高一数学知识点汇总讲解大全(二)

1、高中数学知识点汇总（高一）高中数学知识点汇总（高一）1一、集合和命题2二、不等式4三、函数的基本性质6四、幂函数、指数函数和对数函数12（一）幂函数12（二）指数 & 指数函数13（三）反函数的概念及其性质14（四）对数 & 对数函数15五、三角比17六、三角函数 . 24一、集合和命题一、集合：（1）集合的元素的性质：确定性、互异性和无序性；（2）元素与集合的关系： aAa 属于集合 A ； a A a 不属于集合 A （3）常用的数集：N自然数集； N *正整数集； Z整数集；Q有理数集； R实数集；空集； C复数集；Z正整数集；Q正有理数集； R正实数集Z负整数集Q负有理数集R负实数集（

2、4）集合的表示方法：集合有限集列举法；无限集描述法例如：列举法： z, h, a, n, g ；描述法： x x1 （5）集合之间的关系： AB 集合 A 是集合 B 的子集；特别地， AA ； ABA C BCA B A B 或集合 A 与集合 B 相等；A B AB集合 A 是集合 B 的真子集例：NZQRC ； NZQRC空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集（6）集合的运算：交集：AB x xA且xB集合A 与集合B 的交集；并集： A补集：设B x xA或xU 为全集，集合BA 是 U集合 A 与集合 B 的并集；的子集，则由 U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A

3、在全集U中的补集，记作 CUA 得摩根定律：CU ( A I B)CUA U CU B ； CU ( A U B)CU A I CU B（7）集合的子集个数：若集合 A 有 n(nN * ) 个元素，那么该集合有2n 个子集； 2n1个真子集； 2n1个非空子集；2n2 个非空真子集二、四种命题的形式：（1）命题：能判断真假的语句（2）四种命题：如果用和 分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示和的否定，那么四种命题形式就是：命题原命题逆命题否命题逆否命题表示形式若，则若 ，则； 若，则 ；若，则 逆命题关系原命题逆命题逆否命题否命题否命题关系原命题否命题逆否命题逆命题逆否命题关系原命题逆否命

4、题逆命题否命题同真同假关系（3）充分条件，必要条件，充要条件：若，那么叫做的充分条件，叫做的必要条件；若且，即，那么既是的充分条件，又是的必要条件，也就是说，是的充分必要条件，简称充要条件欲证明条件是结论的充分必要条件，可分两步来证：第一步：证明充分性：条件结论；第二步：证明必要性：结论条件（4）子集与推出关系：设 A 、B 是非空集合，A x x具有性质 ， B y y具有性质 ，则AB 与等价结论：小范围大范围；例如：小明是上海人小明是中国人小范围是大范围的充分非必要条件；大范围是小范围的必要非充分条件二、不等式一、不等式的性质：1、 ab,bcac ；2、 abacbc ；3、 ab,c

5、0acbc ；4、 ab, cdacb d ；不等式的性质11 ；5、 a b 0, c d0ac bd ； 6、 a b 0 0ab7、 a b 0a nbn (n N * ) ；8、 a b 0n an b (n N * ,n 1) 二、一元一次不等式：一元一次不等式 ax ba 0a0a0b0b0解集bxbRxaa三、一元二次不等式：ax 2bx c 0(a 0) b 24ac0 b 24ac0 b24ac 0的根的判别式yax2bxc(a0)ax2bx c 0(a 0) x , x2 ， xx2 x0 11ax 2bxc0(a0)(, x1 ) U (x2 ,)(, x0 )(x0 ,

6、)Rax 2bxc0(a0)( x1 , x2 )ax 2bxc0(a0)(, x1 U x2 ,)RR2 x , x x0 axbx c 0(a 0)21四、含有绝对值不等式的性质：（1） a b ab a b ；（2） a1a2ana1 a2an 五、分式不等式：（ ） ax b(axb)(cxd) 0； （ 2） ax b0(axb)(cxd) 0 10cxdcx d六、含绝对值的不等式：x axaxaxaa 0a0a 0a0a 0 a 0a0a 0 a 0a 0a x ax a或xaRaxax0x a或x aR七、指数不等式：（1） a f ( x)a ( x) (a 1)f ( x)

7、( x) ； （ 2） a f ( x)a ( x) (0 a 1)f ( x)( x) 八、对数不等式：（1） logaf (x)log a( x)(a1)(x) 0；f (x)( x)（2） logaf (x)log a( x)(0a1)f (x)0f (x)( x)九、不等式的证明：（1）常用的基本不等式： a 2b22ab( a、 bR ，当且仅当 ab时取“”号 ) ； abab (a、 bR，当且仅当 ab 时取“”号 ) ；2补充公式：a2b2abab22211ab a 3b3c33abc(a、 b、 cR ，当且仅当 abc 时取“”号 ) ； ab c3 abc (a、 b、

8、 cR，当且仅当 abc 时取“”号 ) ；3 a1a2ann a1 a2an (n 为大于 1 的自然数， a1 , a2 , anR ，当且仅当na1a2an 时取“”号 ) ；（2）证明不等式的常用方法：比较法；分析法；综合法三、函数的基本性质一、函数的概念：（ ）若自变量对应法则 f因变量 y ，则 y 就是x的函数，记作yf (x), x D；1xx 的取值范围 D函数的定义域； y 的取值范围函数的值域求定义域一般需要注意： y1， f ( x)0； yn f (x) ， f ( x)0 ；f ( x) y( f ( x)0 ， f ( x)0 ； ylog a f ( x) ，

9、f ( x)0； ylog f ( x) N ， f ( x)0 且 f ( x)1（2）判断是否函数图像的方法：任取平行于y 轴的直线，与图像最多只有一个公共点；（3）判断两个函数是否同一个函数的方法：定义域是否相同；对应法则是否相同二、函数的基本性质：（1）奇偶性：函数yf (x), x D“定义域 D 关于 0 对称”成立“定义域 D 关于 0 对称”；“ f (x) f ( x) ”； “ f (x)f ( x) ”前提条件f ( x) f ( x)f ( x)f ( x)成立成立成立不成立 或者、都不成立奇偶性偶函数奇函数奇偶函数关于 y 轴对称关于 O(0,0) 对称非奇非偶函数图

10、像性质注意： 定义域包括 0 的奇函数必过原点 O(0,0) （2）单调性和最值：前提条件单调增函数单调减函数最小值 yminf ( x0 )最大值 ymaxf ( x0 )y f ( x), xD ， ID ，任取 x1, x2 区间 Ix1x2或 x1x2f ( x2 )f (x1 )f (x2 )f ( x1 )x1x2或 x1x2f (x2 )f (x1 )f ( x2 )f ( x1 )任取 xD , 存在 x0D , f (x)f (x0 )任取 xD ,存在 x0D , f (x)f ( x0 )注意：复合函数的单调性：函数单调性外函数 yf (x)ZZ内函数 yg (x)ZZ复

11、合函数 yf g (x)ZZ如果函数yf ( x) 在某个区间 I 上是增（减）函数，那么函数yf (x) 在区间 I 上是单调函数，区间 I 叫做函数 yf ( x) 的单调区间 （3）零点：若 yf ( x), x D ， cD 且 f ( c)0 ，则 xc 叫做函数 yf (x) 的零点零点定理 ：yf ( x), xa,b存在 x0(a,b)f ( x), x a, b 是单调函数 ，f (a) f (b)0f (x0 )0；特别地，当 y且 f (a) f (b)0 ，则该函数在区间 a,b 上有且仅有 一个零点，即存在唯一 x0(a,b) ，使得 f (x0 ) 0 （4）平移的

12、规律：“左加右减，下加上减” 函数向左平移 k向右平移 k向上平移 h向下平移 h备注yf ( x)yf (x k )yf ( x k)y hf ( x)y hf ( x)k, h 0（5）对称性：轴对称的两个函数：函数yf ( x)对称轴x 轴y 轴yxyxx myn函数yf ( x)yf ( x)xf ( y)xf ( y)yf (2m x)2n yf (x)中心对称的两个函数：函数对称中心函数y f ( x)( m, n)2n yf ( 2mx)轴对称的函数：函数y f (x)对称轴y 轴xm条件f (x)f (x)f ( x)f (2 mx)注意： f (ax)f (bx)f (x)

13、关于 xa b 对称；2f (ax)f (ax)f (x) 关于 xa对称；f (x)f ( x)f (x) 关于 x 0对称，即 f (x) 是偶函数中心对称的函数：函数yf (x)对称中心(m, n)条件f ( x)2nf (2 mx)注意： f (ax)f (bx)cf (x) 关于点 ( ab , c ) 对称；22f (ax)f (bx)0f (x) 关于点 ( ab ,0) 对称；2f (ax)f (ax)2bf ( x) 关于点 (a, b) 对称；f (x) f (x)0f (x) 关于点 (0,0) 对称，即 f (x) 是奇函数（6）凹凸性：设函数 y f ( x), xD

14、 ，如果对任意 x1, x2D ，且 x1x2 ，都有 fx1x2f ( x1 )f ( x2 ) ，则称22函数 yf ( x) 在 D 上是凹函数；例如： y x2 进一步，如果对任意x1, x2 ,LxnD ，都有 fx1x2Lxnf ( x1 )f( x2 )Lf (xn ) ，则称函nn数 yf ( x) 在 D 上是凹函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式；设函数 y f ( x), xD ，如果对任意 x1, x2D ，且 x1x2 ，都有 fx1x2f ( x1 )f ( x2 ) ，则称22函数 yf ( x) 在 D 上是凸函数例如： y lg x 进一步，如果对任意x1

15、, x2 ,LxnD ，都有 fx1x2Lxnf ( x1 )f( x2 )Lf (xn ) ，则称函nn数 yf ( x) 在 D 上是凸函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式（7）翻折：函数翻折后yf ( x )yf ( x)yf (x)yf ( x )yf (x)翻折过程将 yf ( x) 在 y 轴右边的图像不变，并将其翻折到y 轴左边， 并覆盖 将 yf ( x) 在 x 轴上边的图像不变，并将其翻折到x 轴下边， 并覆盖 第一步：将 yf ( x) 在 y 轴右边的图像不变，并将其翻折到左边，并覆盖；第二步：将 x 轴上边的图像不变，并将其翻折到x 轴下边， 并覆盖 将 yf (

16、 x) 在 x 轴上边的图像保持不变，并将x 轴下边的图像翻折到x 轴上边，不覆盖 （8）周期性：若 yf ( x), xR ，T0， 任取 xR ，恒有 f ( xT)f ( x) ，则称 T 为这个函数的周期注意：若 T 是 yf ( x) 的周期，那么 kT (kZ ,k0) 也是这个函数的周期；周期函数的周期有无穷多个，但不一定有最小正周期 f ( xa)f ( xb) ， abf ( x) 是周期函数，且其中一个周期Tab ；（阴影部分下略） f (x)f ( x p) ， p 0T2 p ； f (x a)f ( x b) ， a b T2 a b ； f (x)1或 f ( x)

17、1， p 0T2 p ；f ( xf (x p)p) f (x)1 f ( x p) 或 f ( x)f (xp) 1 ， p 0T2 p；1 f ( x p)f (xp) 1 f (x)1 f ( x p) 或 f ( x)f (xp) 1 ， p 0T4 p；1f ( xp)f (xp)1 f (x) 关于直线 xa ， xb ， ab 都对称T2 ab ； f (x) 关于两点 ( a, c) ， (b, c) ， ab 都成中心对称T2 ab ； f (x) 关于点 (a, c) ， a0 成中心对称，且关于直线xb ， ab 对称T 4 a b ；若 f ( x)f (xa)f (

18、x2a)Lf (xna )m（ m 为常数， n N * ），则 f ( x) 是以 (n 1)a为周期的周期函数；若 f ( x)f (xa)f ( x2a)Lf ( xna )m （ m 为常数， n 为正偶数），则 f ( x) 是以2( n1)a 为周期的周期函数三、 V函数：定义形如ya xmh(a0) 的函数，称作V 函数 分类ya xmh, a0ya xmh, a0图像定义域R值域 h,)(, h对称轴xm开口向上向下顶点(m, h)在 (,m 上单调递减；在 (,m 上单调递增；单调性注意在 m,) 上单调递增当 m在 m,0时，该函数为偶函数) 上单调递减四、分式函数：定义形

19、如 yxa (a 0) 的函数，称作 分式函数 x分类yxa ,a 0 （耐克函数 ）yxa , a 0xx图像定义域(,0) U (0,值域(, 2a U 2a, )渐近线x0， y在 (,a ， a ,) 上单调递增；单调性在 a,0) ， (0, a 上单调递减五、曼哈顿距离：在平面上， M ( x1, y1 ) ， N ( x2 , y2 ) ，则称 d x1x2y1六、某类带有绝对值的函数：)Rx在 (,0) ， (0,) 上单调递增；y2 为 MN 的曼哈顿距离1、对于函数 yxm ，在 xm 时取最小值；2、对于函数 yxmxn ， mn ，在 x m, n 时取最小值；3、对于

20、函数 yxmxnxp ， mnp ，在 xn 时取最小值；4、对于函数 yxmxnxp xq ， m n pq ，在 x n, p 时取最小值；5、推广到 yxx1xx2Lxx2n ， x1x2Lx2n ，在 x xn , xn 1 时取最小值；yxx1xx2Lxx2n 1 ， x1x2Lx2 n 1 ，在 xxn 时取最小值思考：对于函数 yx12 x3 x2 ，在 x _时取最小值四、幂函数、指数函数和对数函数（一）幂函数（1）幂函数的定义：形如yxa (aR) 的函数称作幂函数，定义域因a 而异（2）当a0,1时，幂函数yxa (aR) 在区间 0,) 上的图像分三类，如图所示（3）作幂

21、函数 yxa ( a0,1) 的草图，可分两步：根据 a 的大小，作出该函数在区间 0, ) 上的图像；根据该函数的定义域及其奇偶性，补全该函数在( ,0 上的图像（4）判断幂函数 yxa (a R) 的 a 的大小比较：方法一： yxa ( aR) 与直线 xm(m1) 的交点越靠上， a 越大；方法二： yxa ( aR) 与直线 xm(0m 1) 的交点越靠下， a 越大（5）关于形如 yaxb(c 0) 的变形幂函数的作图：cxdd 、 ya ；作渐近线（用虚线） ： xcc选取特殊点：任取该函数图像上一点，建议取(0, b ) ；d画出大致图像：结合渐近线和特殊点，判断图像的方位（右

22、上左下、左上右下）（二）指数 & 指数函数1、指数运算法则：a xa yax yx yxy； (a b)xxx；( a ) xax，其中( a, b 0, x、 y R)； (a )aabbbx2、指数函数图像及其性质：/ya x (a 1)y a x (0a 1)图像定义域R值域(0,)奇偶性非奇非偶函数渐近线x 轴单调性在 (,) 上单调递增；在 (,) 上单调递减；指数函数 ya x 的函数值恒大于零；指数函数 ya x 的图像经过点 (0,1) ；性质当 x0 时， y 1；当 x 0时， 0 y1；当 x0 时， 0 y 1当 x 0时， y 13、判断指数函数 yax 中参数 a

23、的大小：方法一： yax与直线 xm(m0) 的交点越靠上， a 越大；方法二： yax与直线 xm(m0) 的交点越靠下， a 越大（三）反函数的概念及其性质1、反函数的概念：对于函数yf (x) ，设它的定义域为D ，值域为A ，如果对于A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，且满足yf ( x)，这样得到的x 关于y 的函数叫做yf ( x)的反函数，记作xf 1 ( y) 在习惯上，自变量常用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为yf1( x)( xA) 2、求反函数的步骤：（“解”“换”“求”）将yf ( x) 看作方程，解出xf ( y) ；将x 、y 互换

24、，得到yf1( x)；标出反函数的定义域（原函数的值域）3、反函数的条件：定义域与值域中的元素一一对应4、反函数的性质：原函数yf ( x) 过点(m, n)，则反函数yf1 ( x)过点(n, m)；原函数yf ( x) 与反函数yf 1 (x) 关于yx 对称，且单调性相同；奇函数的反函数必为奇函数5、原函数与反函数的关系：/函数yf (x)yf1 ( x)定义域DA值域AD（四）对数 & 对数函数1、指数与对数的关系：abNa bN指数幂底数log a N b对数真数2、对数的运算法则： log a 10 ， log a a1 ， alog a NN ；常用对数 lg Nlog10 N

25、，自然对数 ln Nlog e N ； log a (MN ) log a Mlog a N ， log aMlog a M log a N ， log a M nn log a M ；N logb Nloga N ， log a b1， log an bmm log a b， log ac bclog a b ， alog N bblog N a log a blog b an3、对数函数图像及其性质：/y log ax(a1)ylog a x(0 a 1)图像定义域(0,)值域R奇偶性非奇非偶函数渐近线y 轴单调性在 (0,) 上单调递增；在 (0,) 上单调递减；对数函数 ylog a

26、x 的图像在 y 轴的右方；对数函数 ylog a x 的图像经过点 (1,0) ；性质当 x1时， y0；当 x1时， y0 ；当 0x1 时， y0 当 0x1 时， y04、判断对数函数ylogax, x0 中参数a 的大小：方法一：ylog ax, x0 与直线ym( m0) 的交点越靠右，a 越大；方法二：ylog ax, x0 与直线ym(m0) 的交点越靠左，a 越大五、三角比1、角的定义：（ 1）终边相同的角： 与 2k , k Z 表示终边相同的角度；终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；与 k, kZ 表示终边共线的角（同向或反向） （ 2）特殊位置的角的集合的表

27、示：位置在 x 轴正半轴上在 x 轴负半轴上在 x 轴上在 y 轴正半轴上在 y 轴负半轴上在 y 轴上在坐标轴上在第一象限内在第二象限内在第三象限内在第四象限内（ 3）弧度制与角度制互化：角的集合2k, kZ2k, kZk, kZ2k2, kZ2k3,kZ2k, kZ2k, kZ2 2k2k, kZ22k2k, kZ22k2k3, kZ22k32,kZ2k2rad180 ； 1rad180 ； 1rad 180（ 4）扇形有关公式：l ；r弧长公式： lr ；1 lr1扇形面积公式： Sr 2 （想象三角形面积公式） 22（ 5）集合中常见角的合并：x 2kx 2kx2k2x2k2x2k4x52k4x32k4x2k4xkkx2xk2kx, kZxk4kx24xk4（ 6）三角比公式及其在各象限的正负