工学大气科学专业流体力学基础概念

1、 流体力学 20102011学年第2学期课程 2 引 言 一、流体力学的研究对象 流体力学的基本内容 流体的运动规律如何？ 流体运动时对处于其中的其他物体产生的影响和作用如何？ 问 题： 水 液体 空气 气体 流体 地球流体 海洋 大气 3 理论方法 二、研究方法 流体性质和流动特性的主要因素 理论流体力学 宏观物理模型或理论模型 控制流体运动的闭合方程组 问题的求解 物理规律 数学 4 存在问题： 流体运动方程组通常为包含非线性项的微分方程所 构成。 由于数学上求解的困难，许多实际流动问题难以精 确求解。 w z p F z w w y w v x w u t w v y p F z v w

2、 y v v x v u t v u x p F z u w y u v x u u t u z y x 2 2 2 1 1 1 5 计算方法（数值方法） 通过把流场划分为许多微小的网格或区域，在各个 网格点或各小区域中求支配流动方程的近似解，通 过数值计算的方法，近似求解运动方程组，最终得 到方程数值解。 UU V V p 1j j 1j 1ii1i 2 1 j 2 1 j 2 1 i 2 1 i 1 j j i 1 i 6 例如，考虑一维的线性发展方程，求出下一时刻的F值 0 FF c tx 1 1 0 nnnn jjjj FFFF c tx 存在问题： 数值方法求解其适用范围受 数学模型

3、的正确性、计算精度 和计算机性能所限制。 计算方法（数值方法） j1j x 11 11 1 11 0 22 0 2 nnnn jjjj nnnn jjjj FFFF c tx FFFF c tx 或者 1j 7 实验方法： 主要通过设计实验，对实际流动问题进行模拟，并通过 对具体流体运动的观察和测量来归纳流体运动规律。 实验流体力学 存在问题： 从实验中得到的经验公式的普适性较差。 8 三、应用 地球上的大气和海洋是最常见的自然流体，因而相应 地形成了地球物理流体力学。研究大气和海洋运动规 律的，都是流 体力学领域中的不同分支，而流体力学是大气科学、 海洋科学的重要的基础理论之一。 后续相关专

4、业课程：动力气象学、数值天气预报等。 9 四、课程性质和学习目标 课程性质：专业基础课，是学习气象、环境等地球物 理学科的基础。 学习目标：理解和掌握流体力学的基本概念、方法。 10 五、教学内容 第一章 基础概念 第二章 基本方程 第三章 相似原理与量纲分析 第四章 涡旋动力学基础 第五章 流体波动 第六章 旋转流体力学 第七章 湍流 11 参考书目： 1.王宝瑞编著，1988年，气象出版社，流体力学 2.吴望一编著，1983年，北京大学出版社，流体力学 12 第一章 基础概念 第一节 流体的物理性质和宏观模型 第二节 流体的速度和加速度 第三节 迹线和流线 第四节 速度分解 第五节 涡度、

5、散度和形变率 第六节 速度势函数和流函数 主要内容 主要介绍流体力学的基本概念(课程基础和核心内容） 13 一、物理性质 第一节 流体的物理性质和宏观模型 自然界的物质 凝聚态（分子间的平均间距不同） 固体液体气体 流体 与固体不同： 流动性 粘性 压缩性等 14 1、流动性（形变性） 流体的形状极易发生变化； 流体的抗拉强度极小； 只有在适当的约束条件下，才能承受压力； 处于静止状态的流体不能承受任何剪切力的作用。 15 2、粘 性 当流体层之间存在相对运动或切形变时，流体就会反抗 这种相对运动或切形变，使流体渐渐失去相对运动或切形变； 流体这种抗切变性或阻碍流体相对运动的特性，称之为粘性。

6、 16 温度与粘性 粘性是分子之间的吸引力与分子不规则热运动引起的动 量交换的结果。温度升高，分子之间的吸引力降低，动量 增大；反之，温度降低，分子之间的吸引力增大，动量减 小。 对液体，分子之间的吸引力是决定性因素，所以液体 的粘性随温度升高而减小； 对于气体，分子之间的热运动产生动量交换是决定性 因素，所以，气体的粘性随温度升高而增大。 17 牛顿粘性定律（牛顿粘性假设） 假设：“流体两部分间的阻力，同这两部分彼此分开的速度成 正比”。即在图中，粘性切应力为 d d u y 上式称为牛顿粘性定律，它表明： 粘性切应力与速度梯度成正比； (2)比例系数称动力学粘性系数。 牛顿在自然哲学的数学

7、原理(1687)中指出： 相邻两层流体作相对运动时存在内摩擦作用,称为粘性力。 18 当流体粘性很小，且相对速度不大时，流体的粘性力对 流动的作用就不重要甚至可以略去，这种不考虑粘性的 流体称为理想流体。 理想流体的概念 d d u y 19 3、压缩性 。 按压缩性，通常可把流体分为 不可压缩流体 可压缩流体 20 在常温常压的条件下液体压缩性很小，大多数情况下可以 看作不可压缩流体来处理； 气体的压缩性明显比液体大，通常需要看作可压缩性流体 来处理; 不同流体的压缩性： 21 流体模型分类 22 实际流体是由大量的流体分子组成的，而 流体分子之间存在空间间隙。对于这种由离散 分子构成的真实

8、流体，如何研究它的运动？ 二、流体的连续介质假设宏观理论模型 23 若以单个分子单个分子为研究对象，由于其运动的随机性，相应的物 理量（如分子速度）随时间作随机变化随时间作随机变化，由于分子间存在间 距，则物理量在空间上存在不连续性空间上存在不连续性。 若研究对象扩大到包含大量分子的流体团包含大量分子的流体团，则流体团物理性 质表现为其中所有分子的统计平均特性。只要分子数足够大， 统计平均值在时间和空间是连续时间和空间是连续，这种特性成为流体团的宏 观特性。 流体的微观和宏观特性 24 流体团 的体积 流体团分子 速度的统计 平均值 流体团的宏观特性 25 微观足够大，其统计平均可以反映稳定的

9、宏观值的大量 的流体分子所组成的流体微团称之为流点。 流点的特性： 流点的线尺度大于分子运动的线尺度； 宏观上充分小，流点的线尺度小于流体运动的线尺度。 注意：流点、流体微团、流体微元 26 把由离散分子构成的实际流体看成是由无数流点 没有间隙连续分布构成的，这就是流体连续介质假设。 对于气象学或者大气科学，除高层稀薄大气外，通常 是将大气当作连续介质来考虑的。在50公里左右的高空大 气，仍然可以作为连续介质；在更高的地方，大气就不能 看作连续介质。 27 流体力学研究是以流体微团（流体元）或者流点 作为研究对象，以流体的连续介质模型作为基本假设， 在此基础上再考虑流体的流动性（形变性）、压缩

10、性、 粘性等特性，并由此来研究流体运动及流体与固体之 间相互作用的。 流体力学的研究思路 28 第二节流体的速度和加速度 一、描写流体运动的两种方法 一个实际流体问题：河水流动的描述问题？ 以河道中的某一个流点作为研究对象，跟踪流点的运 动，测量并得到其运动状况，如果采用同样的方法，对 河道中所有的流点进行跟踪测量，那么就可以得到整个 河道中流动的流速分布，从而对河水的流动作出正确的 描述； 29 针对河道中的某一固定的空间点，测量出该空间点 每一时刻的流动速度，进而通过测量不同空间点河水 的流动速度，最终得到整个河道中河水的流动情况。 30 1、拉格郎日(Lagrange)方法 （质点的观点

11、或随体观点） 着眼于流点，描述每一个流点自始至终的运动过程和 它们的运动参数随时间的变化规律；综合所有流体质 点运动参数的变化规律，得到了整个流体的运动规律。 个别流点的运动特征整个流体运动特征 31 2、欧拉(Euler)方法 （场的观点） 又称局地法，着眼于空间点，是从分析流场中每一个 空间点上的流点的运动着手，研究流点通过固定空间 点时的运动参数随时间的变化规律，如果每一个空间 点的流体运动都已知，就可以知道整个流体的运动状 态。 个别空间点运动特征整个流体运动特征 32 33 流点和空间点是两个截然不同的概念， 空间点指固定在流场中的一些点，空间点的 速度指某时刻某流体质点正好流过此空

12、间点 的速度。 34 1、Lagrange变量 考虑确定的参考系，取流点的位 置矢径为 ，且可以表示为： r r O x y z 35 假定某一流点的初始时刻 位置位于点： tzyxrr, 000 tzyxzz tzyxyy tzyxxx , , , 000 000 000 )( 000 zyx， 则该流点不同时刻的位置矢径为 ，可以表示为： 0 t r 分量形式： 其中：变量x,y,z为Lagrange变量。 36 tzyxww tzyxvv tzyxuu , , , 流速矢量是空间点和时间的函数: tzyxVV, 分量形式： 变量u,v,w为Euler变量。 37 tzyxww tzyxv

13、v tzyxuu , , , tzyxVV, 分量形式： 上式通常称为流场。 38 若某时刻流场不随空间变化-均匀流场； 反之，为非均匀场； 若流场不随时间变化-； 反之，为非定常（不稳定）场。 tzyxVV, 39 tzyxzz tzyxyy tzyxxx , , , 000 000 000 tzyxww tzyxvv tzyxuu , , , 40 Lagrange观点下有： tzyxzz tzyxyy tzyxxx , , , 000 000 000 据速度的定义，求它们随时间的变化率（流点速度）即： tzyxr t tzyxV tzyxz t tzyxw tzyxy t tzyxv t

14、zyxx t tzyxu , , , , 000000 000000 000000 000000 ，或者 41 000 000 000 , , , u xyzt v xyzt w xyzt 上式有如下含义： Lagrange观点 000000 000000 000000 , , , u x y z tx x y z t t v x y z ty x y z t t w x y z tz x y z t t ， 42 000 000 000 , , , u xyzt v xyzt w xyzt 000 000 000 , , , , , , , , , u xyz tu x y z t v xy

15、z tv x y z t w xyz tw x y z t Euler观点 43 000 000 000 , , , , , , , , , , , , , , , u x y z tu x y zt v x y z tv x y zt w x y z tw x y zt 000000 000000 000000 , , , , , , , , , u x y z tx x y z t t v x y z ty x y z t t w x y z tz x y z t t ？ tzyxzz tzyxyy tzyxxx , , , 000 000 000 44 例1-2-1 已知Lagrange

16、变量 ， 将其转换为Euler变量 。 0 0 0 t t t xx e yy e zz e 45 Lagrange变量 Euler变量的具体方法： 利用Lagrange变量，对时间 t 求偏导数，求解各流点的流 速； 在速度表达式中，将Lagrange参数（x0,y0,z0 ）转换为 （x,y,z ） ，即可得到Euler变量。 46 例1-2-2 已知Lagrange变量 ， 将其转换为Euler变量 。 t t xae yb bt zce 47 把x,y,z当作t 时刻某流 点所达到的位置，此时为 t的函数； 2、Euler变量转化为Lagrange变量 tzyxww tzyxvv tz

17、yxuu , , , Euler观点下，对于固定的时间 t ： ttztytxww ttztytxvv ttztytxuu ),(),(),( ),(),(),( ),(),(),( 转换 48 wdtdz vdtdy udtdx / / / tccczz tcccyy tcccxx , , , 321 321 321 0000 (2),( , , )(,)ttx y zxyz 123 ,c c c消去 （1）求解微分方程组： Euler变量 Lagrange变量的具体方法： tzyxzz tzyxyy tzyxxx , , , 000 000 000 49 例1-2-3已知用Euler变量表

18、示的流场速度分布为 ,yux v 试求在t=0时刻位于（1,1）的流体质点的Lagrange变量。 50 例1-2-4已知用Euler变量表示的流场速度分布为 ,1uxt vy 试求在t=0时刻位于（2,1）的流体质点的Lagrange变量。 51 四、流体的加速度 速度表达式为Euler变量，其流体的加速度的表示方法？ , , , d aV x y z t dt tzyxww tzyxvv tzyxuu , , , 52 ttztytxVV, dt dz z V dt dy y V dt dx x V t V dt Vd Euler观点的流体加速度 , , , d aV x y z t dt

19、 53 ijk xyz dt dz z V dt dy y V dt dx x V t V dt Vd k dt dz j dt dy i dt dx kwj viuV dVV VVVV dttt 54 上式适用于任意物理量，包括如力、速度、位移等矢量， 以及如温度、气压等标量。 d V dtt 55 d V dtt 56 微商算符 的常用形式： ( )( )V t ( )0 d dt ( )( ) d tdt 0V 普通情况下： 物理量的局地变化由两部分组成，个别变化和平流变化。 d V tdt d V dtt 57 这种流动称为，此时，流场不随时间 变化或者说流速的局地变化为零，流场与时间

20、无关，仅仅 是空间的函数。 0 V t 问题：定常流体运动的加速度为零？ 58 dVV VV dtt 。 59 例题1-2-5已知流体运动的速度场如下，分别求流体运 动的加速度；并说明各种情况下产生加速度的原因。 axv ayu （a为常数）； tyv txu2 （m、n为常数）； ntv mtu 60 习题1-2-1 如图所示，已知A、B两地相距3600公里，假定 A地某时刻的温度为10度，而B地的温度为15度(假定A、B 之间的气温是线性分布) ，并且由A向B的气流速度为10米 /秒。 如果流动过程中空气的温度保持不变，问24小时后B地 的温度将下降多少度？ 由于流动过程中空气的温度的变化

21、为2.5度/天，则24小 时后B地的温度变化又将如何？ 3600 61 习题1-2-2 已知流场为 ，该流场中 温度的分布为 ，其中A为已知常数， 求初始位置位于 的流点温度随时间的变 化率。 , , uxt vyt wzt )/( 2222 zyxAtT ,xa yb zc 2 2 222 2 (1) / () t Att dT dt abc e 62 第三节 迹线和流线 流体运动的几何图象？ 直观和形象地描述流体的运动情况 迹线和流线的概念 引入 63 它描绘了某一确定流点在不同时刻所处的空间位置和 运动方向。 64 tzyxrr, 000 参数方程 迹线 消去参数 t 65 例1-3-1

22、 假设流体运动的Lagrange变量为： 0 0 12 0 2 0 cos x y tgtyxx 0 0 12 0 2 0 sin x y tgtyxy 0 zz )( 2 0 2 0 22 yxyx 0 zz 解：消去参数 t ，即可得迹线方程： 求迹线方程？ 66 问题：若已知欧拉变量的流点速度场tzyxVV, 如何求流点迹线？ 67 dt tzyxw dz tzyxv dy tzyxu dx , dttzyxVrd, dttzyxwdz dttzyxvdy dttzyxudx , , , 根据速度定义，流点在时间 dt 内在迹线上的位移： 注意：上式中 t 是独立变量，x、y、z 是 t

23、 的函数： 这就是迹线的微分方程，它表明了流体迹线上各点的切向 正好与某时刻到达该点的流点的速度矢量方向相吻合。积 分上式并消去 t 即可以得到迹线方程。 68 欧拉观点：采用流线来描述流动情况的空间分布。 69 70 流线：在某一固定时刻，曲线上的任意一点流速方 向与该点切线方向相吻合，这样的曲线称为流线。 注意：流线只反映流速方向，而不能反映流速大小。 71 式中x、y、z、t为四个相互独立的变量，积分时将t 作常数处理。 tzyxw dz tzyxv dy tzyxu dx , 积分 流线 设 为流线的线元矢量：rd 72 例1-3-2 流体运动由Euler变量表示为： 其中 k 为常数

24、： （1）求流线； （2）请问同一地点不同时刻流速是否相同？同一流点不 同时刻的流速是否相同？ (3) 求出 t =0时刻，过点（a，b，c）的迹线。 0,wkyvkxu 73 流管的概念（补充）： 流线形成的管状的曲面称之为流管。 流管的形状与位置，在定常流动中不随时间 变化;而在非定常流动中，一般将随时间改变。 74 迹线和流线有关系？ 迹线（拉格朗日观点） 流线（欧拉观点） 75 76 迹线和流线是两个不同的概念，通常情况 下，二者的表现形式（物理图象）是存在 差异的。 流线 t tt 迹线 77 下列有关迹线、流线的描述正确吗？ 定常流动 迹线和流线重合 迹线和流线重合 定常流动 定常

25、流场 流线不随时间变化。 流线不随时间变化 定常流场。 78 第四节速度分解 经典力学中，质点的速度只有平移速度 经典力学中，刚体的速度有平移和旋转速度 79 流动性和压缩性等 0 ()() RD V MV MVV 80 Tailor展开的简单回顾： . ! 3 )( ! 2 )( ),(),( 3 3 32 2 2 x x ux x u x x u txutxxu ),(txuu xx x x ),(txu),(txxu ? (, )( , ) u u xx tu x tx x 81 选择参考点 及邻近一点 )( 0000 zyxM，)( 000 zzyyxxM ， )( 0000 zyxM

26、， )( 000 zzyyxxM ， 222 zyxr ),()( 0000 tzyxVMV， ),()( 000 tzzyyxxVMV ， 82 将 以参考点速度 作Tailor展开：(x方向为例)(MV )( 0 MV .)()( 0 z z u y y u x x u MuMu 0 ()() uuu u Mu Mxyz xyz 83 z z u y y u x x u MuMu )()( 0 z x w 2 1 z x w 2 1 y x v 2 1 y x v 2 1 z x w z u y x v y u x x u MuMu 2 1 2 1 )()( 0 y y u x v z x

27、 w z u 2 1 2 1 11 A 12 A13 A y z 84 x w z u A x v y u A x u A 2 1 , 2 1 , 131211 y u x v x w z u zy 2 1 , 2 1 )()()( 1312110 yzzAyAxAMuMu zy 定义: 85 z z v y y v x x v MvMv )()( 0 z y w 2 1 x y u 2 1 z y w z v y y v x y u x v MvMv 2 1 2 1 )()( 0 z z v y w x y u x v 2 1 2 1 21 A 22 A23 A z x y方向作类似处理：

28、86 z z w y y w x x w MwMw )()( 0 y z v 2 1 x z u 2 1 z z w y z v y w x z u x w MwMw 2 1 2 1 )()( 0 x x w z u y z v y w 2 1 2 1 31 A 32 A 33 A x y z方向作类似处理： 87 )()()( )()()( )()()( 3332310 2322210 1312110 xyzAyAxAMwMw zxzAyAxAMvMv yzzAyAxAMuMu yx xz zy 0 DM VAr 0 RM Vr 0 ()V M 88 1 2 3 ij AAij（） ， 33

29、3231 232221 131211 AAA AAA AAA A 233211 311322 122133 1 2 1 2 1 2 wvu AAA yzx uwv AAA zxy vuw AAA xyz ， ， ， 89 1 2 111 222 ijk xyz uvw wvuwvu ijk yzzxxy 90 于是，可将速度写为: 0 ()() RD V MV MVV 0 RM Vr 亥姆霍兹速度分解定理：流体微团的运动可分解 为平动速度、转动线速度和变形运动引起的变形 线速度三部分。 其中： 0 DM VAr 91 0 RM Vr zkyjxir zyx kji xyz ijk r xyz

30、92 0 DM VAr 111213111213 212223212223 313233313233 (, , ) AAAAAAx AAAyxyzAAA zAAAAAA 93 流点的速度分析不同刚体，它只适用于很靠近的范围， 且出现了形变线速度。 刚体运动：转动是作为一个整体来进行的； 流体运动：流点的转动角速度仅是一个局地量，流体域 内各点可以以不同的角速度转动。 94 例1-4-1 已知流场： 其中 m为常数，计算坐标原点O 附近点 的转动线速度和形变线速度。 )( 0000 zyxP， mwmyvmxu, O )( 0000 zyxP， r kzjyixr 000 0 DM VAr 0

31、RM Vr 95 第五节 涡度、散度和形变率 0 ()() RD V MV MVV 0 RM Vr 0 DM VAr 引进其他的物理量，表 征流点在运动过程中的 各种特征。 流点运动 位置变化 形状大小变化 流点自身还可以滚动旋转。 96 V 定义涡度矢为矢量微商符 和速度矢 的矢性积，即： V 涡度的定义 ijk wvuwvu Vijk xyzyzzxxy uvw CurlVrotV 97 首先引入速度环流的概念 涡度的物理意义 V dl 称为速度环流，记作 。 在流体中 ，沿闭合曲线 对该闭 合曲线上的流速分量求和： l l l V 98 l V l V l V 表示流体沿闭合曲线流动趋势

32、的程度。 V dl 99 =() lV dl V d Vnd 应用斯托克斯（Stokes）公式，线积分 曲面积分： l d n d 100 00 () () limlim V dVnd Vn dd 0 ()/ lim Vn 101 涡度与流体旋转角速度的关系 2V 102 ()() z vu VVk xy 0w0 y v x u 0 y u x v 二维水平运动： 考虑满足以下条件的流体运动 103 0 vu xy 0 y v x u 0 v x 0 u y 104 OA B OA B A B r r vu xy ()2 z vuv V xyx 105 与涡度有关的几个问题： A 直线有旋运动

33、 B 无旋圆周运动 C 有旋圆周运动 106 特别说明： 流体涡度是一个局地概念； 流点作圆周运动相当于围绕原点的“公转”； 而流体涡度反映的则是流点自身的“自转”。 107 定义散度为矢量微商符 和速度矢 的数性积，即： V uvw DV xyz 散度的定义 108 FV dV nd 为了说明散度的概念及意义，引入流体通量F 散度的物理意义 为流体中的任一封闭曲面 109 流体散度即为单位体积的流体通量 当曲面面元向内无限收缩时，即体积元趋向于零： 00 / limlim V ddVddV 0 / lim VF 应用奥高公式，将以上曲面积分转化为体积分，则有： dVdV 110 流体净流出

34、源(辐散) 流体净流入 汇(辐合) 0V 0V 场的观点 若流体中的任一封闭曲面为几何面时： 散度的物理意义一： 111 封闭曲面向外膨胀 封闭曲面向内收缩 0 V 0 V 流体中的任一封闭曲面为流点组成的物质面时： 体现了流体体积的变化 散度的物理意义二： 112 取体积为 的小正方体，其单位体积的体积变率 （体胀速度）： zyx zyx dt d zyx 1 V 体胀速度 散度物理意义三：散度也是度量流点体积膨胀或收缩的 一个量，反映单位体积的流点体胀速度。 x y z 113 流点可以看作既大又小的流体微团，它不但会转动和 发生体积的膨胀、收缩，而且还会发生形变。 流体的形变包括：法形变

35、（轴形变）和切形变（剪形 变）。 114 法形变率（线形变率）：即单位长度的速度变化率（单 位长度单位时间内的伸长和缩短率)。 x =0 u)(Mu x 0 u)(Mu M O M O 115 散度，其实就是一种形变，称为体形变，散度的三个部 分，分别表示了沿三个坐标轴伸长和缩短的形变率，称 为轴形变或法形变。 二维平面流动： 二维散度面积形变 2h uv DVV xy 116 2332 3113 1221 1 2 1 2 1 2 wv AA yz uw AA zx vu AA xy 切形变是指流体质点线间夹角的相向改变率。 117 0w0 y v x u 0 y u x v 考虑满足以下条件

36、的流体运动 118 OA B OA B A B r r 0 y u x v 119 形变张量 333231 232221 131211 AAA AAA AAA A 对称矩阵 120 习题1-5-1已知流体二维速度场为 ，分别计 算涡度和散度。 22 2 uxy vxxy 习 题 121 , , 0uy vx w 习题1-5-2已知流体速度场分别为： 2222 , , 0 yx uvw xyxy 分别判断上述流体运动是否有旋、是否有辐散和形变？ （1） （2） 122 第六节第六节 速度势函数和流函速度势函数和流函 数数 速度势函数 速度流函数 二维流动的表示 123 定义（速度势函数的引入）

37、流体运动 无旋流动 涡旋流动 0V 否则，则称之为涡旋流动： 0V 如果在流体域内涡度为零，即: 无旋流动； 124 据矢量分析知识，任意一函数的梯度，再取旋度恒等于零： 0 所以，对于无旋流动，必定存在一个函数 满足如： tzyx, V 函数 称为速度的（位）势函数，可以用这个函数来 表示无旋流动的流场。通常将无旋流动称为有势流动或势流。 tzyx, V 125 V 注意： 126 由流速场与势函数的关系可知： V 对于某一固定时刻 为一空间曲面，称为等势函数面或者等位势面。 , ,x y z tC 127 例1-6-1 已知流体作无旋运动，对应的等势函数线分布如 图所示（其中， ）的，请判

38、断并在图 中标出A、B两处流体速度的方向，并比较A、B 两处流速的大小。 012 V 128 假如流体的散度为： 根据势函数的定义有： 其中， 为三维拉普拉斯算子。 可以看出，如果给定D，通过求解泊松（Poisson）方程 ，即可求得势函数。 z w y v x u D D 2 2 2 2 2 2 2 2 zyx 129 定义 0V 0V 无辐散流 辐散流 流体运动 引入流体散度的概念之后，可将流体运动分为： 130 0/ , 0 yvxu tyxvvtyxuu w 考虑二维无辐散流动，即满足： 引入函数, ,x y t 流速与该函数满足： x v y u , 131 x v y u , kV 流速与流函数的关系式 矢量形式： 132 kV 133 134 同样，