线性代数知识点

1、线性代数(经管类)考点逐个击破第一章行列式(一) 行列式的定义行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上 表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.1二阶行列式由4个数aij(i, j =1,2)得到下列式子:ai1ai2称为一个二阶行列式，其运算规a21 a22则为aiiai2=aiia22 一 &12&21a21 a222.三阶行列式aiiai2ai3由9个数ajj (i, j =1,2,3)得到下列式子:a21a22a23a31a32a33称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线 法，我们采用递归法，为此先要

2、定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念3. 余子式及代数余子式aiiai2ai3321a 22a23331a 32a 33设有三阶行列式d3 =对任何一个元素aij，我们划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素例如a22a23,M 21 =ai2ai3M31 =ai2ai3a32a33a32a33a22a23aij的余子式，记成M ij，称Aj为元素aij的代数余子式.MijM11 -再记Aij =(-1)宀例如Ai = Mii,A21=M21 ,A31那么，三阶行列式D3定义为aiiai2ai3D3 =a21a22a23a31a32a33我们把它称为

3、D3= aiiAii +a2iA2i +a3iA3i(iVSiiMii按第一列的展开式，经常简写成33D3ailAili 4i 二4. n阶行列式一阶行列式Di=aii=aiiai1ai2ai nn阶行列式a21a22a2nan1 an2 ann=ai1 All + a21 A21 + a n1 An1其中Aj（i, j =1,2,in，n）为元素aij的代数余子式5.特殊行列式上三角行列式耳10III0ai2a22IH0Ill川IIIIIIai na2nHI-aiia22ill annF三角行列式对角行列式（二）行列式的性质aiia2iIIIan1耳10III0a22IHan2IIIIIIH

4、IIIIa22HI0III川HIIII性质1行列式和它的转置行列式相等,ann0IIIann0Itlann=aiia22 ( H ann=aiia22ill ann性质2用数k乘行列式D中某一行也就是说，行列式可以按行和列提出公因数性质3互换行列式的任意两行（列）推论1如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零.推论2如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零（列）的所有元素所得到的行列式等于，行列式的值改变符号.kD，性质4 行列式可以按行（列）拆开 .性质5把行列式 D的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行 （列）的对应元素上去，所得的行列式仍为

5、D.定理1 （行列式展开定理）n阶行列式D = aj n等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即 D =ai1A1 +ai2A2 +An （i =12，n）或 D =aijA,j+a2jAzj+anjAnj（ J 二1,2,n）前一式称为D按第i行的展开式，后一式称为D按第j列的展开式.本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值定理2 n阶行列式D = aij n的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即ai1Ak1 +ai2Ak2 + ain Ak 0（Ht k）或 aij As + a2 j A2s + anj

6、 Ans = 0（ j 工 S）（三）行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法:（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时 要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（-1）,在按行或按列提取公因子k时，必须在新的行列式前面乘上k.（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：元素可以把这一列其它两个非零元素化为0,然后按第二列展开.例1计算行列式 D4-1解：观察到第二列第四行的元素为0，而且第二列第一行的元素是a =1，利用这个

7、2 14 12 14 15 6 23-1212行+1x1行5 0 6 2、“，口卄按第二列展开-1-5 05 2 3 23行+ (2)x1 行1 05 07 2 57 0 2 57 0 2 5f厶xJ3125D4 =+ 5x1 列按第二行展开313737=815例2计算行列式 D4解：方法1这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为 文字可能取 0值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为 a +3b （我们把它称为行和相同行列式），我们可以先把后三列都加到第一列上去，提 出第一列的公因子+ 3b，再将后三行都减去第一行:a+3ba+3ba+3ba+3

8、b= (a+3b)=(a + 3b)a b=(a +3b)(a-b)3a-b方法2观察到这个行列式每一行元素中有多个构造一个与D4b我们采用“加边法”来计算，即是1bbbb1bbbbabbb0abbb /-1a-b000babb1 行XJ)l2,3,4,5行0babb=-10a-b00bbab0bbab-100a-b0bbba0bbba-1000a-b有相同值的五阶行列式:D4 =“箭形”则原行列式的值为零,=b，a故不妨假设a工b，行列式，如果1把后四列的倍加到第一列上，可以把第一列的（一 1 ）化为零.a-b这样得到一个即 a b H0，.4b1 +ab0a-bab，M（a-b）4 =（a

9、 +3b）（a-b）3I a b 丿a-b例3三阶范德蒙德行列式V3Xi2XiX22X2X32X3=（X2 X1）（X3 -X1）（X3 -X2）（四）克拉默法则n个方程的n元线性方程组为定理1 （克拉默法则）设含有11X1 +a12X2 +i| +a1nXn =b1,821X1+822X2+111 +a2nXn =b2,IIIIIIHIIIIIIHIIIIHIIIIIIHan1X1 +an2X2 中川 +annXn =bn如果其系数行列式 D =aj n HO，则方程组必有唯一解:Xj牛，j =1,2，,n其中Dj是把D中第j列换成常数项bi,b2,，bn后得到的行列式把这个法则应用于齐次线

10、性方程组，则有定理2设有含n个方程的n元齐次线性方程组a11X1 中 a12X2 11 + a1nXn = 0, a21X1 +a22X2 +川 +a2nXn =0,I HIIIHIIIIIIIIHIHIHHIIIHan1X1 +an2X2 +川 +annXn =0=Xn =0如果其系数行列式 D H0，则该方程组只有零解：洛=X2 =换句话说，若齐次线性方程组有非零解，则必有D = 0，在教材第二章中，将要证明,n个方程的n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.第二章矩阵（一）矩阵的定义1. 矩阵的概念由mxn个数aj （i =1,2,，m; j =1,2,n）排成的一个

11、m行n列的数表aiiai2aina2ia22 a2n ami am2 amn j称为一个 m行n列矩阵或m X n矩阵当m=n时，称A =（aij h为n阶矩阵或n阶方阵元素全为零的矩阵称为零矩阵，用Om沖或0表示2. 3个常用的特殊方阵:n阶对角矩阵是指形如aii0 00 a22 0的矩阵0ann丿n阶单位方阵是指形如En =的矩阵10 0T丿n阶三角矩阵是指形如3.矩阵与行列式的差异矩阵仅是一个数表，而aiiai2 aina22 a2n100ann缶00 a2i a220n , k为任一个数，则规定kA = (kaj)mn故数k与矩阵A的乘积就是 A中所有元素都乘以 k,要注意数k与行列式

12、D的乘 积，只是用k乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同.矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律.设 A =(aij )m逑，4 .乘法运算B=(bj)k：n，则规定 AB = (q )mn其中 Cj HEj + ai2b2j + + aik bkj(i 2,m; j =1,2,，n)由此定义可知，只有当左矩阵 A的列数与右矩阵 B的行数相等时，AB才有意义， 而且矩阵AB的行数为A的行数，AB的列数为B的列数，而矩阵AB中的元素是由左矩阵 A中某一行元素与右矩阵 B中某一列元素对应相乘再相加而得到 .故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同，一般地： 不满足交换律，即 AB H BA

13、在AB =0时，不能推出 A = 0或B = 0，因而也不满足消去律.特别，若矩阵 A与B满足AB = BA，则称A与B可交换，此时 A与B必为同阶 方阵.矩阵乘法满足结合律，分配律及与数乘的结合律.5. 方阵的乘幕与多项式方阵设A为n阶方阵，则规定Am =m个特别A = E又若 f(X)=amXm +am斗Xmd +in+a1x+a0，则规定f (A) =amAm +am 屛mSA + aoE称f (A)为A的方阵多项式，它也是一个n阶方阵6. 矩阵的转置设A为一个mxn矩阵，把A中行与列互换，得到一个nx m矩阵，称为 A的转置矩阵，记为 at，转置运算满足以下运算律:(aT)t =A,

14、(A + B)t =At +Bt , (kA)T=kAT , (AB)T = BTAT由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义 设A为一个n阶方阵，若A满足At = A，则称A为对称矩阵，若A满足AT = - A ,则称A为反对称矩阵.7.方阵的行列式矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于n阶方阵，有方阵的行列式的概念n,称为方阵设A = (aj)为一个n阶方阵，则由A中元素构成一个n阶行列式ajA的行列式，记为 A方阵的行列式具有下列性质：设A, B为n阶方阵，k为数，则kA =kn|A(三) 方阵的逆矩阵1. 可逆矩阵的概念与性质设A为一个n阶方阵，若存在另一个 n 称为A的逆矩阵，且说

15、A为一个可逆矩阵，意指阶方阵B,使满足AB = BA = E，则把B A是一个可以存在逆矩阵的矩阵， 把A的逆矩阵B记为A 4，从而A与A J首先必可交换,且乘积为单位方阵E.逆矩阵具有以下性质：设 A, B为同阶可逆矩阵，k H0为常数，则A4是可逆矩阵，且(A J A ；AB是可逆矩阵，且(AB)- = B一A一 ；kA是可逆矩阵，且(kA)/ =-AkA是可逆矩阵，且/ aT、4.七T(A )=(A )可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即AP = BP- A = B设P为可逆矩阵，则PA = PB - A = B2. 伴随矩阵设A = (aj)为一个n阶方阵，Aj为A的行列式ajn中元素a

16、ij的代数余子式，则矩阵*AiiA21 Ani、A12 A22 An2称为A的伴随矩阵，记为A* (务必注意A*中元素排列(AinA2n Ann 丿的特点)伴随矩阵必满足*IAA = A A = AE=|A(n为A的阶数)3. n阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法定理:n阶方阵A可逆二推论:设A, B均为n阶方阵，且满足 AB = E，则A, B都可逆，且 A，=A设 Ta；(1)求A的伴随矩阵A*(2)a, b, c, d满足什么条件时， A可逆？此时求 A，解:(1)对二阶方阵A,求A*的口诀为“主交换，次变号”即Id矩阵此时(2)由 A=ad -be，故当 ad -be HO时，即A_d -b

17、ad -bclc a 丿Jc分块矩阵1.分块矩阵的概念与运算对于行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常用一些贯穿于矩阵的横 线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块，以子块为元素的形式上的 矩阵叫做分块矩阵.在作分块矩阵的运算时，加、减法，数乘及转置是完全类似的，特别在乘法时，要 注意到应使左矩阵 A的列分块方式与右矩阵 B的行分块方式一致，然后把子块当作元 素来看待，相乘时 A的各子块分别左乘 B的对应的子块.2.准对角矩阵的逆矩阵形如的分块矩阵称为准对角矩阵，其中A1, A2/- ,A均为方阵空白处都是零块.若Ai,A2,A都是可逆矩阵，则这个准对角矩阵也可逆，并且%

18、 、AA2+J=A2+J、-A丿、一A；（五）矩阵的初等变换与初等方阵1.初等变换交换A的某两行（列）；用一个非零数 k乘A的某一行（列）； 把A中某一行（列）的 k倍加到另一行（列）上.对一个矩阵 A施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为 初等变换，（1）（2）（3）注意：矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号 连接，而对矩阵施行初等变换是变换过程用“T ”连接前后矩阵.初等变换是矩阵理论中一个常用的运算，而且最常见的是利用矩阵的初等行变换把 矩阵化成阶梯形矩阵，以至于化为行简化的阶梯形矩阵.2.初等方阵由单位方阵E经过一次初等变换得到的矩阵称

19、为初等方阵T (k)，容易证明，初等方阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵还是同一类的初等方阵3. 初等变换与初等方阵的关系设A为任一个矩阵，当在A的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对A作同类型的初等行变换；在A的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对A作同类型的初等列变换.4. 矩阵的等价与等价标准形若矩阵A经过若干次初等变换变为B,则称A与B等价，记为A三B对任一个mxn矩阵A，必与分块矩阵价标准形.即对任一个 m咒n矩阵A，必存在E O2n阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵 Q,使得。丿等价，称这个分块矩阵为A的等5. 用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵设A为任一个n阶可逆矩阵，构造 nx 2n矩阵(A, E)

20、然后 （A,E）t （E,A）注意：这里的初等变换必须是初等行变换214 的逆矩阵r12 -4丿解:f1 -1 3 101価 行f（A,E Ai 2- 1 4 0 1 Ot-2- 4 0 0丿11-1IT2行X什行 A2行空_1孑行 T 0|0I10V 0曲行行 （0T i丿1 I0-0-42 一1、A，=-1 2一1 1丿n阶方阵A满秩吕A可逆，即存在B，使AB = BA = E例3 求解矩阵方程1 -1 31 1、解：令A =2-14,B =4 3日2 -4J 2，则矩阵方程为矩阵，是可逆的，在矩阵方程两边左乘A，得AX = B，这里A即为例2中丫1 1、13 0I4 3=2 5A1 2丿

21、卩24-12AB4 2 -113-11也能用初等行变换法,1-1311、00030、(A, B)=2-1443T010252-41200102勺0、=A B =251。2丿A，而直接求不用求出X-(EAB)(六)矩阵的秩1.秩的定义设A为mx n矩阵，把A中非零子式的最高阶数称为A的秩，记为秩(A)或r(A)#113、q 1、2 -1 4X =4 3厂1 2 一4丿V1 2丿零矩阵的秩为0,因而0秩(A)minm,n,对n阶方阵A，若秩(A) =n，称A为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵2.秩的求法由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数，又矩阵初等变换不改变矩阵的秩对任一个矩阵 A,只要用初等行变

22、换把 A化成阶梯形矩阵 T,则秩(A)=秩(T)=T中非零 行的行数.3.与满秩矩阵等价的条件A非奇异，即A H 0A的等价标准形为EA可以表示为有限个初等方阵的乘积 齐次线性方程组 AX =0只有零解 对任意非零列向量 b，非齐次线性方程组 AX = b有唯一解向量组线性无关A的行（列）A的行（列）向量组为 Rn的一个基任意n维行的线性组合，且表示法唯一（列）向量均可以表示为A的行（列）向量组（七）线性方程组的消元法aiiXi +ai2X2 + +ainXn =bi+a22x2 +a2nXn =b2 对任一个线性方程组2i i 22 22am1X1*am2x2+amnX bm可以表示成矩阵形

23、式 AX =b，其中A = （aij）m4i为系数矩阵，b = （bi,b2,，bm）T为常数列矩阵，X =（Xi,X2,，Xn）T为未知元列矩阵.从而线性方程组 AX = b与增广矩阵A = （A, b） 一一对应.对于给定的线性方程组，可利用矩阵的初等行变换，把它的增广矩阵化成简化阶 梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解.第三章向量空间（一） n维向量的定义与向量组的线性组合1. n维向量的定义与向量的线性运算由n个数组成的一个有序数组称为一个n维向量，若用一行表示，称为 n维行向量，即1xn矩阵，若用一列表示，称为 n维列向量，即nxl矩阵与矩阵线性运算类似，有

24、向量的线性运算及运算律2.向量的线性组合设a02,，am是一组n维向量，k1,k2- ,km是一组常数，则称如1 +k2a2 + kmCtm为01,02,，Ctm的一个线性组合，常数 匕*2,，km称为组合系数.若一个向量P可以表示成P =皿1卄2叫+kmam则称P是g 2 .的线性组合，或称P可用.口2 .am线性表出.1)2)1)2)解：考虑方程组 x1a1 +X2a2 +X3a3 =0X1% +X2a2+xmam = P有解，且每一个解就是一个组合系数3.矩阵的行、列向量组设A为一个mx n矩阵，若把 A按列分块，可得一个m维列向量组称之为 A的列向量组.若把A按行分块，可得一个 n维行

25、向量组称之为 A的行向量组.4. 线性表示的判断及表出系数的求法.1)2)向量P能用a “.a?,am线性表出的充要条件是线性方程组例 1 问 P = (-1.1.5)t 能否表示成，“1 = (1,2,3) (0.1.4)t , a(2.3.6)T 的线 性组合?对方程组的增广矩阵作初等行变换:彳 0 2 i*10 0 1、(A, P) =(8 ,a2,a3, P)=2 13 1T0 10 2.3 4 6 5 丿0 0 1-1则方程组有唯一解為=1, X2 = 2, x3 = -1所以P可以唯一地表示成的线性组合，且P =% + 25 -3（二）向量组的线性相关与线性无关1. 线性相关性概念

26、设a 1 2 /xm是m个n维向量，如果存在m个不全为零的数k1, k2,km，使k1 +k2a2 +kmam =0，则称向量组 Ct 1, Ct 2m 线性相关，称 *2； ,km 为相关系数.否则，称向量 02,Otm线性无关.由定义可知，1,2,Qm线性无关就是指向量等式krk- +k0当且仅当 k1 =k2 二=km =0时成立.特别单个向量a线性相关二a =0 ；单个向量a线性无关U a H 02. 求相关系数的方法1)2)设,02，m为m个n维列向量，则0102,Fm线性相关一m元齐次线性方程组xx- +x0有非零解，且每一个非零解就是一个相关系数 二矩阵A = （%,口2,，am

27、）的秩小于m例2设向量组W =（2, 1,7）丁,口2 =（1,4,11）丁严3 =（3,6,3）t，试讨论其线性相关性.广213 310 2其系数矩阵A =（0,012,03）=-1 4 -6T0 1 -1卩0 0丿Xi+ 2x3 = 0X3 = 0令X3 = 1，得一个非零解为Xi = 2, X2 = 1, X3 = 1于是，秩（A） =2 .00001丿易见B的秩为4, A的秩为4,从而秩G 1,2,3,4,口5=4，而且B中主元位于第一、二、三、五列，那么相应地235为向量组的一个极大无关组,向量空间1.向量空间及其子空间的定义定义1 n维实列向量全体（或实行向量全体）构成的集合称为实

28、n维向量空间,记作Rn定义2设V是n维向量构成的非空集合，若V对于向量的线性运算封闭，则称集合V是Rn的子空间，也称为向量空间2.向量空间的基与维数设V为一个向量空间，它首先是一个向量组，把该向量组的任意一个极大无关组 称为向量空间V的一个基，把向量组的秩称为向量空间的维数.显然，n维向量空间Rn的维数为n,且Rn中任意n个线性无关的向量都是 Rn的3. 向量在某个基下的坐标设a ，ar是向量空间V的一个基，则 V中任一个向量a都可以用ai,a2,Qr唯一地线性表出，由r个表出系数组成的r维列向量称为向量 a在此基下的坐标.第四章线性方程组(一)线性方程组关于解的结论定理1设AX =b为n元非

29、齐次线性方程组，则它有解的充要条件是r(A,b) =r(A)定理2当n元非齐次线性方程组AX =b 有解时，即 r(A,b) = r(A) = r 时，那定理推论推论(1) AX =b 有唯一解二 r(2) AX =b有无穷多解=n元齐次线性方程组 AX = 0有非零解的充要条件是 r(A) = r V n设A为n阶方阵，则n元齐次线性方程组 AX = 0有非零解u设A为m咒n矩阵，且men，则n元齐次线性方程组必有非零解(二)齐次线性方程组解的性质与解空间首先对任一个线性方程组，我们把它的任一个解用一个列向量表示，称为该方程 组的解向量，也简称为方程组的解 .考虑由齐次线性方程组 AX =0

30、的解的全体所组成的向量集合V = A =0显然V是非空的，因为 V中有零向量，即零解，而且容易证明 V对向量的加法运算及 数乘运算封闭，即解向量的和仍为解，解向量的倍数仍为解，于是V成为n维列向量空间Rn的一个子空间，我们称 V为方程组AX =0的解空间(三)齐次线性方程组的基础解系与通解把n元齐次线性方程组 AX = 0的解空间的任一个基，称为该齐次线性方程组的一 个基础解系.当n元齐次线性方程组 AX = 0有非零解时，即r(A) = r v n时，就一定存在基础解系，且基础解系中所含有线性无关解向量的个数为即为1 -2 31行逬1)+2行10-3 42 行 X-1)+3 行(10-343行址1)+1行1 行-1)+2 行A =3 2-12T1 1 1 -10 14 -51 1 1 -1 丿J 11 -1 丿卫0 0 0丿A，作初等行变换化成简化阶梯形矩阵:有非零解，取x3, X4为自由未知量，可得一般解为求基础解系与通解的方法是：对方程组AX =0先由消元法，求出一般解，再把一般解写成向量形式, 方程组的通解，从中也能求出一个基础解系.2x1 +