028.解直角三角形的应用(B)要点

1、一、选择题15方向的A处，若B在C的北偏东601. （ 2014山东省临沂市，13, 3分）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西 渔船沿北偏西75方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达 C处，在C处观测到 方向上，贝U B，C之间的距离为（）A . 20海里B . 10 3海里C . 20 2海里D . 30海里北第13题图【答案】C2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空题1. （2014浙

2、江省嘉兴市，13,5分）如图，在地面上的点 A处测得树顶B的仰角为a度，AC=7米，则树高BC为米【答案】7tan a2. （2014年浙江舟山，12, 4分）如图，在地面上的点 A处测得树顶B的仰角为a度，AC=7米，则树高BC为 7tan a米（用含a的代数式表示）B考点：解直角三角形的应用一仰角俯角问题.菁优网版权所有分析：根据题意可知 BC丄AC,在RtAABC中，AC=7米，/ BAC= a,利用三角函数即可求出BC的高度.解答：解: v BC丄 AC, AC=7 米，/ BAC= a,=tan a BC=AC?tan a=7tan a （米）.故答案为：7tan a.5.6.7.8

3、.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.三、解答题1. （2014年福建省漳州市，21, 10分）将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容（结器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入图2是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器内牛奶的高度果精确到0.1cm）.（参考数据：3 ： 1.73, .2 T.41）【答案】 解：过点P作EF丄AD交AD于点E,交BC于点F.设BF=x. / BAD = / AEF = Z ABC=90o

4、.矩形 AEFB. AE=BF=x.在 Rt BPF 中,/ BFP=90o,/ BPF=30o. tan / BPF=BL,. PFX3x .PFtan30在 RtAAEP 中，/ AEP=90o,/ APE=90o-/ BPF=60o,PE=8- ,3xAEtan / APE= ,PE二 =i3，化简得 x=8 73 -3x.解得 x=2 p3 3.5（cm）. BF=3.5（cm）8 -、3x容器内牛奶的高度 =CF=9-BF=5.5（cm）.答:容器内牛奶的高度为 5.5（cm）B两艘巡逻船，现均收到60方向上，船C在船B2. （2014湖北黄冈市，23, 7分）（7分）如图，在南北方

5、向的海岸线MN上，有A、 故障船C的求救信号已知A、B两船相距100 （、3 + 1）海里，船C在船A的北偏东 的东南方向上，MN上有一观测点 D，测得船C正好在观测点D的南偏东75方向上.（2）已知距离观测点（参考数据:（1 ）分别求出A与C, A与D间的距离AC和AD （如果运算结果有根号，请保留根号）D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C,在去营救的途中有无触礁的危险?、2 1.41C在 RtAACE 中，/ AEC=90 , / EAC=60, “ AE-AC =cos60【答案】 解：如图，过 C作CE丄AB于E.设AE=a海里，则DE=AB AE=100 （ 、

6、. 3+1）- a （海里）.=2a海里，CE=Aetan60 ,3a 海里.12在 RtABCE 中,BE=CE.a= , 3 a. a=100 海里 AC=2a=200 海里.在 AACD 和ABC 中，/ ACB=180 - 45 60 =75 = / ADC ,/ CAD=Z BAC, AACD sAABC.ADACACABAD 200200 一 100(,3 1) AD=200 ( . 3-1) 答: A与C间距离为200海里，A与D间距离为200 (. 3-1)(2)如图，过D作DF丄AC于F.在 RtAADF 中，/ DAF =60. DF =ADsin 60 =200 (、3-

7、1)=100 ( 3.3) 12T 1002船A沿直线AC航行，前往船C处途中无触礁危险M3. (2014年湖北省郴州市，22, 6分)某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到 求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援。当飞机到达距离海面3000米的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为 60,测得B处发生险情渔船的俯角为 30。请问：此时渔政船和渔船相 距多远？(结果保留根号)CBI【答案】解：如图，作 CD丄AB,垂足为D在RtA BCD中/ B=30 CD=3000CD厂二 BD=0=3000 .3tan 30在RtA ACD中/ CAD=

8、60 CD=3000CD纭二 AB=0 =1000 . 3tan 60 AB= BD- AB= 3000 .、3 -1000 , 3 =2000 . 3答：此时渔政船和渔船相距2000 3米4. （2014年湖北省鄂州市，21, 9分）（本题满分9分）小方与同学一起去郊游，看到一棵大树斜靠在一小土坡上，他想知道树有多长，于是他借来测角仪和卷尺如图，他在点C处测得树AB顶端A的仰角为30，沿着CB方向向大树行进10米到达点D,测得树AB顶端A的仰角为45,又测得树AB倾斜角/ 1=75.（1） （5分）求AD的长；（2） （4分）求树长 AB.A第21题图【答案】解：(1)如图，过 A作AH丄C

9、B于H,设AH=x, CH3x, DH=x./ CH DH=CD ,、.3 x x=10,. x= 531 ./ ADH =45 , AD=血 x= 5+5血.(2)如图，过B作BM丄AD于M ./ 1=75 , / ADB=45 ,DAB=30 .设 MB=m,. AB=2m, AM=、3m, DM =m./ AD=AM+ DM , 5. 6 5 2 = . 3m + m. m= 5 2 . AB=2m=10、2 .A第21题答图5. （ 2014广东省珠海市，17, 4分）（本题满分7分）如图，一艘渔船位于小岛 M的北偏东45方向、距离小岛180海里的A处,渔船从A处沿正南方向航行一段距离

10、后，到达位于小岛南偏东 60方向的B处.(1) 求渔船从A到B的航行过程中与小岛 M之间的最小距离(结果用根号表示)；(2) 若渔船以20海里/小时的速度从 B沿BM方向行驶,求渔船从B到达小岛M的航行时间(结果精确到0. 1小时).(参考数据：. 2 ：-1.41, . 3 ：1.73 6 ： 2.45)第17题图第17题图【答案】解：(1)过M作MD _AB于点D ,在Rt AMD中MD 二 AM cos45 =90 2 小岛M与渔船AB最小距离为90.2海里(2)在 Rt MDB 中MB=60、6cos3060 .6 “20 =3.6 =3 2.45 =7.35 : 7.4渔船到达小岛M

11、的航行时间约7.4小时C,6. ( 2014江苏省淮安市，24, 8分)为了一棵倾斜的古杉树 AB进行保护，需测量其长度，在地面上选取一点 测得/ ACB=45, AC=24m,Z BAC=66.5,求这棵古杉树 AB的长度(结果取整数)参考数据：.2 -1.414,sin66.5: 0.92,cos66.5 ： 0.40,tan66.5 : 2.30第24题【答案】解：作 BD丄AC于D由/ ACB=45。知， BDC为等腰直角三角形BD=CD设 CD=x,贝U BD=x , AD=(54-x)m 亠 人亠丄 八 BDx在 Rt ABD 中，tan A=-AD 54 x54 -x即 tan

12、66.5 二一x 解得 x=37.6,所以 sin mA 二 BD AB ABx=41答：这棵古杉树 AB=41m.7. （2014贵州省黔东南州，22, 10分）（10分）黔东南州某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一 副三角板测量学校的旗杆，小明站在B点测得旗杆顶端 E点的仰角为450，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为300。已知小明和小军相距（BD 6米，小明的身高（AB）1。5米，小军的身高（CD 1.75米，求旗杆的高EF的长。（结果精确到0.1,参考数据：.2=1.41 ， 、3=1.73.【答案】解：:过点C作CM丄EF于点M，过点A作AN丄EF于点N，如图所示。则四

13、边形 CDFM和四边形ABFN都是矩形，由题意可知： / EAN =45 o，/ ECM = 30 o, MF = CD=1.75，NF = AB =1.5 ， CM=FD ，AN =FB设 EF=x，贝U EM = x-1.75，EN = x-1.5，在 Rt AEN 中，AN=EN X cot45 = x-1.5在 Rt CEM 中，CM=EM X cot30 = (x-1.75) X 73 FD= CM (x-1.75) X , 3 ,FB= AN= x-1.5/ FD FB =BD (x-1.75) X 3 - (x-1.5)=6解之得x=10.3答：旗杆的高EF的长为10.38. (

14、2014甘肃省陇南市，22, 8分)为倡导 低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具、图(1)所示的是一辆自行车的实物图.图(2)是这辆自行车的部分几何示意图， 其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm, 且它们互相垂直， 座杆CE的长为20cm .点A、C、E在同一条只显示， 且/ CAB=75 (参考数据：sin75 0.966, cos750.259, tan753.732)(1 )求车架档AD的长；(2 )求车座点E到车架档AB的距离(结果精确到 1cm).考点：解直角三角形的应用.分析：(1)在Rt ACD中利用勾股定理求 AD即可.(2)过点E作EF丄AB，在RT EFA

15、中，利用三角函数求 EF=AEsin75 即可得到答案. 解答：解：(1)t 在 Rt ACD 中，AC=45cm , DC=60cm AD= J45+6严=75 (cm)，车架档AD的长是75cm;(2)过点E作EF丄AB，垂足为F,/ AE=AC+CE= (45+20) cm, EF=AEsin75 (45+20) sin75 62.7835弋3 (cm),车座点E到车架档AB的距离约是63cm .点评：此题主要考查了勾股定理与三角函数的应用，关键把实际问题转化为数学问题加以计算.9. (2014湖南省怀化市，21, 10分)两个城镇 A、B与两条公路 ME、MF位置如图所示，其中 ME是

16、东西方向 的公路.现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇 A、B的距离相等，到两条公路ME、 MF的距离也必须相等，且/ FME的内部.(1) 那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C (不写已知、求作、作法，只保留作图 痕迹);(2) 设AB的垂直平分线交 ME于点N，且MN=2(1)km，在M处测得点C位于点M的北偏东60方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45方向，求点 C到公路ME的距离.AME第21题图解：(1 )如图所示，点(2)分别作过点M ,则/ PMC=60 , / CNQ=45 ,/ GMC=90 - 60 =30 , / CNG=90

17、 45 =45.设 CG=xkm，贝U NG=x km , MG = j3x km , MN =（、3+1）xkm./ MN=2( ,3 1)km, (、3+1)x=2( .3 1).解得 x=2.即点C到公路ME的距离为2km10. (2014甘肃省天水市，19，9分)根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时.已知测速站点 M距离羲皇大道I (直线)的距离 MN为30米(如图所示).现有一辆汽车由秦州向麦 积方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，/ AMN=60 ，/ BMN=45 .(1) 计算AB的长.(2) 通过计算判断此车是否超速 .M【

18、答案】 解在Rt BMN和Rt AMN中,/ AMN =60。，/ BMN=45 AN=、3MN , BN=MN ,/ MN=30 AB=AN+BN = 30 30 3ABt30 30 一 36=(5 5.3)米/秒而60千米/小时=一米/秒3T 5 5.3 : 503所以没有超速11. （2014年海南省，22, 9分）（满分9分）如图6, 艘核潜艇在海面 DF下600米A点处测得俯角为30 正前方的海底 C点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1464米到B点处测得正前方 C点处的俯角为45 .求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据：2 ： 1.414,3 :-1.732,

19、5 2.236 ）D 海面F图6 C【答案】解：过点C作CM丄DF于M，交AB于点N ,则 CM 丄 AB, MN=DA=600在 Rt ANC 中，AN= CN = , 3 CNtan30 在 Rt BNC 中，BN= CN =CN，ta n45 AB=AN-BN= 3CN- CN=（ 3 - 1）CN，J3 +11 732+1 CM=CN+MN=AB+MN一X1464+600P600 （米）2 2答：海底C点处距离海面 DF的深度约为2600米.12. （2014年湖南省湘潭市19, 6分）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道.为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工.为了使山的另一

20、侧的开挖点 C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L ,过点B作一直线(在山的旁边经过)，与L相交于D点，经测量/ ABD=135 BD=800米，求直线L上距离D点 多远的C处开挖？(讥羽.414，精确到1米)考点：勾股定理的应用.分析：首先证明 BCD是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得CD专题：综合题；探究型.+BC2=BD2，然后再代入BD=800米进行计算即可.解答：解：T CD丄AC , CB=CD ,2 2 2在 Rt DCB 中：CD +BC =BD ,2 22CD =800 ,CD=400: 566 （米），答：直线L上距离D点566米的C处开挖.点评：此题主要考查了

21、勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问 题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图领会数形结合的思想 的应用.13. (2014年湖南省湘潭市 25, 8分) ABC为等边三角形，边长为 a, DF丄AB , EF丄AC ,(1) 求证： BDF CEF ;(2) 若a=4,设BF=m，四边形ADFE面积为S,求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取最大值；_(3) 已知A、D、F、E四点共圆，已知tan/ EDF=Z，求此圆直径.2考点：相似形综合题；二次函数的最值；等边三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形.分析：(

22、1)只需找到两组对应角相等即可.(2) 四边形ADFE面积S可以看成 ADF与厶AEF的面积之和，借助三角函数用m表示出AD、DF、 AE、EF的长，进而可以用含 m的代数式表示S,然后通过配方，转化为二次函数的最值问题，就可以 解决问题.(3) 易知AF就是圆的直径，利用圆周角定理将/EDF转化为/ EAF .在 AFC中，知道tan/ EAF、/ C、AC,通过解直角三角形就可求出AF长.解答：解：(1)t DF 丄 AB , EF 丄 AC ,/ BDF= / CEF=90 ABC为等边三角形，/ B= / C=60/ BDF= / CEF,/ B= / C, BDFCEF.(2 )T/

23、 BDF=90 / B=60 sin60 翌=1, cos60=昱=丄BF 2 DF=_m,2/ AB=4 ,BD=.2/ BF=m ,同理：S aef= AE?EF-m)=-7m2+2 .o AD=4 - sa adf=AD ?DF=-x (4-) x -m2 2 22(m - 4m - 8)(m- 2) 2+3:. 其中0v mv 4. ( m - 2) 2+3；二(其中 0v mv 4)=SAADF+SaAEF =-.m2+ m+2 二).当m=2时，S取最大值，最大值为 3:. S与m之间的函数关系为：当m=2时，S取到最大值，最大值为 3:.(3) 如图2, A、D、F、E四点共圆,

24、 / EDF= / EAF ./ ADF= / AEF=90 AF是此圆的直径./ tan/ EDF仝-；,2 tan / EAF=_:2=.EA 2/ C=60 =tan60 7.EF=二x， EA=2x .EC 设EC=x，则 t AC=a, 二 2x+x=a .2 AE= |.二 AF= 1.|畀=七.此圆直径长为一3(7点评:本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定理、等边三角形的性质等知识，综合性强利用圆周角定理将条件中的圆周角转化到合适的位置是解决最后一小题的关键.14. （2014年天津市22, 10分）解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁.（I）如图，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m,从AB的中点C处开启，则AC开启至A C 的位置时，A C的长为m;（n）如图，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长 PQ,在观景平台M处测得/ PMQ=54 沿河岸MQ前 行，在观景平台 N处测得/ PNQ=73 已知PQ丄MQ , MN=40m，求解放桥的全长 PQ （tan54能4, tan73浜3, 结果保留整数）.考点：解直角三角形的