圆锥曲线第三定义及扩展[行稳书屋]

1、圆锥曲线第三定义 在椭圆中，A，B两点关于原点对称，P是椭圆上异于A，B两点的任意一点，若存在，则。（反之亦成立）在双曲线中，A，B两点关于原点对称，P是椭圆上异于A，B两点的任意一点，若存在，则。（反之亦成立）焦点在Y轴上时，椭圆满足，双曲线满足例、已知椭圆的长轴长为4，若点P是椭圆上任意一点，过原点的直线与椭圆相交与M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为k1、k2。若k1k2=，则椭圆的方程为 。变式：1、 设点A，B的坐标为（-2，0），（2，0），点P是曲线C上任意一点，且直线PA与PB的斜率之积为，则曲线C的方程为 。2、 设点P是曲线C上任意一点，坐标原点是O，曲线C与X轴相交于

2、两点M（-2，0），N（2，0），直线PM，PN的斜率之积为，则的最小值是 。3、已知的两个顶点坐标分别是（-8，0），（8，0），且AC，BC所在直线斜率之积为m（），求顶点C的轨迹。4、 P是双曲线上一点，M，N分别是双曲线的左右顶点，直线PM，PN的斜率之积为，则双曲线离心率为 。5、 已知椭圆的左右顶点分别是A、B，M是椭圆上异于A、B的动点，求证：为定值。6、平面内与两定点，连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线求曲线的方程，并讨论的形状与值得关系；第三定义的应用例、椭圆的左右顶点分别是A，B，点S是椭圆上位于X轴上方的动点，直线AS，BS与

3、直线分别交于点M、N，求线段MN长度的最小值。变式：已知A,B 分别为曲线C： +=1（y0,a0）与x轴的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直，S为上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。第三定义的变形 框架一：已知椭圆，A，B是椭圆上的两动点，M为平面上一动点且满足。则有如图框架。（已知任意两个，可以推导第三个）。相应的双曲线中有，当焦点在Y轴上时，椭圆满足，双曲线满足。例、已知椭圆的中心为

4、坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线（）求椭圆的离心率；（）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值变式：已知在椭圆，A，B是椭圆上的两动点，M为椭圆上一动点满足且=1，证明：框架二：已知椭圆，A，B是椭圆上的两动点，M为平面上一动点且满足。则有如下框架：。例、设动点P满足，其中，M，N是椭圆上的点，直线OM、ON的斜率之积为，求动点P的轨迹方程。变式：设动点M满足，其中A、B是椭圆上的点，且。证明：P的轨迹方程为。框架三：已知动直线与椭圆交于两个不同的两点，且，其中O为坐标原点。有如下框图。 例、已知直线与椭圆: 交于,两不同点，且的面积S=,其中为坐标原点。（）证明和均为定值（）设线段的中点为，求的最大值；（）椭圆上是否存在点, , ，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由.变式：已知与椭圆交于两个不同的两点，已知，若，且椭圆离心率为，又椭圆经过点