， x则实数a的取值范围为.匚匚| 已知函数 f(x) = aln x+bxb(a bCR). x、若f (1)4且b=1,求函数y= f(x)的单调递增区间；(2)当b=1时，若f(x)存在两个极值点 m, n,且m (0, e,求f(m)f(n)的最大值.设函数 f(x)=ln x, g(x)=m(x+n)(m0).x+ 1(1)当m= 1时，函数f(x), g(x)在x= 1处的切线互