2019-2020学年高中北师大版数学选修2-2学案：4.2微积分基本定理 含解析

1、祝学子学业有成，取得好成绩2微积分基本定理q 火箭要把运载物发送到预定轨道是极其复杂的过程，至少涉及变力做功问题，有诸如“曲边梯形”面积计算、变速直线运动的位移计算等问题,应如何解决？能否将“曲边梯形面积的计算转化为“直边梯形”面积的计算,能否利用匀速直线运动的知识解决变速直线运动的问题呢？学习了本节知识后，就可以轻易解决这些问题x 1微积分基本定理的内容设f(x)在区间a，b上连续,且f(x)是它在该区间上的一个原函数,则有f（x）dxf(b)f（a）2牛顿莱布尼茨公式(1)f(x）dxf（b)f(a）f(x）.通常称f（x）是f(x)的一个原函数(2)在计算定积分时,常常用符号f（x)|来

2、表示f（b）f(a),牛顿莱布尼茨公式也可写作f(x)dxf（x)f(b)f(a)（3)微积分基本定理表明，计算定积分f(x)dx的关键是找出满足f(x)f(x)的函数f（x）只要我们求出f(x）的一个原函数f（x）,在区间两端点处的函数值之差f(b）f(a）就是f(x)dx的值3常见函数的原函数(1）0的原函数c；(2)1的原函数xc;（3)x的原函数c(1，x0)；（4)的原函数ln|xc（x0）;(5）ex的原函数exc；（6）ax的原函数c；(7）cosx的原函数sinxc；（8）sinx的原函数cosxc。4求定积分的方法主要有：利用定积分的定义；利用定积分的几何意义；利用微积分基本

3、定理y 1。(x1)dx0.解析（x1)dx（x）|220.2已知自由下落的物体的运动速度vgt（g为常数)，则当t1,2时，物体下落的距离为（c）agbgcgd2g解析物体下落的距离sgtdtgt2g。故选c.3e2xdx（e1).解析 e2xdxe2x（e1)h 命题方向1求函数的定积分典例1求下列定积分的值：（1）(2x3）dx；（2） (1t3）dt；（3）(t2)dx;(4） (cos xex)dx。思路分析根据微积分基本定理，关键求相应被积函数的一个原函数解析(1）(x23x）2x3，（2x3）dx（x23x）|134.(2）(t)1t3, （1t3）dt（t)127。（3）(tx

4、2x）t2，(t2)dx(tx2x)|（2t4）（t2）t2。(4) (cosxex)dxcosxdxexdxsinxex|1。规律总结利用微积分基本定理求定积分的步骤：第一步，利用定积分的性质将被积函数变形为基本初等函数导数公式中所列函数形式的积分的代数和第二步，依次找出各被积函数的一个满足f （x）f（x）的原函数f（x）第三步，利用牛顿莱布尼茨公式求值,跟踪练习1计算下列定积分：（1)（2x4)dx；(2)3x2dx；(3)sinxdx；（4)dx.解析(1）由于x24x的导函数是2x4，根据微积分基本定理可得(2x4）dx（x24x）|（5245）（0240）5。(2)由于x3的导函数

5、是3x2，根据微积分基本定理可得3x2dxx3|5323117。(3）由于cosx的导函数是sinx,根据微积分基本定理可得sinxdx(cosx)|（cos ）（cos0)2。（4）由于lnx的导函数是，根据微积分基本定理可得dxlnxln3ln1ln3。命题方向2微积分基本定理的应用典例2（1）(2019泰安高二检测)若（2ax2a2x）dx，则a1或;(2)已知t0，f（x)2x1,若f（x)dx6，则t3.解析(1）(2ax2a2x)dx2ax2dxa2xdx2ax2|a.a，解a1或.(2）f(x)dx（2x1)dxx2x|t2tt2t6解得t2或3t0，t3.，跟踪练习2如图所示,

6、一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为1.2_。解析建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x22py(p0)，由图易知（5，2)在抛物线上，可得p，抛物线方程为x2y，所以当前最大流量对应的截面面积为2（2x2）dx，原始的最大流量对应的截面面积为16,所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为1。2。x 求分段函数的定积分 求分段函数的定积分时,可利用定积分的性质将其表示为几段定积分和的形式；对于带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数再求解典例3计算下列定积分：(1）若f

7、(x）求f(x）dx；(2)|x24|dx;（3)（|x1x3|）dx。思路分析解答本题第(1)小题,可按f(x)的分段标准及积分区间将其化为两段积分的和；解答第(2)（3)小题时，可根据绝对值的意义将其转化为分段函数的定积分解析（1）因为f（x)所以f(x）dxf(x)dxf（x)dxx2dx (cosx1)dxx3（sinxx) （1)。（2）因为x24|所以x24|dxx24dxx24|dx(4x2）dx(x24）dx(4xx3)|（x34x)|（8)(12）（8）。（3)因为|x1|x3|所以（x1|x3)dx|x1|dxx3|dx（1x)dxx1|dx|x3dx(1x)dx(x1)d

8、x(3x）dx（xx2)|(x2x）(3xx2)|45。规律总结(1)在求定积分时,会遇到被积函数是分段函数或绝对值函数的情况,这时我们就要根据不同的情况把分段函数在区间a，b上的积分,分成几段积分和的形式分段的标准是：使每段上的函数表达式确定,按照原来函数分段的情况分即可（2)当被积函数的原函数是一个复合函数时，要特别注意原函数的求解,与复合函数的求导区分开来例如：对于被积函数ysin3x，其原函数应为ycos3x,而其导数应为y3cos3x。跟踪练习3求函数f（x)在区间0,3上的积分解析由积分的性质知，f（x)dxf(x）dxf(x)dxf(x）dxx3dxdx2xdxx3dxxdx2x

9、dx|x|.y 典例4求曲线ysinx与直线x，x，y0所围图形的面积（如图所示）错解所示面积为s.错因分析当对应曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值,此时曲边梯形的面积等于定积分的相反数，本题求曲线与直线所围成图形的面积时应先判断曲线在x轴上方还是下方，否则求出的面积是错误的正解s点评在应用定积分求平面图形面积时常因被积函数与积分上、下限不对应导致错误，解题时一定要注意结合图形确定被积函数与积分上、下限,跟踪练习4已知函数f(x)则f(x)dx（21).解析由定积分的几何意义知x5dx0，sinxdx0(如图所示),f(x)dxx5dxxdxsinxdxxdx(21)k 1. (xex）dx等于(b）a1bc1d2 (sinxcosx）dx的值是2.3计算