概率公式总结

1、-r-fr*知识就经力量*一、随机事件和概率1、随机事件及其概率运算律名称表达式交换律ABBA AB BA结合律(A B) C A (B C) A B C (AB)C A(BC) ABC分配律A(B C) AB AC A (BC) (A B)(A C)德摩根律A B AB AB A B2、概率的定义及其计算公式名称公式表达式求逆公式P(A) 1 P(A)加法公式P(A B) P(A) P(B) P(AB)条件概率公式,P(AB)P(BA)rP(A)乘法公式P(AB) P(A)P(B A)P(AB) P(B) P(AB)全概率公式nP(B)P(AJP(B|Aj)i 1贝叶斯公式 (逆概率公式)P

2、(Aj)P(BAj)P(Aj|B) 一P(Aj)P(BA)i 1伯努力概型公式Pn(k) ckpk(1 p)nk,k 0,1, n两件事件相互独立相应 公式P(AB) P(A)P(B) ； P(B A) P(B) ； P(BA) P(BA) ； P(B A) P(B A) 1 ；P(B A) P(BA) 1二、随机变量及其分布1、分布函数性质P(X b) F(b) P(a X b) F(b) F(a)2、散型随机变量分布名称分布律0-1 分布 B(1, p)k1 kP(X k) pk(1 p)1k, k 0,1二项分布B(n,p)P(X k)p)n k, k 0,1, ,n泊松分布P()kP(

3、X k) e , k 0,1,2, k!几何分布G(p)P(X k) (1 p)k 1 p, k 0,1,2,超几何分布H(N,M,n)C kn kP(X k) CmCn m ,k 1,11, ,min(n,M)cN3、续型随机变量分布名称密度函数分布函数均匀分布U(a,b)1 . ,a x b f(x)b a0,其他0, x aF(x) X a,a x b b a1,x b指数分布E()e x, x 0 f(x)0,其他0,x 0F(X) 1 e x, x 0正态分布N( , 2)(X )2f (x) e2xJ21XgF (x)e 2 d tV2标准正态分布N(0,1)x21 (x)e 2x

4、J2(t )21 XF(x)e 2 d tV2三、多维随机变量及其分布1、Pi离散型二维随机变量边缘分布P(X Xi)P(X Xi,Yj离散型二维随机变量条件分布yj)PijP(Y yj) P(X Xi，Y yj)iPijiPi jP(X XiY yj)P(X Xi,Yyj) P(Yyj) 1,2Pji P(Y yjXXi)P(X Xi，Y yj)P(X Xi)Pij .PT,J1,23、连续型二维随机变量(X ,Y )的分布函数F (x, y)yf(u,v)dvdu4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数X分布函数：Fx (x)f (u,v)dvdu密度函数：fx (X)f (x,

5、v)dvyFy(y)f (u,v)dudvfY(y)f(u,y)du5、二维随机变量的条件分布fYx(yx)鳥yfx y (x y)f(x,y),xfY(y)四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量:E(X)XkPk 连续型随机变量:k 1E(X)Xf (x)dx2、数学期望的性质(1) E(C) C,C为常数EE(X) E(X) E(CX) CE(X)-r-fr*知识就经力量* E(X Y) E(X) E(Y) E(aX b) aE(X) b EQXjXn) CiE(XJCnE(X.)若XY相互独立则：E(XY) E(X)E(Y)(4)E(XY)2 E2(X)E2(Y)3、 方差：D

6、(X) E(X2) E2(X)4、方差的性质(1) D(C) 0 DD(X) 0 D(aX b) a2D(X) D(X) E(X C)2 D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y) 若 XY 相互独立则： D(X Y) D(X) D(Y)5、 协方差：Cov(X,Y) E(X,Y) E(X)E(Y) 若 XY 相互独立则：Cov(X,Y) 06、 相关系数：xy (X ,Y) C0V(X,Y)若XY相互独立则： xy 0即XY不相关VD(X/D(Y)7、协方差和相关系数的性质(1) Cov(X,X) D(X) Cov(X,Y) Cov(Y, X) Cov(Xi X2,Y) Cov(X

7、i,Y) Cov(X2,Y) Cov(aX c,bY d) abCov(X,Y)8、常见数学分布的期望和方差分布数学期望方差0-1 分布 B(1, p)Pp(1 p)二行分布B(n, p)npnp(1 p)泊松分布P()几何分布G(p)1 p1 p2 p超几何分布H(N,M ,n)M n NMMNmnN(1 N) N1均匀分布U(a,b)a b2(b a)212正态分布N( , 2)2指数分布E()11五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若 E(X) ,D(X)2,对于任意0 有 PX E(X) 或 P X E(X) 12、大数定律：若 X1 Xn相互独立且n知识就经力量时，丄n i

8、1Xi D1 nE(Xi)n i 1(1)若 X1 Xn 相互独立，E(Xi) i,D(Xi)i2 且 i2M则:1 nXin i 1nE(Xi),( n)1若Xi Xn相互独立同分布，且 E(Xi)i则当n时:1nXin i 13、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理:均值为，方差为0的独立同分布时，当n充分大时有:YnnXk nk 1nN(0,1)(2)拉普拉斯定理:随机变量n(n1,2) B(n,p)则对任意x有:xlim P , nP(1 Pp)Xt2至dt(X)(3)近似计算:P(aXkk 1b) P(；nXk nk 1bn、.nJ(T )1、总体和样本总体X的分布函数2、统计

9、量(1)样本平均值:(3)样本标准差:样本k阶中心距:六、数理统计F(X)样本(X1,X2 Xn)的联合分布为丄 Xi 样本方差：s2n i 1F(X1,X2n(Xii 1xn)X)2nF(Xk)k 1 n122(Xi2 nx )1 i 1J丄(Xi,n 1 i 1X)2样本k阶原点距:AkXk,k 1,21Bk M k nn(Xii 1X)k,k2,3(6)次序统计量：设样本(X1,X2Xn)的观察值(X1,X2Xn)，将 X1, X2Xn按照由小到大的次序重新排列，得到X(1)X(2)X(n)，记取值为X(i)的样本分量为X (i)，则称 X(1) X(2)X(n)为样本(X1,X2 Xn

10、)的次序统计量。X(1) min(X1,X2 Xn)为最小次序统计量；X(n)max(X1, X2 Xn)为最大次序统计量。3、三大抽样分布(1) 2分布：设随机变量 X1,X2Xn相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1)，则随机变量2X12 心 Xn性质：E 2(n) n,D 2(n) 2n设X 2(m),丫2(n)且相互独立，则 X 丫2(m n)(2)t分布：设随机变量XN(0,1)，丫2(n)，且X与Y独立，则随机变量:X所服从的分布称为自由度,Y n的n的t分布，记为T t(n)性质： Et(n) 0,Dt(n) (nn 2(X )21 22) lim t(n)N(0,1) e 2

11、n 2(3) F分布：设随机变量2(nJ,V2(n2)，且U与V独立，则随机变量F (ni ,n2)比所服从的分布称为自由度佝,n2)的F分布,记为F F(ni ,n2)性质：设XF(m,n)，则丄f(n, m) X七、参数估计1、参数估计(1)定义：用(X1,X2, 估计值。 当总体是正态分布时,2、点估计中的矩估计法：Xn)估计总体参数，称(Xi,X2, Xn)为 的估计量，相应的(Xi,X2, Xn)为总体的1离散型样本均值：X E(X)-未知参数的矩估计值(总体矩=样本矩)nXi连续型样本均值:n i 1=未知参数的最大似然估计值X E(X) xf(x, )dx1 n离散型参数：E(X2)- X2ni 13、点估计中的最大似然估计f (X1,X2, Xn,)nf(为，)或P(Xi 1X1,X2, Xn Xn)基本步骤：似然函数:L(nn)f(Xi,)或i 1i 1P()取对数：In LnIn f(Xi,)i 1解方程：