第2讲导数与微分

1、第二讲一元函数微分学题型一与导数定义有关的题2h.【答案】-1例 1】已知(3) =2,则 lim f(3 h)-f (3)h JI解析】原式=-如22(3)-h【例21( 11,3)已知函数f (X )在x=0处可导，且f (0)=0,则limX2f(X)-2f(X3 )x3(A) -2(0)(B)-f(0)(C) f(0)(D) 0【答案】(B)x3x2f (X)2f (X3 详解：lim 2X2f (x)-x2f(0)2f(x3)+2f (0) = limXT3X3f(X)f (0) c f(X )f(0) =lim 2-Lx3故应选(B)=f(0)-2f(0)=-f(0)【例3】设函数

2、f(x)在x = 0处连续，下列命题错误的是()A.若 lim f (x)存在，则 f (0) = 0XTXB.若 limTXO +f(x)存在，则 f(0)=0C.若四存在，则f(0)存在D.若lim ULX)存在，则f(0)存在XTX【答案】【详解】方法1：论证法，证明A, B,C都正确，从而只有D不正确。由存在及f(x)在x=0处连续，所以f (0) =lim f(X)=lim 丄凶.x-lim 丄凶limx = 0im 丄色=0 ,所以(A)正确;由选项(A)知，f(0)=0，所以lim fg f(0) =|计3 存在，根据导数定义,TX-0T Xf (0)= limf x)(0)存在

3、，所以(C)也正确;x-0由f (x)在x=0处连续，所以f(-X)在x = 0处连续，从而lim f(x) + f(X)=ljm f (x) +1迪 f (x) = f(0) + f (0) =2f(0)2f(0)=lim f(x)(-x).xLlim f(x)+ f(x)lim x =0 dim 坐竺上Xk0，TX77X即有f(0)=0，所以(B)正确，故此题选择(D).方法2:举例法，举例说明(D)不正确。例如取f(x) =lim f(x) f(x)=lim x-0 TXx=0存在x，有而 lim f(X)f(0)= lim 比1 = _1，lim f -f(0) =12“，左右极限T

4、X 0T-x0X0T-x-0存在但不相等，所以f(x) =x在x =0的导数f(0)不存在。(D)不正确，选(D).【例4】函数f(X)=(x2 -x-2) X3 -x不可导的点的个数是(A) 3(B) 2(C) 1(D) 0-X =(x-2)(x+1)|x+1x-1显然f (x)不可导的点最多三个，即x = -1， x =1， x = 0 但由常用结论的备注可知，f(x)在x = -1可导，而在x = 1，x = 0不可导，故选(B).(A) 处处可导.(B)(C)恰有两个不可导点.(D)恰有一个不可导点. 至少有三个不可导点.【答案】C【详解】分段讨论，并应用夹逼准则，当 |x|1 时，有

5、听 出 + |x|3n ”2，命nT =0 取极限，得 lim 听=1，lim 2 = 1,n由夹逼准则得f (X)= ”曼卩1 + | X |3n = 1 ； 当 |x|=1 时，f(x)=lim n=lim 施=1;n_当 |x|1 时，|x3=ixyx3n2x3n2x3,| 命 nT 比取极限，得,1 1所以f(X)3QX，|x|1|x1lim 72|x|3n Hx|3，由夹逼准则得 f(x) =lim |x|3(m+1)n =|x|3. n Y| x |再讨论f (X)的不可导点.按导数定义，易知x=1处f(x)不可导，故应选(C).f (h2 【例6】设函数f(X )在x = 0处连

6、续,且一 = 1,则()(A) f (0) = 0且f jo 存在(B)f (0) = 1且f_(0 )存在(C) f (0 ) = 0且f +(0 )存在(D)f (0) = 1且f+(0 )存在【答案】C【详解】题目考察该抽象函数在 0点处的函数值，及0点处的左右导数，计算如下：2换元令x=h2，由题设可得=l哩匚=1 .于是 lim f (X)= lim f (x) x = 10=0xT牛XT0牛 XXT因为函数f (X)在点x=0处连续，故f(0) = lim+f(x) =0，进而有XT0 十 XXT0 十X-0这表明f(0)=0且fjO)存在.故应选(C).题型求导数与微分1、复合函

7、数求导(定理)：设u=3)u =2x，u =2，u(k)=0 (k 3)f (0) =Cnu(2)(0)vZ(0)V =1 +x1 =(x+1)4_2V = (T)(X +1)一 （x+1 严v(T =(_1)2(n_3)!(x + 1)*t - (T)53)!v(n-)(0) =(-1严(n -3)!n 2f(n)(0)=2(1)nS3)-1)n!(1) n n解法 2 f(X)= X2(X -Z + 上12一+-)2等式右端x的n次项系数an =(-1严(-1严n 2 n 2(n)nAS，则 f%)n! n!n -2题型三、求切法线方程【例20】设函数y = f (x)由方程e2x勺-co

8、s(xy) =e-1所确定,则曲线y = f (x)在点(0,1)处的法线方程为【答案】x-2y+2=0.【详解】在等式e2-cos(xyH1两边对x求导,其中y视为x的函数，得e2x (2x +y j +sin(xy)(xy ) =0，即卩 e2x为-(2 + y) +sin(xy) (y + xy) = 0将 x=0,2-2y=1代入上式，得e (2 + y )=0，即y(0) = -2.故所求法线方程斜率1 1=，根据点斜式法线方程为：y-仁丄乂，即x-2y+2=0.2 2【例21】曲线y =1 nx上与直线x + y=1垂直的切线方程为 【答案】y=x-1 【详解】方法1:因为直线X

9、+ y = 1的斜率ki = -1,所以与其垂直的直线的斜率k2满足冰2 = -1，所以-k2 = -1，即k2 =1，曲线y = lnx上与直线x+y =1垂直的切线方程的斜率为1，即y，= (1 n x)，=丄=1，得X =1，把X =1代入y = 1 nx，X得切点坐标为(1,0)，根据点斜式公式得所求切线方程为：y-0 = 1 .(x-O，即 y =x-1方法2 :本题也可先设切点为(X0,l nx0),曲线y = | nx过此切点的导数为1=1，得X0 =1，所以切点为(X0,ln X0) =(1,0 )，由此可知所求切线X0方程为 y-0=1 (X-1)，即 y = x-1.题型四

10、函数特性的讨论【例22】设函数f(X)在定义域内可导，y=f(x)的图形如右图所示,则导函数y = f(X)的图形为(C)【详解】从题设图形可见，在y轴的左侧，曲线y=f(x)是严格单调增加的，因此当xcO时，一定有f(x)0，对应y = f(X)图形必在x轴的上方，由此可排除(A)，(C)；(C)(A)又y = f(x)的图形在y轴右侧靠近y轴部分是单调增，所以在这一段内一定有f(x)0，对应y= fix)图形必在x轴的上方，可排除(B)，故正确答案为(D).【例23】设函数f(x)在 d 内连续，其导函数的图形如图所示，贝Uf(x)有 ()(A) 一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小

11、值点和一个极大值点(C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.【答案】(C)【分析】函数的极值点可能是驻点(一阶导数为零) 或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值 点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的 点有3个(导函数与x轴交点的个数)；x=0是导数 不存在的点.对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均 不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧 导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号 由负变为正，是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；对导数不存在的点：x=0 .

12、左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x = 0 为极大值点.故f (x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C) 2【例24】求函数f(X(X2 -1 pdt的单调区间与极值x2X2222 X22X22详解：f(x) = 1 (x -t)e dt = x 1 e dt - te dt2 X .2o 4o 4X所以 f(x)=2xj1 e dt +2x3ed -2x3 =2x(f(X)0, 0xc1 时，f(x)c0.令f(X)=0，则x=0,x = 1 ;因为当X工1时,一1 0， xcT 时，f(x)c0 ;所以f (x)的单调递减区间为(Y,T)U0,1) ; f (x)的单调递增区

13、间为 T,0)U1,畑)0工1 丄2所以 f (0) = 1 (0 t)e dt = -e1 1= (1-e)是极大值.f(1)=0为极小值.0 2【例25】2求函数f(x)=(x5)x的拐点【答案】(一1疋)【详解】53 _ 2,3 5 23 10 4； 3 5(X + 2)y = x 5x，= y = X x =133 33x“ 10 4310 4310(x+1)999xx = 1 时，y=0 ； x=0 时，y不存在在X = -1左右近旁y异号，在X = 0左右近旁y A 0，且y(-1) = -6故曲线的拐点为(-1,6)【例 26】曲线 y =(x-1)(x-2)2(x-3)3(x-

14、4)4 的拐点是()(A) (1,0)(B)(2,0)(C)(3,0)(D)(4,0)【答案】(C)详解：解析：令 yi = X 1,y； = 1, yi= 0， y2 =(X -2) , y2 = 2(x 2), y2 = 2,丫3 =(x3)3,y3=3(x3)2,y3l6(x-3),y4 =(x -4)4, y； =4(x -4)3, y； = 12(x-4)2,y(x-3)P(X)，其中 P(3) HO，yxT=0，在x=3两侧，二阶导数符号变化,故选(C).【例27】设函数f (X)满足关系式f (X)+ f (X)2 = X，且f(0) = 0，则()(A) f(0)是f(x)的极

15、大值.(B) f(0)是f(x)的极小值.(C) 点(0, f (0)是曲线y = f(X)的拐点.(D) f(0)不是f(x)的极值，点(0, f(0)也不是曲线y = f(x)的拐点.【答案】C【定理应用】判断极值的第二充分条件：设函数f(x)在Xo出具有二阶导数且f(X0)=O，f”(X0)HO，那么：(1)当f(X0)O时，函数f(X)在X0处取得极大值; 当L(X0)0时曲线y = f(X)是凹的,点(0, f (0)是曲线y = f(x)的拐点，选(C).【例28】设函数f(X)的导数在x=a处连续,又lim丄辿=_1,则()T X a(A)X = a是f (X )的极小值点.(B

16、)X =a是f(X )的极大值点.(C)(a,f (a)是曲线y=f(X )的拐点.(D)【答案】【详解】B方法1：由lim 口二-1,知XT X -af (x)f (x)xmf(X)=哩士 (x-aTima 亡処(x-a)=T go又函数f(X)的导数在x=a处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右极限等于函数在这一点的值，所以f(a)= 0，于是有, f (X)- f (a) f (X)彳f (a) = lim = lim 一 = -1,T x-a T x-a即f (a)=0, f (a)=10，根据判定极值的第二充分条件：设函数f(x)在X0处具有二阶导数且f X0)=O , f

17、X0)O，当(Xo) cO时，函数f(X)在Xo处取得极大值.知x=a是f(X)的极大值点，因此，正确选项为(B).方法2:由lim匸凶=-1,及极限保号性定理：如果lim f(x)=A，且A0(或XT x-afA0，使得当0cx-x。时，有 f(x):0(或f(X )0)，知存在X =a的去心邻域，在此去心邻域内 匸凶0 ；当xa时(x) 0，而xpXoXo +6 )时,f(x)0，则f(x)在X0处取得极大值，知f(a)为f(X)的极大值.因此，选(B).【例29】若曲线y =x3+ax2 +bx+1有拐点(-1,0)，则b =答案：b=3详解：y =x3 +ax2 +bx +1 y =3

18、x2 +2ax +by =6x +2a令y0,得x =-旦一1，所以a =33又曲线过点(-1,0 )，代入曲线方程，得b=3题型五求曲线的渐进线1【例30】求曲线y =丄+1 n(1+ex)渐近线的条数为()x【详解】因为 lim y +ln(1 +eX) j-lim 1 +ym)ln(1 + ex) n ,xTx所以x=0是一条铅直渐近线;因为 xim八xm -+in(1+ex)x丿也匚知四切+小0。0，所以=0是沿XT二方向的一条水平渐近线;a = lim = J從x1 x-+ln(1 +ex)c I 一 xrXrI 1 丄 ln(1+e )lim = lim I p +一從XJ從(x=

19、 iim 丄+ Iim ln(e )洛必达法则 0+limd = 1Xjbc xx_ x =J 疾11+exb=J(yax)=职 g+l n(1+ex)X1=戛一 +Jm(ln(1 +eX) -x ) X = lneX 0 +Jjm(ln(1+eX)-lneX )1+ex迪1n( ex)=協1 n(e + 1) = l n1 =0所以y =x是曲线的斜渐近线,所以共有3条，选择(D【例31】求曲线y =xarctanx的渐近线。解：显然曲线y=xarctanx无水平渐近线和垂直渐近线.limf = lim arctanx=2=aS XI 乂2xj arctanx -Jb = ljmp(x) -

20、ax )= limfxarctanx -；x J =arcta nx-JI y=ax+b亍_1是XT的斜渐近线.X同理y=?x_1是XT 乂时的斜渐近线.题型六、方程根的讨论【例32】设f(x)在0,1上可微，且当0 x1时，0 f(X)0 , F(1) = f(1)-10由零点定理知方程F(x)=0在(0,1)内至少有一实根，又 F(x) = f(x)-1工0，则F(x) =0最多一个实根，原题得证.【例33】求方程karctanx-x=0不同实根的个数，其中k为参数.详解：显然x=0为方程一个实根.arctan x - 一X当X H0时，令f(X )=arcta n x1+x22(arctanx )X令 g(X ) = arctanx -1 +x2L r 怜,11 +x2 - X 力X匸 R g(X )=2x21 +x(1+x2(1+x2即X迂R, g(x )0；g(0) = 0当 x0 时,g(x)0时,g(x)A0.当 x0时，f(x)0 ;当XA0时,f (x)a0.XT arcta nxXmfimXmarctanx二当1-k0时，贝U f (X 在 (虫,0) , (0, P)内均无零点.综上所述，当k:1时，原