小学奥数5 4 4完全平方数及应用一专项练习及答案解析

1、【例2】*-4-4.完全平方数及应用（一）.题库教师版Page of 81.2.3.知识点拨教学目标学习完全平方数的性质；整理完全平方数的一些推论及推论过程 掌握完全平方数的综合运用。一、完全平方数常用性质1. 主要性质1. 完全平方数的尾数只能是 0, 1, 4, 5, 6, 9。不可能是2, 3, 7, 8。2. 在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。3. 完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。4. 若质数P整除完全平方数a2，则P能被a整除。2.性质性质1:完全平方数的末位数字只可能是0, 1 , 4, 5, 6, 9.因为完全平方数的质因数分解中每个

2、质因n是自然数，N是完全平方数，且 p22|N，则性质2:完全平方数被3, 4, 5, 8, 16除的余数一定是完全平方数. 性质3:自然数N为完全平方数 =自然数N约数的个数为奇数.数出现的次数都是偶数次，所以，如果P是质数，P I N .0的个数一定是偶数.如果一个完全平方数的2, 6中的一个. 性质6:如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数.3. 一些重要的推论1. 任何偶数的平方一定能被 4整除；任何奇数的平方被 4 （或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不 是完全平方数。2. 一个完全平方数被 3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。3. 自

3、然数的平方末两位只有：00, 01,89, 16, 36, 56, 76, 96。4. 完全平方数个位数字是奇数（1 , 5,5. 完全平方数个位数字是偶数（0, 4）性质4:完全平方数的个位是 6=它的十位是奇数.性质5:如果一个完全平方数的个位是 0，则它后面连续的21, 41, 61 , 81, 04, 24, 44, 64, 84, 25, 09, 29, 49, 69,个位是5,则其十位一定是2,且其百位一定是0,9）时，其十位上的数字必为偶数。 时，其十位上的数字必为偶数。6. 完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。7. 凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全

4、平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1 , 4, 9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。3.重点公式回顾：平方差公式：a2-b2 =（a+b）（a-b）目tmi归例题精讲模块一、完全平方数计算及判断已知：1234567654321 X 49是一个完全平方数，求它是谁的平方？【考点】完全平方数计算及判断【难度】2星【题型】解答【解析】我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推（找规律）的方法来求解：121=112 ； 12321 = 1112 ； 1234321 = 11112 ，于是，我们归纳为1234n4321= （441 屮1）2，所以，n个1

5、1234567654321 : 11111112；则，1234567654321 X 49=11111112 X 72=77777772 .所以，题中原式乘积为 7777777的平方.【例2】【解析】【例3】【解析】【例4】【解析】【例5】【解析】【巩固】【解析】【答案】77777771234567654321 x(1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +6 +5 +4 +3 +2 +1)是【考点】完全平方数计算及判断【难度】2星【题型】填空【关键词】祖冲之杯2 21234567654321 =1111111 , 1 +2 +3+4 +5+6 +7 +6+5+4+3+ 2+1 =7 ,2 2

6、原式=(1111111x7) =7777777 .【答案】7777777已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级，第9题（法 1）先将 12!分解质因数：12! =210 x35 x52 x7x11 , 那么这个完全平方数是12!的约数，那么最大可以 12!-210 x34 x52 =3X7X11 =231。n的最小值是的平方.由于12!除以n得到一个完全平方数， 为210 x34 x52 ,所以n最小为（法2） 12!除以n得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中3、7、11的幕次是奇数，所以n的最

7、小值是【答案】3x7 x11 =231。231有一个正整数的平方， 完全平方数计算及判断平方数的末尾只能是 0, 1 , 4, 5, 6, 9，因为111 , 444, 555, 666, 999都不是完全平方数, 所以所求的数最小是 4位数.考察1111 , 1444数是1444.【答案】1444【考点】它的最后三位数字相同但不为 0，试求满足上述条件的最小的正整数. 【难度】3星【题型】解答可以知道1444=38X38，所以满足条件的最小正整A是由2002个“ 4”组成的多位数，即444血，A是不是某个自然数B的平方？如果是，写2002个 4出B;如果不是，请说明理由.【考点】完全平方数计

8、算及判断 略【答案】A=4441U4=22x111UJ1 .如果A是某个自然数的平方，则 11 也应是某个自然数的平方, 2002个42002个12002个1并且是某个奇数的平方由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数，而111川1-1 =111,出10不是4的倍数，矛盾，所以 A不是某个自然数的平方.2002个1 【难度】3星 【题型】解答2001个 1A是由2008个“4”组成的多位数，即 44,2 , A是不是某个自然数 B的平方？如果是，写2008个 4出B ；如果不是，完全平方数计算及判断 略 不是. a=44H4=22X11|H1假设A是某个自然数的平方，则200

9、8个 42008个 1并且是某个奇数的平方由奇数的平方除以4的余数是1知，请说明理由.【考点】【答案】【考点】【难度】3星 【题型】解答111）1也应是某个自然数的平方，2008个 1奇数的平方减1应是4的倍数,而11111 -1 =11川10不是4的倍数，与假设矛盾所以A不是某个自然数的平方.2008个12007个1计算111山1 222屮2=AX A 求 A.2004个11002个 2完全平方数计算及判断【难度】4星 【题型】解答【例6】4-4-4.完全平方数及应用（一）.题库教师版Page of 8【解析】此题的显著特征是式子都含有11川1，从而找出突破口 .n个 1- 222|2 =1

10、1m1 000H0 - 111叩2004个 11002个 21002个 11002个 01002个 1=111叩 X( 1000|0 -1 )1002个11002个0=U1UP x( 999川 9 )1002个11002个 9=x( 111 屮 x 3 x 3)=A21002个11002个1所以，A= 333 113.【答案】1002 个 31002个 3【例7】【考点】【解析】444訓|4888川89 =A2，求 A为多少？2004个 42003个8求是否存在一个完全平方数，它的数字和为 2005 ？完全平方数计算及判断【难度】4星 【题型】解答 本题直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律

11、，于是我们采用递推（找规律）的方法来6-4-4.完全平方数及应用（一）.题库教师版Page of 8=111山1 x2004 个 1=111训|1 x2004 个 12冲脚2004个 1(141 脚22004个 12=(666 LII66 +1) 一(666167)2004个 62003个 6求解:注意到有4 44川4888J(|89可以看成444 II4888 II89，其中 门=2004；2004个 4 2003个 8n 个4n-1 个 8寻找规律：当n=1时，有49 =72 ；当 n=2 时，有 4489 =672 ； 当n=3时，有444889 =6672于是，类推有44)4888屮8

12、9 =666胛72004个 4 2003个 82003个 6方法二：下面给出严格计算：4iij488ii89=444血000屮+8818 +1 ；2004个 4 2003个 82004个 4 2004个02004个 8贝y 444II4000川 0 + 8818 +1 = 111111 x( 4 x 1000( I +8) +12004个 4 2004个 02004个82004个 12004个 04x( 99硝(49+1)+8 +12004 个 9:4x( 99职q) +12 +12004 个 9x 36+12x 111 冲+12004个 1x 36+2x( 6x 111 屮1) +12004

13、个12 由知 444J488WI89 = 666屮67?，于是数字和为(4 n+8n-8+9)=12 n+1；令 12n+1=2005n 个 4n-1 个8n-1 个6解得n=167，所以所以存在这样的数，是166个 8166个6167 个 4166个 8（1）【例8】167 个 4【答案】（1） 666呼72, （2）2003个 6模块二、平方数特征平方数的尾数特征下面是一个算式：1 + 1X2 +1X2X3 +1X2X3X4 + 1X2X3X4X5 +1X2X3X4x5x6 ,这个算式的得数能否是某个数的平方？44j488Wte9 =66U73167 个 4 166 个 8166个 6【解

14、析】【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【关键词】华杯赛判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少平方数的个位数只能是0,1 , 4, 5, 6, 9,而2, 3, 7, 8不可能是平方数的个位数.这个算式的前二项之和为 3，中间二项之和的个位数为 0,后面二项中每项都有因子 2和5,个位数一定是 0,因此，这个0算式得数的个位 数是3,不可能是某个数的平方.【答案】不是【难度】3星【题型】解答【例9】一个数与它自身的乘积称为这个数的平方.各位数字互不相同且各位数字的平方【解析】和等于49的四位数共有 .【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【关键词】学而思杯，5年级，第10题49

15、 =1 +4 +9+25 , 1,2,3,5 全排列共有 24个。24【难度】4星【题型】填空【答案】【例10】用19这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完 全平方数那么，其中的四位完全平方数最小是【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【关键词】迎春杯，高年级，复试， 11题【难度】5星【题型】填空【解析】四位完全平方数1234352= 1225,所以至少是362 = 1296.当四位完全平方数是1296时，另两个平方数的个位只能分别为4,5，个位为5的平方数的十位只能是2,但数字2在1296中已经使用.当四位完全平方数是 372= 1369时，另两个平方数的个

16、位只能分别为4,5，个位为5的平方数的十位一样只能是2,还剩下7,8，而784恰好为282 .所以,【例11】【解析】(2)【例12】【解析】【解析】其中的四位完全平方数最小是 1369.【答案】1369有一个四位数N,它既是三角数，又是完称能表示成1+2+3+K的形式的自然数为三角数，全平方数，N=。【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】5星【关键词】走美杯，初赛，六年级，第14题N=kx (1+k)/2=m2 , 4 位数的话 2000=k X (k+1)20000, 45=k=140, k=2n n*(2n+1)=N。n互质，所以要均为平方数。平方数末尾 149650。满足要求的是

17、 4950。23=n=70发现没有：n X (2n-1)=N 同上，满足要求是 1650 找到 25 所以 k=49 , N=1225 , m=35。1225【题型】填空与 2n+1k=2 n-1 ,【答案】奇数个约数一一指数是偶数在 2X2=4 , 3X3=9 , 4X4=16 ,25 , 36,叫做完全平方数。那么，不超过 【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】【关键词】希望杯，四年级，复赛，第4题，5咒5 =25, 6X6 =36 ,等这些算是中，4, 9, 16 ,2007的最大的完全平方数是 。2星 【题型】填空5分45 X 45=2025; 44X 44=1936,所以最大的是 1

18、936.1936【答案】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数.【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】2星【题型】解答一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后 ，将每个质因数的指数(次数)加1【例13】8-4-4.完全平方数及应用(一).题库教师版Page of 8后所得的乘积.如：1400严格分解质因数后为23X 52 X 7,所以它的约数有（3+1） X （2+1） X（1+1）=4 X 3X 2=24个.（包括1和它自身）.这样它们加1后均是奇数，.即完全平方数（除0外）有如果某个自然数有奇数个约数，那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个 所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个

19、数均是偶数个的数为完全平方数 奇数个约数，反过来，有奇数个约数的数一定是完全平方数.由以上分析知，我们所求的为360630之间有多少个完全平方数？18 X 18=324,19 X 19=361,25 X 25=625,26 X 26=676,所以在 360 630 之间的完全平方数为 192,202,212,222,232,242,252即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625.【答案】361,400,441,484,529,576,625【例14】【解析】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则 【考点】平方数特征之奇数个约数 先

20、将1016分解质因数：故a最小为2x127 =254 .【答案】254a的最小值是.【难度】2星 【题型】填空1016=23x127,由于1016xa是一个完全平方数，所以至少为2Sc1272 ,【巩固】已知3528a恰是自然数 【考点】平方数特征之奇数个约数【解析】b的平方数，a的最小值是O【题型】填空3528 =23 X32 X72，要使3528a是某个自然数的平方，必须使 3528a各个不同质因数的个数为 偶数，由于其中质因子 3和7各有2个，质因子2有3个，所以a为2可以使3528a是完全平方数，故 a至少为2.【答案】2【难度】2星11-4-4.完全平方数及应用（一）.题库教师版Pa

21、ge of 8【例15】从1到2008的所有自然数中，乘以 72后是完全平方数的数共有多少个？【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】3星【题型】解答【解析】完全平方数，其所有质因数必定成对出现.而72 =23 X32 =2X6X6，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，由于2X31 X31 =1922 2008 2X32X32 =2048，所以 12、2、煜、2X31?都满足题意，即所求 的满足条件的数共有 31个.【答案】31【例16】已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则 n的最小值是【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级【解析】

22、（法1）先将12 !分解质因数：12! =210 X35 X52 X7X11，由于12!除以n得到一个完全平方数， 那么这个完全平方数是12!的约数，那么最大可以为210 X34 x* ,所以n最小为 1 2P 1 2 X 4宗 25= 3 723111（法2） 12!除以n得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中3、7、11的幕次是奇数，所以 n的最 小值是 3X7X11 =231O【答案】231【例17】【解析】有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数 的最小值为.【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4星 【题型】填空考查平方数和立方数的知识点，

23、同时涉及到数量较少的连续自然数问题，巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的.设中间数是 X,则它们的和为 5x,中间三数的和为 3x . 5x是平方数，设 3x =15aa2是立方数，所以a2至少含有3和5的质因数各2个，即 少是1125,那么这五个数中最小数的最小值为 1123.设未知数的时候有技5x =5? X a2 ,贝y X =5a2 ,a至少是225,中间的数至【例18】【答案】1123【解析】方数.【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】为使所求的数最小，这个数不能有除 23Sc5c，由于它乘以2以后是完全平方数， 的倍数；4星【题型】解答2、3、5之外的质因子.设这

24、个数分解质因数之后为即 2a + x3Sc5c是完全平方数，则（a+1）、b、c都是2求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次同理可知a、（b+1）、c是3的倍数，a、b、（c+1）是5的倍数.所以，a是3和5的倍数，且除以2余1； b是2和5的倍数，且除以3余2； c是2和3的倍数，且除 以5余4可以求得a、b、c的最小值分别为15、20、24,所以这样的自然数最小为 2153 .当k在1至100之间取正整数值时，有 不同的k,使得S是一个正整数的平方.【考点】平方数特征之平方数的整除特性【关键词】少年数学智力冬令营【难度】3星 【题型】填空【解析】一

25、个平方数除以4的余数是0或1当nX4时，S除以4余3,所以S不是平方数;当n=3时，S =4k +9，当k在1至100之间时,112，132，152，172，192，其中每【答案】82 2 2S在13至409之间，其中只有8个平方数是奇数：5 , 7 , 9 , 1个平方数对应1个k，所以答案为 &【例26】能够找到这样的四个正整数， 能够，请举出一例；若不能够，请说明理由.【考点】使得它们中任意两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若【解析】【答案】平方数特征之平方数的整除特性 略因为偶数的平方能被 4整除，奇数的平方被 4除余1，因此任一正整数的平方 n2被4除余0或【难度】4星 【题

26、型】解答15-4-4. 完全平方数及应用(一).题库教师版Page of 8【例27】【解析】2(5k ) X【答案】【例28】【解析】求所有的质数 P,使得4p2 +1与6p2中1也是质数.平方数特征之平方数的整除特性【难度】5星【题型】解答如果P =5 ,则4p2 +1 =101 , 6p2 +1 =151都是质数，所以5符合题意如果 P不等于5,那 么P除以5的余数为1、2、3或者4, p2除以5的余数即等于12、2、32或者42除以5的余数，即1、 4、9或者16除以5的余数，只有1和4两种情况.如果p2除以5的余数为1，那么4p2 +1除以5的余 数等于4X1+1=5除以5的余数，为

27、0,即此时4p2 +1被5整除，而4p2+1大于5,所以此时4p2+1不 是质数；如果 p2除以5的余数为4，同理可知6p2十1不是质数，所以 P不等于5, 4p2+1与6p2+1至 少有一个不是质数，所以只有 P =5满足条件.【答案】5【考点】假设存在四个正整数冷、门2、门3、n4，使得rnnj+2002 =m2(i, j=1,2,3,4,i H j) 又2002被4除余2,故nnj被4除余2或3.若口、门2、门3、门4中有两个偶数，如口、门2是偶数，那么门小2是4的倍数，nnj+2002被4除余2,所以不可能是完全平方数；因此口、n、n、rn中至多只有一个偶数，至少有三个奇数设门1、门2、n3为奇数，m为偶数，那么ni、n2、n3被4除余1或3,所以厲、门2、n3中至少有两个数余数相同如 门1、被4除余数相同，同为 1或3,那么门1门2被4除余1,所以n1n2 + 2002被4除余3，不是