小学奥数5 2 2数的整除之四大判断法综合运用二专项练习及答案解析

1、教学目标5-2-2.数的整除之四大判断法综合运用（二）占-、?.数的整除之四大判断法综合运用（二）库教师版Page of 61.2.3.知识点拨了解整除的性质； 运用整除的性质解题； 整除性质的综合运用.、常见数字的整除判定方法1.一个数的末位能被 2或5整除，这个数就能被 2或5整除;一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除;一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除;2.一个位数数字和能被 3整除，这个数就能被 3整除；3.4.一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数

2、能被11整除.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被11或13整除.7、11或13整除，那么这个数能被 7、99的倍数,曰 疋疋5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都 有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是 这个数- ，定是 99的倍数。【备注】（以上规律仅在十进制数中成立 .）二、整除性质性质1如果数c I b,性质2如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除.即如果那么 c I （a b）.a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除即如果c I a,b I

3、a,c I b,那么 c I a.用同样的方法，我们还可以得出:性质3如果数a能被数 么 b I a, c I a.性质4如果数a能被数与c的乘积整除.即如果b与数c的积整除，那么 a也能被b或c整除.即如果 bcI a,那 b整除，也能被数 c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被bb I a, c I a, 且 （b, c）=1，那么 bc I a.例如：如果 3 I 12, 4 I 12,且（3 , 4）=1，那么（3 X 4） I 12.性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除.如果 b I a,那么bm| am（ m为非0整数）； 性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d

4、整除，那么ac也能被bd整除.如果b I a，且d I c ,那么bd I ac；目归 例题精讲模块一、11系列【例1】【解析】以多位数142857为例，说明被11整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和 的差能否被11整除.【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答略【答案】142857 =1x100000 +4x10000 + 2x1000 +8x100 + 5x10 + 7x1=1x(100001 -1)+4x(1 +9999)+2x(1001 _1) +8x(1 +99)+5x(11 _1)+7x1=(1 x100001 +4x9999 +2x1001 +8x99 +5x

5、11) +(4 -1 +8 -2 +7-5)因为根据整除性质 1和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被11整除，再根据整除性质142857能否被11整除，只需判断4-1 +8-2 +7-5=( 4+ 8+7) (1 +2+5)能否被11整除， 到说明.1,要判断 因此结论得【例2】试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数,7557是11的倍数.【难度】2星【题型】解答那么它对应【解析】的反序数为6321，它们的和【考点】整除之11系列略【答案】设原序数为 abcd，则反序数为dcba，则abcd + dcba =(1000a+100b+10c+d)+(1000

6、d +100c+10b+a) =1001a +110b +110C +1001d=1191a+10b+10c+91d)，因为等式的右边能被 11整除，所以abed + deba能被11整除【例3】一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的 4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个：9865;9866;9867;9868:9869.这两个4位数的和到【解析】底是多少？【考点】整除之11系列 【难度】2星【题型】解答设这个4位数是abcd，则新的4位数是bcda .两个数的和为而+ bcda =1001a+1100b +110c+11d,是11的倍数.在所给的5个数中只有9867是11的

7、倍数，故正 确的答案为9867.【答案】9867模块二、7、11、13系列【例4】142857314275为例，说明被 7、11、13整除的规律.11、13系列【难度】3星【题型】解答【解析】以多位数【考点】整除之7、略【答案】142857314275 =1410000000085 1000000 +314 X1000 + 275=142X(1000000001 1) +857X(999999 +1)+ 314咒(1001 1) + 275=142X1000000001 142 +857X999999 +857 +314勺001 314 +275=(142 X1000000001 +857 X

8、 999999 + 314 x 1001) + (857 142+275314)因为根据整除性质1和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被7、11、13整除，再根据整除性质 1，要判断142857314275能否被7、11、13整除，只需判断 857 142+275 -314能否被7、11、13整除， 因此结论得到说明.【例5】【解析】已知道六位数20口 279是13的倍数，求 中的数字是几？【考点】整除之 7、11、13系列【难度】2星【题型】填空根据一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除的特点知道：27200 =70，7是13的

9、倍数，是8的时候是13倍数，所以7-2-2.数的整除之四大判断法综合运用(二)库教师版Page of 6【例6】【解析】【例7】【解析】【巩固】【解析】知道方格中填1。【答案】1三位数的百位、十位和个位的数字分别是5, a和b,将它连续重复写2008次成为：5ab5abUHi（ |5ab .如果此数能被91整除，那么这个三位数5ab是多少？【考点】整除之57、11、13系列【难度】3星【题型】填空因为91 =7x13，所以53&53&训|5ab也是7和13的倍数，因为能被 7和13整除的特点是末 2009个議三位和前面数字的差是7和13的倍数，由此可知5ab5a叫HI |5ab _5ab =

10、53&53&训5ab 000也是7和132008个5ab的倍数，即5ab5abQH|5ab也是7和13的倍数，依次类推可知2007个5ab回009即为：5ab5abUH|5ab -5ab =5ab5ab卅|5ab000 也是 7 和 132006个 5ab2007个5ab5ab5abUHH5ab末三位和前面数字的差2007个5ab的倍数，即5ab5abUIH|5ab也是7和132005个5ab2005个Sab的倍数，由此可知 5ab也是7和13的倍数，百位是 5能被7和13即91整除的数是：91x6 =546，所 以 ab =46.【答案】546已知四一位数55川5口99朴|9 （其中5和9各

11、有20个）能被7整除，那么中间方格内的数 字是多少？【考点】整除之 7、11、13系列【难度】4星 【题型】填空我们知道abcabc这样的六位数一定能被7、11、13整除。原41位数中从高位数起共有 20个5,从低位数起共有 20个9,那么我们可以分别从低位和高位选出555555，和999999，从算式的结构上将就是进行加法的分拆， 即: 555555 X 1000（35 个 0）+555555 X 1000（29 个 0）+55口 99+999999 X 10 00（12个0）+999999.这个算式的和就是原来的41位数，我们可以发现每一组含有555555或999999因数的部分都已经是

12、7的倍数，唯独剩余 55 99待定，那么只要令 55 99是7的倍数即可，即只要口 44是7的倍数即可，应为 6。【答案】应当在如下的问号“？”的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数66屮?职山可被750个650个5整除？【考点】整除之 7、11、13系列 【难度】4星【题型】填空由于111111 =111X1001可被7整除，因此如果将所得的数的头和尾各去掉 变其对7的整除性，于是还剩下“ 66?55 ”.从中减去63035，并除以10,即得 此时不难验证，具有此种形式的三位数中，只有【答案】2或948个数码，并不改 3?2 ”可被7整除. 322和392可被7整除.所以？处应填 2或9

13、.【例8】8ab8ab8ab8ab8ab是77的倍数，则ab最大为?【考点】整除之 7、11、13系列 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，4年级，第9题【解析】8ab8ab8ab8ab8ab =80x1001001001001 1001001001001既不是7的倍数，也不是11的倍数所以面是7和11的倍数77X10 =770， 770 +77 =847，847 +77 =924所以ab =47【答案】47【例9】一个19位数g严77044纭严44能被13整除，求0内的数字.【考点】整除之7、11、13系列【难度】4星 【题型】填空【解析】T3| g严044Lxa44，A 13|

14、 77 _；尹0444，a 13|7777770000000+ 77704449个9 个9/ 131777777 , A 13|7777770000000 , a 13| 7770444，二 13| 7770 -444 444 子 13 =43川2 , a 13| 7770 _2,.设 7770 =77707770 13 =597川9 , a 0=13-(9-2) =6【答案】6【例10】【解析】称一个两头（首位与末尾）都是 1的数为“两头蛇数”。一个四位数的“两头蛇数”去掉两头， 得到一个两位数，它恰好是这个“两头蛇数”的约数。这个“两头蛇数” 是。（写出所有可能）【度】4星 【题型】填空【

15、关键词】走美杯，5年级，决赛，第9题，10分去掉头尾后的两位数必为 1001的约数。1001的两位数的约数有11，13，77，91，所有可能 的数为 1111，1131，1771，1911。【答案】所有可能的数为 1111，1131，1771 , 1911模块三、特殊的数字系列【例11】【解析】学生问数学老师的年龄老师说：结果就是我的年龄。”老师今年 【考点】整除之特殊的数字系列【难度】2星【题型】填空【关键词】走美杯，3年级，决赛，第10题，12分 方法一：操作找规律，当这个三位数为111时，111斗（1+1+1）=37，当这个三位数为222时,222+（2 +2 + 2） =37，所以老师

16、今年 37岁。方法二，设而不求设这个三位数为aaa时，根据题意列出式子整理得至111 xa v（a +a +a） =37。【答案】“由三个相同数字组成的三位数除以这三个数字的和，所得 岁。37【例12】【解析】除.【考点】【难度】2星 【题型】解答【答案】整除之特殊的数字系列略abcdef = abcX1000 + def = abcx999 + （abc +def），因为 999 能被 37 整除，所以 abcx999 能被37整除，而（赢+def）也能被37整除，所以其和也能被 37整除，即abcdef能被37整除.已知两个三位数 abc与def的和abc+def能被37整除，试说明：六位

17、数 abcdef也能被37整【例13】一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的 4位数.再将新的4位数的千位数字移到右端构成一个更新的四位数，已知最新的4位数与最原先的4位数的和是以下5个数的一个：9865;9867;9462;9696;9869.这两个4位数的和到底是多少？ 【考点】整除之特殊的数字系列【难度】2星【题型】解答【解析】设这个4位数是abcd，则最新的4位数是cdab .两个数的和为abed +cdab =1010a +101b +1010C +101d ,是101的倍数.在所给的5个数中只有 9696是101的倍数， 故正确的答案为9696.【答案】9696【例14】一

18、个六位数各个数字都不相同，且这个数字能被17整除，则这个数最小是【解析】?【考点】整除之特殊的数字系列【难度】2星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第11题各个数字不同的六位数最小是123456，123456 +17 = 726227263x17 =123471，123471 +17 =123488，123488+17 =123505，123505+17=123522， 123522 +17 =123539，123539 +17 =123556，123556 +17 =123573，123573 +17 = 123590 最小是123590【答案】【例15】王老师在黑板上写了这样的乘法算

19、式要同学们告诉我你们喜欢1,2,3,4,5,6,7,8,9定全由你喜欢的数字组成。”小明抢着说：12345679x(27) =333333333 小宇举手说：:12345679x() =,然后说道：中的哪个数，我在括号里填上适当的乘数，右边的积一 我喜欢我喜欢3。”王老师填上乘数“ 27”结果积就出现九个7。只见王老师填上乘数“ 63”，积久出现九个那么算式中应填上的乘数是【题型】填空“只3 ；7：【解析】12345679x(63) =777777777，小丽说：“我喜欢 &”【考点】整除之特殊的数字系列【难度】2星实际上有 12345679x9 =111111111，因此 12345679乘

20、以9n ( n 为 1,2,3,4,5,6,7,8,9)得到的积就能出现9个n，所以要想得到9个8应该乘以72【答案】721235909-2-2.数的整除之四大判断法综合运用(二)库教师版Page of 6模块四、综合系列【例16】有四个非零自然数 a,b,c,d，其中c=a+b， d =b+c.如果a能被2整除，b能被3整除， c能被5整除，d能被7整除，那么d最小是.【考点】整除之综合系列【难度】2星【题型】填空【解析】【关键词】迎春杯，高年级，复赛， 6题 令a =2k,b =31，则d =61 +2k，因为d能被7整除，最小14,此时c取不到5的倍数；若d =28，贝U I =4, k

21、 =2，所以d最小是28.【答案】28【例17】【解析】若四位数9a8a能被15整除，则a代表的数字是多少？【考点】整除之综合系列【难度】2星【题型】解答【关键词】希望杯，五年级，复赛，第4题，6分因为15是3和5的倍数，所以oOsa既能被3整除，也能被5整除.能被5整除的数的个位数9 + a+8 + a=17，不是3的倍5字是0或5，能被3整除的数的各位数字的和是 3的倍数.当a = 0时, 数；当a =5时，9+a+8+a=17，是3的倍数.所以，a代表的数字是【答案】5【例18】【解析】在六位数3口2口 1口的三个方框里分别填入数字，使得该数能被 小的是.【考点】整除之综合系列【难度】3

22、星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第13题，5分15=5 X 3，最小数为 302010 30201015整除，这样的六位数中最【答案】【例19】是(【考点】整除之综合系列【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，五年级，初赛，第8题06这7个数字能组成许多个没有重复数字的7位数，其中有些是 55的倍数，最大的一个)。【解析】如果组成的7位数是55的倍数，55 =11咒5说明这个数既是5的倍数也是11的倍数。能被5 整除个位为5或者0,能被11整除说明这7位数的奇数位与偶数位的差是11的倍数，为0、11、22，0+1+2+3+4+5 + 6=21，拆成的两组数的差分别为：5和16，5 =0+1+4 =0+2+3，所以答案为643120516=6+5+3+2=6+5+4+1，又因为组成的数要最大为：6431205或者6342105，【答案】6431205【例20】【解析】两个四位数 A275和275B相乘，要使它们的乘积能被【考点】整除之综合系列【难度】2星【题型】解答考虑到72=8x9，而A275是奇数，所以275B必为8各位数字之和为 2 +7 +5 + 2 =16不是3的倍数也不是 9的倍数, 字之和A+2+7