2014届高考数学一轮检测精讲精析（新人教版）：第18讲推理与证明 含解析

1、祝学子学业有成，取得好成绩【考点18】推理与证明2013年考题1.(2013江苏高考）设0,求证：.【解析】本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分10分。证明：因为0,所以0，0,从而0，即。2。（2013山东高考）等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点,均在函数且均为常数）的图像上。（1)求r的值； (11）当b=2时，记 证明:对任意的 ，不等式成立【解析】因为对任意的，点，均在函数且均为常数的图像上。所以得,当时，当时,又因为为等比数列,所以,公比为,（2）当b=2时, 则,所以 . 下面用数学归纳法证明不等式成立.当时，左边=，右边=,因为,所以不等式

2、成立。假设当时不等式成立，即成立.则当时,左边=所以当时,不等式也成立. 。 由、可得不等式恒成立。2012年考题1、(2012安徽高考）设数列满足为实数（）证明:对任意成立的充分必要条件是；（）设,证明：;（）设，证明：【解析】（）必要性：，又，即。充分性：设,对任意用数学归纳法证明.当时，.假设当时，则，且,.由数学归纳法知，对任意成立。（） 设,当时,结论成立；当时，.，由（）知，且，。()设,当时,，结论成立；当时,由（）知，.。2、（2012上海高考)已知数列：,，（是正整数），与数列:，,，(是正整数）记（1）若,求的值；(2）求证：当是正整数时，;（3）已知,且存在正整数,使得在

3、，,，中有4项为100求的值,并指出哪4项为100【解析】（1）.。2分 。4分(2)用数学归纳法证明:当当n=1时，等式成立。6分假设n=k时等式成立，即那么当时，8分等式也成立。根据和可以断定：当.。10分（3）。13分 4m+1是奇数，均为负数, 这些项均不可能取到100. .。15分此时，为100. 18分3、（2012浙江高考）已知数列,，记求证:当时,（）；（）；（）.【解析】（)证明：用数学归纳法证明当时,因为是方程的正根，所以假设当时，因为，所以即当时，也成立根据和，可知对任何都成立(）证明：由，(），得因为，所以由及得， 所以()证明：由，得所以,于是,故当时,，又因为, 所

4、以4、（2012辽宁高考)数列，中，a1=2，b1=4,且成等差数列，成等比数列（)（）求a2，a3,a4及b2,b3，b4，由此猜测，的通项公式,并证明你的结论；()证明:【解析】（）由条件得由此可得猜测用数学归纳法证明:当n=1时，由上可得结论成立假设当n=k时，结论成立，即，那么当n=k+1时，所以当n=k+1时，结论也成立由，可知对一切正整数都成立(）n2时，由（）知故综上，原不等式成立 5、（2012湖南高考） 数列 （）求并求数列的通项公式； ()设证明:当 【解析】()因为所以 一般地,当时，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数

5、列，因此故数列的通项公式为(）由（)知， 得， 所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立。 方法一： (1)当n = 6时，成立。 (2）假设当时不等式成立，即 则当n=k+1时， 由（1)、(2)所述,当n6时，.即当n6时， 方法二：令，则 所以当时，。因此当时，于是当时，综上所述，当时，2011年考题1.(2011北京高考）已知集合其中，由中的元素构成两个相应的集合，,其中是有序实数对，集合的元素个数分别为。若对于任意的，则称集合具有性质.（）检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合写出相应的集合;（）对任何具有性质的集合，证明：；(）判断的大小关系，并证明你的结论。【解析】（）

6、集合不具有性质，具有性质，其相应的集合是；（）首先由中的元素构成的有序实数对共有个，因为，又因为当，所以当,于是集合中的元素的个数最多为,即.（)，证明如下：对于，根据定义如果是中的不同元素，那么中至少有一个不成立，于是与中至少有一个不成立，故与也是中的不同元素.可见中的元素个数不多于中的元素个数，即；对于，根据定义如果是中的不同元素，那么中至少有一个不成立，于是与中至少有一个不成立，故与也是中的不同元素.可见中的元素个数不多于中的元素个数，即。由可知。2.(2011湖北高考）已知m，n为正整数。（）用数学归纳法证明：当x-1时，（1+x）m1+mx；（）对于n6，已知,求证，m=1，2,n；

7、（）求出满足等式3n+4n+(n+2)n=(n+3)n的所有正整数n。【解析】(）证:当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当x1，且x0时,m2,(1+x)m1+mx. (i)当m=2时，左边1+2x+x2，右边1+2x，因为x0,所以x20,即左边右边，不等式成立；（ii）假设当m=k(k2)时，不等式成立，即（1+x）k1+kx,则当m=k+1时，因为x1，所以1+x0.又因为x0，k2，所以kx20.于是在不等式（1+x）k1+kx两边同乘以1+x得（1+x）k(1+x） (1+kx)（1+x)=1+（k+1)x+kx21+（k+1)x,所以(1+x）k+11+（k+1）x，即当mk+1时，不等式也成立.综上所述，所证不等式成立。（）当由（)得0，于是 （)假设存在正整数成立，即有（）+1.又由（）可得（）+与式矛盾，故当n6时,不存在满足该等式的正整数n。故只需要讨论n=1，2，3，4,5的情形;当n=1时，34，等式不成立；当n=2时，32+4252，等式成立；当n=3