第九章质点动力学的基本方程

1、用弹簧连接如图9.1( a)所示.已知物蛍均为常数；物块 D2静放在水平固定面D2的动反力.第九章质点动力学的基本方程典型例题例 9. 1物块Di和D2的质量分别为 mi和m2, 块Di沿铅直方向按 x = Acosot运动，其中A和 上如果不计摩擦和弹簧质量，试求水平支承面对物块Ia(a)I jV(0解本例是已知运动求力的典型题.因为物块点.分别取物块 Di和D2为研究对象，其受力分析和运动分析如图9 图中的F和F ,表示弹簧力，Fn是支承面对D2的动反力.根据质点动力学基本方程, 和D2分别有Di沿铅直方向作平动，可把物块Di看为质.1( 3和(C)所示,对Dim1a m1g + F0 =

2、m2g + F +Fn将以上两式投影到轴 x，得ma = -m1g + F0 = -m2g - F + Fn其中，f =f ,，且(1)(2)(3)(4).2d x, 2丄ai = -Ak coStdt式 (3) (5 )联立求解，最后得水平支承面对物块2Fn =仲1 +m2)g miAB co少tD2的动反力(a)讨论1.在动力学中，因为 动反力=静反力+附加反力中的静反力为(mi +m2)g ；附加反力为(miAco少t),它的大小和方向都将随着时间 t而不断变化.这是动力学问题与静力学问题的重要区别之一.由于物体运动状态变化，有 加速度出现，动反力也会相应变化.读者不能以静力学的观点来处

3、理动力学问题.2 .由式(a)知，当coSt = 1时，得力Fn的最大值由式(a)可知，本例动反力Fn例9.2速度的一次方成正比，即 Fd = kmv，其中 动方程和轨迹.解 本例是已知力和运动的初始条件求运动的问题.度Vo与其重力mg共面，故小球在与初速度 Vo共面的铅直面内作平面曲线运动，小球在任 意位置A的受力分析和运动分析如图9.2( b)所示.因目前还不知小球的轨迹，故宜建 立直角坐标形式的运动微分方程，取平面直角坐标系 Oxy如图9.2( b)所示.小球的运动微分方程为mx = -kmxmy取小球A为研究对象,由于小球的初速=mg - kmy = m( g + ky)1)(2)将X

4、 =dx和dtdy. -dt分别代入式(1)和式(2)，分离变量后得dx=kdtx2FNmax =(mi +m2)g + miA如果(mj +m2)g xmj Ak2，当co站t=1时，得力FN的最小值2 FNmin =(m1 +m2)g-mjA如果(m1 +m2)g YmjAk2 ,物块D?会脱离水平支承面，这时FNmin = 0 ,而不是F Y 0fN m in o .3. 在画物块D2的受力图9 .1 (c)时，不能把物块 D1的重力m1g画在D2 上.另外， 弹簧力F的大小不等于m1 g .4. 物块d2对水平面的动压力 FN =-Fn .因此，本例可以用来估算机器对地面沿铅直方向的动

5、压力.这个动压力由最小值到最大值往复变化，将引起振动.小球由高度h处以水平速度 v0抛出，入图9 .2( a)所示.空气阻力可视为与 m为小球的质量，k为常系数，求小球的运(4)由题给出的初始条件为 t = 0时，有Xo =Vo I yo =0 JdxVo xt一 kJodtXo = 0 , yo = h, 首先对式(3)进行定积分(6)In = ktVo由此可得小球在空中任意位置时沿轴_ktX =Voe同理，对式（4）进行定积分x方向的速度为y0dyg + ky.t= -0dtdy=ktIng+ky.由此可得小球在空中任意位置时沿轴y方向的速度为y.(宀 1)k为了求小球的运动方程，分别对式

6、（6）和式（7）分离变量后再进行定积分,fedt0x0 dxft kt.0(e-1)dt最后得小球在空中的运动方程x=V0(1k-et)y 7（2）一誥(a)由式（a）消去时间t，可得小球的轨迹为厂hln Vo +gx kVo kx kvo讨论1.从式（1）和式（2）知，空气阻力Fd在轴X和y上的投影分别表示为 Fx = -kmx 和Fy = -kmy，其中x和y都是具有正负值的代数量. 由图9 .2 （b）可知，x为正值， 而y为负值.可见Fx为负值，而Fy为正值.2 .由式（1）可知，X”与X的正负号相反，故小球在水平方向作减速，同时沿水平方向的空气阻力也逐渐减小.由式（2）可知，当g k y时，小球在铅垂向下方向作加Fy也速运动，使小球在铅垂方向上的分速度由零逐渐增大.与此同时，沿铅垂方向的阻力随同增大，使小球沿铅垂方向的分加速度逐渐变小.当Fy与重力mg大小相等时，小球沿铅垂方向的分加速度等于零.由式（7）可知，当tT处时，可得y,=