导数中含参数单调性及取值范围

1、应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点；利用导数研究函数的单调性、极值、最值、图象仍将是高考的主题；利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高考的热点；将导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识结合在一起的综合应用，仍将是高考 压轴题.一.含参数函数求单调性(法:(1)确定函数定义域；(2)求导数;(3)令导数大于 间.)求可导函数单调区间的一般步骤和方0,解得增区间，令导数小于0,解得减区2例1 (2012西2)已知函数f (X) 2aX2aX 11，其中a R .(I)当a 1时，求曲线yf(x)在原点处的切线方程;(n)求f(X)的单调区间.(0)(X)f(x)2y2也0 f

2、(X)0 f(X)0 f(X)2xX2 1f(X)2xf (X)2(x 1)(X 1)a)(axX212X壬.所 f(x)(0,X212a0 Xi1)2 2(X 1)(,0)1(X a)(X -)a11a X f (x) f (x)aX(，X1)X(X1,X2)X2(X2,)f (X)00f(x)f (X1)f(X2)11f(x) (, a) (一，) ( a,)aaa 0 f(x) f (x)X(,X2)X2(X2,X1)X1(X1,)f (X)00f(x)f (X2)f(x)1 1f(x)( ,-)( -, a)(a a0a,)xo1 10 f(x)(0, -)(-,a af(x) (0,

3、)f(-)af (x) Xo1 a1 2右x0x Xo f(X)f(x) 0f(x) 0,) f(0)0a 0 f(x)0,) a(0,1a 0 f(x)(0, a)( a,)f(x) (0,)f(a)f(x) 0,) f(0)0aa 0 f(x)0,) a (a (, 1U(0,1其中a -1，求f (x)的单调区间.例 2 设函数 f(x)=ax (a+1)ln( x+1),【f(x) ( 1,) f(x) a(a1),x 11 a 0 f (x) 0, f(x) ( 1,) a 0 f(x) 0, x -.ax(1,-) a1 a1q,)f(x)f(x)Zf (x) f(x) xx(1,

4、-) f (x) 0, f (x) ( 1, aa1(,a)f(x) 0, Ux)，)a0 f (x) ( 1, )a 0 f(x)(已知函数f(x) x2 2a-x1,其中a 0.(I )若曲线y f(x)在(1,f(1)处的切线与直线y 1平行，求a的值;(II )求函数f(x)在区间1,2上的最小值.(x)2x2 a32-2(x32xx(1)2(13、a )0 a 1f(1)4(1,f(1)a(x)0 xa a0y1f(x) 0(1,2a3)f(x)1,2f(x) 1,2 f(1) 2a3x(1,a)a(a ,2)f (x)f(x)2f(x) 1,2 f(a) 3a 12 f (x)0

5、1,2)f(x) 1,2331 y f(x) 1,2 f(1) 2a1,2f(2)a35练习1 已知函数f (x)aln X1 2-x212(aR且a 0) . (2012海淀一模)f(x) 1,2 f(2) a 5求f (x)的单调区间;(n)是否存在实数 a，使得对任意的x1,，都有f(x) 0若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.2 (2012顺义2文)(.本小题共14分)2ax ,其中a 1已知函数 f (x) (a 1)xf (x) 1,2 f(a) 3a 1 a 2 y f (x) 2ln x, g(x)(I)求曲线y f (x)在(1,f (1)处的切线方程；(n)设函数

6、h(x) f(x) g(x)，求h(x)的单调区间.3 (2012朝1) 18.(本题满分14分)已知函数 f (x)ax2 1 ex, a R .(I)若函数f (x)在x 1时取得极值，求a的值;(n)当a 0时，求函数f (x)的单调区间.参数范围有单调性时分离常数法例(东2)已知函数f(x) x2 2x aex.2(I)若a 1，求f(x)在x 1处的切线方程;(n)若f (x)在R上是增函数，求实数 a的取值范围.1 2解：1)由 a 1 , f (x)x22x ex，f(1)32所以f (x)“3分又 f (1)1e,所以所求切线方程为y(1e)(1 e)(x 1)即 2(1e)x

7、2y(n)由已知 f (x)lx22xae 2整理得g 3xe，得 f(X)x2x ae .因为函数 f (x)在 R 上是增函数,1 0.ex.所以 f (x)0 恒成立，即不等式2 aex0恒成立.9分令 g(x)11分x,g (x),g(x) 的变化情况如下表:由此得a g(3) = e 3,即 a 的取值范x(,3)3(3,)g (x)0+g(x)、极小值/围是13分练习 1 (2012 怀柔 2)设 a R，函数 f(X) ax3 3x2 .a的取值范围.(I)若x 2是函数y f (x)的极值点，求实数 a的值；(n)若函数g(x) exf (x)在0,2上是单调减函数，求实数f

8、(x)3ax6x3x( ax2).x2yf(x)f (2)0 6(2 aa1 a1 x2yf(x)a1g(x)ex(ax33x23ax26x)x (0,2 ax33x2 3 ax26x3x26x3x6a3 22一 x(0,20xxh(x)x (0,22) 0xce0h(x)3x 6x2 3x3(x2(x23x)24x 6)3(x2(x 3x)22)具0h(x) (0,2h(x) h(2) a 6a(5(I)若函数f(x)的图象在(2, f (2)处的切线斜率为1,求实数a的值;(n)求函数f(x)的单调区间;(川)若函数a的取值范围.g(x) - f(x)在1,2上是减函数，求实数x分类讨论求

9、参数例2 (2012昌平1)已知函数.f (x)In x-ax( a为实数)x(I )当a 0时,求f (x)的最小值;(II )若f (x)在2,)上是单调函数，求a的取值范围1分解：(I)由题意可知：x 0x 1.2分当 a 0时 f (X) 一2-x当 0 X 1 时，f (x)1 时，f（X）.4分故 f(X)min（n）由 f（X）由题意可知a0时，（X）当a0时，令g（x）ax22axX 1,在 2,X故此时 f（x） 在2,）上只能是单调递减f (2) 04a 2 1即40解得a0时，f(x)在2,）上只能是单调递增综上a根据性质求范围（零点例（2012昌平2）已知函数f（X）2

10、为f（X）的一个极值点.求a的值;求函数f （X）的单调区间;）时，f （x）0符合要求.9分.7分0 即 4a 210,得 a.11分.134ln X ax26x b （ a，b为常数），若函数y f （x）有3个不同的零点，求实数 b的取值范围.解：（I）函数f （X）的定义域为（0, +8）1 分；f （ X）=4 2ax 6X2 4a 60，则 a =1(n)由(I)知f (X) 4lnx X2 6x bX) = 4 2x 6 2x2 6X X由 f ( X) 02(x 2)(x 1)6分可得 X 2 或 X 1,由 f (X) 0 可得 1 X 0,函数y=f(x)在区间(a, a

11、2-3)上存在极值，求a的取值范围； (川)若a2,求证：函数y=f(x)在(0 , 2)上恰有一个零点.(单调性)已知函数 f(x) X3 mx2 3m2X 1 (m 0).3(I)若 m1，求曲线y f(X)在点(2, f(2)处的切线方程;(n)若函数f(x)在区间(2m 1,m 1)上单调递增，求实数 m的取值范围.m 1 f(x)x3 X2 3x 1 f(2) 8 4 6 1 5333f(x)X22x 3 f(2)44 35x(,3m)3m(3m, m)m(m,)f(x)f(x)5(x2)15x 3y 250f(x)x222mx 3mf(x)3m或 x mf (x)f(x)f(x)

12、(, 3m) (m,) f(x) (2m 1,m 1) m 1 3m 2m 1mm丄m 14m 0 m 1 2m 11 m 2三.基本性质(2012 朝 2)设函数 f(X) aln x空(a 0).x(2012东1)已知x 1是函数f(x) (ax2)ex的一个极值点.a的值;x，都有f(X)单调区间(2012门头沟2)已知函数f(x)x3 ax2 bx 1在x 1处有极值(I)已知曲线y f(x)在点(1,f(1)处的切线丨的斜率为2 3a，求实数(n)讨论函数 f(x)的单调性;(川)在(I)的条件下，求证：对于定义域内的任意一个(I )求实数a, b的值;(II )求函数g(x) ax

13、 In X的单调区间.(I)求实数a的值;所以，当X 1时， f(x) 取得最大值，且最大值为 f(1)32.11分(n)当 x1, x20,2 时，证明:f(xi) f(X2) e实用(2012西城一模)如图，抛物线 y9与X轴交于两点A,B ,点C,D在抛物线上(点C在第一象限)，CD / AB .记|CD |2x，梯形ABCD面积为S.(I)求面积S以X为自变量的函数式;若册k，其中k为常数，且k 1,求S的最大值.(I)解：依题意，点C的横坐标为 X，点C的纵坐标为 yCX2Xb的横坐标Xb满足方xB 90 ,12(|CD|由点C在第一象限，得0所以S|ab|)Vc-(2x 2 3)( X2 9)(XXb 3 ，所以S关于X的函数式为(X3)(2X 9)，0x3(n)解 :由3,1，得 0 X 3k f(x)(X 3)(9),0 X 3k,f (X)3x2