角平分线的性质定理及其逆定理

1、角平分线得性质定理及其逆定理学习目标:掌握角平分线得性质；4理及幷逆圧理得证明与简单应用,掌握尺规作图做角平分线,规范证明 步骤。(1)角平分线得性质定理证明：角平分线得性质竝里角平分线上得点到这个角得两边得距离相等。证明角平分线得性质定理时，将用到三角形全等得判宦公理得推论：推论:两角及其中一角得对边对应相等得两个三角形全等-(AAS)推导过程：已知:OC平分ZMON.P就是OC上任意一点FA丄OM.PB丄ON, 垂足分別为点A、点B.求证:PA=PB证明:PA 丄 0 M.PB 丄 ONA ZPAO=ZPBO=90TOC 平分ZMONAZ1 = Z2在PAO *jAPBO 中.PAOMPB

2、OAPA=PB几何表达角得平分线上得点到角得两边得距离相等)如图所示JOP平分ZMON(Zl = Z2)PAdOMPBdON, PA=PB.(2)角平分线性质定理得逆定理：到一个角得两边距离相等得点在这个角得平分线上。推导过程已知:点P就是ZMON内一点,PA丄OM P A.PB丄ON于B但PA=PB 求证:点P在ZMON得平分线上.N证明:连结OP在 RtAPAO 与 R1APBO 中.RtAPAORtAPBO(HL)AZ1 = Z2A OP 平分 ZMON即点P在ZMON得平分线上.几何表达:(到角得两边得距离相等得点在角得平分线上)如图所示,TPA丄OM.PB丄0 NPA=PB Z1 =

3、 Z20P 平分 ZMON)(3)角平分线性质及判定得应用 为推导线段相等、角相等提供依据与思路： 实际生活中得应用.例:一个工厂，在公路西侧到公路得距离与到河岸得距离相等，并且到河上公路桥头得距离为300米在(4)角平分线得尺规作图活动三:观察与思考：尺规作角得平分线观察下面用尺规作角得平分线得步骤(如图)，思考这种作法得依据。A,B两点。由作图可知：OA = OB步骤二:分别以点A.B为圆心以固定长(大于AB长得一半)为半径 画弧，两弧交于点C。由作图可知：AC = BC步骤三:作射线OC则OC就就是ZAOB得平分线。由作图可知:定理,可得.同学们，讨论交流一下，您能说出作图得每一步骤得依

4、据就是什么吗？试用证明得方法说 出作图得正确性。二、【典型例题】例 1、已知:如图所示,ZC=ZC =90 ,AC=AC.求证:(1)ZABC=ZABC;(2)BC = BC(要求:不用三角形全等判定).例2. 如图所示启知ZiABC中.PE#AB交BC于ETF/AC交BC于EP就是AD上一点. 且D点到PE得距离与到PF得距离相等，判断AD就是否平分ZBAC.并说明理山.例3、如图所示已知ABC得角平分线BM,CN相交于点R那么AP能否平分ZBAC?请 说明理山山此题您能得到一个什么结论？例4、如图所示得就是互相垂直得一条公路与铁路,学校位于公路与铁路所夹角得平分线上得 P点处,距公路400

5、m,a分别以公路、铁路所在直线为X轴、y轴建立平面直角坐标系.(1) 学校距铁路得距离就是多少？(2) 请写出学校所在位置得坐标.例5、如图所示，在ABC中,ZC = 90 ,AC = BCDA平分ZCAB交BC于D问能否在AB 上确定一点E使BDE得周长等于AB得长？若能，请作出点E,并给出证明;若不能，请说明理 山练习一一、填空题：1、如1-3LAABC中就是BC得垂直平分线J5E平分ZABC交AD于EEF丄AB.则AB= BF= ;2、已知:如图 132,在 RtAABC 中,Z C = 90 AC = BC. BD 平分 ZABC 交 AC 于 DDE 丄 AB于E若BC = 5,则/

6、）（：得周长为 、二、选择题：1、如图 1-33.A4BCBD 度A、64AE上一点.EF丄数为R60- DD 66。图卜2、给出下列命题：垂宜于同一条直线得两直线平行;三角形得三条角平分线相交于一点； 全等三角形得面积相等：其中原命题与逆命题都就是真命题得共有（）A. 1个B、2个C. 3个三、解答题：如图134,已知:ZVIBC中,ZBAC = 90 .AD丄BC于DAE平分ZD4CF2BC交AC于F,连接BF、求 证:就是ZABC得平分线、【综合练习】已知:如图135ZABC中SB = 24C AD平分ZBAC证:DC丄AC、D、 4个例题答案图Z4例 1、已知:如图所示,ZC=ZC =

7、90 ,AC=AC. 求证:（1）ZABC=ZABC;BC = BC （要求:不用三角形全等判定）.G证明:（1）TZC=ZC =90 （S知）， /.AC丄BC,AC丄BC（垂直得定义）. 乂 TAC=AC（已知），:点A在ZCBU得角平分线上(到角得两边距离相等得点在这个角得平分线上). AZABC=ZABC(2)V ZC=ZCZABC= ZABC；180 -(ZC+ZABC)=180 -(ZU+ZABU)(三角形内角与定理).即 ZBAC=ZBACVAC 丄 BC,AC丄 BC；二BC=EU(角平分线上得点到这个角两边得距离相等).例2. 如图所示，已知ABC中,PEAB交BC于E,PF

8、 AC交BC于EP就是AD上一 点但D点到PE得距离与到PF得距离相等判断AD就是否平分ZBAC并说明理山.解:AD平分ZBAC.VD到PE得距离与到PF得距离相等，二点D在ZEPF得平分线上.AZ1 = Z2.乂 TPEAB,：Z1 = Z3.同理,Z2=Z4.Z3 = Z4,/.AD 平分ZBAC.例3、如图所示，已知ABC得角平分线BM.CN相交于点R那么AP能否平分ZBAC?请 说明理山山此题您能得到一个什么结论？解:AP平分ZBAC.结论:三角形得三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边得距离相等. 理山:过点P分别作BCAC.AB得垂线垂足分别就是E、F、D.VBM就是ZABC得角

9、平分线且点P在BM上/.PD = PE(角平分线上得点到角得两边得距离相等).同理 PF=PE：PD = PEAP平分ZBAC(到角得两边得距离相等得点在这个角得平分线上).例4、如图所示得就是互相垂直得一条公路与铁路,学校位于公路与铁路所夹角得平分线上得 P点处距公路400g现分别以公路、铁路所在直线为X轴、y轴建立平面直角坐标系.(1) 学校距铁路得距离就是多少？(2) 请写出学校所在位置得坐标.解点P在公路与铁路所夹角得平分线上，二点P到公路得距离与它到铁路得距离相等， 乂T点P到公路得距离就是400m.点P(学校)到铁路得距离就是400m.(2)学校所在位置得坐标就是(400,-400).评析:角平分线得性质得作用就是通过角相等再结合垂直证明线段相等.例5、如图所示，在ABC中,ZC = 90 ,AC = BC.DA平分ZCAB交BC于D问能否在AB 上确定一点E使BDE得周长等于AB得长？若能请作出点E并给出证明;若不能请说明理 ill.解:能过点D作DE丄AB于巳则BDE得周长等于AB得长理山如下： TAD 平分ZCAB.DC丄ACQE丄AB,.DC = DE.在 RtAACD j RtAAED 中,，/. RtAACDRtAA