高数上册归纳公式篇完整

1、公式篇目录一、函数与极限1. 常用双曲函数2. 常用等价无穷小3. 两个重要极限 二、导数与微分1. 常用三角函数与反三角函数的导数公式2. n阶导数公式3. 高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较4. 参数方程求导公式5. 微分近似计算 三、微分中值定理与导数的应用1. 一阶中值定理2. 高阶中值定理3. 部分函数使用麦克劳林公式展开4. 曲率 四、定积分1. 部分三角函数的不定积分2. 几个简单分式的不定积分 五、不定积分1. 利用定积分计算极限2. 积分上限函数的导数3. 牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理4. 三角相关定积分5. 典型反常积分的敛散性6. r函数（选）六、定积分的应

2、用1. 平面图形面积 2体积3. 弧微分公式 七、微分方程1可降阶方程2. 变系数线性微分方程3. 常系数齐次线性方程的通解4. 二阶常系数非齐次线性方程（特定形式）的特解形式5. 特殊形式方程（选）一、函数与极限sinh,上.ta imi = : 二2cosn3F”十 汰1. 常用双曲函数(sh(x).ch(x).th(x)sinli.v = coshj = 2oshy- sinl?.v=2.常用等价无穷小（X 7 0时）si nA 忑 tfinx 仏1一 CO53 arcsitij “aiciati.T x(1+血1 兀n(l +工)卞a-1t ui (日工一 1戈3.两个重要极限sin,

3、v_.lini=1 linidHlirnfl-h.v)XTYr jV T一 If)二、导数与微分1. 常用三角函数与反三角函数的导数公式(stJiv r= CQSX( COSY Y- siin(tana ) sec ,(coU )=- cscv(sec.r sec.r kitiv,(cscx /=- csc.v coLv(arcsiiu ) =.,(arccoLV )二 V J-A-J 1 -W（arciaru *=iW（凡是“余”求导都带负号/ arccou )=1+3-2.n阶导数公式（e-T=e(0! = 1)r . Oil）!In（低+方）严MfT （-1）z 一 （处+阿|（处+莎；

4、严=/丿（2-1）仗F +】卜（亦特别地若 n(处+for 严=/(/)nnn(ax+b) F sin(cjx+D+ cos(ar+Z?) fccos(ax+b-?3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较（妙严UJk+ck严v+旳忙+c”町 （M+呼=屛十Gt严 叶+C严护十+%戶函数的0阶导数可视为函数本身 4.参数方程求导公式1;盂剂）就yFdx dx /（f）dt心二d 内二H /曲）力 八厂 乔_莎石_莎广/忑5.微分近似计算（I X很小时）/ prg +f (G(F)（注意与拉格朗日中值定理比较）常用：(1+加)叱1 +妙工訂rtv 怎;V、COS.V UX (rad)（与等

5、价无穷小相联记忆）严D1 +x. In(1 +x)fiix三、微分中值定理与导数的应用1.一阶中值定理(f(x)在a,b连续,(a,b)可导) 罗尔定理(端点值相等f (a) f(b)拉格朗日中值定理犬 ea册 J -f()=/()柯西中值定理(g(x)0丰0)2.高阶中值定理(f(x)在(a,b)上有直到(n 1)阶导数)泰勒中值定理vag gb)门)广血(心)/=/ 為)+(F)+ 4(0)坤尺,Rn为余项严H-hf鬥&= ；: CfJ 屮3+1)!(E在x和xo之间)令x00，得到麦克劳林公式加=0)+十严1 (金) &=_ 5十1)!gf)+.+；化”+凡n!3.部分函数使用麦克劳林公

6、式展开(皮亚诺型余项)Slav + +(-1 r+(9(*1)3!S-1)!cosx =1 - 一+十(J厂十讥工知)2!(2m) X-r”宀 1+X+ + +恥”)2!ill*1 山ln(l +%)二；r-一+(一 rI 一 + 曲)2n3A(/t 1) a久(2-1)(2+1)fr.(1 +xy= +抵+F+_屮+0(対)4.曲率K= =P|y-l/l卩+（y）rX=fr/w广（加IK2厂妙+0 (胪四、不定积分1.部分三角函数的不定积分+cj coU dx In I siriY | +Cj si nA dx= COST +C J cosx dx= sijix + C JtaiiY 二-I

7、n I co&TJ sec.: dx= n | secv + lartv | +CJ cscx dx= In I cscj; - coT.v | +C2. 几个简单分式的不定积分J 口+Jdx x-erarctail aIn2aA+Cax-a+Carcsill +CaVf ,卞=1 n(x+ jF+fi- ) +J VPwf 办。= In k十 y/x-a- I + CJ Jx-r五、定积分1.利用定积分计算极限右 b-Qfhliin y 广)=I f(E drMJ”(/?-/+)rt+(/-I)Z? (n-i)a+ib 乙 G fl2.积分上限函数的导数 推广得ddx(r) Hr) hWE

8、W -/MQ WG)3. 牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理（1）牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本公式）/（A）dx=尸何|：=厂（巧-尸也）(2)积分中值定理 函数f(x)在a,b上可积1 pb玄曰诃J二一j)矗f()称为f (x)在a,b上的平均值4. 三角相关定积分jr：If(sinT)h =/(fiiiLV)rfLv=2JTJ ( cos t ) dxi 2/C0S.T)tiTJTj)V(Einx)於-T? /(COS.T ) dx时( gifLX )必=t TTu f ( Mm ) z/r=7r | /(sin.v) dx三角函数系的正交性f sinx dx=0, f cos/rxJ 一

9、 JTJ-JTf sin-r dx二 f cos-fcx d=jri/-jrJ-盯cosfcr cosAvf sin.v siniv dx= J - JTJ -Jir sintx cos/.r dGJ-ji5. 典型反常积分的敛散性(1)无穷限的反常积分f十乂dx=Ji刑(pi)I -pDiver fiance(p0AGn.+co)lim 屮7 =/0A+iSO/gConverge：:nee (/?)Divergence(P 1)推论2/(.v)OAG(OJJJinV- =00A*()3 皿Cp )6.r函数（选）Con verge nee:收敛 Qiverge nee:发散+00I八严dx0

10、（1）递推公式m+1戶推论 r（?7+1）=71!（hGN十）推论：（2）欧拉反射公式（余元公式）when 0j I(V)( I $)=SJIVTJ廿J （丁）-六、定积分的应用1.平面图形面积（1）直角坐标：由曲线y f（X）0及x a, x b与x轴围成图形A=a(2)极坐标:有曲线()及围成图形2体积(1)绕x轴旋转体体积(2)平行截面面积已知的立体的体积平行截面(与x轴垂直)面积为A(x)3.弧微分公式(1)直角坐标：Pa (a) dxJad$= J 1 +(V)违X(2)极坐标:y=p七、微分方程1.可降阶方程(i)yf (x)型n次积分得尸Jn(2) y f(x,y)型作换元Py得

11、 p得通解P(x,Ci)则y(x, Ci)dxJIC2sinvdx，心 +G * +C_jA+Cf (x, p)yf(y,y)型作换元得通解, d pdpdp/,y,y pTT,p f(y,p) dxdxdxdydx(y,Ci)dy(y,Ci)x C22. 变系数线性微分方程P( x)dx(1)一阶线性微分方程：y P(x)y Q(x)对应齐次方程：y P(x)y 0的通解为丫 Ce原方程y P(x)y Q(x)的通解为P (x)dxP(x)dxy ( Q(x)e dx C)e一阶线性非齐次方程的通解等于相应齐次方程的通解和非齐次方程一个特解的和Pni(x)y Pn(x)y Q(x)(2)高阶

12、线性微分方程y(n)P1(x)y(n1)对应齐次方程为y(n) P1(x)y(n1)Pn 1 (x) y Pn(x)y 0若y1(x), y2(x),yn(x)为齐次方程n个线性无关解Cnyn(x)则齐次方程的通解为 丫(X) C1 y1 (x) C2y2 (x)若y *(X)为非齐次方程的一个特解则非齐次方程的通解为 y Y(X)y*(x)3. 常系数齐次线性方程的通解 (1)二阶方程 y py q 0特征方程为r2 pr q 00，两个不等实根r1b厂h2b Q2a通解为 yC1er1xC2er2x0,两个相等实根r1通解为y (GC2X)er1x0,对共轭复根r1i,r2i,通解为y e

13、 X(C1 cos xC2sin X)咼阶方程y) Pv)PniyPny特征方程为rnpjrn 1Pn irPn对于其中的根r的对应项实根r一个单实根：一个k重实根：(Cj C2xCkXk1)rx e复根r1,2一对单复根:e x(C1 cos xC2sin X)一对k重复根：e x(C1 C2xCkxk 1)cos X(DiD2xDkxk 1)sin x通解为对应项之和4. 二阶常系数非齐次线性方程(特定形式)的特解形式y py qy f (x),对应的特征方程为r2 pr q(1) f (x) e xPm(x)Pm(x)为 x 的 m 次多项式特解形式为y*xkQm(x)e x k 0(非特征根)1(为特征单根)2(为特征重根)Qm(x)是X的m次多项式 f (x) exR(x)cosx Pn(2) (x) si n xP|(1)(x), Pn(2)(x)分别为 x 的l,n 次多项式特解形式为 y*xkQm(x)cos X Rm(x)sin xe x m maxl,n ,Qm(x), Rm(x)为 x 的 m 次多项式k0（z非特征根）1（z为特征复根）5.特殊形式方程（选）（1）伯努利方程dydxP(x)y Q(x)yn (n 0,1)令zy1dydx dz dxP(x)y1 n Q(x)(1 n)y 穿得通解z乎(1n)P (x)z(1 n)Q(x)(x,C)1(x,C