概率论与数理统计习题及答案第八章

1、概率论与数理统计习题及答案第八章1 .设Xi ,X2,L ,Xn是从总体X中抽出的样本，假设 X服从参数为的指数分布，H0 :解未知，给疋00和显著性水平 (02检验统计量及否定域.1),试求假设可见Ho :选统计量Xin0 Xii 10nX2(2 n),对于给定的显著性水平,查 分布表求出临界值2(2n),P(%2(2 n)2，所以(P %2(2n)2 2(2n)，从而2(2 n)H。:.某种零件的尺寸方差为0的否定域为2(2 n)P 22(2n).2 1.21，对一批这类零件检查6件得尺寸数据(毫米)：，否认为是毫米(0.05).问题是在 2已知的条件下检验假设 H0 :。设零件尺寸服从正

2、态分布,问这批零件的平均尺寸能32.50其中U0.025H。的否定域为|u| U /2u乙迴妬込摯01.11.96，因 |u | 6.771.96 ,所以否定 H。，2.456.77即不能认为平均尺寸是毫米。设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为 量为26的样本，计算平均值1580,问在显著性水平 产品的指标的期望值不低于1600。解问题是在 2已知的条件下检验假设H0：100，今抽了一个容0.05下，能否认为这批1600Ho100U0.051.64.因为U1.02标的期望值不低于1600.的否定域为UX 1600 辰1.64U /2，其中/2 ,1580 1600 5.11.02.100U

3、0.05，所以接受Ho，即可以认为这批产品的指4 .一种元件，要求其使用寿命不低于25件，测得其寿命平均值为 950小时， 时的正态分布，问这批元件是否合格（ 设元件寿命为X ,则.Ho :因为1000小时，现在从这批元件中任取已知该元件寿命服从标准差为100小0.05)X N( , 1002),问题是检验假设 U0.05，其中X 1000 币 950 1000 LCLU V25 52.51001000. Ho的否定域为UUo.o5 1.64U 2.51.64 Uo.05H 0，即元件不合格.5 .某批矿砂的5个样品中镍含量经测定为 X（%）:所以否定3.25, 3.27, 3.24, 3.2

4、6, 3.24设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为解问题是在 2未知的条件下检验假设 H 0 :3.25(0.01)3.25H0的否定域为|t| t /2(4)X 3.252, S2-( Xi 5 X2)0.00017, S 0.0134 i 1to.oo5(4)4.6041t J空亦S2.240.3450.013因为所以接受|t| 0.3454.6041 城05（4）Ho，即可以认为这批矿砂的镍含量为6 .糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为100公斤，每天开工后要检验一次打包机工作是否正常，某日开工后测得9包重量（单位：公斤）如下：99.3, 98.7, 100.5,问该日打

5、包机工作是否正常(101.2, 98.3,其中因为解 X 99.98，S2冋题是检验假设H0的否定域为H。：|t| t0.05;1 9 8( (Xi8 i 1100/2(8).丄 X 100质t V9St0.025(8)2.306所以接受99.7, 99.5, 102.1, 100.5已知包重服从正态分布)X)2) 1.47，S 1.21，99心0 30.051.21|t | 0.052.306H。，即该日打包机工作正常t0.025 ( 8)7 .按照规定，每100克罐头番茄汁中，维生素 C的含量不得少于21毫克,17个，测得维生素 C的含量(单位：毫克)如现从某厂生产的一批罐头中抽取22,

6、21, 20, 23, 21,23, 17, 20, 29, 18,已知维生素C的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含量是否合格。(0.025)解 设X为维生素C的含量，则X N( , 2),S 20.485, n 17.问题是检验假设 肌：21.19, 15, 13, 16,22, 16, 25.20, S2 419.625,(1)H0 :21.(2)选择统计量t并计算其值：20 21 L 7170.20 20.4850.025查t分布表求出临界值tt需S对于给定的(n)t0.025(16) 22 .(4)因为to.O25(16)2.200.20 t。所以接受H0，即认为维生素含(1)

7、80量合格.8 .某种合金弦的抗拉强度 XN( , 2)，由过去的经验知10560 (公斤/厘米2),今用新工艺生产了一批弦线， 随机取10根作抗拉试验，测得数据如 下：10707， 10557， 10581， 10666， 10670.问这批弦线的抗拉强度是否提高了（0.05）X 10631.4，S26558.89，S 80.99，n 10 .问题是检验假设Ho :10560(1)H0 :10560选统计量并计算其值.t X 10560 yn 10631.4 10560 10S n 80.99(4)2.772对于 0.05，查t分布表，得临界值t （9） t0.05（9）1.833.因t0.

8、05 （9） 1.833 2.772 t，故否定H。即认为抗拉强度提高了。9 .从一批轴料中取15件测量其椭圆度，计算得 S 0.025，问该批轴料椭 圆度的总体方差与规定的20.0004有无显著差别（0.05，椭圆度服从(1)202并计算其值(n 1)S214 0.00065 22 7500.0004.0.05，查2分布表得临界值2.025(14) 26.1 19,12 /2(14)5.62922.7520.025(4)0.0004无显著差异。20.00065, n 15，问题是检验假设H。：0.00040.0004 .正态分布）。2S 0.025, SH0： 2选统计量对于给定的2/2（1

9、4）因为2.975体方差与规定的220.975(14)5.629.26.119所以接受H。，即总结果为10 .从一批保险丝中抽取10根试验其熔化时间，42, 65, 75, 78, 71, 59, 57, 68, 54, 55.问是否可以认为这批保险丝熔化时间的方差不大于80 （0.05，熔化时间服从正态分布）. 2 2X 62.4 , S2 121.82, n 10,问题是检验假设 Hq：80 .H0：2800;选统计量2并计算其值2 us!13.70580。(4)对于给定的2(n 1)2因 13.705 16.91920.05，查 分布表得临界值20.05（9）16.919.20.05，故

10、接受Ho，即可以认为方差不大于对两种羊毛织品进行强度试验，所得结果如下第一种 138，127，134，125；第二种 134，137，135，140，130，134.问是否一种羊毛较另一种好设两种羊毛织品的强度都服从方差相同的正态分布。（0.05）解设第一、-2）131,135,H0：11二种织品的强度分别为X 和 丫，则 X N (1, 2),丫 N（ 2二 XY问题是检验假设s2S；(1)Ho :36.667, n1435.2, n26选统计量T并计算其值.X 丫订1 1)S2 (n2 1)M131 135n1n2Vn1n2J3 36.6675 35.21.295（3）对于给定的0.05，

11、查t分布表得临界值t /2（n1n22)0.025 (8)2.3069 .(4)因为 |t| 1.2952.3069t0.025（8），所以接受假设，即不能说一种羊毛较另一种好。12 .在20块条件相同的土地上, 其产量（公斤）分别为旧品种，同时试种新旧两个品种的作物各十块土地,新品种，,设这两个样本相互独立，并都来自正态总体（方差相等） 高于旧品种（0.01），问新品种的产量是否解 设X为新品种产量，2Y N( 2,)，问题是检验假设H 0 : 1 2X 79.43, S22.2246 ,Y 76.23, S；3.3245 ,选统计量nin2T并计算其值：X Y对给定的因为TY为旧品种产量；

12、XN（10101, 2),jn1n2(n1 n 2)Vn1 n2/1800,4.29567(2.2246 3.3245)200.01，查 t 分布表得临界值 t (18) t0.01(18) 2.5524.4.29562.5524to.o1(18)故接受H。，即新品种高于旧品种.如 1)S2 52 1)M79.43 76.23(0.05)6,9选统计量F并计算其值S20.345S20.9664对给定的0.3570.05查 F 分布表得临界值F /2(5,8)Fo.o25 (5,8) 4.65,13 .两台机床加工同一种零件，分别取6个和9个零件，量其长度得S2 0.345, S； 0.357，

13、假定零件长度服从正态分布， 问可否认为两台机床加 工的零件长度的方差无显著差异解S10.345, rnn2S；O.357,问题是检验假设Ho：12Fo.975 (5,8)0.1479.16.76因 Fo.975 (5,8) O.14790.9664 F 4.65 F0.025(5,8)故接受 H。，即无显著差异.13 .甲、乙两台机床加工同样产品，从它们加工的产品中各抽取若干，测得直径（单位：mm为甲：,;O.O5，产品直径服从正态分乙：,.问甲、乙两台机床加工的精度有无显著差异（布。）解设甲加工的直径为N(),YN(2,；).X 19.925 , S20.2164 , ni丫 20 ,S；0

14、.3967 , n215 .从一批滚珠中随机抽取50个，测得它们的直径（单位：mm为冋题是检验假设Ho :选统计量F并计算其值对于给定的f岂S20.05,0.2164 c 0.5455. 0.3967查F分布表得临界值F /2(7,6)Fo.o25(7,6)5.70 ,F0.975 (7,6)0.19535.12因 FO.975(7,6)0.1953 0.5455 FF O.O25(7,6)5.70 ,故接受Ho，即精度无显著差异.14 .一颗骰子掷了 120次，得下列结果:问骰子是否匀称（0.05)点数123456出现次数2326212015152, 3,4, 5, 6。问Ho : P P(

15、X i)16,i 1,2,L,6.这里pi 016, n12O,解用X表示掷一次骰子出现的点数，其可能值为 题是检验假设nPio 20, A i故(nin Pio)2npio(ni 2O)22O96 4.8202查分布表,得临界值故接受Ho，即骰子匀称。2(k1)2.O5(5)11.071因为24.8 1.07120.05是否可以认为这批钢珠的直径服从正态分布（解 数据中最小的为，最大者为，设a成七个（相等的）区间，则区间长度（组距）为0.05)14.05, b 16.15，欲把a,b分16.15 14.05 0.3得分点y114.35, y 14.65, y 14.95, y 15.25,7

16、y 15.55, y 15.85.它们把实数轴分成七个不相交的区间，样本值分成了七组:yi 1 yi14.3514.3514.6514.6514.951014.9515.251615.2515.5515.5515.8515.85Ho设钢珠的直径为 X，其分布函数为F （x），我们的问题是检验假设:F(x)x(-）.其中2未知.在H。1 nn i 1成立之下， 和(Xi X)20.1849 ,2的极大似然估计为卩X 15.1 ,卩 0.43.在上面的表中第1组和第7组的频数过小，把它们并入相邻的组内，即分成5 组，分点为 t114.65 , t2 14.95 , t? 15.25 , t4 15

17、.55 .ipinpinnpi(nin pi)2(nin pi)2/ n pi182103164858501500i 1n|Pi的值计算如下表:2即0.05查2分布表得临界值 2 (2)0205 (2) 5.991.20.05 (2)，故接受H。，即认为钢珠直径服从正P1F(ti)(14.65 15.1P2F(t2)F(ti)fp4统计量F(t3)F(t2)F(t4)F(t3)1 F(t4)1(1.04) 0.14920.4314.95 15.1、CC()0.14920.43I (0.35)0.14920.214(15.25 15.1)0.43(0.35)0.3632(15.55 15.1)0

18、43(1.04)0.6368(15.55 15.10.430.36320.27360.218)0.1452(n n pi )22 (2)1.24997，对于21.249975.991态分布16N(15.1, 0.1849)./i 1 i、.(丁 2),i今对X进行100次独立观察，发现其值落入 A (i 1,2,3, 4)的设A上是均匀分布的,1,2,3, A(-3, 2)，假设随机变量X在(0, 2)20 , 36, 14,问均匀分布的假设，在显著性水平为下是否可信。频数分别为30，解检验假设：H0:XU0, 2检验计算表如下:iPinPininpi(ni np)2nPi1301425512

19、201425-513361425114141425-1110011000统计量2所以不接受H 0，即不能相信X U 0,2.对于i0.05，查得JP! 11.68,1npi0.05 (3)7.8152 2(4 1)因为11.687.8150.05 (3)习题九n1门2门3 门4 门54, n 20查附表5得1 .一批由同样原料织成的布，用五种不同的染整工艺处理，然后进行缩水 试验，设每种工艺处理 4块布样，测得缩水率的结果如下表布样号缩 水 率AA2A3aA51234问不同的工艺对布的缩水率是否有显著的影响（0.01）解 m 5,F0.0i(m 1,n m)Fo”，15) 4.89.序号A1a

20、aaA5mi 11234niXij j 12niXijj 121 nXi. ni j1 jnXi2j 11 220 (147.9)1093.721149.251170.92SeSa21.6755.5377.2方差分析表平方和自由度均方F值万差来源工艺误差415*0.01)试验号寿命AAAA116001850146015102161016401550152031650164016001530416801700162015705170017501640160061720一1660168071800一1740一8一一1820一因为9.6095 4.89，所以工艺对缩水率有显著影响.2 .灯泡厂用4种

21、不同配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡，今从中分别抽样进行使用寿命的试验，得到下表的结果（单位：小时），问这几种配料方案对使用寿命有无显著影响（m 4, ni7, n2 5, n38, n46, n 26，查附表 5 得F0.01(m h n m) Fo.oi(3, 22)4.82为简化计算从上表的试验结果中都减去1600再除以10得下表寿命序号A1AA3A44i 11025-14-9214-5-83540-748102-351015406126872014822山Xj 1Xij565829-191242niXij j 1 ij3136336484136121niXijni j 1448(124

22、)2591.385, Q261286.092 , R 2937SeR Q 1650.908 , SeSaQ P 694.707 , SA1Se16.5091001Sa 6.947100nX2八Ij7349829572642937j 11,2,L ,m),求I的点估计和区间估计. 解因为XI N( 由定I J理知Se/ 2ni2)，所以I的点估计为“2(n m), 再?|由X| ,定理1,2丄,m.知X|与s2立,从而Se(X|j X| )2相互独立，又由X|j独立, 1m(niI 1Xi与$2,&丄，sm独(Xi1)S2与X|独立，又也N(0, 1)方差分析表方差来源平方和自由度均方F值配料误

23、差322总和25因为 F 3.18 4.82F0.01 (3, 22)，故不显著.3 .在单因素试验方差分析模型式()中，I是未知参数(i由t分布的定义知(Xi冷眉一、音t( n m)JSe其中Se Se /(n m)对于给定的 ，查t分布表求出临界值t /2(n m),t /2(n m) 1在上式括号内将i暴露出来得 i在置信度1下的置信区间i 1XiXi t /2(n m)/2(n 喋-4 .在单因素试验方差分析模型式()中,2是未知参数，试证Se2 2是的无偏估计，且的1下的置信区间为Se_Sl_12 /2(nE(Se/ m) 22/2 (n m)证：因为Se /- (n m)，所以ES

24、em)2)n m，即于是故 Se一是 2的无偏估计;n m因为Se /2使得所以对于给定的(n m)，查(n丄ESen m2分布表求出临界值2/2(n m)和/2(n m)P(/2(nm)2/2(nm)2式中将 暴露出来得SeSe故2的置信度为12/2(n m)下的置信区间为Se2/2(n m)/2( n m)Se/2(n m)证毕5 .验证式()的解a, $能使Q(a,b)n(y ai 1)2达到最小值.证：$, $是函数Q(a, b)n(yi abXi )2的驻点.而A Q 2n,a2qa bn2 Xii 12Qnb22i1XAC B2Xi2Xi0，而A0,0所以($, $)是Q(a,b)

25、的极小点,由柯西不等式知而Q(a,b)存在最小值，故a, $能使Q(a,b)达到最小值.6.利用定理证明，在假设 Hoib 0成立的条件下，统计量1$ Jt jLxxt(n 2)并利用它检验中例1所得的回归方程的显著性 (0.01)$ b 所以巳上JL：n(o, 1)2证：因为$ N(b,)Lxx在Ho：b 0成立的条件下i7LXX N(o, 1)(M 2(n 2)由t分布的定义知今利用对于给定的因为t$ /t -VL：I 2t(n 2).S jy/(n 2)t统计量检验回归方程的显著性.t =7LXX Q156 J6.056 6.133 S*717340.01查t分布表得临界值to.o1(1

26、O)2.7638 .6.1332.738证毕7 .利用定理证明回归系数to.oi(1O)，所以回归方程显著.b的置信区间为$ t /2(nS $S$ t /2(n 2)厂 V LxxV Lxx并利用这个公式求中例 1的回归系数b的置信区间(置信度为)解由定理知$ bt 仁 t（n 2）对于给定的，查t分布表求出临界值t /2（n 2），使$ b ji i sjLxx t /2（n 2）1S在上式的大括号内，将 b暴露出来得P$ t，SP t /2(n 2)故b的置信度为1/2（n 2）= by Lxx下的置信区间为$ t /2(n2)匸1V Lxxt /2 (n 2),yLxx在例 1 中 $

27、 27.156 n 12, S$ t /2(n2)兀证毕10.897,Lxx 6.056t0.025（10）2.228.所以b的置信度为下的置信区间为（17.291, 37.021）8 .在钢线碳含量x（%）对于电阻y（20 C时，微欧）效应的研究中，得到以下的数据26y 15181921(1)设对于给定的x, y为正态变量，且方差与 x无关. 求线性回归方程$ $x;检验回归方程的显著性；求b的置信区间（置信度为）；求y在x 0.50处的置信度为的预测区间. 我们用下表进行计算序号1234y22xy1522518324193612144126676xy平均20.77yX 0.543,7Lxx

28、7X22.595 2.0640.531,LyyLxy(1) $2Yi7y23104.2X Vi 7Xy85.613019.7584.45,78.9476.663,i 1土 12.55,Lxxy $X 13.95，所以回归方程为13.95 12.55X.方差来源平方和自由度均方F值回归U 83.621U 83.62U 503.61Q剩余Q 0.8315Q 0.166总和Lyy 84.456Q n 2 . 16.62$(2 )我们用方差分析表来检验回归方程的显著性方差分析表其中 U$Lxy, Q Lyy U, Qyy查F分布表求出临界值 F0.01(1,5)因为 F 503.6116.62Fo.o

29、1(1,5),S2Xo所以回归方程高度显著.(3)由第7题知，b的置信度为$ t /2(n$12.55,(Lyy $Lxy)/(n2)2)沽n 7,0.166.所以b的置信度为下的置信区间为( (4) n 7, X 0.53, Lxx0.50.下的置信区间为$ t /2(n 2)=Y Lxx0.05, t0.025 (5)2.5706,)0.531, s 0.407, t0.025(5) 2.5706(X0)t /2(n 1)sj11 (X0 x)2nLxx2.5706 0.407宀詳1.12$013.95 12.55 0.520.225故y在x 0.50处的置信度为的置信区间为($0(0.5

30、), $0(0.5)9.在硝酸钠(NaNO3)的溶解度试验中，(19.105, 21.345)对不同的温度toC测得溶解于100ml水中的硝酸钠质量 丫的观测值如下：ti0410152129365168从理论知(1)(2)Y与t满足线性回归模型式()求丫对t的回归方程；检验回归方程的显著性(0.01)；(3)解求丫在t 25 C时的预测区间(置信度为)计算表如下序号6789tiyiti22 yiti yi00041628410100763152251209214412984136129651260168462423410144i 126, y 90.29Ltttj29?210144 60844

31、060,9Ltyti yii 199fy24646.621106.83539.8,Lyy2Vi9y276317.8273224.363093.46S2i 1Ltt(Lyyi$Lty)/70.87187,1.0307,$ 67.5313,S 1.0152(3)$067.53130.87187 25 89.3281(25) t /2(n2) S fl2(t。t)Ltt2.3646 1.0152 1.052.53(1)Y对t的回归方程为$ 67.5313 0.87187t ；方差分析表如下方差来源平方和自由度均方F值回归13086.25剩余71.03总和8=查F分布表求出临界值 Fo.o1（1, 7）12.2512.25F0.01（1, 7），故方程高度显著.因 F 2996.36丫在t 25 C时的置信度为下的预测区间为($0(25), $0(25)