完整版勾股定理基础知识讲解

1、勾股定理（基础）撰稿：吴婷婷 责编：常春芳【学习目标】1. 掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；2. 能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题.【要点梳理】【高清课堂勾股定理知识要点】要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a, b，斜边长为c ,那么a2 b2c2.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）禾U用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长 可以建立方程求解，这样就

2、将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的 目的.1)2a b 2ab.所示的正方形.（3）理解勾股定理的一些变式：2 2 2 2 2 2a c b , b c a ,要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（图（1）中 E励=切，所以二/(3 )(2)方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.= e-町？+ 4二口臼，所以亡2 =和+&2 .方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.仏皿 =吐= W閱+?，所以盘2+2=2要点三、1.2.3.A、/ B/ C的对边分别为a、b、c .【思路点拨】利用勾股定理2 .2a bc2来求未知边长.【答案与

3、解析】解：(1)因为 ABC中，/C= 90a2 b22c , a = 5, b = 12,所以 c2a2 b2 5212225 144169 .所以 c = 13.(2)因为 ABC中,/C= 90a2 b22c , c = 26, b = 24,所以a2c2 b2262 242676 576100 .所以 a = 10.【总结升华】已知直角三角形的两边长， 斜边，再决定用勾股原式还是变式. 举一反三：【变式】在 ABC中，/ C= 90,/ A 已知 b = 6, c = 10,求 a ； 已知 a:c 3:5 , b = 32,求求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是/ B/C的对

4、边分别为a、b、c .(1)(2) 【答案】解：(1)/ C= 90a2 c2a = 8.(2)设 a 3k , c/ C= 90a2 b2即(3k)2322a、 c.,b = 6, c = 10,2 2 2b 10664 ,5k ,b = 32,2c .(5k)2.解得k = 8.二 a 3k 3 8 24, c 5k 5 8 40.类型二、与勾股定理有关的证明MNL AB垂足为N,解：因为MNL AB,所以AN2 MN 2 AM 2, BN2 MN2MB2,所以AN2 BN22 2AM 2 BM 2因为AM是中线，所以 MC= MBAC2,又因为/ C= 90,所以在 Rt AMC中, A

5、M 2 MC 2所以 AN2 BN2 AC2 .【总结升华】证明带有平方的问题，主要思想是找到直角三角形，利用勾股定理进行转化.若 没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再用勾股定理证明.举一反三：在 ABC中，/ C = 90, D为BC边的中点，DE丄AB于E,贝U AE2-BE2【变式】如图，等于 ()2C. BC2D . DE2【答案】连接AD构造直角三角形，得，选A.肿-EE Ab- DL-酣+D劈二 AD-防=AD - DC?二曲AB*tDC【答案】D;【解析】解：设 AB= x，贝U AF= x , / ABE折叠后的图形为 ABEA AFE BE= EF, EC= BC

6、- BE= 8- 3 = 5, 在 Rt EFC 中， 由勾股定理解得AFE,FO 4,在 Rt ABC中,x2 822，解得x 6 、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解.a, b, c,若a, c的面积分别为5和11,则b的面 11 D 16【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用， CDE由勾股定理可求 b的面积=a的面积+c的面积.【答案】D【解析】解：/ ACB+Z ECD=90 , / DEC+Z ECD=90 ,/ ACB玄 DEC在 ABC和 CDE中，由b是正方形，可求 ABCABC CDEACB DECAC CE ABCA CDE BC=DE AB2

7、BC2 AC2- AB2 DE2 AC2 b的面积为5+11=16，故选D.【总结升华】此题巧妙的运用了勾股定理解决了面积问题，考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键.类型五、利用勾股定理解决实际问题5、一圆形饭盒，底面半径为 8cm，高为12 cm，若往里面放双筷子（精细不计），那 么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？DC【答案与解析】解：如图所示，因为饭盒底面半径为8cm，所以底面直径 DC长为16cm .则在 Rt BCD中，bd2 DC2 BC2=162+122=4OO，所以 BD 20 (cm).答：筷子最长不超过 20cm，可正好盖上盒盖.其最大距离是以饭盒两底面的一【总结升华】本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离, 对平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长.举一反三：5m处断裂，旗杆顶部落在离底部12m处，则旗杆折【变式】如图所示，一旗杆在离地面断前有多高？【答案】解：因