（北京专用）2020届高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示课件

1、高考数学高考数学 (北京专用) 第五章 平面向量 5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理 及坐标表示 A A组自主命题组自主命题北京卷题组北京卷题组 五年高考 考点一向量的线性运算及几何意义考点一向量的线性运算及几何意义 1.(2015北京,13,5分)在ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x= ,y=. AM MC BN NC MN AB AC 答案答案;- 1 2 1 6 解析解析由=2知M为AC上靠近C的三等分点,由=知N为BC的中点,作出草图如下: 则有=(+), 所以=-=(+)-=-, 又因为=x+y,所以x=,y=-. AM MC BN NC AN 1 2

2、AB AC MN AN AM 1 2 AB AC 2 3 AC 1 2 AB 1 6 AC MN AB AC 1 2 1 6 思路分析思路分析由已知作出草图,用、表示、,代入=-中,化简可求得x,y 的值. AB AC AN AM MN AN AM 2.(2014北京,10,5分)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且a+b=0(R),则|=. 答案答案 5 解析解析a+b=0,即a=-b,|a|=|b|. |a|=1,|b|=,|=. 55 思路分析思路分析先根据已知得到|a|,|b|的关系,然后计算|. 3.(2013北京,13,5分)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.

3、若c=a+b(,R),则= . 答案答案4 解析解析以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系,令每个小正方形的边长为1个单 位,则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3).由c=a+b可得 解得所以=4. AO OB BC 16 , 32 , 2, 1 , 2 思路分析思路分析注意到网格线,先将某点设为原点,建立直角坐标系,利用平面向量的坐标运算构造 方程组求值. 评析评析本题主要考查平面向量的基本定理和坐标运算,考查学生的运算求解能力和解析法在 向量中的应用,构建关于和的方程组是求解本题的关键. 考点二平面向量的基本定理及

4、向量的坐标运算考点二平面向量的基本定理及向量的坐标运算 1.(2014北京,3,5分)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=() A.(5,7)B.(5,9) C.(3,7)D.(3,9) 答案答案A由a=(2,4)知2a=(4,8),所以2a-b=(4,8)-(-1,1)=(5,7).故选A. 2.(2019北京文,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且ab,则m=. 答案答案8 解析解析本题考查两向量垂直的充要条件和向量的坐标运算,考查了方程的思想方法. ab,ab=(-4,3)(6,m)=-24+3m=0, m=8. 易错警示易错警示容易把两向量平行与垂直

5、的条件混淆. 3.(2011北京,10,5分)已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,).若a-2b与c共线,则k=. 33 答案答案1 解析解析a-2b=(,3)与c=(k,)共线, 3k=,故k=1. 33 33 失分警示失分警示混淆两向量共线与两向量垂直的充要条件,造成失分. 评析评析本题考查了向量的坐标运算和向量共线的充要条件.解题的关键是利用向量共线的充 要条件列出关于k的方程,本题属容易题. B B组统一命题组统一命题省省( (区、市区、市) )卷题组卷题组 考点一向量的线性运算及几何意义考点一向量的线性运算及几何意义 1.(2018课标,6,5分)在ABC中,AD为BC

6、边上的中线,E为AD的中点,则=() A.-B.- C.+D.+ EB 3 4 AB 1 4 AC 1 4 AB 3 4 AC 3 4 AB 1 4 AC 1 4 AB 3 4 AC 答案答案A本题主要考查平面向量的线性运算及几何意义. E是AD的中点,=-,=+=-+,又D为BC的中点,=(+ ),因此=-(+)+=-,故选A. EA 1 2 AD EB EA AB 1 2 AD AB AD 1 2 AB AC EB 1 4 AB AC AB 3 4 AB 1 4 AC 题型归纳题型归纳平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)考查向量加法或减法的几何意义. (2)求已知向量的和或差.

7、一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则;求首 尾相连的向量的和用三角形法则. (3)与三角形综合,求参数的值.求出向量的和或差,与已知条件中的式子比较,求得参数. (4)与平行四边形综合,研究向量的关系.画出图形,找出图中的相等向量、共线向量,将所求向 量转化到同一个平行四边形或三角形中求解. 2.(2015课标全国,13,5分)设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数=. 答案答案 1 2 解析解析由于a,b不平行,所以可以以a,b作为一组基底,于是a+b与a+2b平行等价于=,即=. 1 1 2 1 2 考点二平面向量的基本定理及向量的坐标运算考点二平面向量的基

8、本定理及向量的坐标运算 1.(2016课标全国,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,则m=() A.-8B.-6C.6D.8 答案答案D由题可得a+b=(4,m-2),又(a+b)b,43-2(m-2)=0,m=8.故选D. 2.(2015课标,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=() A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4) AC BC 答案答案A解法一:根据题意得=(3,1),=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A. 解法二:设C(x,y),则=(x,y)-(0,1)=(x,y-1

9、)=(-4,-3), 解得x=-4,y=-2, 故=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4). AB BC AC AB AC BC 3.(2015广东,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),= (2,1),则=() A.5B.4C.3D.2 AB AD AD AC 答案答案A四边形ABCD是平行四边形,=+=(3,-1),=23+1(-1)=5. 选A. AC AB AD AD AC 4.(2019浙江,17,6分)已知正方形ABCD的边长为1.当每个i(i=1,2,3,4,5,6)取遍1时,|1+2 +3+4+5+6|的最小值是,最大值是. A

10、B BC CD DA AC BD 答案答案0;2 5 解析解析本题考查平面向量的坐标表示及坐标运算,在向量的坐标运算中涉及多个未知数据以 此来考查学生的数据处理能力,数学运算及数据分析的核心素养. 如图,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1), =(1,0),=(0,1),=(-1,0),=(0,-1),=(1,1),=(-1,1), 故|1+2+3+4+5+6| =|(1-3+5-6,2-4+5+6)| =.(*) AB BC CD DA AC BD AB BC CD DA AC BD 22 13562456 ()() 显然(*)式中第一个括号中的1,3

11、与第二个括号中的2,4的取值互不影响,只需讨论5与6的 取值情况即可, 当5与6同号时,不妨取5=1,6=1, 则(*)式即为, 22 1324 ()(2) 1,2,3,4-1,1,1=3,2-4=-2(2=-1,4=1)时,(*)式取最小值0,当|1-3|=2(如1=1,3=-1),2- 4=2(2=1,4=-1)时,(*)式取最大值2, 当5与6异号时,不妨取5=1,6=-1,则(*)式即为. 同理可得最小值仍为0,最大值仍为2, 综上,最小值为0,最大值为2. 5 22 1324 (2)() 5 5 解题关键解题关键本题未知量比较多,所以给学生的第一感觉是难,而实际上注意到图形为规则的正

12、 方形,i(i=1,2,3,4,5,6)的取值只有两种可能(1或-1),这就给建系及讨论i的值创造了条件,也是求 解本题的突破口. 5.(2019上海,9,5分)过曲线y2=4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2=4x交于A、B,A在B 上方,M为抛物线上一点,=+(-2),则=. OM OA OB 答案答案3 解析解析由题意可得A(1,2),B(1,-2),设M的坐标为(x,y),由=+(-2)得(x,y)=(1,2)+(-2) (1,-2)=(2-2,4),因为M在抛物线上,所以16=4(2-2),解得=3. OM OA OB 6.(2018课标全国,13,5分)已知向量a=(1,2

13、),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),则=. 答案答案 1 2 解析解析由题意得2a+b=(4,2),因为c=(1,),c(2a+b),所以4-2=0,解得=. 1 2 7.(2017山东,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,).若ab,则=. 答案答案-3 解析解析本题考查向量平行的条件. a=(2,6),b=(-1,),ab, 2-6(-1)=0,=-3. 8.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,nR),则m-n的值为. 答案答案-3 解析解析由a=(2,1),b=(1,-2), 可得ma+nb=(

14、2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n), 由已知可得解得从而m-n=-3. 29, 28, mn mn 2, 5, m n C C组教师专用题组组教师专用题组 考点一向量的线性运算及几何意义考点一向量的线性运算及几何意义 (2017课标全国,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则() A.abB.|a|=|b| C.abD.|a|b| 答案答案A本题考查向量的有关概念. 由|a+b|=|a-b|的几何意义知,以向量a、b为邻边的平行四边形为矩形,所以ab.故选A. 一题多解一题多解将|a+b|=|a-b|两边分别平方得|a|2+2ab+|b|2=|a|2-2ab+

15、|b|2,即ab=0,故ab.故选A. 考点二平面向量的基本定理及向量的坐标运算考点二平面向量的基本定理及向量的坐标运算 1.(2016四川,9,5分)已知正三角形ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足|=1,= ,则|2的最大值是() A.B.C.D. 3 AP PM MC BM 43 4 49 4 376 3 4 372 33 4 答案答案B以A为坐标原点, 建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,0),C(2,0),B(,3). 设P(x,y),|=1,x2+y2=1, =,M为PC的中点, M,|2=+ =+-3y+9=-3y+9=-3y,又-1y1, 33 AP PM MC

16、 2 3 , 22 xy BM 2 2 3 3 2 x 2 3 2 y 2 4 x 2 4 y1 4 37 4 当y=-1时,|2取得最大值,且最大值为. BM 49 4 思路分析思路分析由ABC为正三角形,|=1,考虑到用建立平面直角坐标系的方法来解决向量问 题. AP 评析评析本题考查了向量的坐标运算,运用了转化与化归思想. 2.(2015湖南,8,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且ABBC.若点P的坐标为(2,0),则|+ +|的最大值为() A.6B.7C.8D.9 PA PB PC 答案答案B解法一:由圆周角定理及ABBC,知AC为圆的直径. 故+=2=(-4,0)(

17、O为坐标原点). 设B(cos,sin),=(cos-2,sin), +=(cos-6,sin),|+|=7,当 且仅当cos=-1时取等号,此时B(-1,0),故|+|的最大值为7.故选B. 解法二:同解法一得+=2(O为坐标原点),又=+,|+|=|3+| 3|+|=32+1=7,当且仅当与同向时取等号,此时B点坐标为(-1,0),故|+| max=7.故选B. PA PC PO PB PA PB PC PA PB PC 22 (cos6)sin3712cos3712 PA PB PC PA PC PO PB PO OB PA PB PC PO OB PO OB PO OB PA PB P

18、C 3.(2014安徽,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量a,b,|a|=|b|=1,ab=0,点Q满足=(a+ b).曲线C=P|=acos+bsin,02,区域=P|0r|R,rR.若C为两段分离 的曲线,则() A.1rR3B.1r3R C.r1R3D.1r3R OQ 2 OP PQ 答案答案A根据题意不妨设a=(1,0),b=(0,1), =(a+b)=(,), =acos+bsin=(cos,sin), 易知曲线C为单位圆,区域表示以Q为圆心,内径为r,外径为R的圆环,且C为两段分离的曲 线, 结合图形可知,单位圆与圆环的内外边界相交,即 1rR3.故选A. OQ 222

19、 OP 21, 21, r R 评析评析本题考查了向量的坐标表示、三角函数等知识;考查了综合分析能力、运算推理能 力、数形结合能力,由几何意义进行转化是突破难点的关键. 4.(2015四川,2,5分)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=() A.2B.3C.4D.6 答案答案Ba与b共线, 26=4x,x=3,故选B. 5.(2016课标,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且ab,则m=. 答案答案-6 解析解析因为ab,所以=,解得m=-6. 3 m4 2 易错警示易错警示容易把两个向量平行与垂直的条件混淆. 评析评析本题考查了两个向量平行的充要条件.

20、 三年模拟 A A组组 20172019 20172019年高考模拟年高考模拟考点基础题考点基础题组组 考点一向量的线性运算及几何意义考点一向量的线性运算及几何意义 1.(2017北京海淀一模,6)在ABC中,点D满足=2-,则() A.点D不在直线BC上B.点D在BC的延长线上 C.点D在线段BC上D.点D在CB的延长线上 AD AB AC 答案答案D=2-=+-=+. 如图,以B为始点,作=,连接AD, 则+=+=. D和D重合,即点D在CB的延长线上,故选D. AD AB AC AB AB AC AB CB BD CB AB CB AB BD AD AD 思路分析思路分析根据条件易得=+

21、,作=,连接AD,故可说明点D和D重合,即点D在 CB的延长线上. AD AB CB BD CB 2.(2018北京西城一模,5)已知O是正方形ABCD的中心.若=+,其中,R,则= () A.-B.-2C.-D. DO AB AC 1 2 22 答案答案B=-=-=-(-)=-,故=1,=-,所以=-2,故选B. DO AO AD 1 2 AC BC 1 2 AC AC AB AB 1 2 AC 1 2 3.(2019北京东城一模文,4)设E为ABC的边AC的中点,=m+n,则m,n的值分别为 () A.-1,B.,-1 C.-,1D.1, BE AB AC 1 2 1 2 1 2 1 2

22、答案答案A如图:=+,=-. 在ABC中,E为AC的中点, 所以=. 所以=-+,即m=-1,n=. 故选A. BE BA AE BA AB AE 1 2 AC BE AB 1 2 AC 1 2 考点二平面向量的基本定理及向量的坐标运算考点二平面向量的基本定理及向量的坐标运算 1.(2019北京海淀期末文,4)已知向量a=(2,0),b=(t,1)且ab=|a|,则a-b=() A.(1,1)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(-1,-1) 答案答案Bab=(2,0)(t,1)=2t=|a|=2,t=1,a-b=(1,-1),故选B. 2.(2018北京海淀一模,2)已知向量a=(1,2),

23、b=(-1,0),则a+2b=() A.(-1,2)B.(-1,4)C.(1,2)D.(1,4) 答案答案Aa+2b=(1,2)+2(-1,0)=(-1,2),故选A. 3.(2018北京西城二模,5)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若向量a+b与c共线,则实 数=() A.-2B.-1C.1D.2 答案答案D如图,建立平面直角坐标系xOy,则a=(1,1),b=(0,-1),c=(2,1),a+b=(,-1).=2(- 1),解得=2,故选D. 4.(2019北京延庆一模,11)如图,正方形ABCD中,E为DC的中点,若=+,则+的值为 . AB AC AE 答案答案0 解析解析

24、因为=+,=+,所以=+=(+)+= +(+),所以+=0. AC AB AD AE 1 2 AB AD AB AC AE AB AD 1 2 ABAD 1 2 AB AD 解后反思解后反思本题中用不共线的向量与来表示向量和,然后用向量的数乘与加法 求解;本题也可建立平面直角坐标系,用平面向量的坐标运算求得. AB AD AC AE 5.(2019北京丰台一模,9)已知平面向量a=(1,-3),b=(-2,m),且ab,那么m=. 答案答案6 解析解析ab,1m=(-3)(-2),m=6. 6.(2019北京朝阳期末,10)已知四边形ABCD的顶点在边长为1的正方形网格中的位置如图所 示,则=

25、. AC DB 答案答案7 解析解析建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,2),B(4,4),C(7,2),D(3,0), 则=(7,0),=(1,4),所以=7.AC DB AC DB 思路分析思路分析建立合适的平面直角坐标系,将,用坐标表示出来,进行向量数量积的坐标运 算即可. AC DB 7.(2019北京朝阳一模文,9)已知平面向量a=(2,-1),b=(1,x),若ab,则x=. 答案答案- 1 2 解析解析因为ab,所以2x=-1,解得x=-. 1 2 B B组组2017201920172019年高考模拟年高考模拟专题综合题组专题综合题组 时间:25分钟分值:45分 一、选择题

26、(每小题5分,共35分) 1.(2018北京东城二模,5)设a,b是非零向量,则“|a+b|=|a|-|b|”是“ab”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案答案A充分性:|a+b|=|a|-|b|a+b|2=(|a|-|b|)2a2+b2+2ab=|a|2+|b|2-2|a|b|2|a|b|cos=-2 |a|b|cos=-1=,ab,故充分性成立. 必要性:当a,b同向时,|a+b|=|a|+|b|a|-|b|,故必要性不成立.故选A. 2.(2017北京丰台一模,4)设E,F分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点,且=,=, 如

27、果=m+n(m,n为实数),那么m+n的值为() A.-B.0C.D.1 AE 1 2 AB BF 2 3 BC EF AB AC 1 2 1 2 答案答案C如图所示, =+=+=+(-)=-+,m=-,n=,m+n=. EF EB BF 1 2 AB 2 3 BC 1 2 AB 2 3 AC AB 1 6 AB 2 3 AC 1 6 2 3 1 2 3.(2018北京门头沟一模,6)在直角梯形ABCD中,ABCD,DAB=90,且AB=2CD=2AD=2,P是 BC的中点,则=() A.B.3C.2D. PD PA 9 4 5 2 答案答案C以A为原点,AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直

28、角坐标系,则D(0,1),A(0,0),P ,所以=,=,所以=-=2,故选C. 3 1 , 2 2 PD 3 1 , 2 2 PA 31 , 22 PD PA 9 4 1 4 4.(2018北京顺义二模,7)已知O是正ABC的中心.若=+,其中,R,则的值为 () A.-B.-C.-D.2 CO AB AC 1 4 1 3 1 2 答案答案C如图,取AB的中点D,由已知得=(+)=(+)=(-). =-, =-, =-, 故选C. CO 2 3 CD 2 3 1 2 CB CA 1 3 CB CA 1 3 CB AC CB AB AC CO 1 3 AB 2 3 AC 1 , 3 2 , 3

29、 1 2 5.(2019北京丰台一模文,6)已知正ABC的边长为4,点D为边BC的中点,点E满足=,那么 的值为() A.-B.-1C.1D.3 AE ED EB EC 8 3 答案答案B以D为原点,BC所在直线为x轴,DA所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B(-2,0),C (2,0),A(0,2),=,E(0,),=(-2,-)(2,-)=-4+3=-1.故选B. 3AE ED 3EB EC 33 6.(2019北京丰台二模,7)已知点P是边长为2的正方形ABCD所在平面内一点,若|-|= 1,则|的最大值是() A.2-1B.2 C.2+1D.2+2 AP AB AD AP 22 22

30、 答案答案C以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,设P(x, y),则A(0,0),B(2,0),D(0,2),从而=(x,y),=(2,0),=(0,2),-=(x-2,y-2),所以|- -|=1,因而点P在以点C(2,2)为圆心,1为半径的圆上,所以|max=|AC|+1=2 +1.故选C. AP AB AD AP AB AD AP AB AD 22 (2)(2)xyAP 2 解后反思解后反思由于是与正方形有关的问题,因而建立平面直角坐标系后用向量的坐标运算易得 点P的轨迹是圆,然后转化为圆外点与圆上点的距离问题. 7.(2019北京东城二模,3)已

31、知向量a与b不共线,且=a+mb(m1),=na+b.若A,B,C三点共线, 则实数m,n满足的条件为() A.m+n=1B.m+n=-1 C.mn=1D.mn=-1 AB AC 答案答案C若A,B,C三点共线,则有=,即a+mb=(na+b),所以所以mn=1.故选C. AB AC 1, , n m 二、填空题(每小题5分,共10分) 8.(2018北京朝阳期末,11)在 ABCD中,E,F分别为边BC,CD的中点,若=x+y(x,yR), 则x+y=. AF AB AE 答案答案 1 2 解析解析如图,延长AF交BC的延长线于G, 则ADF GCF, 所以AF=GF,即AF=AG. 设=+(B,E,G三点共线), 则+=1. 所以由=得x+y=. 1 2 AG AB AE AF 1 2 AG 1 2 解题关键解题关键熟练掌握平面向量的基本定理是关键. 9.(2019北京东城期末,12)在菱形ABCD中,若BD=,则的