椭圆的标准方程和几何性质练习题

1、椭圆的标准方程和几何性质练习题一2. 一个椭圆中心在原点，焦点Fi,F2在x轴上，P（2,J3）是椭圆上一点，且PFi|, IF1F2I, IPF2I成等1.若曲线ax2 + by2= 1为焦点在X轴上的椭圆，则实数a, b满足（2 21 1A. a bB-7- a bC. 0abD .0b0，所以 0ab0) o 由点a bP （2, J3）在椭圆上知43=1。又 |P F1I,a b|FiF2|, PF2I成等差数列，则 |PF1I+IPF2|=2|FiF2|,g卩 2a=2 2c.C =1,又 c2=a2-b2，联立得 a2=8, b2=6a 223.已知 ABC的顶点B、C在椭圆X +

2、 y2= 1上，顶点A是椭圆的一个焦点， 且椭圆的另外一个焦点3在BC边上，贝y ABC的周长是（）C .473D . 12答案：C如图，设椭圆的另外一个焦点为 F，则 ABC的周长为|AB|+ |AC| + |BC|= (|AB| + |BF |)+ (|AC| + CF|)= 4a= 3o4.已知椭圆X2+ my2= 1的离心率e, 1）则实数m的取值范围是C. (o, 4u 4，+ TD. (1,4)c2 = a2- b2=丄-1,m答案：C 在椭圆 X2+ my2= 1 中，当 0vmv 1 时，a2= -, b2= 1,m2 m -1 .2cm.e = -2= -= 1 m,a 1m

3、；2= 1 -丄m1 13291又-V ev 1 ,1 mv 1，解得 Ovmv -，当 m 1 时，a2= 1, b2= , c2 44m12 1 2 cm11,1,1,丽/白4e=孑=丁=1m，又 1Vev 1， 1v 1mv 1,解得 m4,综上可知实数 m的取值范围是 ，4u 3，+m。5.已知两圆Ci：(x-4) +y =169, C2：(x+4) +y =9,动圆在圆Ci内部且和圆Ci相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为(22X y “A.=164482X B.48642丄=12 2X y C. =148642D.6448答案：D设圆 M 的半径为 r,则 |MCi|+

4、|MC2|=(13-r)+(3+r)=16，所以M的轨迹是以Ci,C2为焦点的椭圆，且 2a=16, 2c=8，故所求的轨迹方程为2 2X y =164 482 26.椭圆刍+与=1 (ab0)的左、右焦点分别为F1, F2, P是椭圆上的一点，丨:X bX2a2a=一一，且 P Q丄 I,c垂足为Q，若四边形PQF1F2为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是(1A. (2,1)1B. (0,2)2答案：A设点 P(X1,y1)，a由于PQ丄I故|PQ|=X1 + ，因为四边形PQF1F2为平行四边形，所以c2 aa222|PQFIF1F2F2C,即卩 X什 一=2c，则有 X1=2c- 一

5、 -a，所以 2c +ac-a 0，即卩 2e +e-10,解得 ecc1 1 11，由于0e1，所以reb0）的左右焦点分别为F1, f2,若椭圆C上恰有8个不同的点P,使得 F1F2P为直角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（A.(0,孕,1)答案：C由题意，问题等价于椭圆上存在四个点P使得直线PF1与直线PF2垂直,所以 |OP|=cb，即c2a2-c2，所以aJ2c，因为ce= , 0e2C. tb0)上一点A关于原点的对称点为a bB,f为其右焦点，若af丄bf，设/ abf = a，且 aA.答案：A 由题知n 则该椭圆离心率的取值范围为L12 4B.C.便,1D.序,1AF丄B

6、F，根据椭圆的对称性，AF丄BF 其中F是椭圆的左焦点)，因此四边形AFBF是矩形，于是|AB|= |FF V2c, |AF|= 2csin a根据椭圆的定义,|AF| + |AF =|2a,二 2csin a+ 2ccos a=2a,.e=a Sin a+ cOSa 负inn4.二 a+b，2sin G+沢老2 2=1 (ab0)交于A, B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过14.直线y = -43x与椭圆C：笃+爲a b椭圆的右焦点，则椭圆 C的离心率为(A-f73-1B.2C. 73-1D.4-2 73答案：C设椭圆的左、右焦点分别为Fi, F2,由题意可得|OF2|=|OA|=|OB|

7、=|OF i|=c,由 y=-73x 得/AOF 2= , / AOF1=。所以 |AF21/3 c, |AF1|=c.33由椭圆定义知,|AF1|+|AF2|=2a,所以 c+J3c=2a，所以 e=-/3-1. a15.已知椭圆的焦点在 x轴上，一个顶点为 A(0, 1),其右焦点到直线 X y+ 2小2= 0的距离为3,则椭圆的方程为2y答案： 一 + y2 =1 据题意可知椭圆方程是标准方程，故 b= 1.设右焦点为(c,0)(c0)，它到已知3直线的距离为 吐淖 =3，解得c=72，所以a2= b2+ c2= 3,故椭圆的方程为 W + y2= 1.2 3X2 y216.设F1, F

8、2分别是椭圆怎+肓1的左、右焦点，P为椭圆上一点，“是F1P的中点，|OM|=3,则P点到椭圆左焦点的距离为1答案：4 由题意知 |OMFPF2|=3,所以 |PF2|=6，所以 |PF1|=2a-|PF2|=10-6=42 217. 分别过椭圆*2 + =1(ab0)的左、右焦点F1, F?所作的两条互相垂直的直线d 的交点在a b此椭圆的内部，则此椭圆的离心率的取值范围是 答案：(0, J) 由已知得交点P在以F1F2为直径的圆X2+y2=c2上。又点P在椭圆内部，所以有2氏又b22,所以有cz2,即2心亦即2,所以0 /Fi PF2 为钝角，二 Fi P F2PV 0，即 X2-3+ y

9、2v 0，2 2 3 8 y2= 1 4，代入得 X2- 3+ 1 X4V 0, 4x2v宀3。解得-爭xQ5）的左焦点为F，直线x= m与椭圆相交于点 A, B。若 FABa 52 2 計y-20.如图，焦点在x轴上的椭圆X2y2 =1的离心率e=-, F , A分别是椭圆b22的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点.则 PF PA的最大值为故椭圆方程为答案：4 设P点坐标为（X0, y。）.由题意知a= 2,1 2 2 .e= c= 1 c = 1 , b2= a2 c2= 3.故所求椭圆方程为x + 1.a 243一 2X0b0)的左焦点为F ,C与过原点的直线相交于 A, B两点，连接A

10、F ,a bBF。若 |AB|=10,4|BF|=8, cos/ ABF=，贝U C 的离心率为5582 +102 x2答案： 如图，设 |AF|=x，则 cos/ ABF= 8072X8X10解得x=6(负值舍去)，所以/ AFB=90，由椭圆及直线关于原点对称可知yR/Va .wA|AFi|=8，且/ FAFi = / FAB+ / FBA=90, FAFi是直角三角形,所以22|FiF|=10,故 2a=8+6=14 , 2c=10，所以22.如图，在平面直角坐标系 xOy中,F1, F2分别是椭圆工+ 2a b=1 (ab0)的左、右焦点，顶点 B的坐标为(0, b)，连接BF2并延长

11、交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点 C,连接F1C.若点C的坐标为黑)，且|BF2M，求椭圆的方程(2)若 F1C丄AB,求椭圆离心率e的值【解析】(1)由题意F2(c,0), B(0,b) , |BF2|= Jb2 + c2 = a = 72,4 1又C(4,1)，所以(4)2 J)2十話二1，解得b=1，所以椭圆方程为2x 2彳 +y =1./ 2a2c(a2 +c2 丄) a2 +c2)，又 Fi(-c,O),喑 =b3b32a2c3a2c3，E+cb又 kAB=-，由 F1C 丄 AB，得cb33a2c + c3b()=-1,c即 b4=3a2 c2+c ,4 所以(a2-

12、c2)2=3a2 c2+c4, 化简得ce= a_45-5XVX2V2(2)直线BF2方程为一+ -=1，与椭圆方程2 + 2 =1联立方程组，解得 A点坐标为c bab2 2b3则C点的坐标为a +c a +c23.已知椭圆 C: X2 + 2y2 = 4.(1)求椭圆C的离心率(2)设0为原点.若点A在直线y= 2上,B在椭圆C上，且0A丄0B,求线段AB长度的最小2=1。所以 a2= 4, b2= 2，从而 c2 = a2 b2 = 2。2解析：(1)由题意，椭圆C的标准方程为4 + 2 因此a= 2, c=羽.故椭圆C的离心率e=。设点A, B的坐标分别为(t,2)，(X0, yo)，其中X