毕业设计（论文）谐波电能计量算法的研究及MATLAB仿真

1、 （20112011 届）届） 毕业设计（论文）毕业设计（论文） 题目：谐波电能计量算法的研究及 matlab 仿真 学院： 机电工程学院 专业： 电子信息工程 班级： 电信 072 学号： 姓名： 指导教师： 教务处制 2011 年 5 月 20 日 诚诚 信信 声声 明明 我声明，所呈交的论文是本人在老师指导下进行的 研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。我承诺 ，论文中的所有内容均真实、可信。 论文作者签名： 签名日期： 年 月 日 授授 权权 声

2、声 明明 学校有权保留送论文交的原件，允许论文被查阅和 借阅，学校可以公布论文的全部或部分内容，可以影印、 缩印或其他复制手段保存论文，学校必须严格按照授权 对论文进行处理，不得超越授权对论文进行任意处置。 论文作者签名： 签名日期： 年 月 日 谐波电能计量算法的研究及 matlab 仿真 摘摘 要要 本课题主要研究了小波变换的基本理论,为实现复杂工业现场的电能准确计 量，提出了基于小波分解与重构算法的谐波电能计量方法，介绍了小波的分解 与重构算法和基于该算法的谐波信号提取方法，提出了一种在谐波存在的环境 下基于小波变换的有功电能计量算法，并对稳态信号的有功电能计量进行了仿 真实验。 结果证

3、实了基于小波变换算法的有功电能计量精确度可满足现行电网运行 要求，具有很大的实用价值和可行性。 关键词：谐波能量，小波变换，分解与重构，稳态信号，matlab 仿真 harmonic power measurement algorithm and matlab simulation abstract the main topic of the basic theory of wavelet transform for the realization of complex industrial site accurate measurement of power, based on wavele

4、t decomposition and reconstruction algorithm of the harmonic energy measurement method, introduced wavelet decomposition and reconstruction algorithm and the algorithm harmonic signal extraction, a presence in the environment based on harmonic wavelet transform algorithm for active energy measuremen

5、t, and the steady- state signal energy measure were simulated. the results confirm that the algorithm based on wavelet transform energy measure accuracy can meet the requirements of the existing power grid, has great practical value and feasibility. keywords: harmonic energy，wavelet transform，decomp

6、osition and reconstruction，steady-state signal，matlab simulation. 目录 摘 要.iii abstract.iv 1 绪论.1 1.1 选题背景及研究意义.1 1.2 谐波分类及变化特点.2 1.3 谐波测量在电力系统中的重要性及电网谐波的标准.2 1.3.1 谐波测量在电力系统中的重要性.2 1.3.2 电网谐波的标准.5 1.4 谐波测量仪器.5 1.4.1 谐波测量仪器的分类.5 1.4.2 谐波测量仪器的发展趋势.6 1.5 电网谐波测量方法综述.6 1.5.1 采用模拟带通或带阻滤波器测量方法.6 1.5.2 快速傅里叶

7、变换理论.7 1.5.3 瞬时无功功率理论.8 1.5.4 神经网络理论.9 1.5.5 小波变换理论.9 1.6 论文主要研究的内容和目标.9 1.6.1 主要研究的内容.9 1.6.2 目标.10 2 电网谐波的数学理论.11 2.1 谐波的概念及相关参数.11 2.1.1 谐波的概念.11 2.1.2 谐波含量（电压或电流）.13 2.1.3 谐波含有率（hr）.13 2.1.4 公用电网谐波电压和谐波电流的计算.14 2.2 离散傅里叶变换理论.15 2.2.1 定义.15 2.2.2 用 dft 进行谱分析存在的问题.16 2.3 快速傅里叶变换理论.16 2.4 小波变换理论.20

8、 2.4.1 小波变换.20 2.4.2 多分辨分析.22 3 基于小波变换的谐波电能测量及 matlab 仿真.28 3.1 小波的分解与重构.28 3.2 电能的计算.29 3.3 谐波功率的定义.30 3.4 基于 matlab 平台的有功电能计量仿真.31 4 基于 att7022b 的谐波电能测量硬件设计.37 4.1 装置总体设计方案.37 4.2 芯片 att7022b 的结构.37 4.2.1 电源监控电路.38 4.2.2 系统的复位.38 4.2.3 a/d 转换.39 4.3 采样电路.39 4.4 存储器电路.40 4.5 spi 接口电路.41 4.6 通信转换电路.

9、41 结论.42 参考文献.43 致谢.44 附录图 1 硬件连接图.45 附录 2 仿真程序 1.46 附录 3 仿真程序 2.46 1 绪论 1.1 选题背景及研究意义 近年来，现代工业的高速发展使得越来越多的非线性负荷出现在电力系统 中。这些非线性负荷生大量的谐波电流，造成电网中电压波形的严重畸变，对 电力系统中的发、变电设备、继电保护装置、自控装置、通讯设备和测量仪器 造成了不同程度的危害。谐波污染问题已经在世界范围内得到广泛的重视。电 能计量是发电企业、输配电企业、电力用户之间进行贸易结算的依据，它的准 确性与合理性直接影响三者之间的利益。 国内电力系统中最常用的电能计量表计是感应式

10、电能表和电子式电能表， 从其电能计量原理来看，两种电能表在电网谐波条件下都无法做到准确的电能 计量。感应式电能表在谐波影响下的误差是由其自身的电磁物理特性决定的。 国内外技术人员针对感应式电能表的误差模型、谐波条件下的误差完成了大量 的理论和试验工作。电网谐波条件下的电能计量主要存在以下问题：（1）当对 线性负荷供电的电源含有谐波功率时，感应式电能表记录的是基波电能及部分 谐波电能。 （2）当基波电源对非线性负荷供电时，非线性负荷将产生谐波功率 及电能，谐波功率将流人电网和其它用户，而电磁式电能表记录的是基波电能 减去一部分谐波电能的值。 （3）含谐波功率电源对非线性负荷供电时，情况比 较复杂

11、，电能计量的大小根据非线性负荷特征和电源谐波特性具体确定。按照 电能计量只计基波电量的观点，感应式电能表多计量了线性负荷的电量，少计 量了非线性负荷的电量。电子式电能表对电能的计量是根据电流和电压的a/d采 样值进行计算的，可以认为是电磁式电能表的数字化。因此无论是感应式电能 表还是电子式电能表都同时计量了基波电能和谐波电能。即由于谐波的存在， 使电能计量存在明显误差。 谐波问题对电力系统涉及面很广，包括对畸变波形的分析方法、谐波源分 析、电源谐波潮流计算、谐波补偿和抑制、谐波限制标准与谐波测量及在谐波 情况下对各种电气量的测量方法等。谐波测量是谐波问题中的一个重要分支， 也是研究分析谐波问题

12、的出发点和谐波测量的主要作用。a鉴定实际电力系统 及谐波源用户的谐波水平是否符合标准的规定，包括对所有谐波源用户的设备 投运时的测量；b电气设备调试、投运时的谐波测量，以确保设备投运后电力 系统和设备的安全及经济运行；c谐波故障或异常原因的测量；d谐波专题 测试，如谐波阻抗、谐波潮流、谐波谐振和放大等。由于谐波具有固有的非线 性、随机性、非平稳性和影响因素的复杂性等特征，难以对谐波进行准确测量， 因此许多学者对谐波测量问题进行广泛研究。 在有谐波存在的电学量的测量中，以功率和电能的测量最为重要。这项工 作除了与谐波测量的相关标准有关外，更与谐波、畸波的功率分类和定义有关。 数字采样测量技术（如

13、快速傅里叶变换的数字技术和小波变换的数字技术）的 发展突破了以前存在的各种技术的限制，为功率和电能的测量提供了精密和快 速的方法。 本课题对谐波的定义、产生及其检测方法作重点介绍。重点研究基于fft、 小波变换等谐波检测的方法，对不同分析方法进行仿真分析。确定出合适的谐 波分析方法和谐波电能计量算法。为谐波电能监测装置的研究与开发提供基本 的理论依据。在相关理论研究的基础上，对基于dsp的谐波电能计量装置的整体 结构进行设计。 1.2 谐波分类及变化特点 国际电工委员会（iec）标准的规定，把谐波按波动性质分为四类： （1）准稳态（慢变化）谐波。 （2）波动谐波。 （3）快速变化谐波。 （4）

14、谐波（inter harmonic）和其他成分。 根据实测结果，电力系统中的谐波变化特点有两种： （1）随机性的变化，为小周期，短间隔的不规则性的变化，反映出谐波为 随机变量的特征。 （2）规则性的变化，其大小随谐波源负荷的大小、系统运行方式等作大周 期性的变化，例如当谐波源负荷增大或者系统小方式运行时，相应的谐波电流 或谐波电压将随之增大，在较大水平上作随机变化。 1.3 谐波测量在电力系统中的重要性及电网谐波的标准 1.3.1 谐波测量在电力系统中的重要性 电网谐波是指对周期性交流量进行傅里叶级数分解, 得到频率为基波频率 大于1整数倍的分量。电力系统谐波是重要的电能质量指标之一。当电力系

15、统中 谐波含量达到一定程度时,将对电力设备带来严重危害,影响电力系统的正常运 行。对于监测谐波或对谐波进行补偿而言, 确定谐波源是非常重要的。谐波产 生的根本原因是非线性负载如高压直流输电系统、变频器、可控整流器、电弧 炉、电动机车等的应用,造成电网中的谐波污染、三相电压的不对称性以及电压 波动和闪变日趋严重。同时,由于上述负荷的存在,使得电力系统中的供电电压 即便是正弦波形,其电流波形也将偏离正弦波形而发生畸变。因为非线性负载只 在输入电压被控制的部分吸取电流,虽然这样可以很好地提高效率,但却会在负 载电流中引起谐波。 谐波是电网的一大公害，因此对电力系统谐波问题的研究已被人们逐渐的 重视。

16、谐波对公用电网和其他电力系统的危害主要有以下几个方面： （1）影响线路的稳定运行 供配电系统中的电力线路与电力变压器，一般采用电磁式继电器、感应式 继电器或晶体管继电器予以检测保护，使得在故障情况下保证线路与设备的安 全。但对于电磁式继电器与感应式继电器，谐波含量高时，容易使继电保护误 动作，因而在谐波影响下不能全面有效起到保护作用。晶体管断电器虽然具有 许多优点，但由于采用了整流取样电路，容易受谐波影响，产生误动或拒动。 因此，谐波将严重威胁供配电系统的稳定与安全。 （2）影响电网的质量 电网系统中的谐波能使电网的电压与电流波形发生畸变。如民用配电系统 中的中性线，由于荧光灯、调光灯、计算机

17、等负载，会产生大量的奇次谐波， 其中3次谐波的含量较多，可达40；三相配电线路中，相线上的3的整数倍谐 波在中性线上会叠加，使中性线的电流值可能超过相线上的电流。另外相同频 率的谐波电压与谐波电流要产生同次谐波的有功功率与无功功率，从而降低电 网电压，浪费电网的容量。 （3）对电容器的危害 当电网存在谐波时，投入电容器后其端电压增大，通过电容器的电流增加 得更大，使电容器损功率增加。对于膜纸复合介质电容器，允许有谐波时的损 耗功率为无谐波时损耗功率的1.38倍；对于全膜电容器，允许有谐波时的损耗 功率为无谐波时的1.43倍。如果谐波含量较高，超出电容器允许条件，就会使 电容器过电流和过负荷，损

18、耗功率超过上述值，使电容器异常发热，在电场和 温度的作用下绝缘介质会加速老化。龙其是电容器投入在电压已经畸变的电网 中时，可能使电网的谐波加剧，即产生谐波扩大现象。另外谐波的存在往往使 电压呈现尖项波形，尖项波形波易在介质中诱发局部放电，且由于电压变化率 大，局部放电强度大，对绝缘介质能起到加速老化的作用，从而缩短电容器的 使用寿命。一般来说，电压每升高10%，电容器的寿命就会缩短1/2左右。再者， 在谐波严重的情况下，还会使电容器鼓肚、击穿或爆炸。 （4）对电力变压器的危害 谐波使变压器的铜耗增大，其中包括电阻损耗、导体中的涡流损耗与导体 外部因漏磁引起的杂散损耗都要增加。谐波还使变压器的铁

19、耗增大，这主要表 现在铁心中的磁滞损耗增加，谐波使电压的波形变得越差，则磁滞损耗越大。 由于以上两方面的损耗增加，减少变压器的实际使用容量，或者说在选择变压 器额定容量时，需要考虑电网中的谐波含量的影响。除此之外，谐波还导致变 压器噪声增大，变压器的振动噪声主要是由于铁心的磁滞伸缩引起的。随着谐 波次数的增加。振动频率在l khz左右的成分使混杂噪声增加，有时还发出金属 声。 （5） 对电力电缆的危害 由于谐波次数高频率上升，再加之电缆导体截面积越大集肤效应越明显， 从而导致导体的交流电阻增大，使得电缆的允许通过电流减小。另外，电缆的 电阻、系统母线侧及线路感抗与系统串联，提高功率因数用的电容

20、器及线路的 容抗与系统并联，在一定数值的电感与电容下可能发生谐振。 （6） 对用电设备的危害 谐波对异步电动机的影响，主要是增加电动机的附加损耗，降低效率，严 重时使电动机过热。尤其是负序谐波在电动机中产生负序旋转磁场，形成与电 动机旋转方向相反的转矩，起制动作用，从而减少电动机的出力。另外，电动 机中的谐波电流，当频率接近某零件的固有频率时还会使电动机产生机械振动， 发出很大的噪声。 （7） 对低压开关设备的危害 对于配电用断路器来说，垒电磁型的断路器，易受谐波电流的影响使铁耗 增大而发热，同时由于对电磁铁的影响与涡流影响使脱扣困难，且谐波次数越 高影响越大；热磁型的断路器，由于导体的集肤效

21、应与铁耗增加而引起发热， 使得额定电流降低与脱扣电流降低；电子型的断路器，谐波也要使其额定电流 降低，尤其是检测峰值的电子断路器，额定电流降低得更多。对于漏电断路器 来说，由于谐波泄漏电流的作用，可能使断路器异常发热，出现误动作或不动 作。 （8） 对弱电系统设备的干扰 对于计算机网络、通信、有线电视、报警与楼字自动化等弱电设备电力 系统中的谐波通过电磁感应、静电感应与传导方式耦合到这些系统中，产生干 扰。其中电磁感应与静电感应的耦合强度与干扰频率成正比，传导则通过公共 接地耦合有大量不平衡电流流人接地极，从而干扰弱电系统。 （9）影响电力测量的准确性 目前采用的电力测量仪表中有磁电型和感应型

22、，它们受谐波的影响较大。 特别是电能表(多采用感应型)，当谐波较大时将产生计量混乱，测量不准确。 总之，谐波的产生，电网谐波来自于3个方面：一是发电源质量不高产生谐波； 二是输配电系统产生谐波；三是用电设备产生的谐波。其中，用电设备产生的 谐波最多。 因此，消除谐波污染，把谐波含量控制在允许范围内，已成为主管部门和 用电单位的共同奋斗目标。谐波问题涉及到的面很广，有关谐波问题的研究可 以划分为以下几个方面： （1） 谐波的补偿和抑制 （2） 谐波分析以及谐波影响和危害的分析。 （3） 与谐波有关的功率定义和功率理论的研究。 （4） 与谐波有关的测量问题和限制谐波标准的研究。 目前，电力系统中的

23、谐波源不但分布广，而且类型多，用电网中的谐波电 流可能来自非线性设备，也可能来自外线路，因此在进行谐波治理之前应了解 谐波的次数及其含量，即必须进行谐波的测试。谐波测量是谐波问题的一个重 要分支，它是谐波问题研究的主要依据，也是分析谐波问题的出发点。 1.3.2 电网谐波的标准 谐波国家标准是电力工业部(原能源部)根据国家标准局下达的任务而负责 制订的。从 1985 年起，起草工作组做了大量课题论证工作，同时学习国外的先 进经验和联系国内实际，完成了标准的制订，国家技术监督局于 1993 年发布了 中华人民共和国国家标准 gb/t14549-93电能质量公用电网谐波 ，制定了相 应的谐波标准，

24、使谐波测量管理工作规范化，而且实施谐波国标对保证电容器 的安全运行有重要意义。 1.制定谐波国标的目的 随着我国经济的发展，现代工业、交通等行业使用的各种换流设备的数量 越来越多、其容量亦越来越大，加上电弧炉、家用电器等非线性用电设备接入 电网，将其产生的谐波电流注入电网，使公用电网的电压波形发生畸变。电能 质量电能质量下降，同时威胁电网和包括电容器在内的各种电气设备的安全 经济运行。因此，把公用电网的谐波量控制在允许范围内，以保证电能质量， 防止谐波对电网和用户的电气设备、各种用电器具造成危害，保持其安全经济 运行，并获得良好的社会效益,这就是制订谐波国标的目的。 2. 制定谐波国标的基本原

25、则 （1）把电网中的电压总谐波畸变率及各次谐波含有率控制在允许的范围内， 保证供电质量，使接入电网中用户的各种用电器具免受谐波的危害，保持正常 工作。 （2）限制谐波注入电网的谐波电流及其在电网中产生的谐波电压，防止其 对电网发供电设备的干扰，保证电网的安全经济运行。 （3）在总结现有经验的基础上，结合我国情况，提出有科学依据和向国际 先进标准靠拢的规定，有其科学性、实用性和先进性。 1.4 谐波测量仪器 1.4.1 谐波测量仪器的分类 （1）按测量原理分：模拟式测量仪器和数字式测量仪器。模拟式测量仪器 是从模拟信号中测取谐波。数字式测量仪器是先对模拟信号采样、量化为数字 信号，然后经数字处理

26、，得到得到基波和各次谐波的幅值和相位。 （2）按测量功能分：谐波分析仪和频谱分析仪。谐波分析仪只测取电网周 期信号的各次谐波，而频谱分析仪是在一定频率范围内测取各种信号全部频率 分量的幅值。 1.4.2 谐波测量仪器的发展趋势 一般说，测量硬件经历了早期的模拟电路模块、数字电路模块，到目前的单 片机等实用的测量系统的过程，开发过程包括算法理论设计、仿真调试、程序 固化和实地测试等过程。在这个过程中，谐波测量的精度和实时性有了很大的 提高。现在的谐波测量装置融合了计算机控制、自动测试平台和相关虚拟仪器 技术，将测量、控制、分析集成与一体的智能化型谐波测量装置，提高了测量 精度，而且 cpu 芯片

27、具有很高的吞吐量，所以可以允许软件进行实时处理。 1.5 电网谐波测量方法综述 谐波测量是谐波问题中的一个重要分支，也是研究分析谐波问题的出发点 和主要依据。由于谐波具有固有的非线性、随机性、分布性、非平稳性和影响 因素的复杂性等特征，难以对谐波进行准确测量，为此许多学者对谐波测量问 题进行广泛研究。目前常用的一些谐波测量方法，根据测量原理的不同，分成 如下几类： 1.5.1 采用模拟带通或带阻滤波器测量方法 最早的谐波测量是采用模拟滤波器实现的，其模拟并行滤波式谐波测量装 置方框图如图 1-1 所示。由图可见，输入信号经放大后送入一组并行联结的带 通滤波器，滤波器的中心频率 f1、f2、fn

28、 是固定的，为工频的整数倍，且 f1f2为工频的整数倍，且 f1f213 偶次 k1.621.280.720.180.080 两个谐波源在同一节点上引起的同次谐波电压的迭加计算与上式(2)与(3)类同。 2.2 离散傅里叶变换理论 2.2.1 定义 序列 x(n)长度为 m，定义 x(n)的 n 点 dft 为 （2-20） 2 1 0 ( ) ( )( ) n jkn n n x kdft x nx n e 0,1,2.1kn 式中，n 称为离散傅里叶变换区间长度，要求 n m。为书写简单 令，因此通常将 n 点 dft 表示为 2 j n n we （2-21） 1 0 ( ) ( )(

29、) n kn n n x kdft x nx n w 0,1,2.1kn 定义 x(k)的 n 点离散傅里叶逆变换(idft)为 （2-22） 1 0 1 ( )( )( ) n kn n n x nidft x kx k w n 0,1,2.1kn 有限长序列在数字信号处理是很重要的一种序列，当然可以用 z 变换和傅 里叶变换来研究它，但是，可以导出反映它的有限长特点的一种有用工具是 离散傅里叶变换(dft)。离散傅里叶变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表示 法在理论上相当重要之外，而且由于存在着计算离散傅里叶变换的有效快速算 法，因而离散傅里叶变换在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用。

30、 从物理意义上来说，傅里叶变换实际上是把波形分解成许多不同频率的正( )f t 弦波的叠加和。为了能够重构，要适当的选取采样频率（采样周期 t） 。当( )f t 然，当满足某种限制时，就有可能通过有限个采样点来确定这些样值点所( )f t 代表的函数。这种限制就是乃奎斯特（nyquist）抽样定理：当的频带受到( )f t 限制时，要想准确的恢复，必须以大于其最高频率的二倍的频率来采样。( )f t 如果采样频率低于其最高频率的二倍，将造成频谱重叠，造成信息的损失。 然而，傅里叶变换存在着明显的缺陷即无时间局部信息。就是说，信号任( )x t 何时刻的微小变化都会牵动整个频谱；反过来，任何有

31、限频段上的信息都不足 以确定在任意时间校范围函数。比如，对于一个低频信号，如果给它在某( )x t 一时刻增加一个冲击，那么它的频谱就会立刻变成宽带频谱。然而，根据这 0 t 个宽带频谱只能辨别出信号中存在着冲击，无法确定这个冲击发生的时间位置。 这表明，傅里叶变换分析法虽然有很强的频域定位和频率局域化的能力，但是 没有时间定位和时间局域化的能力。 2.2.2 用 dft 进行谱分析存在的问题 栅栏效应：只能看见 n 个离散采样点的谱特性，看不到的全部频谱 () a xjf 特性。由于栅栏效应，有可能漏掉(挡住)大的频谱分量。为了把原来被“栅栏” 挡住的频谱分量检测出来，可以采用在原序列尾部补

32、零的方法，改变序列长度 n(即改变 dft 变换区间长度)，从而增加频域采样点数和采样点位置，使原来漏 掉的某些频谱分量被检测出来。 频率响应的混叠失真及参数选择： 设信号最高频率为，按时域抽样定理，抽样频率，采样间隔 c f2 sc ff （时域抽样之前用预滤波器将高于频率的信号分量加以滤除） ， 11 2 sc t ff c f 否则会产生频率响应的混叠失真。一般情况下取: =（2.53.0）。 s f c f 2.3 快速傅里叶变换理论 当有 n 个采样点时，采用 dft 变换，每计算一个频谱的离散值就要做 n 次 复数相乘和 n-1 次复数相加运算，计算全部 n 个点的频谱值就需要做个

33、乘法 2 n 和 n(n-1)次加法运算。所以，当采样点 n 的值很大时，对信号的实时处理就比 较困难，以至于在实践工作中无法广泛应用。 1965 年，库利（j.w.cooley）和图基（j.w.tukey）提出了快速傅里叶变 换算法（fft） ，计算全部 n 个点的频谱值就需要做个乘法和 2 log 2 n n 次加法运算，大大节省了运算时间。fft 算法的问世是数字信号处理 2 lognn 发展史上的一个转折点。 对信号进行 n 次采样，采样率，采样信号的时域表示，其中 0nn- s f( )x n 1,相邻采样间隔为，对这 n 个采样点进行离散傅里叶变换，表达式如下： 1 t f （2-

34、 2 111 000 22 ( )( )( ) cos()sin() nnn jnk kn n n nnn x kx n ex nnkjnkw nn 23） 其中 k=0,1,2,3,n-1 ; 2 j kn n n we fft 算法要求采样的点数 n 必须是 2 的整数幂，即（l 为整数） ，如2ln 果不满足这个条件，可以人为的加上若干零值点，使之达到这一要求。这种 n 为 2 的整数幂的 fft 也称基-2fft。因此，快速傅里叶变换的发展方向有两个： 一个是 n 等于 2 的整数幂的算法，如基-2 算法、基-4 算法等；另一个是 n 不等 于 2 的整数幂的算法。 最常用的是基-2

35、算法和基-4 算法，但他们又各有优势，基-2 算法变换的 程序代码较少，但耗时较长，整周期的采样点数是 2 的整数幂；而基-4 算法的 程序代码较多，但耗时较短，整周期的采样点数是 4 的整数幂。 基-2 算法又分为两种： （1）按时间抽选（dit）的基-2 fft 算法（库利图基算法）：将时域序 列按时间下标的 n 的奇、偶分成两组来分解 dft，层层下分直到两点的 dft( )x n 为止。 (2) 按频率抽选（dif）的基-2 fft 算法（桑德图基算法）：将频域序 列按频率下标 k 的奇、偶分成两组来分解 dft，层层下分直到两点的 dft( )x k 为止。两种方法类似，按时间抽选（

36、dit）的基-2 fft 算法比较常用，下面来 介绍这种方法的原理。 将的序列（n=0,1,2,n-1）先按 n 的奇偶分成以下两组：2ln ( )x n 1 (2 )( )xrx r r=0,1,. (2-24) 2 (21)( )xrx r1 2 n 则可将 dft 化为 11 00 ( )( )( )( ) nn knkn nn nn nn x kdft x nx n wx n w 为偶数为奇数 11 22 2(21) 00 =(2 )(21) nn rkrk nn rr xr wxrw 11 22 22 12 00 ( )()( )() nn rkkrk nnn rr x r wwx

37、r w 利用系数的可约性,即,则上式可表示成 2 .22 /() 2 2 n jj n n wee （2-25） 11 22 1/22/212 00 ( )( )( )( )( ) nn rkkrkk nnnn rr x kx r wwx r wx kw xk 式中和分别是和的 n/2 点的 dft： 1( ) x k 2( ) xk 1( ) x r 2( ) x r （2-26） 11 22 2 11/2 00 ( )( )(2 ) nn rkrk nn rr x kx r wxr w （2-27） 11 22 2 22/2 00 ( )( )(21) nn rkrk nn rr xkx

38、r wxrw 由（2-25）可看出，一个 n 点的 dft 已分解成两个 n/2 点的 dft,它们按 （2-25） 又组合成一个 n 点的 dft。但是，和以及和都 1( ) x r 2( ) x r 1( ) x k 2( ) xk 是 n/2 点的序列，即 r,k 满足 r,k=0,1,. 。而却又 n 点，而1 2 n ( )x k （2-25）计算只是得到前半部分的结果，要用和来表达全部的 1( ) x k 2( ) xk 的值，还必须应用系数的周期性， ,即可以得到：( )x k () 2 /2/2 n r k rk nn ww (2-28) 11 22 () 2 11/21/21

39、 00 ()( )( )( ) 2 nn n rk rk nn rr n xkx r wx r wx k 同理可得 （2-29） 22 ()( ) 2 n xkxk (2-28)、 （2-29）说明了后半部分 k 值（n/2kn-1）所对应的， 1( ) x k 分别等于前半部分 k 值（0k n/2-1）所对应的和。 2( ) xk 1( ) x k 2( ) xk 再考虑的性质： (2-30) k n w () 22 nn k kk nnnn ww ww 这样，把(2-28)、 （2-29） 、(2-30)代入（2-25） ，就可将表达为前后两部( )x k 分： 前半部分（k=0,1,.

40、 ）( )x k1 2 n （2-31） 12 ( )( )( ) k n x kx kw xk 后半部分（k=. ）( )x k 2 n 1n k=0,1,. （2-32） 12 ()( )( ) 2 k n n x kx kw xk1 2 n 这样，只要求出 0 到（n/2-1）区间的所有和 的值，就求出了 1( ) x k 2( ) xk 0 到(n-1)区间内的所有的值,如图 2-1 的 8 点 dft 一次时域抽取分解运算 ( )x k 的蝶形图。 图 2-1 8 点 dft 一次时域抽取分解运算流图 这样就大大节省了运算时间。直接计算 n 点 dft 的复数乘法次数为 n2，复 数

41、加法次数为(n-1)n。如图 2-2 的 dit-fft 与 dft 所需乘法次数比较曲线图。 可见，随着 n 点数的增多，dit-fft 算法所表现的优势愈发明显。 图 2-2 dit-fft 与 dft 所需乘法次数比较曲线图 2.4 小波变换理论 小波这一术语，顾名思义， “小波”就是小区域、长度有限、均值为 0 的波 形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振 幅正负相间的震荡形式。 传统的信号理论，是建立在 fourier 分析基础上的，而 fourier 变换作为 一种全局性的变化，其有一定的局限性，而小波分析克服了这种局限性。与 fourier 变换相比

42、，小波变换是空间(时间)和频率的局部变换，即是一种窗口 大小（窗口面积）固定但其形状可变时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分 析方法。它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高 频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚 焦到信号的任意细节，很适合探测正常信号中夹带的瞬态反常现象，能有效地 从信号中提取信息，所以被称为分析信号的“显微镜” 。 小波分析的应用领域包括：量子力学、理论物理；数学领域的许多学科； 军事电子对抗与武器的智能化；信号分析、图象处理； 计算机分类与识别；音 乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障

43、诊断等方面；在医学成像方面的减少 b 超、ct、核磁共振成像的时间，提高分 辨率等。 2.4.1 小波变换 （1）连续小波变换 （2-33） 1 2 ()( , )( ) () xb w fa baf xdx a 假定,为了由连续小波变换式（2-33）重构，需要满足容 2( )l ir( )f x 许性条件 （2-34） 2 1 ( )cwwdw 如果,那么是连续的，则由式（2-34）推出，或者 1( )l ir (0)0 （2-35）( )0 x dx 如果满足容许性条件（2-34） ，则称函数系 2( )l ir 为一个基小波，其中，；称为尺度因 1 2 , ( )() a b xb xa

44、 a ar0a bra 子；称为平移因子。参数和都是连续变化的。相应的（2-33）称为关于这bab 个基小波的连续小波变（或积分小波变换） 。 连续小波变换（2-33）也可以写成内积表达式形式： （2-36） , ()( , ), a b w fa bf 可以以尺度的概念去理解，当增大时，表示以伸展了的波形去衡a( )x 量整个；当减小时，表示以压缩了的波形去衡量局部，大的比( )f xa( )x( )f x 例因子看全局而小的比例因子看局部（细节） 。这一性质称为“变焦距”性质。 从另一种角度去看，越小，对应的是高频率，时间分辨率越高。所以，a 分析高频信号时，应当采用窄的分析窗口。由于小波

45、变换的分析窗口的面积恒 定，窗口变窄，窗口的高度必然增加，即频率的定位能力和频域的分辨率要降 低。 连续小波变换还具有一个重要的性质，即等 q 性质：小波的带通滤波器的 带宽和中心频率成正比 f 0 f 是常数 （2-37） 0 f qc f c 即滤波器有一个恒定的相对带宽，称之为等 q 结构。这样一来，小波变换让 和在同一时频平面变化，称之为多分辨分析。tf （2）离散小波变换 a、在连续小波变换中，考虑族，由于基函数的等 1 2 , ( )() a b xb xa a q 性质，需要对参数也做等 q 结构离散化，为了方便，只限制取正值，所以容a 许条件变成，在二进小波变换中， 22 1

46、0 1 ( )( )cwwdwwwdw 只取为一些离散的值，；增大时延迟时间间隔也增大，a 1 2 j j aajza 这时，对于固定的伸缩步长，可选取，；在时，取固定 0 1a 0 m aamz0m （）整数倍离散化 是很自然的，当然要取使“覆盖”整 0 b 0 0b b 0 b 0 ()xnb 个实轴，故取。 00 m bnb a 现在提出两个问题： (1)离散小波系数完全特征化吗？ , , m n ff (2)任一函数能写为“基本建筑块” 的一种叠加吗？f ,m n 对于参数离散化的子波基函数，有小波系数，所以只要能 , ( )( ) m nm n cf xx dx 找到，信号的重建 0

47、 a( )x （2-38） , ( )( ) m nm n mn f xcx b、提到重构（完全特征化），必须提到小波框架的概念，为了由f 得到一个数值稳定的重构算法，要求构成一个框架。如果构 , , m n f ,m n ,m n 成一个框架，可求得由重构的一个算法。对于这个算法框架界的比 , , m n ff 是重要的。 由小波系数所代表的能量满足 , ( )( ) m nm n cf xx dx 2 , , m n m n c （2- 2 , , xm nx m n aecbe 39） 其中，是信号的能量，a,b 称为框架界。 x ef c、规范正交小波 若，其他情况结果为 0，这种情况

48、即正 , ( )( )1(,) m n mn xx dxmm nn 交归一。则任意信号可以表示成 （2-40） , , ( ) m nm n m n f xcx 2.4.2 多分辨分析 (1) 尺度函数的概念 尺度函数经过平移得到的函数定义为：( ) k tk ,； (2-41)( )() k ttkkz 2 l 若信号可以由线性表示，则存在( )x t( ) k t (2-42)( )( ) kk k x tat 若由尺度函数经过平移和压缩而得到的不同尺度下的尺度函数( ) tj 定义为:( ) k t (2-43) 2 , ( )2(2) j j j k ttk, j kz 一般来说，以来

49、表示分辨率，越大（尺度值越小，说明信2 j j 1 2 j j aa 号波形被压缩的越厉害） ，分辨率越高。 可以分析知道： 当时，即尺度减小一半，信号波形被压缩一半，则分辨率提高了一倍。1jj 当 时，则分辨率。j 当时，即尺度增大一半，信号波形被伸展一半，则分辨率下降了一倍。1jj 当时，则分辨率。j 0 由于信号在时域上比更窄，所以可以表达更多的信号， , ( ) j k t 1, ( ) jk t , ( ) j k t 也就是说所构成的信号空间要比信号所构成的信号空间大。 , ( ) j k t j v 1, ( ) jk t 1j v 用数学表达式可以表示成 ； 1jj vv jz

50、 同样就得到： (2-44) 21012 .vvvvvvv 由上式容易知道，由高分辨率尺度信号所构成的信号空间包含了低分辨率 尺度信号所构成的信号空间。也就是说： 若存在 ( ) j x tv 则必存在 1 ( ) j x tv 这表明，如果信号可以由尺度函数线性表达，那么这个信号( )x t 1, ( ) jk t 必然也可以由线性表达。简单的说，就是低分辨率信号可以由高分( )x t , ( ) j k t 辨率信号线性表达。 （2）由尺度函数到多分辨分析 由以上分析， （2-45） 0 ( )2 (2) n thntn 其中，是尺度滤波器（scaling filter）单位脉冲响应。根据

51、信号空间 0 h n 的概念，尺度函数可以定义小波函数，而后再由小波函数经过平移和( ) t( ) t 尺度展缩得到小波信号 （2-46） 2 , ( )2(2) j j j k ttk, j kz 小波信号设计为尺度信号的正交信号，即： , ( ) j k t , ( ) j k t （2-47） , ( ),( )( )( )0 j kj kj kj l tttt dt , ,j k lz 定义：， 1jjj wvv 0 jj wv 则可以得到： （表示正交和） (2-48) 1jjj wvv 若小波函数且，则，由于小波函数属于尺度函数 0 ( ) tw 01 wv 1 ( ) tv( )

52、 t 张成的信号空间，说明可以由线性表示。这就是小波(2)tk 1 v( ) t(2)tk 函数的多分辨分析方程：( ) t (2-49) 1 ( )2 (2) n th ntn nz 其中，为小波函数系数 1 h n 若尺度函数与小波函数满足正交性 即( ) t( ) t (2-50)( ) ()0ttk dt 则小波函数系数与尺度函数系数满足 1 h n 0 h n (2-51) 10 ( 1)1 n h nhn 当为有限长序列，且长度 n 为偶数时，则有 (2-52) 10 ( 1)1 n h nhnn （3）的多分辨逼近 2( ) l r 用表示所有能以分辨率逼近空间函数的集合，为的子

53、空间： j v2 j2( ) l r 2( ) l r 2( ) j vl r 令（j=.-2,-1,0,1,2,）是中一个函数子空间序列，则满足以下条 j v 2( ) l r 件性质： 1) 单调性： 11 . jjj vvv jz 2) 逼近性：， 0 j j zv 2( ) j j zv l r 3) 伸缩性：( ) j f tv 1 (2 ) j ftv 4) 平移不变性： 0 ( )f tv 0 ()f tkv 满足以上性质的空间集合称为以不同分辨率的的多分辨逼近。2 j2( ) l r 对存在， 2 ( )( )f tl r （2-53） /2/2 ( )( ),2(2) 2(2

54、) jjjj jjj n c f tf uuntn 即原信号的分辨率为的逼近。( )f t2 j 把分解于规范正交基的一组系数，就是上述内积所表示的那样，以( ) j c f t j v 记之， , j k cf （2-54） /2 , ( ),2(2) ) jj j kjn z cff uun 称为的分辨率为的离散逼近。( )f t2 j （4）原始信号的分解及电力系统干扰的检测 1） 对于原始信号分解的概念，可以理解成使此原始信号通过一带限滤波 器，得到信号的粗分辨逼近（粗略信息） ，这部分其实就是尺度信号，与 , ( ) j k t 原信号的差是丧失了一部分高频分量（精细信息） ，这部分

55、是小波信号所 , ( ) j k t 以 原始信号=“粗略信息”+“精细信息” 而精细信息可以采用高通滤波器来获得。分解过程如图 2-3： 信号( )f t 低通滤波器 高通滤波器 粗略信息 精细信息 图 2-3 所以信号的小波分解，就是把一个混频信号分解为若干个互不重叠的频带 的信号，这样就完成了滤波和检波的功能。如果再对低频部分（粗略信息）进 行小波分解，又可获得粗略部分的“粗略信息”和“精细部分” ，以此类推，将 对信号逐层分解。 由以上分析，原始信号分解为粗略部分和精细部分，并且通过不同带( )f t 宽的带通滤波器（高通滤波器和低通滤波器） ，依次分离下去，便可以从原始信 号中区分出

56、干扰，从而能单独的分析它们。( )f t 可以设是原始信号的离散逼近，利用多分辨技术（分辨率分别 0( ) c n( )f t 为=1,1/2,1/4,1/8）,在尺度 1 分解信号是和，其中和2 j 1( ) c n 1( ) d n 1( ) c n 是小波交换系数的正交信号的粗略部分和精细部分。它们定义： 1( ) d n 0( ) c n （2-55） 100 ( )(2 )( ) k c nh kn c k （2-56） 110 ( )(2 )( ) k d nh kn c k 式子中的，是相关的滤波器。下一级分解是以为基础，信号的 0( ) h n 1( ) h n 1( ) c

57、n 二度分解为： （2-57） 201 ( )(2 ) ( ) k c nh kn c k （2-58） 211 ( )(2 ) ( ) k dnh kn c k 高尺度分解如上述方法。多分辨分析（msd）可以用下图 2-4 描述： 0( ) c n 0( ) h n 1( ) h n 2 抽取 2 抽取 0( ) h n 1( ) h n 2 抽取 2 抽取 1( ) d n 图 2-4 多分辨分析图解 图 2-4 表明，信号用和分解为和，这些滤波器使 0( ) c n 0( ) h n 1( ) h n 1( ) c n 1( ) d n 用分析信号确定小波。如果选择系数为 4 的滤波器和

58、，那一个 0( ) c n 0( ) h n 1( ) h n 用的是叫 4 滤波系数的 daubechies 小波（简称 daub4） 。滤波器和形 0( ) h n 1( ) h n 成一个尺度函数和小波函数的族，所以就得到（2-45）式( ) t( ) t 和（2-49）式。由于因数 2 0 ( )2 (2) n thntn 1 ( )2 (2) n th ntn 的分样，因此和的分析时间仅是的一半。如果有 n 个采样 1( ) c n 1( ) d n 0( ) c n 0( ) c n 点，那么信号和在同一个观察周期，将有 n/2 个采样点。 1( ) c n 1( ) d n 在时

59、间上对干扰的定位非常明了，因为它仅使用了一个滤波器和一次二分 样。 （2-55）和（2-56）中检测和定位的物理过程被描述为 （2-59） 11, 1 ( )( )( )( ) () 22 n t c nf ttf tn dt （2-60） 11, 1 ( )( )( )( ) () 22 n t d nf ttf tn dt 其中，这里被认为是仿造的信号， 000, ( )( ) ()( )( ) n nn f tc ntnc nt ( )f t 是由尺度函数在尺度为 0 时的的线性组合，这样一来，一些干扰在 0( ) c n 也像在里出现一样。代入（2-45）和（2-49）到（2-59）和

60、（2-60） 0( ) c n( )f t 产生 （2-61） 10 ( )( )( ) (2) k c nf th ktnk （2-62） 11 ( )( )( ) (2) k d nf th ktnk （2-61）中，是低通滤波器，所以是采样的正交信号的粗略部 0( ) h n 1( ) c n 0( ) c n 分， （2-62）中，有意带通滤波响应，所以只包含了信号的高频 1( ) h n 1( ) d n 0( ) c n 部分。正交信号被分解成粗略部分和精细部分。精细部分 0( ) c n 1( ) c n 1( ) d n 清楚的指出了干扰事件的发生情况，这就达到了检测干扰的作用