椭圆和双曲线练习题及答案

1、圆锥曲线测试题共12题，每题5分）2 2 笃+=1（35）的两个焦点为F1、F2， a 25，则 ABF2的周长为（B） 202 + =1上的点10036到它的右焦点的距离是（A） 15（ B） 12（ C）2 2 3椭圆259则 F1PF2的面积为（A） 9（ B） 12（ C）4以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、 曲线方程是（）（A） 2（C） X2 - y2 = 4 或 y2 _ X2 = 4（ D）2 25双曲线M_L=1右支点上的一点P到右焦点的距离为2，则P169点到左准线的距离为（A） 66过双曲线点，那么（A） 287双曲线虚轴上的一个端点为 则双曲线的离心率为（）（A） V3

2、（ B）应（C）逅23一、选择题（1已知椭圆且 |FiF2|=8，弦AB过点F1，（A） 1022椭圆）（C） 2741 （ D）4 州P到它的左准线的距离是）10（ D） 8的焦点F1、F2 ,P为椭圆上的一点，)10 (D) 8)(B) 8( C) 10X2 -y2 =8的右焦点 F1PQ的周长为(B) 14-8血(C)10,那么点P已知PFi丄PF2,两准线间距离为2的双(B) 2x2 - y2 = 2 或 y2 -x2 = 2(D) 12F2有一条弦PQ |PQ|=7,F 1是左焦) _14 + 872 ( D) 8屈M,两个焦点为 F1、2，F1MF2=12O。，(D)弓8在给定双曲

3、线中，过焦点垂直于实轴的弦长为42，焦点到相应准线的距离为1，则该双曲线的离心率为（）应一(A)(B) 2( C) J2( D) 2J222 29如果椭圆亠十红=1的弦被点(4 , 2)平分，则这条弦所在的直369线方程是( )(A) x-2y=0 (B) x+2y-4=0 (C) 2x+3y-12=0 (D) x + 2y-8 = 010如果双曲线亍一汁上一点P到双曲线右焦点的距离是2,2 2那么点P到y轴的距离是（(A)芋(B)迹3(C) 2 庇(D) 2/311中心在原点，焦点在y轴的椭圆方程是2 2x sina + yCO泊=1兀八（0,-），A.（咱.(冷D.冷12已知双曲线2c x

4、Cr -a b2y-=1（a Mb 0 的右焦点为F ,过F且斜率为逅的直线交C于A B两点，若A=4FB,则 C 的离心率为()w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A、65二、填空题（13与椭圆一+L=1具有相同的离心率且过202 243点（2,-73）的椭圆的标准方程是o95AT(F B条准线为X =3的椭圆的标准方程14离心率e饭,-3是。2 215以知F是双曲线=1的左焦点，A(1,4), P是双曲线右支上的412动点，贝J PF|+|PA的最小值为 2 216已知双曲线冷-珞=1(a Zb 0)的左、右焦点分别为a bFi(Y,O), F2(c,0)，若双曲线上存在一点P使Sin

5、PFlF=a，则该双曲线sinPF2F1 c的离心率的取值范围是.三、解答题(7O )17) 已知椭圆C的焦点Fi (- 2血,O)和F2 ( 242 , O),长轴长6,设直线y =x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。2 218) 已知双曲线与椭圆 j+L=i共焦点，它们的离心率之和为925匕，求双曲线方程.519)求两条渐近线为x2y=O且截直线x y3 = O所得弦长为 竽 的双曲线方程。2O. (1)椭圆C:4 + b=1(a bO)上的点A(1,封 到两焦点的距 离之和为4,求椭圆的方程； 设K是(1)中椭圆上的动点，Fi是左焦点，求线段FiK的 中点的轨迹方程；(3)

6、已知椭圆具有性质:若MN是椭圆C上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，当直线PM PN的斜率都存在并记为kpM、试对双曲线x2y2a2 -贷=1写出具有类似特性的性质，并加以证kpN时，那么kpM kpN是与点P位置无关的定值。明。解：(1)字+4=1(2)设中点为(X,y), F1(-1,o)K(-2-x,-y)1设 M(xi,y 1), N(-x1,-y 1), P(x o,y则 yf =b2(4-1)y12 =b2(|V -1)kPM k PN =yoy1yo+y1=Xo -X1Xo +X12yo y12 2X0-X12 x-xjb2( 0 21 )a厶22X0-X1b!2 a为定值

7、。21 (1)当k为何值时，直线I与双曲线有一个交点，两个交点，没有交点。 过点P( 1，2)的直线交双曲线于 A、B两点，若P为弦AB的中点，求直线AB的方程;(3)是否存在直线I，使Q( 1, 1 )为I被双曲线所截弦的中点。若存在，求出直线I的方程；若不存在，请说明理由。解：(1)当直线I的斜率不存在时，I的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当I的斜率存在时，设直线I的方程为y 2=k(x 1),2 2 2 2 *代入 C 的方程，并整理得(2 k)x +2(k 2k)x k+4k 6=0()(i )当2 k2=0,即k=Q时，方程(*)有一个根，I与C有一个交点.(ii )当2 k2丰

8、0,即k工迈时 = : 2(k2 2k) : 2 4(2 k2)( k2+4k 6)=16(3 2k)当 =0,即3-2k=o，k= I时，方程(*)有一个实根，丨与C有一个交点. 当 0,即kV 3,又kM运，故当2V迈或迈V kV 3时，方程(*)有两不等实根，2 当 3时，方程(*)无解，2k V更或一V2 V kI与C有两个交点.I与C无交点.综上知：当k=0或k=2，或k不存在时，丨与C只有一 个交点;当运V k V 3,或72 V kV v2,或kv近时，I与C有两2个交占.I八、5当k 3时，丨与C没有交点.（2）假设以P为中点的弦为AB,且 A(xi,y i),B(x 2,y

9、2)，则22222x1 y1 =2,2x2 y2 =2 两式相减得:2(x 1 X2)(x 1+X2)=(y 1 y2)(y i+y2)又 T X1+X2=2,y 1+y2=4二 2(X1-x2)=y 1 - yikAB=y=1Xt -X2但渐近线斜率为血，结合图形知直线AB与有交点，所以以 P为中点的弦为：y=x+1.假设以Q为中点的弦存在，设为AB,且A(X1,y 1),B(x 2,y 2)，贝U 2x12 y12=2,2x 22瑕=2 两式相减得：2(x 1X2)(x i+X2)=(y 1 y2)(y i+y2)又 T xi+x2=2,y i+y2=2二 2(x 1 X2)=y 1 yi

10、kAB=g2=2X1 -X2但渐近线斜率为 瓦结合图形知直线 AB与C无交点，故假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.2 213）与椭圆乞十1=1具有相同的离心率且过点（2, -73）的椭圆4322O2.2的标准方程是 一+ =1或也+ =1。86252514 ）离心率e= , 一条准线为x=3的椭圆的标准方程是32c21。52017）已知椭圆C的焦点Fi （- 2迈,0）和F2 （ 2迈,0）,长轴长 6,设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。（8分）c=272,a=3,从而解：由已知条件得椭圆的焦点在 x轴上，其中亍2X 2,=1.联立方程组9 y 一1,消去y得,10

11、X2 +36X + 27 =0.y=x+2设 A( X1,y1 ),B( X2,y2 ),AB 线段的亠 18_X1+X29XX2 一 X0 = -9b=1,所以其标准方程是:X22中点为M( xo,yo )则:所以y0=x0+2=1.也就是说线段AB中点坐标为（-9, 1）.7y518）已知双曲线与椭圆14，求双曲线方程.（105解：由于椭圆焦点为F（0, 4）,离心率为e=4,所以双曲线的焦点5为F（0, 4）,离心率为从而 c=4,a=2,b=2 5/3.所以求双曲线方程为:552 2j+L=1共焦点，它们的离心率之和为9252,分）221.41220）求两条渐近线为x2y=0且截直线X y 3 = 0所得弦长为 色?3的双曲线方程。（10分）解:设双曲线方程为x2-4y2=lr 2 / 2_-联立方程组得:j